x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò µº λ¹ ÂÓ Ò Å ÖØ Ý ÄÁËÈ ½ ¼º ý ¹ Ë Ñ ÅÄ Å Ö Ò À Ðк λ¹ ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ º ý ½

º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ º ý ½ ¼ Ö Ô Ö ÙØ ÓÒµº ½ ¼ º λ¹ º ½ ¼ Ö ØÓÔ Ö ËØÖ Ý È Ø Ö Âº Ä Ò Ò λ¹ ¹ º λ¹ º λ¹ ÓÑ Ò Ø ÓÖݵ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù ¹ Ñ ÒØ µº ÙÖ λ¹ ¹ º º ý λ¹ ÙÖÖ ÙÖ ¼ º λ¹ º ¾º½ λ¹ º F A FAº º ô x E[x] x xµº λx. E[x] x E[x] v E[v]º x E[x]º ý λx. E[x] º ¹ º λx. x 2 3x +2 ¾¼

µ x x 2 3x +2º ý 8 ½ (λx. x 2 3x +2)8 = 8 2 3 8+2 = 42 8 x º À λx. E[x] x E[x]º º λx. x 2 3y +2 x y º º (λx. x 2 3y +2)(4x +1) x x 2 µ x 4xµ º º ¹ π π sin x +cosy cos x sin y dx x x º ý y y º λ¹ ¹ º ø ¹ (λx. E[x]) A A x E[x]º ¹ º µ x 42 π π sin 42 + cos y cos 42 sin y d42 ½ ý ¹ º ý f a f(a) λ¹ º ¾½

x A A º y 3x +1º x º º 4 3x +1 13º µ y π π sin x +cos(3x +1) cos x sin(3x +1) dx x º 3x +1 13 x π πº º ¾º¾ λ¹ Λ ¹ ¾º½ ô V º Λ λ¹ x V x Λ M,N Λ (M N) Λ x V,M Λ (λx. M) Λ Λ λ¹ λ¹ø ÖÑ µ λ¹ λ¹ ÜÔÖ ÓÒ µº ý ¾º½ λ¹ ½º Ú Ö Ð µ V º ¾º ÔÔÐ Ø ÓÒ µ (M N) M N λ¹ º º ý ØÖ Ø ÓÒ µ (λx. M) x M λ¹ º x y z º ºµ M N F G P Q º ºµ λ¹ º Æ ¹ Ú Ö Λ λ¹ ¹ Ø ÖÑ ::= Ú Ö ( Ø ÖÑ Ø ÖÑ ) ( λ Ú Ö. Ø ÖÑ ) ¾¾

¾º½ λ¹ (xy) (λx. x) (λx. (λy. (xy))) (((λx. x) y)(λx. z)) ((λx. (λy. z)) (λx. x)) (λx. ((λy. y)(λz. x))) λ¹ ¾º½ λ¹ ¾º½ λ¹ º λ¹ ¾º½ ½º λx. x (λx. x) ¾º FM 1 M 2... M n (...((F M 1 ) M 2 )... M n ) º ¹ λx. M 1 M 2... M n λx. (M 1 M 2... M n ) ¾º¾ ý λ¹ ¾º½ ¹ xy λx. x λx. λy. x y ((λx. x) y)(λx. z) (λx. λy. z)(λx. x) λx. (λy. y)(λz. x) λ¹ º Λº ¾º¾ λ¹ ¾

x y x = y (M N) (P Q) M P N Q (λx. M) (λy. N) x = y M N x = y V x y µº ý M N M,N Λ ÒØ Ðµº x λx. M Ò Ò Ú Ö Ð µº ÓÔ µ λx λ¹ M xº x λx ÓÙÒ µº ý ¹ λx Ö µº º ¾º Ö Ú Ö Ð µ λ¹ M Λ ¹ FV(M) FV(x) = { x } FV(M N) = FV(M) FV(N) FV(λx. M) = FV(M) {x } ¾º ô M (λx. y x)(λy. x y) ý ¾º FV(M) = FV((λx. y x)(λy. x y)) = FV(λx. y x) FV(λy. x y) = (FV(yx) {x }) (FV(xy) {y }) = ((FV(y) FV(x)) {x }) ((FV(x) FV(y)) {y }) = (({ y } {x }) {x }) (({ x } {y }) {y }) = ({ x, y } {x }) ({ x, y } {y }) = { y } {x } = { x, y } ¾º ô λ¹ M Λ λ¹ ÐÓ λ¹ø ÖÑ ÓÑ Ò ØÓÖµ FV(M) = º λ¹ Λ 0 º ¾º λ¹ Ø Ò Ö ÓÑ Ò ØÓÖ µº I K K S λx. x λx. λy. x λx. λy. y λx. λy. λz. (xz)(yz) ¾

¾º ý λ¹ º M[x := N] M x Nº ¾º Ù Ø ØÙØ ÓÒµ x V M Λ N Λ M[x := N] x[x := N] N y[x := N] y y x (P Q)[x := N] P [x := N] Q[x := N] (λx. P )[x := N] λx. P (λy. P )[x := N] λy. P [x := N] y x (y FV(N) x FV(P )) (λy. P )[x := N] λz. P [y := z][x := N] y x y FV(N) x FV(P ) z FV(P ) FV(N) ý N º ¾º N y FV(N) x FV(P )º º ¾ ¾º z V z FV(P ) FV(N)º M[x := N] º V z z FV(P ) FV(N)º ¾º λ¹ ÓÒÚ Ö ÓÒµ α β ηº M χ N (χ) χ {α, β, η } M,N Λº M χ¹ö Ü Ö Ü N ÓÒØÖ ØÙѺ β¹ M β¹ö ܺ ¾ ¾º ÙÖÖ À Ò º ¾

λ¹ ³ ¾º½º λ¹ º λ¹ º ¾º Λ ÓÑÔ Ø Ð µ x V M,N,P Λ M N (M P) (N P) M N (P M) (P N) M N (λx. M) (λx. N) λ¹ º þ λ¹ º ¾º Ö ÙØ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒµ Λº ¾º ÓÒ ÖÙ Ò Ö Ð Ø ÓÒµ ¹ Λº ¾º º½ α¹ f(x) = 3x +1 f(y) =3y +1º ý λ¹ x λx. M º α¹ º ¾º α Λ M Λ x, y V y FV(M) λx. M α λy. M[x := y] (α) y FV(M) M º ¾º α¹ λx. x α λy. y λx. z x α λy. z y λx. λy. z x y α λy. λw. z y w ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒµ ¹ º ¾

(λy. z x y)[x := y] ¹ ¹ yº ý λx. λz. z x y α λy. λz. z y y y FV(λz. z x y)º ¾º º¾ β¹ ø ¾º½ (λx. M) N ¹ λx. M Nº ¹ x N Mº (λx. M) N M[x := N]º β¹ º ¾º½¼ β Λ M,N Λ x V (λx. M) N β M[x := N] (β) ¾º β¹ (λx. z x) w β zw (λx. λy. z x y) w β λy. z w y (λy. z y (λx. x y)) w β zw(λx. x w) (λx. λy. z x y)(wy) β λy. z (wy) y (λy. z x y)[x := wy] y y wy º β¹ (λx. λy. z x y)(wy) β λt. z (wy) t t º ¾º º η¹ º η¹ λ¹ º ô λ¹ (λx. M x) x Mº ¾º½¼ Nβ¹ MNº ý ¾

M N MNº (λx. M x) M º ¾º½½ η Λ M Λ x V x FV(M) λx. M x η M (η) ¾º η¹ λx. z x η z λy. z x y η zx λx. z x x η zx x FV(zx)º ¾º º (α) (β) (η) α β η λ¹ º M N M N º ¾º½¾ α β η º M α N M β N M η N M N M N M N M N 0 N 1 N 2... N n 1 N n N M N º M Nº ý n =1 M N º n =0 M N º ¾º½ º M N M N,N P M N M M M P ¾

º ¾º µº ø M N M Nº ø M N º ý º º M N 0 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N =º º ¾º½ = º = M N M = N M = N,N = P M = N N = M M = P = º ¾º µº ø M = N M Nº M = N ¾º¾ M Nº = ¾º½ º ¾º¾ ¾º º = º º β β = α α º ¾º λ¹ λ¹ º β¹ ³ λ¹ º α¹ º ¹ α¹ º α¹ M,N Λ M = α N º ¾

η¹ λ¹ º M N M N µ º ø M N N Ú ÐÙ Ø ÓÒµ Mº º ø M β¹η¹ º º ¾º½ ô M Λ ÒÓÖÑ Ð ÓÖѵ β¹ö Ü η¹ö ܺ ¾º½ βη¹ βη¹òóöñ Ð ÓÖѵº M β¹ β¹òóöñ Ð ÓÖѵ β¹ö Ü η¹ η¹òóöñ Ð ÓÖѵ η¹ö ܺ ¾º λx. x λf. f (λx. x f) º ý λz. (λf. λx. f z x)(λy. y) β¹ö Ü (λf. λx. f z x)(λy. y) β λx. (λy. y) zx ¾º½ α¹ º ý λ¹ λx. x º = α α¹ º º ¾º½ ý M Λ M N N Λ M = α Nº λ¹ º ³ º η¹ º ¼

¾º½ ô M Λ N Λ M N N º M ÒÓÖÑ Ð Þ Ò µº ¾º λz. (λf. λx. f z x)(λy. y) ¾º º ø λz. (λf. λx. f z x)(λy. y) β β η λz. λx. (λy. y) zx λz. λx. z x λz. z λz. (λf. λx. f z x)(λy. y) λz. zº λz. z º ¾º½¼ ô Ω (λx. x x)(λx. x x) º β¹ö Ü Ω (λx. x x)(λx. x x) β (λx. x x)(λx. x x) Ω Ω º Ω º Ω º º ¾º½½ ô M (λx.xxy)(λx.xxy) β¹ö ܺ M (λx.xxy)(λx.xxy) β (λx.xxy)(λx.xxy) y My β (λx.xxy)(λx.xxy) yy Myy β (λx.xxy)(λx.xxy) yyy Myyy β... β¹ö ܺ ý M Ö Ü º ¾º½¾ ô M =(λx. (λy. x y) z) w β¹ö Ü x yº M β (λy. w y) z β wz ½

M β (λx. x z) w β wz º º ¾º½ ô M =(λz. y)((λx. x x)(λx. x x)) Ω ¾º½¼º M β¹ö Ü z xº M β y ý Ω M β (λz. y)((λx. x x)(λx. x x)) M M β¹ö Ü º ¾º½ ô M ØÖÓÒ ÐÝ ÒÓÖÑ Ð Þ Ò µ M º ø ¾º½ º λ¹ º Ö Ü Ö ÙØ ÓÒ ØÖ Ø Ýµº º ¾º½ ¹ Ö Ü λ ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ö Ö ÙØ ÓÒ ØÖ Ø¹ ݵº ¾º ø λ¹ º M ¾

º M N 1 N 2 N 1 = α N 2 º ý ¾º º º ¾º½ ÙÖ ¹ÊÓ Öµ ô M,N 1,N 2 Λ M N 1 M N 2 º N Λ N 1 N N 2 Nº M N 1 ººººººººººººººººººººººººººººº N ººººººººººººººººººººººººººººº ¾º½ ÙÖ ¹ÊÓ Ö ÙÖ ¹ÊÓ Ö ÔÖÓÔ ÖØݵ ÓÒ Ù Ò ÔÖÓÔ ÖØݵº º ý ¾º½ º º µ º N 2 ¾º¾ ý M 1 = M 2 N M 1 N M 2 Nº ¾º M = α º ý ô M N 1 N 2 º M N 1 M N 2 N 1 = N 2 º ý ¾º¾ P N 1 P N 2 P º ø ¾º½ N 1 = α P N 2 = α P N 1 = α N 2 º λ¹ º ¾º½ =º

ø ¾º½ ¾º λ¹ º ý ¾º º º º ¾º¾ ß ÆÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒµ ý M º λ¹ ¹ º º ¾º ß Ü ÔÓ Òص (i) F Λ X Λ FX= Xº (ii) Y Λ F Λ F (Y F )=Y F º ý (i) ô W λx. F (xx) X WWº X WW (λx. F (xx)) W β F (W W) FX (ii) ô Y Λ Y λf. (λx. f (xx)) (λx. f (xx)) F Λº µ Y F (λf. (λx. f (xx)) (λx. f (xx))) F β (λx. F (xx)) (λx. F (xx)) X X = FX = Y F = F (Y F )º ¾º λ¹ º º Ç λ¹ º λ¹ º X F º

¾º º½ λ¹ true falseº ¾º½ true λx. λy. x false λx. λy. y λ¹ º not º ¾º¾¼ not λz. z false true true false µº not º ¾º (i) not true = false (ii) not false = true ý µº not true (λz. z false true) true β β true false true (λx. λy. x) false true false λ¹ cond if¹then¹elseº º ¾º¾½ cond λz. λx. λy. z x y if B then N else M cond BNM ý º ¾º N,M Λ (i) if true then N else M = N (ii) if false then N else M = M ý µº

if true then N else M cond true NM (λz. λx. λy. z x y) true NM β β true NM (λx. λy. x) NM N ¾º º¾ λ¹ µº ¹ pair º N,M º ¾º¾¾ pair λx. λy. λz. z x y N,M pair NM fst snd ¾º¾ fst λz. z true snd λz. z false N,M º ¾º N,M Λ (i) fst N,M = N (ii) snd N,M = M ý µº fst N,M (λz. z true) N,M β β β N,M true pair NMtrue (λx. λy. λz. z x y) NMtrue true NM (λx. λy. x) NM N

¾º º ô λ¹ º ÙÖ º ¾º¾ ô n N F, A Λº F n (A) Λ F 0 (A) A F n+1 (A) F (F n (A)) F n (A) F n+1 (A) F n (FA)º F n (FA) F (F n (A)) F n (F m (A)) F n+m (A)º ¾º¾ ý ÙÖ ß ÙÖ ÒÙÑ Ö Ð µ n N c n Λ c n λf. λx. f n (x) ¼ c 0 λf. λx. x ½ ¹ c 1 λf. λx. f x ¾ c 2 λf. λx. f (f x) º º º ø β¹ c 1 ¹ η¹ µº λ¹ º ¹ º ¾º¾ succ λn. λf. λx. n f (f x) A + A A exp λn. λm. λf. λx. n f (mfx) λn. λm. λf. n (mf) λn. λm. m n ¾º º º ¾º½ n, m N x, y Λ (i) c n f (c m fx)=c n+m fx (ii) (c n x) m (y) =x nm (y) (iii) ý m>0 (c n ) m (x) =c n m x ý

(i) c n f (c m fx) (λf. λx. f n (x)) f ((λf. λx. f m (x))) fx) β β β (λf. λx. f n (x)) f (f m (x)) f n (f m (x)) f n+m (x) (λf. λx. f n+m (x)) fx c n+m fx (ii) mº m =0 y = yº ô mº (c n x) m+1 (y) c n x ((c n x) m (y)) = c n x (x nm (y)) (λf. λx. f n (x)) x (x nm (y)) β x n (x nm (y)) x n+nm (y) x n(m+1) (y) (iii) mº m =1 c n x = c n xº ô m>0º (c n ) m+1 (x) c n ((c n ) m (x)) = c n (c n m x) (λf. λx. f n (x)) (c n m x) β λy. (c n m x) n (y) = λy. x nmn (y) ¾º½ µ λy. x nm+1 (y) β (λf. λx. f nm+1 (x)) x c n m+1 x ¾º n, m N (i) succ c n = c n+1 (ii) A + c n c m = c n+m (iii) A c n c m = c nm (iv) ý m>0 A exp c n c m = c n m ý (i) succ c n (λn. λf. λx. n f (f x)) (λf. λx. f n (x)) β λf. λx. (λf. λx. f n (x)) f (f x) β λf. λx. f n (fx) c n+1

(ii) A + c n c m (λn. λm. λf. λx. n f (mfx)) c n c m β λf. λx. c n f (c m fx) = λf. λx. c n+m fx ¾º½ µ η c n+m (iii) A c n c m (λn. λm. λf. n (mf)) c n c m β λf. c n (c m f) λf. (λf. λx. f n (x)) (c m f) β λf. λx. (c m f) n (x) = λf. λx. f mn (x) ¾º½ µ c nm (iv) A exp c n c m (λn. λm. m n) c n c m c m c n β (λf. λx. f m (x)) c n β λx. (c n ) m (x) = λx. c n m x ¾º½ µ η c n m ¾º º λ¹ º λ¹ ¹ º λ¹ λ¹ ¹ º º Ð ÞÝ Ú ÐÙ Ø ÓÒµ ¹ À ÐÐ Å Ö Ò º Ú ÐÙ µº ÒÓÒ Ð ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð ÓÖѺ ÒÓÒ Ð ÓÖÑ º

¹ º ³ λ¹ º º β¹ö Ü β¹ö ܺ ³ º Ð ÓÐ ¼ ³ ÐÐ Ý Ò Ñ µº ¹ (λx. λy. y)ω λy. yº Ð ÓÐ ¼ ÒØ Ö ÔÖÓ ÙÖ Üµ ÒØ Ö Ü Ò ¾ Ò ÒØ Ö ÔÖÓ ÙÖ Ò Û Ð ØÖÙ Ó Ò µº ¾ º ý µ Ð ÓÐ È Ð º ³ Ý Ú ÐÙ µ º º ý Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒµº λ¹ ³ (λx. λy. y)ω Ωº ¹ β¹ (λx. M) N β M[x := N] N º ý Λ 0 λ¹ µ º º ¼

ý ¾º½ α = α M,N Λ M α N M = α Nº ¾º¾ Θ (λx. λy. y (xxy)) (λx. λy. y (xxy)) ¹ ÌÙÖ Ò º Θ F = F (Θ F ) Yº ¾º and or xor ¹ ¾º º½ º ¾º λx. λy. λz. y (xyz) Λ ÙÖ º ¾º iszero λx. x (λy. λx. λy. y)(λx. λy. x) ÙÖ c n true n =0 false n>0º ¾º º Î ÐÑ Ò µ pred λx. λy. λz. x (λp. λq. q (py)) (λy. z)(λx. x) ÙÖ º c 0 º ¾º n¹ λ¹ º n N M 0,M 1,...,M n 1 Λ tuple c n M 0 M 1... M n 1 n¹ M 0,M 1,...,M n 1 º i N i<n prj c i i¹ n¹ º ý tuple, prj Λ prj c i M 0,M 1... M n 1 = M i ¾º λ¹ º ½