ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ. Οι βασικοί νόµοι ανάκλασης διάλασης Στο παρόν κφάλαιο ξτάζται η πρίπτωση όπου ένα πίπδο κύµα προσπίπτι σ µια πίπδη πιφάνια S που διαχωρίζι δύο µέσα (σχήµα -) µ διαφορτικές ηλκτρικές µαγνητικές ιδιότητς. Αρχικά ωρούµ ότι η αγωγιµότητα σ στα δύο µέσα ίναι µηδνική. Αν αντί της φασικής σταράς β χρησιµοποιηί το διάνυσµα k που ορίζται έτσι ώστ το µέτρο του να δίνται από την ω k β ω µ (.) v p η διύυνσή του να συµπίπτι µ τη διύυνση διάδοσης του κύµατος τότ η λύση της ξίσωσης κύµατος µπορί πίσης να γραφί ως e (.) j ( e ϕ ) j k όπου ίναι το διάνυσµα έσης που ξκινάι από την αρχή των αξόνων καταλήγι στο ωρούµνο σηµίο. Το µέγος k ονοµάζται κυµατικός αριµός. 67

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ k n k S k Σχήµα - Επίσης από την (.) την (.7) προκύπτι η έκφραση της έντασης H του µαγνητικού πδίου H k (.3) ωµ Τα µταξύ τους κάτα διανύσµατα H ίναι πίσης κάτα προς τη διύυνση διάδοσης (διάνυσµα k ). Από τις (.) (.3) σχηµατίζουµ τις κφράσις των H για το προσπίπτον το ανακλώµνο το διαλώµνο κύµα αντίστοιχα H (.4) jk k e ωµ H (.5) jk k e ωµ H (.6) jk k e ωµ 68

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η συνέχια των φαπτοµνικών συνιστωσών των ντάσων H στη διαχωριστική πιφάνια S ξασφαλίζται µόνο αν οι κέτς των πιο πάνω σχέσων έχουν την ί- δια τιµή σ κά σηµίο της διαχωριστικής πιφάνιας αν ισχύι δηλαδή η k k k (.7) Η ξίσωση (.7) οδηγί στο συµπέρασµα ότι τα διανύσµατα οµοπίπδα. k k k ίναι Αν για υκολία ωρήσουµ την αρχή των συντταγµένων πάνω στο διαχωριστικό πίπδο S τότ η ξίσωση του πιπέδου αφού το διάνυσµα βρίσκται πάνω σ αυτό ίναι η n (.8) όπου n ίναι το µοναδιαίο κάτο διάνυσµα στη διαχωριστική πιφάνια. Αν πιπλέον ωρήσουµ ότι το υρισκόµνο στο πίπδο S διάνυσµα ίναι κάτο προς ένα των τριών διανυσµάτων k k k έστω προς το πιδή λόγω των (.7) (.8) ισχύι η k ( k ) τότ - k k k n (.9) συµπραίνουµ ότι τα διανύσµατα k k k n ίναι οµοπίπδα δηλαδή το ανακλώ- µνο το διαλώµνο διάνυσµα βρίσκονται πάνω στο πίπδο της πρόσπτωσης. Επίσης από την ξίσωση (.7) προκύπτουν ύκολα οι σχέσις sn sn (.) µ v n (.) µ v n όπου v v ίναι οι ταχύτητς του κύµατος στα δύο µέσα n c µ µ n c µ µ οι αντίστοιχοι δίκτς διάλασης. Από την (.) προκύπτι ότι η γωνία ανάκλασης ίναι ίση µ τη γωνία πρόσπτωσης νώ η (.) ίναι γνωστή ως νόµος του Snell. 69

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ. Εξισώσις Fesnel Οι σχέσις µταξύ των διαφόρων πδιακών µγών µπορούν να προκύψουν από τις οριακές συνήκς ιδικότρα από την ισότητα των φαπτοµνικών συνιστωσών των - ντάσων H στη διαχωριστική πιφάνια S : ( ) n + n (.) S S ( ) n H + H n H (.3) S S Η (.3) αν λάβουµ υπόψη τις (.4) (.5) (.6) µπορί να γραφί συναρτήσι µόνον των ηλκτρικών ντάσων ως n k + k / µ n k / µ (.4) ( ) ( ) Η όλη σχτική ανάλυση διυκολύνται σηµαντικά αν ωρήσουµ ότι η ένταση αναλύται σ δύο συνιστώσς κάτα παράλληλα προς το πίπδο της πρόσπτωσης αντίστοιχα. Έτσι στην ανάλυση που ακολουί διακρίνουµ τις παρακάτω δύο ιδικές πριπτώσις: α) ιάνυσµα κάτο στο πίπδο της πρόσπτωσης (σχήµα -) H H µ µ H Σχήµα - 63

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Από την ξίσωση (.) πιδή όλα τα διανύσµατα του ηλκτρικού πδίου ως κάτα στο πίπδο πρόσπτωσης ίναι φαπτοµνικά στη διαχωριστική πιφάνια προκύπτι η + (.5) Εξάλλου η οριακή συνήκη (.4) αν τα τριπλά ξωτρικά γινόµνα αναπτυχούν σύµφωνα µ την ταυτότητα A B C ( A C) B ( A B) C (.6) ληφί υπόψη ότι n n n δίνι k k ( ) cos cos (.7) µ µ Από τις (.5) (.7) προκύπτουν οι κφράσις των cos cos + cos ( µ )/( µ ) (.8) cos cos ( µ )/( µ ) cos + cos ( µ )/( µ ) (.9) Οι αντίστοιχς κφράσις των (.) ίναι οι µτά την απαλοιφή της γωνίας από την cos cos + ( µ / µ ) ( µ / µ ) sn (.) cos ( µ / µ ) ( µ / µ ) sn cos + ( µ / µ ) ( µ / µ ) sn (.) 63

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ β) ιάνυσµα στο πίπδο της πρόσπτωσης (σχήµα -3) H H µ µ H Σχήµα -3 Στην πρίπτωση αυτή από τις οριακές συνήκς (.) (.4) έχουµ ( ) cos cos (.) ( + ) (.3) µ µ οπότ µ απαλοιφή της από την (.) προκύπτουν οι cos µ / µ cos + µ / µ ( / ) sn (.4) cos µ / µ ( / ) sn cos + µ / µ ( / ) sn (.5) Οι ξισώσις (.) (.) (.4) (.5) ίναι γνωστές ως τύποι του Fesnel. Οι τύποι του Fesnel παρουσιάζουν µρικές νδιαφέρουσς ιδιότητς. Έτσι για δύο διαφορτικά διηλκτρικά µ ίσς όµως διαπρατότητς στην πρώτη πρίπτωση κατά την 63

ΚΕΦΑΛΑΙΟ οποία η ηλκτρική πδιακή ένταση ίναι κάτη στο πίπδο της πρόσπτωσης παρατηρίται πάντοτ ανάκλαση ανξάρτητα από την τιµή της γωνίας πρόσπτωσης. Στη δύτρη όµως πρίπτωση κατά την οποία το διάνυσµα βρίσκται πάνω στο πίπδο της πρόσπτωσης παρατηρίται µηδνική ανάκλαση όταν η γωνία γίνι ίση µ τη γωνία B που δίνται από την B an (.6) Η γωνία B ονοµάζται γωνία Bewse (ή γωνία πόλωσης). Μια άλλη χαρακτηριστική ιδιότητα ίναι ότι στην πρίπτωση όπου ο δίκτης διάλασης του µέσου ίναι µγαλύτρος από το δίκτη διάλασης του µέσου ( n > n) δν ίναι δυνατή η διάδοση του κύµατος στο µέσο για τιµές της γωνίας πρόσπτωσης µγαλύτρς από µια τιµή c που ονοµάζται κρίσιµη γωνία δίνται από την c n sn n. (.7) Πράγµατι η διάδοση στο µέσο για n > n (δηλαδή v > v) > c δν ίναι δυνατή αφού τότ για την ικανοποίηση της ξίσωσης (.) (νόµος του Snell) α έπρπ το sn να έπαιρν τιµές µγαλύτρς της µονάδας. Το φαινόµνο αυτό ονοµάζται ολική ανάκλαση. Για µια σχτικά λπτοµρέστρη διρύνηση του φαινοµένου αναφρόµνοι σ δύο διαφορτικά µέσα µ την ίδια µαγνητική διαπρατότητα ας ωρήσουµ αρχικά την πρώτη πρίπτωση κατά την οποία το διάνυσµα ίναι κάτο στο πίπδο της πρόσπτωσης. Τότ από την (.) πιδή sn > n/ n έχουµ cos j sn ( n / n ) cos + j sn ( n / n ) (.8) Από την (.8) παρατηρούµ ότι το µέτρο του ανακλώµνου κύµατος ίναι ίσο µ το µέτρο του προσπίπτοντος κύµατος αλλά η φάση αλλάζι κατά γωνία ψ όπου sn ( n/ n) ψ an (.9) cos 633

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Στη δύτρη πρίπτωση κατά την οποία το διάνυσµα βρίσκται στο πίπδο της πρόσπτωσης έχουµ ψ sn ( n / n ) an (.3) ( n / n) cos Οι συντλστές ανάκλασης R διάδοσης T που ορίζονται από τις R T (.3) προκύπτουν ύκολα από τις σχέσις (.8) (.9) (.) (.) (.4) (.5) για τις ξτασίσς δύο πριπτώσις. Όταν έχουµ ολική ανάκλαση από την (.8) φαίνται αµέσως ότι R. Στην πρίπτωση αυτή η µέση τιµή της διαδιδόµνης στο µέσο ισχύος ίναι µηδνική..3 Ανάκλαση πίπδου κύµατος σ µέσα µ απώλις Όταν η αγωγιµότητα σ δν ίναι µηδνική οι κφράσις της προηγούµνης παραγράφου ξακολουούν να ισχύουν µ αντικατάσταση µόνον της διηλκτρικής σταράς c από την αντίστοιχη µιγαδική σταρά jσ/ ω. Μια τέτοια πρίπτωση µ ξχωριστό πρακτικό νδιαφέρον που ξτάζται ως παράδιγµα στη συνέχια αναφέρται στην ανάκλαση ραδιοκυµάτων στο έδαφος. Στην πρίπτωση αυτή έχουµ µ µ µ σ σ σ. Αν ωρήσουµ ότι το ηλκτρικό πδίο ίναι κάτο στο πίπδο της πρόσπτωσης δηλαδή αν έχουµ ένα οριζόντια πολωµένο κύµα τότ από την (.) προκύπτι σ cos j sn ω cos + j sn ω σ (.3) Η (.3) πιδή σύµφωνα µ την (.64) ισχύι η λ µ λ µ ω π π 6λ (.33) 634

ΚΕΦΑΛΑΙΟ µπορί πίσης να γραφί ως cos ( j6λσ) sn cos + ( j6λσ) sn (.34) Αν το ηλκτρικό πδίο βρίσκται στο πίπδο της πρόσπτωσης αν δηλαδή έχουµ κατακόρυφα πολωµένο κύµα από την (.5) προκύπτι ύκολα η ( ) ( ) j6λσ cos j6λσ sn ( j6λσ) cos + ( j6λσ) sn. (.35). /.5 π /4 π / B Οριζόντια πολωµένο κύµα Κατακόρυφα πολωµένο κύµα Σχήµα -4 Στο σχήµα -4 φαίνται η µταβολή του συντλστή ανάκλασης για ένα κύµα που έχι συχνότητα f MHz ανακλάται πάνω σ έδαφος αγωγιµότητας σ S σχτικής διηλκτρικής σταράς για διάφορς τιµές της γωνίας πρόσπτωσης. Από το σχήµα αυτό παρατηρίται πίσης ότι ο συντλστής ανάκλασης στο κατακόρυφα πολωµένο κύµα µφανίζι λάχιστο για µια τιµή της γωνίας B της γωνίας πρόσπτωσης. Η γωνία B ονοµάζται ψυδογωνία Bewse αντιστοιχίζται προς τη συνήκη µηδνικής ανάκλασης σ ένα µέσο χωρίς απώλις. Η τιµή του συντλστή ανάκλασης σ ένα οριζόντια πολωµένο κύµα για τη γωνία B πλησιάζι τη µονάδα. Γι αυτό 635

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ οι πικοινωνίς µέσω της ιονόσφαιρας που ργάζονται µ µήκη κύµατος λίγων δκάδων µέτρων µγάλς γωνίς πρόσπτωσης χρησιµοποιούν οριζόντια πολωµένα κύµατα..4 Στάσιµα κύµατα Κατά την κάτη πρόσπτωση νός πίπδου κύµατος στη διαχωριστική πιφάνια z (σχήµα -5) νός τέλιου διηλκτρικού µέσου ( σ ) νός αγώγιµου µέσου ( σ η ) το πδίο στο µέσο προκύπτι από την υπέρση του προσπίπτοντος του ανακλώµνου κύµατος.. x S σ x σ H y Ε z λ / Σχήµα -5 Στην πρίπτωση αυτή πιδή όπως φαίνται από την (.35) έχουµ το συνιστάµνο πδίο ίναι jβz jβz ( e e ) + + (.36) ή jβz jβz ( ) e e x j snβz x (.37) Από την (.37) προκύπτι η ακόλουη έκφραση της στιγµιαίας τιµής της ηλκτρικής πδιακής έντασης () z snβzsnωx (.38) 636

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το κύµα που πριγράφται από την ξίσωση (.38) χαρακτηρίζται ως στάσιµο κύµα (σχήµα -5). Η στιγµιαία τιµή της µαγνητικής πδιακής έντασης στην πρίπτωση αυτή όπως ύκολα µπορί να προκύψι δίνται από την H() z cosβzcosωy (.39) η Από τις (.38) (.39) παρατηρούµ ότι η µαγνητική πδιακή ένταση H έχι µέγιστη τιµή στις έσις µηδνισµού της ηλκτρικής πδιακής έντασης (κόµβοι) µηδνική τιµή στις έσις όπου η ένταση έχι µέγιστο πλάτος (κοιλίς)..5 Πίση ακτινοβολίας Ας ωρήσουµ στον κνό χώρο ένα πίπδο κύµα που προσπίπτι κάτα στη διαχωριστική πιφάνια νός τέλιου αγωγού (σχήµα -6). Στην πρίπτωση αυτή το πδίο ίναι µηδνικό δξιά από τη διαχωριστική πιφάνια SS ( σ R ). Η ασκούµνη πίση p γίνται µέγιστη δίνται από τη σχέση p P (.4) c max όπου P ίναι η µέση χρονική τιµή της πυκνότητας ισχύος του προσπίπτοντος κύµατος c η ταχύτητα του φωτός στο κνό. y S P x H z Σχήµα -6 S 637

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Στην πρίπτωση όπου το κύµα προσπίπτι κάτα σ µια τέλια απορροφητική πιφάνια ( R ) η πίση ακτινοβολίας δίνται από την P pa (.4) c Η πίση της ακτινοβολίας γνικά ίναι αρκτά µικρή. Αν για παράδιγµα ωρήσουµ ότι η πυκνότητα ισχύος της ηλιακής ακτινοβολίας σ µια ρµή µέρα ίναι της τάξης του kw/m από τις (.4) (.4) έχουµ max 667 σχέση p p a µν/m. Στην πρίπτωση τέλος πλάγιας πρόσπτωσης η πίση ακτινοβολίας δίνται από τη cos p ( + R ) p (.4) c 638

ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6 Παραδίγµατα. Να καοριστί το διάστηµα τιµών στο οποίο µπορί να κυµαίνται η τιµή της σχτικής διηλκτρικής σταράς διηλκτρικής πλάκας (σχήµα -7) πάχους d έτσι ώστ κατά την πρόσπτωση νός κύµατος από το ένα της άκρο µ γωνία ( π/) η νέργια του διαδιδόµνου κύµατος να πριορίζται αποκλιστικά στον όγκο της πλάκας. d Σχήµα -7 Για να πριορίζται η νέργια αποκλιστικά στο χώρο της πλάκας πρέπι η γωνία να ίναι µγαλύτρη ή ίση της κρίσιµης γωνίας c. Πρέπι δηλαδή ή sn sn c π sn cos sn c Η () πιδή η κρίσιµη γωνία c δίνται από την (.7) γράφται cos () ή cos () Η γωνία όµως σχτίζται µ τη γωνία πρόσπτωσης µέσου του νόµου του Snell 639

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ή sn µ µ sn µ µ (3) sn sn (4) Από την (4) αν λάβουµ υπόψη την () προκύπτι ότι ή δηλαδή cos sn sn sn sn + (5) Για να ικανοποιίται η (5) για όλς τις τιµές της γωνίας πρόσπτωσης δδοµένου ότι η µέγιστη τιµή του sn ίναι ίση µ τη µονάδα πρέπι τλικά να ισχύι η (6). Επίπδο κύµα οδύι σ ένα µέσο () προσπίπτι κάτα στην πίπδη διαχωριστική πιφάνια του µέσου () νός άλλου µέσου (). Αν το µέσο () ίναι ο λύρος κνός χώρος ( µ µ σ ) νώ το µέσο () έχι µαγνητική διαπρατότητα µ µ διηλκτρική σταρά 4 ιδική αγωγιµότητα σ ζητούνται: α) Να υπολογιστούν οι συντλστές ανάκλασης διάλασης R T αντίστοιχα. β) Να βρί η µέση τιµή της πιφανιακής πυκνότητας ισχύος του προσπίπτοντος ανακλώ- µνου διαδιδόµνου κύµατος. ίνται ότι το πλάτος έχι τιµή V/m. 64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ P P µ µ z P Σχήµα -8 α) Επιδή έχουµ κάτη πρόσπτωση από τις σχέσις (.) (.) (ή τις (.4) (.5)) για γωνία πρόσπτωσης µηδνική ( ) προκύπτι: R / + / + 3 () T + / + 3 () β) Η ζητούµνη µέση χρονική τιµή της πιφανιακής πυκνότητας ισχύος µπορί να υπολογιστί από το µιγαδικό διάνυσµα Poynng ( Sc H ) (3) τις (.4) (.5) (.6). Οι πδιακές ντάσις H των τριών κυµάτων όπως προκύπτι από τις (.4) (.5) (.6) (.) συνδέονται µ τις σχέσις H n (4) η H n (5) η 64

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ H n (6) η όπου η µ / η µ / ίναι οι τιµές των χαρακτηριστικών αντιστάσων στα δύο µέσα n n νάκλασης διάλασης αντίστοιχα. P της ισχύος που προσπίπτι σύµφωνα µ τις (3) (4) (7) ίναι γράφται n τα µοναδιαία διανύσµατα κατά τις διυύνσις πρόσπτωσης α- Στην πρίπτωσή µας όπου έχουµ κάτη πρόσπτωση ίναι προφανώς Έτσι η µέση τιµή n n n z (7) P Re S Re H Re z (8) { } { } { } c η Η (8) αν λάβουµ υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα A B C ( A C) B ( A B) C (9) P Re{( ) z ( z ) } () η Επιδή όµως η πδιακή ένταση ίναι κάτη στη διύυνση διάδοσης z ο δύτρος όρος στην αγκύλη της ξίσωσης () ίναι ίσος µ µηδέν οπότ η () γράφται P Re z z () { } η η Ανάλογα για την ισχύ P που ανακλάται στη διαχωριστική πιφάνια την P που διαδίδται στο µέσο () έχουµ P Re H z { } Re { } η η Re { } z z η η P H z z z (3) Re { } Re { } Re { } η η η η Από τις () () (3) αν λάβουµ υπόψη τις () 64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ η µ η η (4) µ µ η 4 (5) όπου η π ίναι η χαρακτηριστική αντίσταση του κνού τις () () προκύπτι P 3 63 W/m (6) η P P 474 η 8η 9 W/m (7) P 4 8 P 789 W/m. (8) η η 9 η 9 Όπως βλέπουµ από τις (6) (7) (8) το ένα ένατο (/9 ) της ισχύος που προσπίπτι ανακλάται νώ τα οχτώ ένατα ( 8/9) διαδίδονται στο µέσο ()..3 Να βρούν οι κφράσις του συντλστή ανάκλασης R του συντλστή διάδοσης T της γωνίας διάλασης συναρτήσι της γωνίας πρόσπτωσης µ την οποία προσπίπτι πίπδο κύµα στη διαχωριστική πιφάνια των δύο µέσων του προηγούµνου παραδίγ- µατος ( µ µ µ 4 σ σ ) στις δύο πριπτώσις όπου το διάνυσµα ίναι κάτο ή βρίσκται πάνω στο πίπδο πρόσπτωσης. Ποις ίναι οι αριµητικές τιµές των R T για 3 6 ; α) Έστω ότι το διάνυσµα της ηλκτρικής πδιακής έντασης ίναι κάτο στο πίπδο της πρόσπτωσης. Τότ από τις σχέσις (.) (.) το νόµο του Snell (σχέση (.)) µ αντικατάσταση των µ µ έχουµ cos T + cos 4 sn () 643

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ R cos 4 sn cos + 4 sn () sn sn (3) ή sn acsn (4) β) Αν το διάνυσµα βρίσκται στο πίπδο της πρόσπτωσης από τις σχέσις (.4) (.5) το νόµο του Snell (σχέση (.)) µ αντικατάσταση πάλι των µ µ παίρνουµ 4cos T 4cos + 4 sn (5) 4cos 4 sn R 4cos + 4 sn (6) sn acsn (7) Από τις () () (4) (5) (6) (7) προκύπτουν τα παρακάτω αριµητικά αποτλέσµατα: α) Για 3 : T 68 R 38 T 64 R 8 4 477. β) Για 6 : T 434 R 566 T 56 R 58 5659 644

ΚΕΦΑΛΑΙΟ.4 Στην πίπδη διαχωριστική πιφάνια δύο µέσων () () προσπίπτι πίπδο κύ- µα που οδύι από το µέσο () προς το µέσο (). Αν το διάνυσµα της ηλκτρικής πδιακής έντασης βρίσκται πάνω στο πίπδο της πρόσπτωσης ζητούνται: α) Να βρί η τιµή της γωνίας πρόσπτωσης για την οποία παρατηρίται µηδνική ανάκλαση του κύµατος. β) Να βρούν οι τιµές της γωνίας πρόσπτωσης για τις οποίς παρατηρίται ολική ανάκλαση. ίνονται: µ µ µ σ σ. () () Σχήµα -9 α) Μηδνική ανάκλαση παρατηρίται όταν η γωνία πρόσπτωσης γίνι ίση µ τη γωνία Bewse B. Έτσι από τη σχέση (.6) προκύπτι B acan () ή B acan () Η ζητούµνη συνπώς γωνία B µηδνικής ανάκλασης ίναι 645

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ B 3564 (3) β) Ως γνωστόν ολική ανάκλαση παρατηρίται όταν η γωνία πρόσπτωσης ίναι ίση ή µγαλύτρη από την κρίσιµη γωνία c. Από τη σχέση (.7) προκύπτι c acsn acsn 45 (4) Συµπραίνουµ λοιπόν από την (4) ότι ολική ανάκλαση παρατηρίται όταν ισχύι η 9 > > 45 (5).5 Το πλάτος της ηλκτρικής πδιακής έντασης νός πίπδου κύµατος συχνότητας f 5 MHz που προσπίπτι στη διαχωριστική πιφάνια δύο διηλκτρικών µη µαγνητικών µέσων ίναι V/m. Το διάνυσµα της ηλκτρικής πδιακής έντασης βρίσκται στο πίπδο της πρόσπτωσης µ φορά όπως φαίνται στο σχήµα -. Αν 5 ίναι οι σχτικές διηλκτρικές σταρές των δύο µέσων ζητούνται: α) Οι µιγαδικές διανυσµατικές κφράσις της ηλκτρικής πδιακής έντασης στα ση- µία P ( / 3) P ( /3/ ) 7 των δύο µέσων αντίστοιχα όταν η γωνία πρόσπτωσης του κύµατος ίναι 3. β) Η µιγαδική διανυσµατική έκφραση της µαγνητικής πδιακής έντασης H στο πιο πάνω ση- µίο P για την ίδια γωνία πρόσπτωσης. γ) Ποις α έπρπ να ήταν οι τιµές της γωνίας πρόσπτωσης για τις οποίς δν α ήταν δυνατή η διάδοση του κύµατος στο µέσο ; δ) Ποια α έπρπ να ήταν η τιµή της γωνία ώστ όλη η νέργια του προσπίπτοντος κύ- µατος να διαδίδονταν στο µέσο ; Αν k ω µ k n n k k n k n ω µ n k k n ω µ n () ίναι οι κυµαταριµοί διύυνσης του προσπίπτοντος ανακλώµνου διαλώµνου κύ- µατος όπου n n n ίναι τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα οι µιγαδικές κφράσις των τριών κυµάτων ίναι της µορφής 646

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( µ ) x ( µ ) z y H Σχήµα - j e k jk () j e k e όπου xx + yy + zz ίναι το διάνυσµα έσης του ωρούµνου σηµίου. x ( µ ) ( µ ) H H n n y H n Σχήµα - 647

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Όπως ύκολα φαίνται από το σχήµα - για τις σηµιούµνς φορές αναφοράς ισχύουν οι παρακάτω σχέσις n sn x + cos y k k ( x sn + ycos ) (3) n sn x cos y k k ( x sn ycos ) (4) n sn x + cos y k k ( x sn + ycos ) (5) α) Από το νόµο του Snell ( cos x + sn y ) (6) ( cos x + sn y ) (7) ( cos x + sn y ) (8) sn µ sn µ 5 5 (9) για 3 έχουµ ή 5 sn 5 sn 5 sn 3 75 () 4859 () Για να υπολογίσουµ τα πλάτη υπολογίζουµ προηγούµνα τους συντλστές ανάκλασης R διάδοσης T οι οποίοι για µ µ µ δίνονται από τις σχέσις cos sn R / cos + sn / 3 5 ( 5) 678 / 3 + 5 ( 5) / () 648

ΚΕΦΑΛΑΙΟ cos 3 ( 5) T 398 (3) / / 3 cos sn 5 ( 5) + + Οι ίδις τιµές των συντλστών R T α µπορούσαν φυσικά να προκύψουν από άλλς γνωστές ναλλακτικές κφράσις π.χ. από τις an( ) cos sn R T an( + ) sn( + ) cos( ) cos R T (4) cos Οι (6) (7) (8) λόγω των () () (3) πιδή δίνται ότι (V/m) γράφονται 3 x + y V/m (5) 3 R ( cos sn ) 678 x + y x + y V/m (6) 7 3 T ( cos sn ) 398 x + y x + y 4 4 V/m (7) Στη συνέχια υπολογίζουµ τις τιµές των τριών κυµατικών αριµών 6 πf π 5 5 k ω µ ω µ 5π ad/m (8) 8 c 3 k k 5π ad/m (9) 6 πf π 5 8 k ω µ ω µ πad/m () c 3 Οι (3) (4) (5) λόγω των () (8) (9) () γράφονται 3 k 5π x + y () 3 k 5π x y () 3 7 k π x + y 4 4 (3) 649

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Οι µιγαδικές συνπώς κφράσις των τριών κυµάτων όπως προκύπτι από τις (5) (6) (7) () () (3) ίναι οι 3 3 jk 5 ( ) j π x y e + e + x y V/m (4) 3 3 jk 5 ( ) j π x y e 678 x + y e V/m (5) 3 7 7 3 jk ( 4 4 ) j x y e 398 + e π + x y 4 4 V/m (6) Οι ζητούµνς µιγαδικές κφράσις των ηλκτρικών πδιακών ντάσων στα µέσα µ βάση τις (4) (5) (6) δίνονται από τις 3 + x + y e 3 678 x + y e 3 ( ) j5π x+ y V/m (7) 3 ( ) j5π x y 3 7 7 3 j ( 4x 4 y) 398 + e π + x y 4 4 V/m (8) Στα σηµία P ( / 3 ) ( /3/ 7) (7) (8) ίναι ή P οι ντάσις σύµφωνα µ τις 3 3 3 j π j e 678 x + y + e x y ( 587 + j8 66) x + ( 339 + j5) y (9) 7 3 j π 398 x + y e j( 947 485 ) 4 4 x y (3) β) Η µαγνητική πδιακή ένταση H στο σηµίο P του µέσου υπολογίζται από την 65

ΚΕΦΑΛΑΙΟ n n H (3) η µ / H ή 7 3 ( sn x + cos y) j398 x y 4 4 H µ / ή δηλαδή 3 7 7 3 j398 x + y 4 4 x y 4 4 398 H j z π π H j 37z A/m (3) γ) Η διάδοση στο µέσο δν ίναι δυνατή όταν η γωνία πρόσπτωσης ίναι µγαλύτρη ή ίση από την κρίσιµη γωνία (ολική ανάκλαση) c : (33) όπου c c sn sn sn 4 8 5 5 (34) δηλαδή όταν 4 8 (35) δ) Στην πρίπτωση του τέταρτου ρωτήµατος η γωνία πρέπι προφανώς να ίναι ίση µ τη γωνία Bewse B an an an B 5 5 δηλαδή 3369 (36) 65

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ.6 Επίπδο οµοιόµορφο κύµα προσπίπτι µ γωνία (σχήµα -) στη διαχωριστική πιφάνια των διηλκτρικών µέσων ( µ ) ( 3 µ ). Το κύµα έχι τη µορφή όπου e e j 3 ( ) e e + e n n µοναδιαία διανύσµατα παράλληλα προς τις διυύνσις των της διύυνσης διάδοσης αντίστοιχα νώ xx + yy + zz ίναι το διάνυσµα έσης του ωρούµνου σηµίου. ίδται ότι το ανακλώµνο κύµα ίναι κάτο στο πίπδο πρόσπτωσης. Ζητούνται: α) Να βρούν οι γωνίς πρόσπτωσης ανάκλασης διάλασης β) Να προσδιοριστούν οι µιγαδικές κφράσις της ηλκτρικής πδιακής έντασης του προσπίπτοντος του διαλώµνου κύµατος. γ) Να υπολογιστούν οι µέσς τιµές της πυκνότητας ισχύος του προσπίπτοντος του διαλώµνου κύµατος. ( ) ( ) µ µ x n y z Σχήµα - Το κύµα µπορί να ωρηί ότι προέρχται από την υπέρση δύο κυµάτων: νός παράλληλου ( ) νός κάτου ( ) στο πίπδο πρόσπτωσης. α) Επιδή σύµφωνα µ την κφώνηση το ανακλώµνο κύµα ίναι κάτο στο πίπδο της πρόσπτωσης έχουµ µηδνική ανάκλαση για το. Αυτό συµβαίνι όταν το κύµα προσπίπτι στη διαχωριστική πιφάνια µ τη γωνία Bewse B an an 3 () 65

ΚΕΦΑΛΑΙΟ δηλαδή B 6 () Επιπλέον από το νόµο του Snell έχουµ sn µ sn µ 3 ή δηλαδή sn sn sn 6 3 / 3 3 3 3 (3) β) Για τον καορισµό της µιγαδικής έκφρασης της ηλκτρικής πδιακής έντασης υπολογίζουµ προηγούµνα τα µοναδιαία διανύσµατα n e e n e e. ( µ ) (3 µ ) e n e n x y z Σχήµα -3 Τα διανύσµατα αυτά υπολογίζονται ύκολα από το σχήµα -3 δίνονται από τις παρακάτω σχέσις 3 n sn x + cos z n x + z (4) 653

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ 3 e cos x sn z e x z (5) e y (6) 3 n sn x + cos z n x + z (7) 3 e x z e x z e y (9) cos sn (8) Επίσης οι κυµατικοί αριµοί k k δίνονται από τις k ω µ 3 k n n n () k k n ω µ n ω µ 3 n 3k n 3 3n () Από τη δοίσα στην κφώνηση σχέση τις (4) (5) (6) προκύπτι η ζητούµνη µιγαδική έκφραση του προσπίπτοντος κύµατος 3 3 j3( x z) + e + y x z V/m () Προκιµένου στη συνέχια να προσδιορισί η µιγαδική έκφραση του διαλώµνου κύµατος υπολογίζουµ τους συντλστές διάδοσης T T οι οποίοι πιδή οι σύντς αντιστάσις η η των δύο µέσων έχουν τις τιµές η η µ π 377 Ω (3) µ π 377 7 66 Ω (4) 3 3 3 δίνονται από τις σχέσις 377 cos 6 η cos 3 T η 377 cos + η cos 377 cos 6 + cos 3 3 3 (5) 377 cos 6 η cos 3 T η 377 cos + η cos cos 6 + 377 cos 3 3 (6) 654

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Έτσι οι συνιστώσς του διαλώµνου κύµατος έχουν τις κφράσις 3 j3 3( x z) 3 jk T e e + e 3 x z ή 3 3 j3 3( x z) e + 3 x z V/m (7) 3 j 3 3( ) j x z T e e + k e y ή 3 j3 3 ( x z) e + y V/m (8) Συνπώς η ζητούµνη µιγαδική έκφραση του διαλώµνου κύµατος όπως φαίνται από τις (7) (8) ίναι η 3 3 j3 3( z x) + e + y + x z 6 V/m (9) γ) Οι µέσς τιµές P P της πυκνότητας ισχύος του προσπίπτοντος διαλώµνου κύµατος αντίστοιχα υπολογίζονται από τις παρακάτω σχέσις ή ή 3 3 P n z x 4 η 377 + + + 4 4 3 3 P 6 637 x + z W/m () 3 3 3 P n + + + η 377 4 36 x z 3 3 P 3 6 x + z W/m () 655

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ.7 Επίπδο οµοιόµορφο κύµα προσπίπτι µ γωνία στην αριστρή πιφάνια απέραντης διηλκτρικής πλάκας όπως φαίνται στο σχήµα -4. Η άλλη (δξιά) πιφάνια της πλάκας πικαλύπτται µ πολύ λπτό υπραγώγιµο στρώµα. ίνται ότι το διάνυσµα της ηλκτρικής πδιακής έντασης του προσπίπτοντος κύµατος βρίσκται στο πίπδο της πρόσπτωσης. α) Να σχδιαστί ποιοτικά η πορία του κύµατος από την ίσοδό του στη διηλκτρική πλάκα µέχρι την πρώτη έξοδό του από αυτή να υπολογισούν συναρτήσι της γωνίας - οι σχτικές γωνίς πρόσπτωσης ανάκλασης διάλασης. β) Ποια ίναι η τιµή της γωνίας για την οποία όλη η προσπίπτουσα νέργια µταφέρται στο σωτρικό της διηλκτρικής πλάκας; γ) Ποια ίναι η τιµή της γωνίας για την οποία όλη η ισρχόµνη στην πλάκα νέργια - ξέρχται από αυτήν; δ) Για την πρίπτωση (γ) να υπολογιστί η ηλκτρική πδιακή ένταση (σ µιγαδική µορφή) στο χώρο () καώς στο χώρο () αν ίναι γνωστό το πλάτος έστω της έντασης του ηλκτρικού πδίου. ( ίνονται: µ µ µ 3 f (3/ ) 8 π Hz) y H τέλιος αγωγός n x ( µ ) ( µ ) Σχήµα -4 656

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η πορία του κύµατος φαίνται στο σχήµα -5. Αν n () n 3 () ίναι οι δίκτς διάλασης των δύο µέσων από την φαρµογή του νόµου του Snell στο ση- µίο Α έχουµ δηλαδή sn n n sn sn sn sn 3 n n sn sn 3 (3) y H n A x B Γ 3 3 3 Σχήµα -5 657

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Ισχύι πίσης η σχέση (4) Στο σηµίο B όπου λόγω του υπραγώγιµου πιπέδου έχουµ πλήρη ανάκλαση από την ισότητα των ντός ναλλάξ γωνιών µταξύ των παραλλήλων στα A B υιών έχουµ sn sn 3 (5) sn sn 3 Παρόµοια από την ισότητα των ντός ναλλάξ γωνιών έχουµ 3 Παρατηρούµ δηλαδή ότι 3 (6) (7) (8) 3 3 sn 3 3 sn 3 Ακόµη από την φαρµογή πάλι του νόµου του Snell στο σηµίο Γ ισχύι η n n n n sn sn sn sn 3 3 n n n n (9) δηλαδή 3 () β) Για να έχουµ µηδνική ανάκλαση στην αριστρή πιφάνια της πλάκας (οπότ ολόκληρη η νέργια διαδίδται στο σωτρικό της) πρέπι η γωνία πρόσπτωσης να ίναι ίση µ τη γωνία Bewse B n B n ( ) an an 3 δηλαδή 6 () 658

ΚΕΦΑΛΑΙΟ γ) Το τρίτο ρώτηµα ίναι ουσιαστικά το ίδιο µ το δύτρο µ τη διαφορά ότι τώρα το κύµα ξέρχται από το µέσο () διαδίδται στο µέσο (). Πρέπι συνπώς να ισχύι η ή 3 n B an an n 3 Η αντίστοιχη τιµή της γωνίας πρόσπτωσης ίναι ή 3 3 () 3 n B n 3 sn sn sn ( 3 sn ) sn ( 3 sn 3 ) sn 6 (3) δ) Η ηλκτρική πδιακή ένταση στα δύο µέσα προκύπτι από την υπέρση των πι- µέρους κυµάτων δηλαδή + + (4) 3 + + (5) 3 Στην πρίπτωση (γ) όπου η γωνία πρόσπτωσης ίναι ίση µ 6 αν e e e ίναι τα µοναδιαία διανύσµατα παράλληλα προς τα αντίστοιχα η ηλκτρική πδιακή ένταση σ µιγαδική µορφή του προσπίπτοντος κύµατος έχι τη µορφή όπου e (6) j e k 8 π (3/ π) k kn ω µ n ( ) 8 cos x sn y x 3 y 3 (7) 3 e sn x cos y x y (8) Η (6) µ αντικατάσταση των (7) (8) (9) γράφται xx + yy + zz (9) 659

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ 3 jx ( 3y) e x y () Επιδή όπως ίδαµ για 6 έχουµ µηδνική ανάκλαση τόσο κατά την ίσοδο όσο κατά την έξοδο από τη διηλκτρική πλάκα οι ηλκτρικές πδιακές ντάσις 3 ίναι µηδνικές: () Παρόµοια µ την 3 βρίσκουµ τις µιγαδικές κφράσις των ντάσων 3 που έχουν αντίστοιχα τη µορφή e e () j k e e (3) j k e e (4) j k 3 3 3 Οι () (3) (4) πιδή 3 6 3 3 e sn x cos y x y (5) 3 k ω µ ( cos x sn y) 3 x y (6) 3 e sn x + cos y x + y (7) 3 k 3( cosx sny) 3 x y (8) 3 e3 sn 3x + cos 3y x + y (9) 3 k3 ( cos3x sn3y) x y (3) γράφονται αντίστοιχα 3 j 3( 3x y) e x y (3) 3 j 3( 3x y) + e x y (3) 66

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 j( x 3y) 3 + e x y (33) Τλικά µ αντικατάσταση των 3 από τις (3) (3) (33) στις (4) (5) προκύπτουν οι ζητούµνς κφράσις της ηλκτρικής πδιακής έντασης στα δύο µέσα jx ( 3 ) 3 y j ( x 3 ) 3 y e e x y + + x y (34) j 3( 3 x ) 3 y j 3( 3 x ) 3 y e e x y + + x y (35).8 Οµοιόµορφο πίπδο κύµα πολωµένο γραµµικά κατά τη διύυνση του άξονα x διαδιδόµνο στο διηλκτρικό µέσο () κατά τη διύυνση του τικού ηµιάξονα z προσπίπτι κάτα στην πιφάνια διηλκτρικής πλάκας (µέσο ) πάχους d (σχήµα -6). Στην άλλη όψη της πλάκας το κύµα διαδίδται σ ένα µέσο 3. Οι τιµές της διηλκτρικής σταράς της µαγνητικής διαπρατότητας στα τρία µέσα ίναι αντίστοιχα ( µ ) ( µ ) ( µ ). Ζητίται να βρούν οι κφράσις των νργών συντλστών ανάκλασης R 3 3 T στις πιφάνις z z d αντίστοιχα. x µέσο ( µ ) µέσο (πλάκα) ( µ ) µέσο 3 ( µ 3 3) y z H Σχήµα -6 66

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Αν βj ω µ jj η j µ j j ίναι η φασική σταρά η χαρακτηριστική αντίσταση του j -στού µέσου ( j 3 ) τότ οι κφράσις των ανακλώµνων διαδιδόµνων κυµάτων δίνονται κατά τα γνωστά από τις κφράσις e jβz ( j ) () j j e jβz ( j 3) () j j Οι κφράσις συνπώς της ηλκτρικής µαγνητικής πδιακής έντασης στα τρία µέσα ίναι της µορφής jβz jβz ( e e ) + + x (3) H H + H e e y (4) jβz jβz η η jβz jβz ( e e ) + + x (5) H H + H e e y (6) jβz jβz η η e β x (7) j 3z 3 3 3 e β H H y (8) 3 j 3z 3 3 η3 Οι ζητούµνοι συντλστές R T υπολογίζονται από τις ξισώσις (3) έως (8) µ φαρµογή των οριακών συνηκών στις δύο διαχωριστικές πιφάνις z z d. Πράγµατι από την ισότητα των φαπτοµνικών συνιστωσών των ντάσων H στις δύο διαχωριστικές πιφάνις έχουµ + + (9) () η η e + e e () jβd jβd jβ3d 3 jβd jβd 3 e e 3 e jβ3d η η3 () 66

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Από τις (9) () µ κατά µέλη πρόσση αφαίρση προκύπτουν οι ( η η ) ( η η ) η + + ( η η ) ( η η ) η + + (3) (4) Επίσης µ απαλοιφή της από τις (3) (4) έχουµ 3 η3 η jβd e (5) η + η 3 Μ αντικατάσταση των κφράσων από τις (3) (4) στην (5) προκύπτι η σχέση jβd ( η η)( η + η3) + ( η 3 η )( η + η) e R (6) jβd ( η + η )( η + η ) + ( η η )( η η ) e 3 3 Η (6) µ διαίρση του αριµητή παρανοµαστή στο δξιό µέλος µ το γινόµνο ηη 3 γράφται ως jβd ( Z)( + Z3) + ( + Z)( Z3) e R (7) j d ( + β Z )( + Z ) + ( Z )( Z ) e 3 3 όπου Z j η η µ β j ( 3 ) µ β j j j (8) Παρόµοια µ απαλοιφή µιας των (έστω της η3 j( β3 β) d 3 e η + η 3 ) από τις () () έχουµ ή λόγω των (4) (8) η j( β3 β) d 3 e ( + Z) ( Z) ( + Z ) η 3 (9) Από την (9) µ αντικατάσταση του από την (7) κτέλση των σχτικών πράξων προκύπτι η δύτρη ζητούµνη σχέση jβ3d 3 4e T () j d j d ( Z )( β Z ) e + β ( + Z )( + Z ) e 3 3 663

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Μια ναλλακτική έκφραση της (6) προκύπτι αν ο αριµητής παρανοµαστής διαιρί µ το γινόµνο ( η + η )( η + η ): όπου R ( η η )/( η η ) j j j 3 jβd R + R3e R jβd RR3e + () + ( j 3) ίναι ο συντλστής ανάκλασης κατά την κάτη πρόσπτωση από το µέσο ( ) προς το µέσο ( j )..9 Επίπδο οµοιόµορφο κύµα συχνότητας f GHz προσπίπτι κάτα σ διηλκτρική πλάκα πάχους d. Αριστρά δξιά της πλάκας της οποίας η σχτική διηλκτρική σταρά ίναι 56 υπάρχι αέρας ( µ µ 3 µ 3 ). Ζητούνται: α) Να υπολογισί το πάχος d της πλάκας έτσι ώστ ο νργός συντλστής ανάκλασης R για f GHz να έχι µηδνική τιµή. β) Να βρί το µέτρο R του πιο πάνω συντλστή για f 5 GHz f 5 το πάχος της πλάκας ίναι d 9375 cm. GHz όταν α) Για το µηδνισµό του νργού συντλστή ανάκλασης R σύµφωνα µ τη σχέση () της προηγούµνης άσκησης πρέπι να ισχύι η R jβd R3e + () ή πιδή R η η R3 () η + η R jβd e δηλαδή jβd e από την οποία προκύπτι ότι β d nπ ( n ) (3) Συνπώς το ζητούµνο πάχος της πλάκας d (για n ) δίνται από την 664

ΚΕΦΑΛΑΙΟ n d π n λ ( n 3 ) (4) β όπου λ ίναι το µήκος κύµατος µέσα στη διηλκτρική πλάκα. Για τη δοίσα συχνότητα f GHz τη σχτική διηλκτρική σταρά 56 του υλικού της πλάκας το µήκος κύµατος λ ίναι v c 3 λ 875 m (5) 56 9 f f µ f β) Το µήκος κύµατος στην πλάκα για f 5 GHz ίναι 3 λ 375 cm 4 9375 cm 4d 9 5 56 (6) Συνπώς π π λ βd d π λ λ 4 (7) Επίσης οι συντλστές ανάκλασης R R 3 έχουν τιµή που δίνται από την R η η η η ( η/ η) 56 R 3 η + η η + η + ( η / η ) + + 56 3 (8) Λόγω των (7) (8) η ζητούµνη τιµή του µέτρου R για f 5 GHz σύµφωνα µ τη σχέση () της προηγούµνης άσκησης ίναι R jβd jπ R + R3e 3 + 3e 3 3 j βd jπ + R R e + ( 3)( 3) e ( 3)( 3) f 5GHz 3 ή Παρόµοια για f 5 GHz έχουµ R λ R 438 f (9) 5GHz 3 4 4 5 cm 9375 cm 9 5 56 3 3 d () π π 3 β d d λ 3π () λ λ 4 j 3π 3 + 3e 3 3 j π + ( 3)( 3) e ( 3)( 3) f 5GHz 3 665

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ή R 438 () f Είναι ύκολο να παρατηρήσι κανίς ότι η τιµή αυτή (όπως της (9)) ίναι η µέγιστη τιµή του µέτρου R στο διάστηµα 5GHz f 5GHz.. Ένα κατά y γραµµικά πολωµένο οµοιόµορφο πίπδο κύµα ( H ) συχνότητας f MHz διαδίδται στον αέρα κατά τη διύυνση του τικού ηµιάξονα x προσπίπτι κάτα σ µια τέλια αγώγιµη πιφάνια στη έση x (σχήµα -7). Αν το πλάτος της ηλκτρικής πδιακής έντασης του προσπίπτοντος κύµατος ίναι 6 mv/m ζητούνται να βρούν οι µιγαδικές στιγµιαίς κφράσις α) των ντάσων προσπίπτοντος κύµατος β) των ντάσων H του H του ανακλώµνου κύµατος (γ) των τλικών ντάσων H στον αέρα. Επίσης να βρί η πλησιέστρη στο αγώγιµο πίπδο x έση όπου η ένταση ίναι µηδνική. y τέλιος αγωγός H n x Σχήµα -7 Οι µιγαδικές κφράσις H των ντάσων του πδίου ίναι της µορφής x e β y V/m () ( ) j x 666

ΚΕΦΑΛΑΙΟ H x e β z A/m () ( ) j x η α) Επιδή για τη δοίσα συχνότητα f MHz η κυκλική συχνότητα ω η φασική σταρά β η χαρακτηριστική αντίσταση η του µέσου (αέρας) ίναι αντίστοιχα οι () () γράφονται: β 8 f ad/s (3) ω π π 8 k 8 ω π π ad/m (4) c 3 3 µ Ω (5) η η π 6 y V/m (6) 3 j πx/3 ( ) x e Οι αντίστοιχς στιγµιαίς κφράσις ίναι 4 j πx/3 H ( ) x e z A/m (7) π jω 3 8 πx ( x ) Re{ e } 6 cos π 3 y V/m (8) 4 8 H jω πx ( x ) Re{ H e } cos π π 3 z A/m (9) β) Επιδή το µέσο ίναι τέλιος αγωγός τόσο το ηλκτρικό όσο το µαγνητικό πδίο µέσα σ αυτό έχουν παντού µηδνική τιµή ( H ) δηλαδή στο µέσο ( x > ) δν έχουµ διάδοση. Η ένταση του ανακλώµνου στην πιφάνια x κύ- µατος πιδή αυτό διαδίδται κατά τα αρνητικά x έχι έκφραση της µορφής x e β y () j x ( ) Το συνολικό συνπώς πδίο στο µέσο που προκύπτι από την υπέρση των λόγω των () () δίνται από την x V/m () jβx jβx ( x) ( x) + ( x) ( e + e ) Από τη συνήκη συνέχιας των φαπτοµνικών συνιστωσών στη διαχωριστική πιφάνια x λόγω της () της ανυπαρξίας πδίου στο µέσο (τέλιος αγωγός) έχουµ 667

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ δηλαδή ( ) ( + ) y ( ) οπότ η () γράφται () x e β y (3) j x ( ) Μ αντικατάσταση της () που κφράζι ότι ο συντλστής ανάκλασης έχι αρνητική µοναδιαία τιµή R (4) στην () προκύπτι η ζητούµνη µιγαδική έκφραση της συνολικής έντασης στο µέσο από την Η µαγνητική πδιακή ένταση ή λόγω της () x j snβ xy (5) ( ) του ανακλώµνου κύµατος λόγω της () δίνται j x H ( ) ( ) ( ) ( ) x n x x x e β z η η η (6) H z (7) ( ) j x x e β η Συνδυάζοντας τις () (5) έχουµ τη συνολική µαγνητική πδιακή ένταση στο µέσο H x H x + H x cosβ xz (8) ( ) ( ) ( ) η β) Από την αντικατάσταση των (3) (4) (5) στις (3) κα (7) προκύπτουν οι ζητούµνς µιγαδικές κφράσις των ντάσων 3 j x/3 ( ) x e π H του ανακλώµνου κύµατος 6 y V/m (9) 4 j x/3 H ( ) x e π z A/m () π Οι αντίστοιχς κφράσις των στιγµιαίων τιµών ίναι 668

ΚΕΦΑΛΑΙΟ jω 3 8 πx ( x ) Re{ e } 6 cos π + 3 y V/m () 4 8 H jω πx ( x ) Re{ H e } cos π + π 3 z A/m () γ) Παρόµοια από τις (5) (8) έχουµ τις κφράσις των συνολικών ντάσων 3 πx ( ) x j sn 3 y V/m (3) 4 πx ( ) x cos z H π 3 A/m (4) jω 3 πx 8 ( x ) Re{ e } sn sn( π ) 3 V/m (5) 4 H jω πx 8 ( x ) Re{ H e } cos cos( π ) π 3 A/m (6) δ) Ο πρώτος µηδνισµός της έντασης του ηλκτρικού πδίου (πέραν της έσης x της πιφάνιας του αγώγιµου µέσου) παρατηρίται σ απόσταση από την πιφάνια x 3/m. Προφανώς στο ξταζόµνο πρόβληµα το συνιστάµνο κύµα ίναι ένα στάσιµο κύ- µα του οποίου η µέση µταφρόµνη ισχύς ίναι µηδνική (φασική απόκλιση διανυσµάτων H ίση µ π /). Στο κύµα αυτό η ηλκτρική πδιακή ένταση µηδνίζται στην αγώγιµη πιφάνια σ όλα τα σηµία (κόµβοι) που απέχουν από αυτήν αποστάσις που ίναι πολλαπλάσια του λ /. Στα σηµία αυτά η µαγνητική πδιακή ένταση έχι µέγιστο πλάτος. Η ηλκτρική πδιακή ένταση έχι µέγιστο πλάτος (που ίναι διπλάσιο του πλάτους του προσπίπτοντος κύµατος) σ αποστάσις από τη διαχωριστική πιφάνια που ίναι πριττά πολλαπλάσια του ττάρτου µήκους κύµατος (κοιλίς). Στα σηµία αυτά έχουµ παρατηρίται µηδνισµός της µαγνητικής πδιακής έντασης. 669

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ.7 Ασκήσις / Να αποδιχτί ότι στην πρίπτωση όπου το διάνυσµα της ηλκτρικής πδιακής έντασης ίναι κάτο στο πίπδο της πρόσπτωσης οι τύποι του Fesnel µπορούν για µη µαγνητικά µέσα ( µ µ µ ) να γραφούν µ τη µορφή cos sn sn( + ) sn( ) sn( + ) Να αποδιχτί ακόµη ότι όταν το βρίσκται στο πίπδο στης πρόσπτωσης ισχύι η σχέση R an( ) an( + ) / Επίπδο ηλκτροµαγνητικό κύµα διαδίδται σ ένα οµοιόµορφο µέσο () µ µαγνητική διαπρατότητα µ διηλκτρική σταρά. Οι συνιστώσς της µαγνητικής πδιακής έντασης του πίπδου κύµατος δίνονται από τις σχέσις x cosa + ysna H x H y Hz Hf c όπου c / µ a σταρά f τυχούσα συνάρτηση. Αν υποτί ότι το κύµα αυτό προσπίπτι στην πίπδη διαχωριστική πιφάνια του µέσου () νός οµοιόµορφου µέσου () µαγνητικής διαπρατότητας µ διηλκτρικής σταράς να βρί το ανακλώµνο το διαλώµνο πδίο. /3 Οι τιµές της σχτικής µαγνητικής διαπρατότητας µ της σχτικής διηλκτρικής σταράς του αποσταγµένου νρού ίναι πρίπου µ 8 αντίστοιχα. Να υπολογιστί η κρίσιµη γωνία c κατά την πρόσπτωση πίπδου κύµατος από το νρό προς 67

ΚΕΦΑΛΑΙΟ την λύρη πίπδη πιφάνιά του. Αν το διάνυσµα του προσπίπτοντος κύµατος έχι µέτρο V/m ίναι κάτο στο πίπδο της πρόσπτωσης η γωνία πρόσπτωσης ίναι ίση προς 45 να βρί η τιµή της έντασης του πδίου στον αέρα: (α) πάνω στην λύρη διαχωριστική πιφάνια (β) σ απόσταση λ /4 από τη διαχωριστική πιφάνια. /4 Η πρόσπτωση του πίπδου κύµατος του σχήµατος -8 γίνται από το µέσο () που ίναι ο αέρας προς το µέσο () που έχι σχτική µαγνητική διαπρατότητα µ σχτική διηλκτρική σταρά 3 4 µηδνική ιδική αγωγιµότητα ( σ ). Αν το διάνυσµα της ηλκτρικής πδιακής έντασης δίνται από τη σχέση j z e β x V/m µ µ προσπίπτον κύµα διαλώµνο κύµα H H ανακλώµνο κύµα H x y z Σχήµα -5 όπου β ίναι η φασική σταρά του µέσου () ζητίται να υπολογιστούν: (α) Οι χαρακτηριστικές αντιστάσις η η των µέσων () () αντίστοιχα. (β) Ο λόγος κ λ/ λ όπου λ λ ίναι τα µήκη κύµατος στα µέσα () () α- ντίστοιχα. 67

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ (γ) Οι συντλστές ανάκλασης διάλασης. (δ) Οι µέσς χρονικές τιµές της ανά µονάδα πιφανίας ισχύος του προσπίπτοντος ανακλώµνου διαλώµνου κύµατος. /5 Σ µρικές πριπτώσις οι συντλστές ανάκλασης R διάδοσης T στην πρίπτωση παράλληλης πόλωσης ορίζονται ως οι λόγοι των πλατών των φαπτοµνικών στη διαχωριστική πιφάνια συνιστωσών της ηλκτρικής πδιακής έντασης του ανακλώµνου διαλώµνου πδίου αντίστοιχα προς το πλάτος της φαπτοµνικής συνιστώσας της ηλκτρικής πδιακής έντασης του προσπίπτοντος κύµατος. Αν R T ίναι οι συντλστές ανάκλασης διάδοσης που ορίζονται αντίστοιχα µ αυτόν τον τρόπο ζητούνται: (α) Να βρούν οι κφράσις των R T συναρτήσι των η η να γίνι σύγκριση µταξύ των R T R T. (β) Να βρί η σχέση που συνδέι τους συντλστές R T τις γωνίς. /6 Οι συνιστώσς της µαγνητικής έντασης H νός ηλκτροµαγνητικού πδίου που κτίνται στον άπιρο κνό χώρο δίνονται από τις σχέσις H x + () kx kx Hy Ae Be H z όπου A B τικοί αριµοί k κααρός φανταστικός αριµός. Αν η ηλκτρική πδιακή ένταση δν έχι συνχή συνιστώσα ζητούνται: (α) Αφού υπολογιστί η τιµή της σταράς k να βρούν οι σχέσις που δίνουν τις τρις συνιστώσς x z της ηλκτρικής πδιακής έντασης. Να παρατηρήστ ότι η µοναδική µη µηδνική συνιστώσα ίναι η y z. 67

ΚΕΦΑΛΑΙΟ (β) Να βρί η µταξύ των A B σχέση ώστ η H y να ίναι πραγµατική ποσότητα για την πρίπτωση αυτή να προσδιοριστί η σχτική έση µταξύ των στρφόµνων διανυσµάτων (γ) H y νός δοσµένου σηµίου ( x x) στο µιγαδικό πίπδο. z Μ βάση τις πιο πάνω σχέσις να προσδιοριστούν οι στιγµιαίς κφράσις των µγών H να διαπιστωί η µορφή του υφιστάµνου κύµατος. /7 Ένα αριστρόστροφα (τικά) κυκλικά πολωµένο πίπδο κύµα ( ) x e ˆe y jk e + jˆ (όπου σταρά νώ ο συµβολισµός ^ υποδηλώνι µοναδιαίο διάνυσµα) προσπίπτι υπό γωνία 45 στην πίπδη πιφάνια νός τέλια αγώγιµου µέσου (σχήµα -9). y k k x y y x z Σχήµα -9 (α) Να βρί η πόλωση του ανακλώµνου κύµατος (β) Να βρί το ηλκτρικό φορτίο που πάγται στη διαχωριστική πιφάνια (γ) Ποια α ήταν η πόλωση του ανακλώµνου διαλώµνου κύµατος άν το δύτρο µέσο ήταν τέλιο διηλκτρικό; 673

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ 8 /8 Επίπδο οµοιόµορφο κύµα συχνότητας f 3 /( π) που έχι διάνυσµα ηλκτρικής πδιακής έντασης παράλληλο προς το πίπδο της πρόσπτωσης προσπίπτι από τον αέρα στη διαχωριστική πιφάνια υλικού διηλκτρικής σταράς 4 (σχήµα - ) µ τέτοιον τρόπο ώστ να µην υπάρχι ανάκλαση. y ( µ ) ( µ ) z x H Σχήµα - Ζητούνται: (α) Η διύυνση διάδοσης στο δύτρο µέσο. (β) Για διάνυσµα ηλκτρικής πδιακής έντασης µοναδιαίου µέτρου να βρούν οι κφράσις των διανυσµατικών µγών H καώς πίσης η µέση µταφρόµνη πιφανιακή πυκνότητα ισχύος (W/m ) πριν µτά την πρόσπτωση. j z /9 Ένα πίπδο οµοιόµορφο κύµα e β y όπου γνωστή σταρά διαδίδται στον αέρα µ συχνότητα f GHz. Στη έση z ισέρχται σ υλικό διηλκτρικής σταράς 4 µαγνητικής διαπρατότητας µ 4µ ιδικής αγωγιµότητας σ 5 S/m απ όπου ξέρχται από τη έση z 5 mm. Η µιγαδική παράστασή του µέσα στο υλικό µτά την έξοδο του από αυτό ίναι αντίστοιχα: e y j z e β y (δίνται ότι δν υπάρχι ανάκλαση για z j β z j z z 5 mm). Το µτά την έξοδό του υπρτίται σ ένα κύµα e β x. Να βρούν: 674

ΚΕΦΑΛΑΙΟ (α) Τα χαρακτηριστικά διάδοσης ( λαβδη v ) του τόσο στον αέρα όσο στο αγώγιµο υλικό (β) Η ακριβής παράσταση του µέσα στο υλικό µτά την έξοδό του από αυτό (γ) Τα πλήρη χαρακτηριστικά της πόλωσης του του του συνιστάµνου κύµατος. p / Ένα κυκλικά πολωµένο οµοιόµορφο πίπδο κύµα στον αέρα συχνότητας f GHz προσπίπτι σ µία απέραντη λία πίπδη υδάτινη πιφάνια όπως φαίνται στο σχήµα -. Η σχτική διηλκτρική σταρά η ιδική αγωγιµότητα σ του νρού ίναι αντίστοιχα 8 σ S/m. x προσπίπτον κύµα νρό y σ ανακλώµνο κύµα 8 ( S/ m) z Σχήµα - Αν η ηλκτρική πδιακή ένταση του προσπίπτοντος κύµατος έχι την έκφραση ϕ β ( ) j j x y + e z e όπου β ίναι η φασική σταρά στον αέρα V/m ζητούνται: (α) Να υπολογισί η τιµή της φασικής απόκλισης ϕ για δξιόστροφη (ωρολογιακή) πόλωση προσπίπτοντος κύµατος. (β) Να βρί η έκφραση της ηλκτρικής µαγνητικής πδιακής έντασης του προσπίπτοντος ανακλώµνου διαδιδόµνου κύµατος οι τιµές των συντλστών ανάκλασης διάδοσης. (γ) Να προσδιορισί το ίδος της πόλωσης του ανακλώµνου διαδιδόµνου κύµατος 675

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ (δ) Να υπολογισούν τα πί τοις κατό ποσοστά των πυκνοτήτων ισχύος του ανακλώµνου διαδιδόµνου κύµατος (ως προς την πυκνότητα ισχύος του προσπίπτοντος κύµατος) / ιηλκτρική πλάκα πάχους d διαχωρίζι δύο διηλκτρικά µέσα () (3). Η µαγνητική διαπρατότητα η διηλκτρική σταρά των υλικών της πλάκας του µέσου () του µέσου (3) ίναι αντίστοιχα ( µ ) ( µ ) ( µ 3 3). Να διχί ότι ο νργός συντλστής ανάκλασης R κατά την κάτη πρόσπτωση νός πίπδου κύµατος από το µέσο () προς την πλάκα δίνται από την έκφραση ( R + R3) + j( R R3) an β d R ( + R R ) + j( R R ) anβ d 3 3 όπου R ( j 3) ίναι ο συντλστής ανάκλασης κατά την πρόσπτωση από το µέσο j () προς το µέσο (). / Οµοιόµορφο πίπδο κύµα προσπίπτι κάτα σ διηλκτρική πλάκα πάχους d λ /4 όπου λ ίναι το µήκος κύµατος στη διηλκτρική πλάκα για συχνότητα f GHz. Αριστρά της πλάκας (µέσο ) υπάρχι αέρας (µέσο ) δξιά ηµιάπιρο διηλκτρικό µέσο (µέσο 3) µ σχτική διηλκτρική σταρά 4. Το κύµα προσπίπτι 3 από τον αέρα προς την πλάκα. Ζητούνται: (α) Να υπολογισί η χαρακτηριστική σύντη αντίσταση η η σχτική διηλκτρική σταρά της πλάκας έτσι ώστ ο νργός συντλστής ανάκλασης R στη συχνότητα f GHz να ίναι µηδνικός. (β) Το µέτρο του συντλστή R για τις ακόλους τιµές της συχνότητας f : f Hz f GHz f 3 GHz 5 676

677 ΚΕΦΑΛΑΙΟ