PEMIETANIE Proce vialiácie útvarov U trojromerného prietor v dvojromernej rovine ( výkre, monitor počítača, tlačiareň ) a íka potpnoťo operácií. K obraovani útvarov vyžívame premietanie tredové rovnobežné Najdôležitejším prvkom premietania je priemetňa - rovina, do ktorej premietame ( v špeciálnych prípadoch priemetňo môže byť valcová rep. gľová plocha) Pri tredovom premietaní je dôležitý tred premietania S : bod, ktorého premietame do priemetne a tred S neleží v priemetni S V rovnobežnom premietaní úloh tred S preberá onova priamok {}: priamka je rônobežná priemetňo
ovnobežné premietanie Syntetický prítp Nech je rovina prietor E a {} je onova priamok rônobežná rovino. Zobraenie f : E (, ), ktoré bod E priradí prieečník priamky { } rovino : =, naývame rovnobežné premietanie v mere priamky do roviny. a a Priamk naývame premietacia priamka bod. Prieečník premietacej priamky bod priemetňo naývame rovnobežný priemet bod Množin rovnobežných priemetov všetkých bodov geometrického útvar U naývame rovnobežný priemet U a útvaru Množin bodov premietacích priamok všetkých bodov útvar U naývame premietacím útvarom daného útvar Hranic rovnobežného priemet objekt U naývame obry priemet objekt ( danlivý obry ) Prienik objekt U a hranice premietacieho útvar objekt U naývame obry objekt U ( ktočný obry ) Odchýlk priamky a priemetne onačíme ϕ =, a naývame hol premietania ϕ Ak hol ϕ je otrý hovoríme o šikmom ( koohlom) premietaní ak hol ϕ je pravý, tak hovoríme o kolmom ( pravohlom ) premietaní. Šikmé premietanie (hol ϕ =6.4 ) je náme v pedagogickom procee ako metóda voľného rovnobežného premietania. Vyžíva a na obraovanie rovnobežných priemetov ákladných geometrických telie. V tejto metóde nepracjeme o úradnicovými útavami.
Analytický prítp V prietore E je afinná úradnicová útava O, e1, e2, e. Nech P, 1, 2, je nová afinná úradnicová útava, kde P, 1, 2 je úradnicová útava priemetne. Priamka je y rčená merovým vektorom (,, ), tv. mer premietania. Smer a vektor patria do tej itej onovy, ale ú opačne orientované. 2 a 2 P 1 1 e 1 e 2 e O Nech je bod prietor E teda má afinné úradnice (,, ) je prieečník premietacej priamky { } priemetňo : y. ovnobežný priemet bod a =. Vyjadríme úradnice bod a vhľadom na úradnicovú útav P, 1, 2,. Platí: a = P + 1 1 + 2 2 (1) = + = (2) a kde číla 1, 2, ú afinné úradnice bod a v úradnicovej útave P, 1, 2,. Z vyjadrení (1) a (2) íkame vektorovú rovnic : P = 1 1 + 22 + () a nenáme číla 1, 2, rčíme potpne: a vyžijeme náme rovnoti pre 1. kalárne vynáobíme rovnic () vektorom ( 2 ) miešaný účin vektorov 2 ( 2 ) = ( 2 ) = 0 : ( P) ( ) = ( ) 2 1 1 2 ( P) ( 2 ) ( P) ( 2 ) a vyčílime: 1 = = ( ) ( ) 1 2 1 2 2. kalárne vynáobíme rovnic () vektorom ( ) 2 a vyčílime : 1 ( P) ( 1) = ( ) 1 2. kalárne vynáobíme rovnic () vektorom ( ) a vyčílime 1 2 (4) (5)
( P) ( 1 2) = ( 1 2) Vyčílené hodnoty (4), (5) ú úradnice 1, 2 rovnobežného priemet a bod v útave úradníc priemetne. Hodnota vyjadrje poloh bod na premietacej priamke, ktorá a výhodne vyžíva v algoritmoch viditeľnoti / literatúra/. (6) Kolmé premietanie Smer premietania je kolmý na priemetň t.j. vektory 1, 2, ( = ) vytvárajú ortonormáln bá a vyjadrenia (4), (5), (6) pravíme: = ( P) 1 1 = ( P) (7) 2 2 = ( P) Číla 1, 2 ú úradnice kolmého priemet a bod v útave úradníc priemetne. Ďalši úprav realijeme, ak bod P ačiatok úradnicovej útavy P, 1, 2 v rovine je totožný bodom O úradnicovej útavy O, e1, e2, e. Vtedy výledkom (7) je = ( O) 1 1 = ( O) 2 2 = ( O) Onačme úradnice vektorov 1 = ( 1, y 1, 1 ), 2 = ( 2, y 2, 2 ), = (, y, ) úradnice 1, 2 kolmého priemet a bod do priemetne apíšeme y = + y + 1 1 1 1 = + y + y 2 2 2 2 = + y + y potom Smer premietania, matica rovnobežného premietania y V predchádajúcom tete me onačili mer premietania o úradnicami (,, ). Je výhodné vedieť, ako adávať jednotlivé úradnice, aby a doiahlo požadované rovnobežné premietanie, čato povedané premietanie pod hlom ϕ t.j. požadovano odchýlko premietacej priamky od priemetne. Za priemetň rovnobežného premietania i volíme jedn o úradnicových rovín útavy O, e1, e2, e. Nech je to = π = O, e1, e2 a túto priemetň totožníme nákreňo, ktoro je napr. monitor y= 2 e e 2 O= P e 1 = 1
V tomto prípade úradnicové oi O, Oy útavy O, e1, e2, e plývajú oami P 1, P 2 y priemetne. Onačili me, že mer premietania má úradnice (,, ) kde 0 ( rônobežnoť priemetňo ) a, y > 0 ( výber 1.oktant )., y,. Parametrické rovnice premietacej priamky : Bod E,, má úradnice ( ) = + t. y y t. y = + t (, ) = + t. Prieečník premietacej priamky priemetňo rčeno rovnico = 0 vyčílime: 0 = + t. teda t = a úradnice bod v priemetni : 1 = y 2 = y = 0 Zápi v homogénnych úradniciach ( onačenie bod je vynechané ): X =.. y Y =. y. Z = 0 W = a pomoco matíc: 0 0 0 0 0 0 ( X Y Z W ) = ( y 1) y 0 0 0 0 0 kde matica (4,4) a onačí ako P. 1 0 0 0 Čato a požije 0 1 0 0 = 1, potom matica P má tvar. y 0 0 0 0 0 1 V úvodnom tete me hovorili o odchýlke ϕ =,.
2 ϕ 1 ω = 1 Môžeme apíať: = cot gϕ.coω y = cot gϕ.in ω = 1, kde ω =, a 1 1 je kolmý priemet priamky do priemetne a rčje výber premietacej priamky pomedi všetkých priamok, ktoré priemetňo majú odchýlk ϕ. 1 0 0 0 Tera matica premietania P ϕ 0 1 0 0 má tvar. cot gϕ.coω cot gϕ.in ω 0 0 0 0 0 1 Pre pravohlé premietanie ϕ = 90 má matica premietania P prvky otácie úradnicovej útavy 1 0 0 0 0 1 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1 Pri obraovacích metódach ( opíané ú nekôr ) priemetňa bde mať rône polohy vhľadom na karteiánk úradnicovú útav Oy. Tieto polohy - priemetne - je výhodné popíať pomoco dvoch otáčaní. Uvažjme ákladnú poloh útav Oy a P 1 2 t.j. O = P a = 1, y = 2, =. y= 2 = P= O = 1
Každú inú poloh útavy Oy vhľadom na ákladnú poloh rčíme pomoco dvoch otočení a to: 1. -otočenie Oy o hol θ t.j. vyžijeme matic rotácie coθ inθ 0 0 inθ coθ 0 0 ( θ ) = 0 0 1 0 0 0 0 1 Výledok: O y y= 2 = = y = 1 2. -otočenie O y o hol -θ, teda rčíme matic otáčania 1 0 0 0 0 co( θ ) in( θ ) 0 = 0 in( θ ) co( θ ) 0 0 0 0 1 ( θ ) Výledok: O y 2 y 1 Výledné otočenie o ákladnej polohy Oy do polohy O y je rčené matico = (θ ) (-θ ).
Zhrntie: V ďalšom tete bdeme pracovať o obraovacími metódami rovnobežného premietania, kde íkané ponatky bdeme požívať pre konkrétn obraovaci metód napríklad takto: rčíme hly otočení θ, θ a matic = (θ ) (-θ ) adáme mer premietania napr. pomoco odchýlky ϕ a rčíme matic P ϕ výledkom potp bde matica rovnobežného premietania P do priemetne, konkrétnej obraovacej metódy, ktorú rčíme P = P ϕ Príklad: Na obrák je iltrovaná poloha útavy O y po dvoch rotáciach: (180 ) a (-90 ). 2 = = y 1 Literatúra: Macková, Zaťková: iešenie ákladných úloh dekriptívnej geometrie pomoco počítača, SVŠT Bratilava,1985 Žára, Beneš,Sochor,Felkel: Moderní počítačová grafika, Compter Pre, Brno 2004