Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [ ]. Poznámka: Keď derijeme nkci podľa premennej tak poažjeme za konštant. Derijeme nkci s jedno premenno. Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [ ]. Poznámka: Keď derijeme nkci podľa premennej tak poažjeme za konštant. Derijeme nkci s jedno premenno. Veta 1 praidlá na ýpočet deriácií Platí: 1 [ k ] k [ k ] k k je konštanta k je konštanta derijeme súčin konštant a nkcie [ ] [ ] derijeme súčet nkcií Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 1
Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 3 [ ] [ ] derijeme súčin nkcií 4 ' derijeme podiel nkcií Parciálne deriácie zloženej nkcie s jedno nútorno zložko a nútorná zložka nkcie b onkajšia zložka nkcie a b a a b a Parciálne deriácie zloženej nkcie s doma nútornými zložkami Nech zložená nkcia má jadrenie z. nkcie h sú nútorné zložk s premennými jadrje onkajši zložk nkcie s premennými. z z Deinícia parciálne deriácie drhého rád nkcie Nech pre nkci s oblasťo deinície D eistjú parciálne deriácie 1. rád. Ak na množine D M eistjú parciálne deriácie parciálnch deriácií 1. rád podľa premenných tak ich nazýame parciálne deriácie. rád. Zápis parciálnch deriácií. rád alebo
alebo alebo alebo Poznámka. Nech sú zmiešané parciálne deriácie bode [ ]. Potom platí. nkcie spojité Dotkoá roina k ra nkcie doch premenných Ronica dotkoej roin k ra nkcie : z dotkoom bode T [ z ] má jadrenie: Príklad: z z Vpočítajme ronic dotkoej roin k ra nkcie : z 5 dotkoom bode [ 1?] Riešenie: Tretia súradnica dotkoého bod nkčná hodnota: z 1 1 5 4 5 1 T [ 1 1] Parciálne deriácie prého rád nkcie : 5 5 4 Vpočítame hodnot parciálnch deriácií bode ] [ 1] 1 4 1 4 1 4 Údaje dosadíme do ronice dotkoej roin: z z z 1 4 4 1 z 1 4 8 4 4 z 4 4 11 ronica dotkoej roin [ Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 3
Teória prednáška č. 1 Poznámka. Pri ýpočte lokálnch etrémo nkcie doch premenných bdeme požíať determinant drhého stpňa preto edieme postp jeho ýpočt. Determinant drhého stpňa počítame nasledone a11 a1 D a11 a a1 a1 a a prk determinant a 11 a1 a1 a sú reálne čísla. Príklad: počítajme hodnot determinanto 4 D 4 8 4 1 8 4 36 1 1 D 3 4 5 3 5 4 15 4 D 43 6 6 3 Poznámka. Determinant môže bť kladné číslo alebo záporné číslo alebo nla. Lokálne etrém nkcie Deinícia lokálne maimm lokálne minimm Hooríme že nkcia M lokálne maimm resp. lokálne minimm ak pre každý bod [ ] z okolia bod M platí resp.. má bode [ ] Veta Nech nkcia M lokáln etrém a nech eistjú spojité parciálne deriácie 1. rád M M. Potom pre parciálne deriácie 1. rád platí M M. má bode [ ] Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 4
Obrázok lokálne maimm nkcie Obrázok lokálne minimm nkcie Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 5
Deinícia. Bod M D pre ktorý platí M M nazýame stacionárn bod nkcie. Veta o lokálnch etrémoch Nech bod M [ ] je stacionárn bod nkcie a nech má nkcia bode M spojité parciálne deriácie. rád. M M Nech determinant D >. M M Potom má nkcia bode M lokáln etrém a to: 1 lokálne minimm ak súčasne platí > lokálne maimm ak súčasne platí <. Poznámka Ak pre determinant z et platí D < tak nkcia bode M nemá etrém. Ak je hodnota determinant D neieme rozhodnúť o eistencii lokálneho etrém. Msíme šetroať nkci okolí stacionárneho bod M inými metódami. Viazané lokálne etrém Pri hľadaní lokálnch etrémo nkcie ažjeme na celej oblasti deinície D. Nieked je šak potrebné nájsť lokálne etrém na niektorej podmnožine G oblasti deinície D G D. To znamená že do podmnožin G patria tie bod [ ] z množin D ktoré spĺňajú nejakú podmienk. Táto podmienka býa zčajne jadrená ronico. Deinícia Nech z je nkcia s oblasťo deinície D nech M je množina bodo ktoré spĺňajú ronic označme G M D. Lokálne etrém nkcie na množine G nazýame iazanými lokálnmi etrémami a ronic nazýame äzba podmienka obmedzenie. Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 6
Pri hľadaní iazaných lokálnch etrémo nkcie z s äzbo môž nastať de možnosti: 1. Ronica äzb rčje jedinú nkci h. Potom môžeme nkci h dosadiť do nkcie z za premennú. Vtoríme tak nkci jednej premennej z [ h ]. Lokálne etrém nkcie nájdeme pomoco metód pre etrém nkcie jednej premennej.. Väzbo nie je rčená jediná nkcia h alebo má äzba zložitý tar. Lokálne etrém nkcie z s podmienko äzb počítame pomoco Laraneoej metód ktorú teraz edieme. Laraneoa metóda ýpočt iazaných etrémo postp: 1. toríme pomocnú Laraneo nkci λ kde číslo λ lambda récke písmeno sa nazýa Laraneo mltiplikačný činiteľ mltiplikátor a bdeme hľadať lokálne etrém Laraneoej nkcie.. Vpočítame parciálne deriácie 1. rád pre Laraneo nkci Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 7
3. Stacionárne bod a koeicient λ počítame zo sústa troch roníc 4. Vpočítame parciálne deriácie. rád pre Laraneo nkci 5. Pomoco determinant M D M M M zistíme či nkcia má alebo nemá stacionárnch bodoch lokálne etrém. Pomoco hodnot M zistíme či nkcia má etréme maimm alebo minimm. Záer: Ak nkcia äzb potom nkcia má lokáln etrém stacionárnom bode [ ] má iazaný lokáln etrém bode [ ] spĺňajúcom podmienk. Poznámka. Môže sa stať že Laraneoo metódo nenájdeme šetk lokálne etrém nkcie s podmienko äzb. Vted msíme požiť inú metód napr. pomoco kadratických oriem zistíme eistenci etrém alebo požijeme metód testoania nkčných hodnôt. Vpracoala: D. Orszáhoá Katedra matematik EM SPU Nitre 8