Lineárne premietanie
|
|
- Βαριησού Σπανού
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Lineárne premietanie Meno: Jakub Imriška Dátum: Tento text vznikol krátko po odznení prednášky na túto tému na Sústredení FKS v Liptovskej Porúbke, Obsah: 1.Čo je to premietanie / projekcia? 2. Lineárne premietanie 3. Matica zobrazenia 4. Matica rotácie 5. Lineárne premietanie bodov 6. Zobrazovanie plôch 7. Smerový zdroj svetla 8. The End.
2 1.Čo je to premietanie / projekcia? Vo všeobecnosti ide o zobrazenie z priestoru väčšej dimenzie do priestoru nižšej dimenzie. Nasledovný text uvažuje projekciu z priestoru do roviny, čiže zobrazenie F r : 3 2, kde r je polohový trojdimenzionálny vektor a F r je funkcia, ktorej výstupom je dvojdimenzionálny vektor (určujúci, kam sa mi na priemetni zobrazí vektor r ). S projekciami sa stretávame bežne odmalička, príkladom sú mapy Obr. 1. Mercatorova projekcia zemského povrchu na plášť valca. Vykazuje značné skreslenie vo vyšších zemepisných šírkach. Nemá všade rovnakú mierku. Zachováva azimut medzi ľubovoľnými 2 bodmi. Obr. 2. Lambertova projekcia. Iné príklady: technické rysy (nárysňa, bokorysňa...), perspektívne zobrazenie...
3 Obr. 3. Perspektívne zobrazenie. Vpredu je oko pozorovateľa, plocha je priemetňa a zobrazený je tiež horizont.
4 2. Lineárne premietanie Lineárne premietanie sa vyznačuje tým, že funkcia F r : 3 2 je lineárna,čiže platí a, b r 1, r 2 3 : F ar 1 br 2 af r 1 bf r 2 Funkcia F r určuje zobrazovanie bodov. Ukážeme si, ako to asi vyzerá, ak má vlastnosť linearity: Obr. 4. Výsledný zelený vektor viem dostať ako vektorový súčet modrých vektorov. Obr. 5. Násobenie vektora skalárom ho príslušne predĺži.
5 Motiváciu tohto premietania dokumentuje nasledovný obrázok Obr. 6. Rovnobežné lúče zo vzdialeného zdroja svietia na objekt (ideálne taký drôtikový) a na priemetni ostáva tieň, ktorý je práve lineárnym priemetom objektu. Načo je to celé dobré? Nuž, ak okrem zobrazenia samotných bodov dorobíme aj vykresľovanie plôch, a dáme do scény smerový zdroj svetla, tak môžeme dostať nad očakávanie dobrú vizualizáciu 3D objektov za minimálnu cenu. Pritom spomínané 2 vylepšenie nestoja vôbec veľa námahy. Zopár ukážok nadovšetko.
6 Obr. 7. Kváder s vykreslenými plochami a osvetlený sprava zhora. Možno badať optický klam (kvôli chýbajúcej perspektíve), že zadné hrany sú dlhšie. Obr. 8. Aj v technickej praxi sa používa lineárne premietanie.
7 Obr. 9. Zobrazenie bodov a hrán. Stĺpik. Ak ho nerozpoznávaš, tak pozri nižšie. Obr. 10. Ten istý stĺpik so zobrazenými polygónmi.
8 Obr. 11. Parníček, na ktorý boli natiahnuté textúry. Voľne dokreslené. Obr. 12. Snaha o vtip na zaujatie publika. Tank je produkt lineáneho premietania.
9 3. Matica zobrazenia Linearita zobrazenia F r mi dáva jednoduchý návod, ako nájsť najvšeobecnejší tvar tejto funkcie. Ak totiž zobrazujem vektor r x, y, z x i y j zk, kde i, j, k sú jednotkové vektory v smery osí x, y, z, tak má platiť F r F x i y j zk xf i yf j zf k Obr. 13. Zelený vektor som dostal sčítaním modrých, ktoré sú príslušnými násobkami zobrazenia jednotkových vektorov. čo sa dá elegantne napísať pomocou maticového zápisu (vektory sú chápané ako riadky) F i F x i F y i F r x y z F j x y z F x j F y j F k F x k F y k F r x y z Z 11 Z 12 Z 12 Z 22 r Z Z 13 Z 32 Výsledkom je matica zobrazenia Z rozmeru 2x3, ktorá spapá 3-komponentný vektor a vypľuje 2-komponentný vektor a to je najvšeobecnejší predpis, ktorý spĺňa linearitu v nami uvedenom zmysle. Je zrejmé, že nie každá matica 2x3 vyhovuje našej úlohe. Napr. nulová matica je pre nás úplne nepoužiteľná. Požiadavky na maticu zobrazenia nie je celkom jednoduché sformulovať. Každopádne matica poskytujúca pre oko príjemné zobrazenie by mala
10 jednotkové vektory zobrazovať približne tak, ako na tomto obrázku (samozrejme sa to dá všelijako rotovať) Obr. 14. Takto má vyzerať priemet jednotkových vektorov i, j, k do priemetne. čo spĺňa matica (znamienka sú zvolené podľa obvyklej konvencie určovania polohy na obrazovke s počiatkom vľavo hore a kladnými poloosami doprava a nadol) Z Na obr. 8 vidíme zobrazenie pomocou matice (tzv. Cabinet projection) Z 0. 5 sin 0. 5 cos čoho špeciálnym prípadom (pre arctan 1/2 ) je vyššie uvedený prípad.
11 4. Matica rotácie Je zrejmé, že s púhym zobrazením bodov tak ako sú, sa nemôžeme uspokojiť. Určite by sme nemohli vynechať rotáciu scény, posun objektov a zoomovanie. V tejto kapitole vybavíme rotácie. Rotáciu môžem charakterizovať vo všeobecnosti osou, okolo ktorej rotujem (určená jednotkovým vektorom n) a uhlom, o ktorý točím - pričom kladný uhol značí, že ak mi prsty pravej ruky ukazujú smer točenia, tak palec ukazuje smer vektora n (pravidlo pravej ruky). Môžem to chápať aj tak, že rotáciu mi vlastne určuje jeden trojrozmerný vektor n. Avšakľubovoľný rotáciu viem určiť aj pomocou iných 3 parametrov. Veľmi výhodné je určenie pomocu Eulerových uhlov,,. Ukážeme si na príklade, že pomocou nich viem tuhé teleso natočiť do ľubovoľného smeru. Majme teleso, schematicky znázornené ako L-ko (tyčky majú smer osí z a y) - osobne si vždy predstavujem starodávny kanón, ktorému nastavujem azimut paľby, eleváciu hlavne a ktorý môžem rotovať ešte aj okolo osi hlavne (to natočenie vidím na zápalníku - u nás kratšia tyčka). Odporúčam si skúšať s perom v ruke a točiť si ho okolo osí, ktoré si na začiatku zvolím (napr. hrany stola a jeho noha)! Obr. 15. Nenatočená hlaveň. A. Rotujem teleso okolo osi z o uhol (natáčam zápalník)
12 Obr. 16. Otočím okolo dlhšej paličky o. B. Rotujem teleso okolo osi x o uhol (nastavujem eleváciu hlavne) Obr. 17. Točím okolo osi x o uhol. C. Rotujem teleso okolo osi z o uhol (nastavujem azimut dela) Obr. 18. Točím okolo osi z o uhol. Z analógie s kanónom alebo z hrania sa s perom je každému určite jasné, že takto viem docieliť ľuboľné natočenie telesa. Výhodné na Eulerových uhloch je to, že vždy točím okolo jednej z osí súradnicovej sústavy, čo oceníme v plnej miere možno až neskôr.
13 Teraz sa pozrime na všeobecnú rotáciu vektora r okolo osi určenej jednotkovým vektorom n prechádzajúcej počiatkom súradnicovej sústavy o uhol. Obr. 19. Točím vektor r o uhol okolo n. Takže, majme vektor r, ktorý idem otáčať okolo jednotkového vektora n. Vektor r si rozložím na r n r. Vektor r n r. n n je priemet vektoru r do smeru n a táto zložka r sa mi pri otáčaní nemení. Zložka r r r n r r. n n ječasť vektora r kolmá na n, ktorú vlastne idem otáčať. Zavediem si ešte jeden pomocný vektor r pom n r n r r. n n n r, ktorý má veľkosť r a je kolmý na r aj n. Potom užľahko viem určiť, že rotáciou r okolo n o uhol dostanem práve Potom ľahko nahliadnem, že r r cos r pom sin r r. n n cos n r sin r otočený r n r r. n n r r. n n cos n r sin r otočený r cos r. n 1 cos n n r čo môžem opäť zapísať pomocou matice r otočený r R n, pričom samotná rotačná matica má tvar sin R n, n x 1 cos n x cos n y 1 cos n x n z sin n z 1 cos n x n y sin n x 1 cos n y n z sin n y 1 cos n y cos n z 1 cos n y n x sin n x 1 cos n z n y sin n y 1 cos n z n x sin n z 1 cos n z cos
14 Poznámka 1: Fakt, že nám vyšla ako operátor matica, je dôsledkom linearity rotácie okolo danej osi o daný uhol. Poznámka 2: Zrejme matice R n, a R n, sú zhodné, lebo určujú rovnakú rotáciu. Zjavne je aj uhol necitlivý voči pričítaniu 2k, tak ako by sa to dalo očakávať. Poznámka 3: Je zrejmé, že ak vektor r otočím okolo n o a následne okolo toho istého n o uhol, musím dostať pôvodný vektor. Musí teda platiť r r R n, R n, R n, R n, I 3 diag 1, 1, 1 R n, R n, Poznámka 4: Vieme, že matica rotácie určuje izometriu, preto je to ortogonálna matica. Ľahko nahliadnuť, že skutočne platí R n, 1 R n, T R n, Keď už sme si pochutili na matici všeobecnej rotácie, tak teraz si ukážeme, ako jednoducho vyzerajú matice rotácie okolo súradnicových osí. Zvolím si n 1, 0, 0 a dostanem maticu rotácie okolo osi x, konkrétne R x cos sin 0 sin cos Maticu rotácie okolo osi y dostanem ak položím n 0, 1, 0 R y cos 0 sin sin 0 cos Maticu rotácie okolo osi z dostanem ak položím n 0, 0, 1 R z cos sin 0 sin cos Poznámka: Tvary týchto matíc nám ozrejmí tu priložený obrázok, ktorý sa na rotáciou okolo osi z (čiže v rovine xy) pozerá ako cez linearitu zobrazenia. Totiž rotácia vektora r r x r y r z je rotácia jeho x-ovej a y-ovej komponenty a tie viem zrotovať jednoducho. Totiž pri rotácii o uhol sa mi zrotujú takto r x x i r x x i cos x j sin r y y j r y y j cos y i sin
15 čo pre výsledný vektor dá Obr D rotácia okolo osi z. r otočený r x r y r z x cos y sin i x sin y cos j zk r otočený x y z cos sin 0 sin cos Posledná vec v tomto odseku sú rotácie okolo osí, ktoré neprechádzajú počiatkom súradnicovej sústavy. Uvážme prípad, že chceme rotovať vektor r okolo osi určenej smerom n prechádzajúcej bodom r 0 o uhol. Tak to je jednoduché, totiž si premyslieť, že platí r otočený r 0 r r 0 R n,
16 5. Lineárne premietanie bodov Uvažujme objekt zložený z bodov, ktoré sú určené polohovým vektorom r i. Objekt chceme rotovať okolo osi určenej smerom n prechádzajúcej bodom r 0 o uhol. Takto zrotovaný ho chceme zobraziť, na priemetni posunúť o vektor d a ešte celé to chceme k-násobne zoom-nuť. Výsledná zobrazovacia rovnica je (u i je výsledný vektor na priemetni) u i k r 0 r i r 0 R z R x R z Z d Poznámka k implementácii: Je výhodné umiestniť si objekt tak, aby sa dal rozumne otáčať okolo osi prechádzajúcej počiatkom súradnicovej sústavy, čo formálne zapíšem r 0 0. Potom mám rovnicu u i k r i R z R x R z Z d Potom pri implementácii, najmä ak je zobrazovaných bodov veľa, je rozumné najprv 1x spočítať maticu rotovaného zobrazenia a potom mám už iba Z R z R x R z Z u i k r i Z d
17 6. Zobrazovanie plôch Vo všeobecnosti, ak máme scénu popísanú polygónmi, ktoré sa nepretínajú, tak dobrý tip je zobraziť ich v poradí, v akom sa k nám približujú ichťažiská. Nefunguje to perfektne. Vzdialenosť od pozorovateľa vieme určiť jednoducho ak si zavedieme vektor v ku mne, ktorý po zobrazení maticou Z sa zobrazí do bodu, čiže v ku mne Z 0 napr. pre Z vychádza v ku mne c kde c jeľubovoľné nenulové kladné (aby ten vektor trčal ku mne) reálnečíslo. Potom mierou vzdialenosti bodu určeného polohovým vektorom r otočený od pozorovateľa môže byť číslo r otočený v ku mne v tom zmysle, žečím väčšiečíslo, tým bližšie ku mne. Poznámka k implementácii: Opäť je výhodné pracovať s r 0 0. Potom ak vektory chápeme ako matice, môžeme písať r otočený v ku mne r otočený v ku mne T r otočený v ku mne r R z R x R z v ku mne r otočený v ku mne r v ku mne otoč T kde v ku mne otoč T Rz R x R z v ku mne T vku mne R z R x R z T, pričom sme využili, že rotačná matica je ortogonálna (t.j. R T R 1 ) a fakt, že inverzná matica k rotačnej je rotačná okolo tej istej osi ale o rovnaký záporný uhol. Pre konvexné telesá sa dá s úspechom použiť normála plochy. Totiž podľa znamienka skalárneho súčinu normály plochy s v ku mne otoč viem zistiť, ktorou stranou je táto plocha ku mne otočená. Pre konvexné telesá je to úplne postačujúce, lebo zobrazím práve všetky plochy, na ktoré sa pozerám zvonka. Lepšie postupy na zobrazovanie plôch možno existujú, ale pravdepodobne sa to už neopláca riešiť - iné zobrazenia (aj perspektívne) sú potom jednoduchšie implementovateľné. T
18 7. Smerový zdroj svetla Uvažujme trojuholník, ktorého vrcholy sú dané vektormi a, b, c. Potom jednotková normála plochy trojuholníka (smerujúca ku mne ak vidím body A, B, C v kladnom zmysle - proti smeru pohybu ručičiek) je N c a b a c a. b a Osvetlenie tejto plochy zdrojom zo smeru daného vektorom S môžem určiť pomocou súčinu S N cos, kde uhol je uhol, ktorý zviera normála N so svetelným vektorom S. Takto boli získané tiene na obr. 7.
19 8. The End. Thank you for your attention! Jakub Imriška
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότερα2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραDostredivá sila. Ak sa častica pohybuje po zakrivenej dráhe, má dostredivé zrýchlenie a teda naň musí pôsobiť dostredivá sila
Dostredivá sila Ak sa častica pohybuje po zakrivenej dráhe, má dostredivé zrýchlenie a teda naň musí pôsobiť dostredivá sila kde r je polomer krivosti trajektórie. Keby nepôsobila dostredivá sila, častica
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότεραVýchod a západ Slnka
Východ a západ Slnka Daniel Reitzner februára 27 Je všeobecne známe, že v našich zemepisných šírkach dĺžka dňa závisí od ročného obdobia Treba však o čosi viac pozornosti na to, aby si človek všimol, že
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραPri stredovom premietaní je dôležitý stred premietania S : bod, z ktorého premietame do priemetne ε a stred S neleží v priemetni ε
PEMIETANIE Proce vialiácie útvarov U trojromerného prietor v dvojromernej rovine ( výkre, monitor počítača, tlačiareň ) a íka potpnoťo operácií. K obraovani útvarov vyžívame premietanie tredové rovnobežné
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα0. Úvod, obsah kap. 1 kap. 2 kap. 3 kap. 7-9 kap. 5 pojednanie o excentricite kap. 5 kap. 6
Vypracoval: Jakub Imriška Dátum: 9.9.008 0. Úvod, obsah Tento text vznikol na základe otázok, ktoré si autor kládol a nechcelo sa mu hľadať odpovede na ne cez vešticu Google. Všetko to začalo jedným príkladom
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Dua lne c ı sla. Bakala rska pra ca. S tudijny odbor: Matematika
UNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Dua lne c ı sla Bakala rska pra ca S tudijny odbor: Matematika Vedu ci bakala rskej pra ce: RNDr. Pavel Chalmoviansky, PhD.
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραQuaternióny Pomocný učebný text (len pre interné použitie)
Spracoval: Štefan Maďar Editor: Branislav Sobota Pomocný učebný text (len pre interné použitie) 998-0 Obsah. ÚVOD.... SÚRADNICOVÝ SYSTÉM.... SMER ROTÁCIE....3 EULEROVE UHLY.... GEOMETRICKÉ TRANSFORMÁCIE....
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραMANUÁL PRAVOUHLÉ PREMIETANIE, PREMIETACÍ KÚT 02_VP00010
MANUÁL PRAVOUHLÉ PREMIETANIE, PREMIETACÍ KÚT 02_VP00010 ZLOŽENIE UČEBNEJ POMÔCKY základňa bočné steny 2 ks sklenená matnica bočné steny 2 ks zrkadlo LED zdroj svetla fixačný element ochranné okuliare ROZSAH
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραStereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραZobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραdoc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
Διαβάστε περισσότεραRiadenie elektrizačných sústav
Riaenie elektrizačných sústav Paralelné spínanie (fázovanie a kruhovanie) Pomienky paralelného spínania 1. Rovnaký sle fáz. 2. Rovnaká veľkosť efektívnych honôt napätí. 3. Rovnaká frekvencia. 4. Rovnaký
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα3. ročník. 1. polrok šk. roka 2016/2017
Príklady z MAT 3. ročník 1. polrok šk. roka 016/017 GONIOMETRIA 1. Načrtnite grafy daných funkcií na intervale 0, : f: y= tg x, g: y = -3.cos x, h: y = sin (x + ) -1. Určte hodnoty ostatných goniometrických
Διαβάστε περισσότερα