ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

- - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να γραφεί στη µορφή α+βi ο µιγαδικός 0 3 + 3i 3+ i = 3+ i + 3i. (=--i) 4. Για τις διάφορες τιµές του ν N να βρεθούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η v v παράσταση: Α= + 3 i 3 i ++. 3 i + 3i (A=, αν ν=4κ, Α=0, αν ν=4κ+ ή ν=4κ+3 και Α=-, αν ν =4κ+). 5. Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του ν N ώστε: (+i) v -(-i) v =0. (ν=4) 6. Nα βρείτε τις τιµές του λ R για τις οποίες η εικόνα του µιγαδικού +i +3i = + ανήκει στην ευθεία ψ=x. (λ=- ή λ=-4) +λi +i -3i 7. Έστω w=, C µε -i. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγµατικός, αν +i και µόνον αν, ο είναι φανταστικός. 8. Αν, C, µε = 0, να αποδεχθεί ότι ο πραγµατικός. ( + ) v w=, v N είναι + v v 9. Αν οι µιγαδικοί,, 3,., v έχουν µέτρο ρ>0, να αποδείξετε ότι: n + + +...+ = + + +...+. ρ 3 n 3 v ρ 0. ίνεται το πολυώνυµο Ρ(x)= 004 + 003 + + ++=0 και ο µιγαδικός =x+ψi 0, 0. Αν το Ρ(x) έχει ρίζα τον, να αποδειχθεί ότι ο µιγαδικός ψ w= + είναι πραγµατικός.. Να βρεθούν τα α, β, R ώστε ο µιγαδικός -i να είναι ρίζα της εξίσωσης 3 +α +β+0=0. (α=-, β=-3)

- - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) - = 0, β) + i =, γ) 7 3 =. 3. Αν = 3, C, να αποδείξετε ότι Re( )=. 4. Aν (+3) (+ 3) =, να αποδείξετε ότι + + + =. 5. α) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο κάθε φανταστικού αριθµού είναι πραγµατικός αριθµός. β) Αν, C µε = 0 και, νααποδείξετε ότι:. + - 6. Aν ισχύει (+) v =(-) v, v N, να αποδείξετε ότι ο είναι φανταστικός. R. 7. Αν για τον µιγαδικό ισχύει: =. ( + ) v = και 4, + 4 να αποδείξετε ότι 8. Αν, C, και ισχύει: + =, να αποδείξετε ότι οι µιγαδικοί w = και u= είναι φανταστικοί. 9. Αν, C, και ισχύει + = +, να αποδείξετε ότι οι αριθµοί w = και u= είναι θετικοί πραγµατικοί. 0. Αν, C, να αποδείξετε ότι - = -, αν και µόνον αν, = ή =.. Αν, C, µε 3-3 4 4 4-3 να αποδείξετε ότι: 3 + =. 4 4 - = και =,. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( +i ) 004 004+i = () δεν έχει πραγµατική ρίζα. +004i (Υπόδειξη: Έστω ρ πραγµατική ρίζα της (). Με αντικατάσταση όπου το ρ καταλήγω σε άτοπο.) 3. Αν + + - =, C, να αποδείξετε ότι ο είναι πραγµατικός.

- 3 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 4. Έστω Ρ (x), P (x), P 3 (x) πολυώνυµα δευτέρου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές. Αν P (x)+p (x)=p 3 (x) και τα πολυώνυµα Ρ (x) και P (x) δεν έχουν κοινή ρίζα, να αποδειχθεί ότι το P 3 (x) έχει µη πραγµατικές ρίζες. 5. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Α() του επιπέδου, αν ο ικανοποιεί τη σχέση -i + -3+i =3. 6. Αν w =, να βρεθούν: ( Κύκλος κέντρου Κ(3/,/) και ακτίνας ρ= ). α) ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του, αν ισχύει: -5= w-5i. β) ο µιγαδικός µε το µεγαλύτερο και το µικρότερο µέτρο και να γίνει γεωµετρική ερµηνεία του αποτελέσµατος. (α. (x-5) +(ψ+5) =8, β. 3-3i και 7-7i. ) 7. α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του µιγαδικού για τον οποίο ισχύει: -i =3 +i. β) Αν για τους µιγαδικούς και i ισχύει: µέγιστη τιµή του -. -i -i = =3, να βρεθεί η +i +i (α. x +(ψ+5/) =9/4, β. max = 3). 8. Έστω =+i, =3+3i και 3 =3+I και Α, Β, Γ οι εικόνες των,, 3 αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. β) Να αποδείξετε ότι η σχέση -3-i = είναι η εξίσωση του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Αν η εικόνα του µιγαδικού =x+ψi ανήκει στην υπερβολή x -ψ =, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w= + -Re()- κινείται στον ψ ψ. 30. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο της εικόνας του µιγαδικού, για τον οποίο ισχύει: Im (-) (-i) =0. (ψ=x-). 3. α) Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο ( C ) των εικόνων των µιγαδικών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = και Ιm() 0. β) Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του µιγαδικού κινείται στο σύνολο ( C ), τότε η εικόνα του µιγαδικού αριθµού w= + 4 κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα, το οποίο βρίσκεται στον άξονα χ χ. 3. Θεωρούµε το µιγαδικό =x+ψi και έστω 3x(-i)+ψ(+i) = 36 -λi, λ R. λ Nα αποδείξετε ότι, καθώς το λ µεταβάλλεται στο R, η εικόνα Μ(x,ψ) του

- 4 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ κινείται στο µιγαδικό επίπεδο πάνω σε µία γραµµή της οποίας να βρείτε την εξίσωση. x ψ - =. 4 9 33. Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς, w και w τέτοιους ώστε: w=-i και w = +αi,α. R Να αποδείξετε ότι καθώς το α µεταβάλλεται στο R και ισχύει: α w = w, η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο κινείται σε µία υπερβολή. (x -ψ =). 34. Αν =x+3ψi, x,ψ R και η εικόνα του w= -6, 6 στο µιγαδικό επίπεδο +6 βρίσκεται στον άξονα ψ ψ, να αποδείξετε ότι: α) Το σηµείο Κ(x,ψ) ανήκει σε έλλειψη της οποίας να βρείτε την εξίσωσή της. β) Ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας Μ του είναι κύκλος. x ψ (α. + =, β. x +ψ =36). 9 4 35. ίνεται η εξίσωση: -(+συνα)+(+συνα)=0, α R. α) Να λυθεί η εξίσωση. β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των ριζών της. γ) Αν, οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρεθεί ο α R., για τον οποίο η παράσταση - παίρνει την µέγιστη τιµή της. (α., =+συνα± iηµα, β. (x-) +ψ =). v v 36. α) Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες τω ριζών της εξίσωσης ( ) = +, 0 είναι συνευθειακά σηµεία. β) Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες τω ριζών της εξίσωσης (3) v -(+4) v =0 είναι οµοκυκλικά σηµεία. 9 α. x=-, β. x- + ψ =. 4 37. ίνεται ο µιγαδικός, για τον οποίο ισχύει: ( ) ( ) ( ) v k v k (7+i) -006i - 5+5i -0096 =0, v, k N. α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του. β) Να βρεθεί ο µιγαδικός του οποίου η εικόνα έχει την ελάχιστη απόσταση από την εικόνα του µιγαδικού w=+6i. (α. ψ=x, β. =4+4i ). 38. Nα βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του µιγαδικού, για τον οποίο ισχύει: ( ) + 6+8i -(+i) =00 0-36 και η εικόνα του βρίσκεται έξω από τον κυκλικό δίσκο που έχει κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα. v (x +ψ =4).

- 5 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 39. ίνεται το τριώνυµο Ρ(x)=x + ( ) ( ) + x+ + +,όπου, Cκαι x R. α) Να αποδείξετε ότι Ρ(x) 0 για κάθε x R. β) Για ποια τιµή του x ισχύει η ισότητα; (β. x=- + ). 40. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός και έστω f()= +i,. - α) Να βρείτε το µέτρο του αριθµού f(). β) Να αποδείξετε ότι f() =. f() + i γ) Αν = και Μ είναι η εικόνα του f() στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. δ) Αν ο αριθµός f() είναι φανταστικός, να αποδείξετε ότι η εικόνα του =x+ψi κινείται σε ευθεία από την οποία έχει εξαιρεθεί το σηµείο Α(, 0). ε) Αν ο f() είναι πραγµατικός, να αποδείξετε ότι η εικόνα του =x+ψi κινείται σε κύκλο από τον οποίο έχει εξαιρεθεί το σηµείο Α(, 0). στ) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός ς=[f()] 004 είναι πραγµατικός. 3006. (α., γ. 4x+ψ-3=0, δ. x-ψ-=0, ε. x +ψ -x+ψ=0, στ. - ). 4. ίνεται η εξίσωση ++λ=0 όπου λ>. Αν η εξίσωση έχει ρίζα έναν µιγαδικό µε µέτρο, τότε: α) Να βρείτε το λ. β) Να λύσετε την εξίσωση. γ) Αν, οι ρίζες της και ν θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι ο αριθµός v + v είναι πραγµατικός. (α. λ=4, β. =-± i 3). 4. Έστω οι µιγαδικοί για τους οποίους ισχύει: +6 =4 +.() Να αποδείξετε ότι: α) Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων M των µιγαδικών κινούνται στον κύκλο µε κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα 4. β) +3-4i 9. γ) Αν, δύο µιγαδικοί που επαληθεύουν την (), να αποδείξετε ότι ο αριθµός w= + είναι πραγµατικός. 43. ίνεται ο µιγαδικός για τον οποίο ισχύει: 004 004 (+i) (-iηµα)=(-i) (+iηµα), α R και έστω Α και Β οι εικόνες των i και i αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο. Να αποδείξετε ότι: α) +i = -i. (). β) Η εξίσωση () παριστάνει την µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. γ) Ο είναι πραγµατικός.

- 6 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ Ερωτήσεις τύπου «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ». Για κάθε µιγαδικό ο - είναι φανταστικός.. Για κάθε, C ισχύει: + = -. 3. Aν R τότε =. 4. Aν ο αριθµός είναι φανταστικός, τότε +=0. 5. Αν -=0, τότε ο είναι φανταστικός. 6. Αν =α+βi τότε =α +β. 7. Αν α+βi =0 τότε α=0 και β R. 8. Ισχύει: i 005 +i 006 +i 007 +i 008 =0. 9. Οι εικόνες των αριθµών α+βi, 0 και α-βi στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία συνευθειακά. 0. Οι εικόνες των αριθµών α+βi, 0 και α-βi στο µιγαδικό επίπεδο σχηµατίζουν ισοσκελές τρίγωνο.. Οι εικόνες των αριθµών και - είναι σηµεία συµµετρικά µε άξονα συµµετρίας τον ψ ψ.. Αν οι µιγαδικοί και w ικανοποιούν τη σχέση +w =0, τότε είναι =w=0. 3. Aν =-i 3 και w=-+i 3, τότε w+w=8. 4. Ο αριθµός (i-) 4 είναι πραγµατικός. 5. Οι αριθµοί 6i+9 και 6i-9 είναι συζυγείς µιγαδικοί. 6. Το φανταστικό µέρος του 3-4i είναι 4i. 7. Aν (-i)=+i τότε =i.

- 7 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 8. Ισχύει: +i =-i. i 9. Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των µιγαδικών και στο µιγαδικό επίπεδο και ο άξονας ψ ψ είναι µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος Μ Μ, τότε είναι. = 0. Αν Re()= -, τότε οι εικόνες των µιγαδικών στο µιγαδικό επίπεδο, βρίσκονται πάνω στην ευθεία x=-.. Aν Re()=Im(), τότε οι εικόνες των µιγαδικών βρίσκονται πάνω στην ευθεία ψ=x.. Αν η εξίσωση αx +βx+γ=0, µε α 0,α,β,γ R έχει ρίζα το +i, τότε θα έχει ρίζα και το 5. -i 3. Η εξίσωση x -x+λ=0, µπορεί να έχει ρίζες τους αριθµούς +i και -i. 4. Η εξίσωση x +x+λ=0, µπορεί να έχει ρίζες τους αριθµούς +i και -i. 5. Για κάθε µιγαδικό αριθµό ισχύει: = - 6. Στο µιγαδικό επίπεδο η εικόνα του +3i είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου =4. 7. Ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ(,0) και ακτίνα 4, έχει εξίσωση + =4. 8. Για κάθε µιγαδικό ισχύει: =. 9. Για κάθε µιγαδικό ισχύει =. 30. Αν +w =0, τότε = w. 3. Αν 4 =, 0, τότεείναι =. 3. Aν φανταστικός, τότε ισχύει: =-.

- 8 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 33. Αν πραγµατικός, τότε: =. 34. Οι εικόνες των αριθµών,, -, - είναι κορυφές τετραγώνου. 35. Αν =, τότε οι εικόνες του βρίσκονται πάω σε µία σταθερή ευθεία. 36. Ισχύει: 37. Ο µιγαδικός 3-5i 3+5i =. 4-3i 5i π π συν +iηµ 3 3 έχει µέτρο ίσο µε. 38. Αν - + + =8,τότε η εικόνα του κινείται πάνω σε µία έλλειψη. 39. Αν = w, τότε =w. 40. Ισχύει ότι: 4. Ισχύει ότι: 000 3 -i =. 3 000 +i+i +i +...+i =0. 4. Η εξίσωση ( ) - x +ψ i =ρ,ρ>0 παριστάνει τον κύκλο µε κέντρο Κ(x o, ψ ο ) και ακτίνα ρ. o ο 43. Η εξίσωση -( x +ψi ) = -( x +ψi ) παριστάνει την µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ).

- 9 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. Αν =I(5-i) τότε =: ] Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α: 3, Β :3, Γ : 3, :, Ε :5.. Αν = -i 3+i τότε το µέτρο του είναι ίσο µε: Α:, Β :, Γ :, :4, Ε :0. 3. Αν = +i, τότε το Re + ισούται µε: -i A: 0, Β:, Γ: -, :, Ε: άλλο. 4. Η ισότητα: x-+(ψ-)i=+3i ισχύει µόνον όταν (x,ψ)=: Α: (3,5), Β: (-,-6), Γ: (3,-5), : (-,5), Ε: (3,5). =, τότε η µικρότερη τιµή του θετικού ακέραιου κ είναι: Α:, Β: 3, Γ: 6, :, Ε: 5. 5. Αν ( i ) 3 κ 6. Οι εικόνες των µιγαδικών 4+5i και 5+4i στο µιγαδικό επίπεδο, έχουν άξονα συµµετρίας την ευθεία: Α: x=, B: ψ=3, Γ: ψ=x, : ψ=-x, Ε: x=0. 7. Αν το διάνυσµα θέσης του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο έχει φορέα την διχοτόµο τις δεύτερης και τέταρτης γωνίας των αξόνων, τότε ο µπορεί να είναι ο µιγαδικός: Α: - 4+4i, B: 4+4i, Γ: 4-4i, : -4-4i, E: +3i. 8. Αν η εικόνα του µιγαδικού w=(x+)+(ψ-)i,, xψ Rστο µιγαδικό επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο =x+ψi ισούται µε : Α: -+I, Β: +I, Γ: -I, : +i, E: --i.

- 0 - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 9. Αν η εικόνα του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο κινείται πάνω στην ευθεία x+3ψ-=0, τότε ο δεν µπορεί να είναι ο : Α:, Β: - i, Γ: 5-3i, : +i, Ε: i. 3 3 0. Αν =α+βi µε αβ 0και ο συζυγής του, ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή: Α: + πραγµατικός αριθµός, Β: - φανταστικός αριθµός, Γ: φανταστικός αριθµός, Ε: + πραγµατικός αριθµός. : - πραγµατικός αριθµός,. Αν =x+ψi και Re(+)=, τότε η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο είναι πάνω: Α: στον άξονα χ χ, Β: στον άξονα ψ ψ, Γ: στην ευθεία ψ=x, : στην ευθεία x=, Ε: στην ευθεία x=.. Έστω οι µιγαδικοί w=x-4+(ψ-5)i, u=x+4+(-ψ)i και =x+ψi. Aν ο µιγαδικός w+u είναι φανταστικός, τότε η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο, κινείται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση: Α: x=0, B: ψ=0, Γ: x= -, : ψ=x+, E: x=-. 3. Αν ν N, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η: Α: 4 v i =, Β: I 4v+ = -I, Γ: I 4v+ =-, : I v+4 =I v, E: I 4v+3 =-i. 4. Αν η εξίσωση +κx+λ=0, κ, λ Z έχει ρίζα τον +I, τότε ισχύει: Α: κ=6, λ=5, Β: κ=4, λ=, Γ: κ=3, λ=4, : κ=4, λ=5, Ε: κ=5, λ=4. 5. Αν =α+βi, α,β R και α -β =4, τότε η εικόνα του µιγαδικού w=+ στο µιγαδικό επίπεδο, κινείται πάνω σε: Α: ευθεία, Β: κύκλο, Γ: έλλειψη, : παραβολή, Ε: υπερβολή. 6. Αν =x+ψi ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι πάντα σωστή: Α: ( ) =, Β: = -, Γ: =, : = x + -ψ, Ε: =. 7. Αν = 3 και = 4+ 3i, τότε η µεγαλύτερη τιµή του + είναι: Α: 5, Β: 8, Γ: 9, :, Ε: 4.

- - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 8. Aν = και = 5, τότε η ελάχιστη τιµή του είναι: Α:, Β: 3, Γ: 5, : 7, Ε: 0. 9. Θεωρούµε στο µιγαδικό επίπεδο τον κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 0. Από τις παρακάτω αριθµούς έχει εικόνα πάνω στον κύκλο ο µιγαδικός: Α: + 3 i, Β: 3+ 7i, Γ:-i 8, :8+6i, Ε: +i. 0. Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού στο µιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει - = -i είναι: Α: ο άξονας ψ ψ, Β: η ευθεία ψ=x, Γ: ο άξονας χ χ, : η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (,0) και (0,), Ε: η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (0,) και (,0).. Αν οι εικόνες δυο µη µηδενικών µιγαδικών και στο µιγαδικό επίπεδο είναι στο ίδιο τεταρτηµόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις µπορεί να ισχύει: Α: =-, B: =, Γ: : = -, : Im( )+Im( )=0, E: άλλο....