ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΘΕΜΑ Α. Λ Λ Λ Σ - Σ - Λ ΜΟΝΑΔΕΣ Β. α) Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). ΜΟΝΑΔΕΣ β) Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Aισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ). ΜΟΝΑΔΕΣ γ) Έστω οι συναρτήσεις : A, g: B, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο ( go )( ) g( ( )) και πεδίο ορισμού A { A ( ) B}. Γ. Έστω η συνάρτηση g 3 με πεδίο ορισμού. Και έστω h 3 g g Πρέπει και g, δηλαδή και και 4 και Παρατηρούμε ότι συναληθεύουν για,,. Επομένως το πεδίο ορισμού είναι το D,, 3 4 ή και h
Δ. Αν,,, έχουμε ότι (αφού, ετερόσημοι) οπότε ( ) ( ). Άρα δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της Α Α. ΘΕΜΑ Α. α) Είναι, ln D. Έστω λοιπόν, D ln () τότε με τότε (ln γν. αύξουσα) () Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () προκύππτει ότι ( ) ( ) η είναι γνησίως αύξουσα β) Παρατηρούμε ότι και επειδή η γν. αύξουσα και επειδή η γν. αύξουσα Οπότε η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα ' όταν Η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα ' όταν Ενώ ταυτίζονται στο =. γ) ln ln ln ln. Οπότε ( ) ( ) και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε, Β. ln ln 5 ln ln 5 Θεωρούμε την συνάρτηση ln ln 5 στο,. Είναι D,. Έστω λοιπόν, D με τότε (ln γν. αύξουσα) ln ln ()
ln 5 ln 5 () Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () προκύππτει ότι ( ) ( ) η είναι γνησίως αύξουσα οπότε είναι και. Παρατηρούμε ότι 4 ln ln 5 ln ln ln 5 οπότε η = είναι ρίζα της εξίσωσης αλλά η είναι οπότε η ρίζα = είναι μοναδική. Γ. () Αν στην σχέση () θέσουμε = τότε Αν στην σχέση () θέσουμε = π τότε Οπότε η δεν είναι συνάρτηση. ΘΕΜΑ 3 Α. α) Έστω δύο τουλάχιστον ρίζες της στο διάστημα Δ. Τότε () Αν υποθέσουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε: Άτοπο Αν υποθέσουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ τότε: Άτοπο Άρα η δεν είναι γνησίως μονότονη στο Δ.
β) Παρατηρούμε ότι οπότε η = είναι ρίζα της εξίσωσης και οπότε η = είναι ρίζα της εξίσωσης. Δηλαδή η έχει δύο ρίζες στο,. σύμφωνα με το υποερώτημα α) η δεν είναι γνησίως μονότονη στο, οπότε ΜΟΝΑΔΕΣ 3 Β. Δίνεται η συνάρτηση ln α) Είναι, 3 3 D. Έστω λοιπόν, D οπότε (ln γν. αύξουσα) με τότε ln 3 3 ln () 3 3 τότε () Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () προκύππτει ότι ( ) ( ) η είναι γνησίως αύξουσα β) 3 3 3 ln 6 3ln3 3 ln 6 3 ( ) (3 ) αλλά η είναι 3 = ή =. 6 ln 3 ln 3 οπότε Γ. α) Για κάθε,, με, ισχύει τότε άτοπο αφού σύνολο τιμων της είναι το Αν,. Αν τότε,. Οπότε αν άτοπο αφού σύνολο τιμων της είναι το ισχύει η είναι.
β) Έστω ότι τότε για = η Άτοπο γίνεται γ) Έστω ότι τότε για = η Άτοπο διότι για για = η γίνεται. δ) 4 επειδή η είναι 4 4 Αδύνατη γίνεται ΘΕΜΑ 4 Α. Έστω η συνάρτηση : α) διότι για την οποία ισχύει για κάθε. και για κάθε. β) Για = η γίνεται οπότε. 3 γ) Είναι D. Έστω λοιπόν, D με τότε ( γν. αύξουσα) 3 3 οπότε οπότε 3 3 άγνωστο το ). Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα ( ) ( ) αφού ( Δ < αν το θεωρήσουμε τριώνυμο με
δ) ln ln ln οπότε οπότε ( γν. φθίνουσα). Β. Έστω οι μη σταθερές συναρτήσεις, g: για τις οποίες ισχύουν y g y yg και g y g g y g yg y,. για κάθε α) Για = y = έχουμε g και g g g () και g g () Από την () Η τιμή ή g. g απορρίπτεται γιατί τότε η () θα γινόταν 4. β) Για η () γίνεται g g g ή g. Άν g για y = - οι αρχικές σχέσεις γίνονται g g και g gg δηλαδή g g και gg άμα τις διαιρέσουμε κατά μέλη έχουμε g οπότε και σταθερές συναρτήσεις. g g g άτοπο αφού οι, g δεν είναι