Matematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek

Transcript

1 Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek

2 . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln počet). Derivácie súvisia s dotčnicami a integrál s plochami, preto sa dá tiež povedat, že matematická analýza je náuka o dotčniciach a plochách. Schematick: predmet matematickej analýz derivácie dotčnice integrál ploch Čo je na tom zaujímavé? APLIKÁCIE: statika mostov, obiehanie družice okolo Zeme, obtekanie krídla lietadla vzduchom, rozpínanie plnu v 4-taktnom motore atd. atd. Väcšinou ide o časový priebeh nejakého deja a nie o krivku, ale aj časový priebeh sa dá chápat ako krivka, vid graf funkcie. Kl účovým slovom sú diferenciálne rovnice; vd aka nim vieme nielen AKO veci fungujú, ale aj PREČO tak fungujú. Príklad: otáčanie mosta Košická. V novinách písali, že priehb mosta sa zhodoval s vpočítaným priehbom s presnost ou 0,00!) D r á h a a k o f u n k c i a č a s u Auto ide po dial nici. Ako opíšeme jeho pohb? Návod znie: zaved te veličin s = dráha meraná v km) t = čas meraný v hod) a zadajte ) interval hodnôt t, ) hodnotu s pre každé t z tohto intervalu. Hodnota s pri danom t sa označuje st), takže s0) je dráha na začiatku odčítania času v čase 0), s) je dráha po hodine atd. Priradenie hodnôt s hodnotám t sa nazýva funkcia a interval hodnôt t sa nazýva definičný obor funkcie. Ďalšie názv: t je nezávisle premenná alebo argument, s je závisle premenná, s0),s),... sú hodnot funkcie v t = 0,,... Funkcia sa označuje rovnako ako jej hodnota pri nešpecifikovanej hodnote argumentu. Teda: funkcia st) = priradenie hodnôt s hodnotám t pre všetk t z definičného oboru Nieked sa funkcia definuje aj ako PREDPIS, ktorý prirad uje jedn hodnot druhým. Definičný obor je spojitý alebo diskrétn pozostávajúci z oddelených bodov); ak je diskrétn a konečný, predpisom môže bt vmenovanie hodnôt funkcie. Od funkcie sa požaduje, ab bola JEDNO- ZNAČNÁ: každému t musí prislúchat JEDNO s. Auto nemôže bt na dvoch miestach naraz!)

3 Funkciu st) znázorníme tak, že si zvolíme dvojicu osí a ) na vodorovnú os budeme vnášat hodnot t a na zvislú os hodnot st), ) pre každú dvojicu bodov na osiach zostrojíme príslušný bod rovin taký, ktorého priemetmi do osí sú dané bod). Ked bod pospájame, dostaneme graf funkcie. Na úsekoch, kde sa funkcia mení nerovnomerne, musíme bod vnášat dostatočne husto, ab sa graf funkcie menil plnule. Graf funkcie st) môže vzerat napr. takto: s MESTO B zapcha radar MESTO A t P r i e m e r n á a o k a m ž i t á r ý c h l o s t Ak auto prejde za čas t dráhu s, jeho priemerná rýchlost v danom časovom intervale je v = s t Pri nerovnomernom pohbe hodnota v závisí od časov, medzi ktorými ju určujeme. Ak označíme tieto čas t a t, platí t = t t, s = st ) st ) a v = st ) st ) t t Všimnime si, že ) pri t > 0 môže bt s < 0 a teda v < 0 auto ide naspät ), ) t môže bt aj < 0 interval sa začína v čase t a končí v čase t ). Ako zistíme okamžitú rýchlost auta? Pre praktické účel stačí zistit v v dostatočne malom intervale t, počas ktorého je pohb praktick rovnomerný zmena rýchlosti je menšie než chba merania). V ideálnej ríši matematik musíme urobit LIMITU v; to znamená, že musíme zistit hodnotu, ku ktorej sa blíži pomer s/ t, ked sa t blíži k nule. Zapisuje sa to takto: s v = lim t 0 t

4 a číta sa to "v sa rovná limite s lomeno t pre t idúce do nul". To "lim" je skratka "limes", čo znamená po latinsk "hranica"; vid Limes Romanus.) Ak sa zaujímame o v v čase t, musíme volit čas t a t tak, ab interval medzi nimi obsahoval čas t. Pri t = t, t = t + t máme st + t) st) v = lim t 0 t Čo presne znamená to " lim "? Predovšetkým si všimnime, že pre l ubovol né pevne zvolené t je t 0 zlomok za smbolom limit FUNKCIA ARGUMENTU t. Táto funkcia má nezvčajný definičný obor: t je z istého intervalu okolo nul, ALE nesmie sa rovnat nule. Nulou sa nesmie delit!) Ak máme funkciu f), ktorá nie je definovaná v = a, nemá zmsel hovorit o jej HODNOTE v bode = a; ak sa však táto funkcia správa "slušne" v okolí bodu = a, má zmsel hovorit o jej LIMITE v bode = a: lim f) = hodnota, ku ktorej sa blíži f), ak sa blíži k a a Treba dodat, že ) toto je len intuitívna definícia, ) dá sa vztiahnut aj na bod, v ktorých funkcia JE definovaná. Vieme teda, ako CHÁPAŤ limitu s/ t - ale ako ju máme POČÍTAŤ? Nieked sa to dá tak, že pomer s/ t prepíšme pomocou ekvivalentných úprav na výraz, ktorý neobsahuje t v menovateli, a POTOM doň dosadíme t = 0. Jednoduchým príkladom je lineárna funkcia s = αt + β rovnomerný pohb auta). Pre túto funkciu máme s t = t takže okamžitá rýchlost je očividne α. [αt + t) + β αt β] = α, D e r i v á c i a Výraz, ktorým sa definuje okamžitá rýchlost, sa nazýva derivácia funkcie st) a označuje sa ds dt čítaj "dé es podl a dé té"). Derivácia funkcie f) pri danej hodnote sa definuje ako df d = lim f 0 Iné označenie je f ) alebo, ak je jasné, že argument funkcie f) je, f. Všimnime si, že derivácia je TIEŽ FUNKCIA toho istého argumentu ako funkcia, z ktorej sme všli), takže aj ju môžeme derivovat. Získame tak druhú deriváciu, z nej tretiu, z nej štvrtú a tak d alej do nekonečna. Vššie derivácie sa označujú d f dt, d 3 f dt 3,... alebo f, f,... 3

5 Od štvrtej derivácie sa namiesto čiarok zvknú písat rímske čísla, takže 4 derivovaná funkcia f = f IV ) atd. Príklad:. Druhá mocnina. Pre s = t pohb auta z kopca s vpnutými motormi) máme s t = [ t + t) t ] = t + t ds t dt = t.. Prevrátená hodnota. Pre s = /t máme s t = [ t t + t ] = t tt + t) 3. Lineárna kombinácia funkcií. Pre f = αg + βh máme ds dt = t. f = α g + β h df d = α dg d + β dh d. ****************************************************************************** NASLEDUJÚCEMU PRÍKLADU NETREBA ROZUMIEŤ ****************************************************************************** 4. Most Košická. Majme tenkú pružnú tč s jednotkovou dĺžkou, ktorá je na oboch koncoch podopretá. Tvar tče je daný rovnicami IV ) = k, 0) = 0) = ) = ) = 0 kde k je konštanta závisiaca od rozmerov a materiálu tče. Pre ocel ovú tč s rozmermi "oholeného" mosta Košická tela mosta bez oblúkov) k. = 5.7. Riešením rovníc dostaneme priehb tče = k Tvar tče pri k = je znázornený na obrázku. POZOR: mierk v smere osí a sú rôzne! 0 0,5-0,0 4

6 . Funkcie a graf P o j e m f u n k c i e Obvklé označenia: nezávisle premenná =, závisle premenná =, funkcia = f) pri všeobecných úvahách je výhodné mat funkciu označenú iným písmenom než závisle premennú), definičný obor = M, obor hodnôt funkcie = N. Definícia funkcie: funkcia f) = predpis, ktorý každému M priradí JEDINÉ N matematický zápis: f : M N alebo R ) Názorná predstava: MLYNČEK. f f f Krivka znázorňujúca funkciu sa nazýva graf funkcie. Zaved me súradnicové osi a. Tým je daná rovina,), v ktorej každému bodu prislúchajú dve čísla - súradnice,), a každým dvom číslam prislúcha bod. Súradnice, ) sa nazývajú aj kartézske podl a R. Descarta). Schematick: bod súradnice,) kartézske) Bod s danými,) zostrojíme tak, že na súradnicové osi vnesieme hodnot a, vztýčime kolmice a nájdeme priesečník. dan bod pociatok 5

7 Definícia grafu: graf funkcie f) = množina bodov,f)) pre všetk M Zostrojenie grafu: ) zostavíme tabul ku s hodnotami funkcie pri hodnotách argumentu, ktoré rastú s konečným krokom to sa nazýva tabelácia funkcie), ) zostrojíme bod s týmito súradnicami, 3) bod spojíme lomenou čiarou. Graf je tým presnejší, čím je krok menší. Príklad: GRAFICKÉ RIEŠENIE ROVNICE. Korene kvadratickej rovnice a + b + c = 0 môžeme nájst tak, že zostrojíme graf funkcie = a + b + c a zistíme, kde pretína os. O p e r á c i e s f u n k c i a m i a n e p r i a m o z a d a n é f u n k c i e. Inverzná funkcia. Funkcia f) je prostá jedno-jednoznačná), ak pre každé platí f ) f ). Ak je funkcia prostá, eistuje funkcia k nej inverzná, čiže funkcia s vmenenými a, f inv ) = hodnota, pre ktorú f) = Príklad: funkcia = parabola s vrcholom v počiatku). Táto funkcia definuje DVE inverzné funkcie = ±, z ktorých jedna prislúcha pravej polovici parabol funkcii = na intervale 0) a druhá l avej polovici parabol funkcii = na intervale 0). Ak označíme premenné obvklým spôsobom, teda nezávisle premennú a závisle premennú, inverzné funkcie budú mat tvar = ±. Grafické znázornenie: Zložená funkcia. Zložením funkcií f) a g) dostaneme funkciu f zlož ) = fg)) = hodnota fu) pri u = g) matematický zápis: f zlož = f g) 6

8 Ako vidno, zložená funkcia je funkcia, do ktorej je dosadená d alšia funkcia "dvojitý mlnček"). Funkcia f) sa nazýva vonkajšia a funkcia g) vnútorná. Definičný obor zloženej funkcie je tá čast oboru vnútornej funkcie, ktorá sa zobrazí do oboru vonkajšej funkcie. Príklad: zložením = u vonkajšia funkcia) s u = vnútorná funkcia) dostaneme =. Grafické znázornenie: u 0 3. Implicitná funkcia. Implicitná funkcia je funkcia = f) daná rovnicou F,) = 0. Príklad: ELIPSA. Rovnica elips a + b = definuje implicitne dve funkcie = f ± ), jednu prislúchajúcu úseku elips nad osou a druhú prislúchajúcu úseku elips pod osou. 4. Parametrick zadaná funkcia. Parametrick zadaná funkcia je funkcia = f) daná dvomi rovnicami = Xt) a = Y t). Príklad : ELIPSA. Parametrická rovnica elips je = asin χ, = bcos χ. 7

9 Príklad : ARCHIMEDOVA ŠPIRÁLA. Zaved me polárne súradnice r, φ) súvisiace so súradnicami,) vzt ahmi = r sin φ, = r cos φ. Archimedova špirála je krivka daná rovnicou r = φ. Túto krivku tvorí nekonečne vel a úsekov nad a pod osou, ktorým prislúcha nekonečne vel a funkcií = f ), f ),... Všetk funkcie sú zadané parametrick - parametrom je uhol φ, ktorý pre n-tú funkciu nadobúda hodnot z intervalu n )π φ < nπ. E l e m e n t á r n e f u n k c i e. Mocninná funkcia. Mocninná funkcia je umocnené na l ubovol nú konštantu p, = p Vo výraze p sa veličina nazýva základ a veličina p eponent. Definícia: p = n m : p = m n ; p > 0 iracionálne: p = lim P p P, P = n m ; p < 0 : p = / p.. Goniometrické funkcie. Goniometrické funkcie sú Uhol sa zadáva v radiánoch, = sin, cos, tg, cotg rad = 360 π. Inverzné funkcie sú arcsin, arccos, arctg a arccotg. 3. Eponenciálna a logaritmická funkcia. Eponenciálna funkcia je mocnina s konštantným základom a premenným eponentom a logaritmická funkcia je funkcia k nej inverzná. Označenie: = a, log a Konštanta a musí bt kladná. Dôležitý špeciáln prípad dostaneme, ked za a vezmeme Eulerovo číslo e =.,788. Logaritmus so základom e sa nazýva prirodzený logaritmus a označuje sa ln. Z elementárnch funkcií môžeme tvorit d alšie funkcie lineárnou kombináciou, sčítaním, násobením a skladaním. O funkciách, ktoré vieme vjadrit cez elementárne funkcie, hovoríme, že sú dané analtick. Príklad: POLYNÓM, čiže lineárna kombinácia mocninných funkcií s celočíselnými eponentami, 8

10 = a n n + a n n +... }{{} n+ členov Špeciálne prípad: ) konštanta, ) lineárna funkcia: = p + q priamka, p = tg uhla medzi priamkou a osou smernica priamk, 3) kvadratická funkcia: = a + b + c parabola. Podiel dvoch polnómov sa nazýva racionálna funkcia. 3. Vlastnosti funkcií. Limita. E š t e o e l e m e n t á r n c h f u n k c i á c h Výklad o elementárnch funkciách z predchádzajúcej prednášk teraz doplníme o GRAFY týchto funkcií a VZORCE, ktoré pre ne platia.. Mocninná funkcia. Táto funkcia vzerá pre vbrané hodnot eponentu takto: 3 3 / /3 -/ Definičný obor tvoria ) všetk kladné, ) nula, ak je eponent kladný, 3) záporné, ak je eponent celý alebo zlomkový s nepárnm menovatel om. Pri záporných funkcia nie je znázornená, ale nie je problém ju doplnit ; napr. ) =, ) 3 = 3 atd. Mocninná funkcia sa správa v nule a v nekonečne takto: p > 0: 0, ak 0 /, ak p < 0:, ak 0 / 0, ak, a jej hodnot pri rôznch hodnotách eponentu súvisia takto: p > p : <, ak 0 < < / >, ak >. Pri počítaní s mocninnou funkciou vstačíme s jednoduchým pravidlom "pri násobení sa eponent sčítajú a pri umocňovaní sa násobia". Teda: 9

11 p q = p+q, p ) q = pq Platnost pravidla pre kladné celočíselné eponent je očividná z toho, že n =... }{{} n členov Ak chceme pravidlo rozšírit na zlomkové eponent, musíme ešte vediet, že funkcia n n je inverzná k funkcii n, teda n) n =. Pre súčin odmocnín odtial plnie: n m ) nm = n ) nm m ) nm = m n = n+m n m = n+m nm = n + m a podobne sa upraví súčin l ubovol ných zlomkových mocnín. Polnóm n-tého stupňa má najviac n koreňov. To platí, ak je argument polnómu reáln. Pre komplený argument je koreňov PRÁVE n.) Na obrázku je polnóm 4. stupňa s maimálnm počtom koreňov Goniometrické funkcie. Tieto funkcie sa definujú takto: φ P P P sin φ = cos φ = tg φ = cotg φ = P P P P P P 0

12 a vzerajú takto: tg 0 - cos sin 0 π/ π 3π/ π π/ π - - cotg Goniometrické funkcie sú periodické: sin a cos majú periódu π a tg a cotg majú periódu π. Sínus a kosínus niektorých význačných uhlov sú uvedené v tabul ke. tg 0 sin 0 cos π 6 3 π π π 0 "Mnemotechnická pomôcka": π 6 π 4 3 π 3 Pre sínus a kosínus platia súčtové vzorce: sinα + β) = sin αcos β + cos α sin β cosα + β) = cos αcos β sinαsin β Dôkaz vzorca č. vzerá takto:

13 cos α sin β α sin β cos β β α sin α cos β a dôkaz vzorca č. je podobný. Úloha na "spriatelenie sa" so sínusmi a kosínusmi: overte súčtové vzorce pre súčt uhlov z tabul k, ktoré sa rovnajú tiež uhlom z tabul k. 3. Eponenciálna a logaritmická funkcia. Tieto funkcie vzerajú takto: 3 ln ep Obe funkcie sa berú PRI ZÁKLADE e. Vl avo je znázornená funkcia e, ktorá sa nieked označuje aj ep "eponenta "), a vpravo je znázornená funkcia ln = log e "prirodzený logaritmus " alebo len "logaritmus "; "ln" je skratka "logaritmus naturalis"). To e-čko je pre nás zatial bulharská konštanta ale po budúcej prednáške nebude! Pre počítanie s eponenciálnou funkciou platí už známe pravidlo "pri násobení sa eponent sčítajú a pri umocňovaní sa násobia": e e = e +, e ) p = e p. Pre logaritm z toho plnie pravidlo "logaritmus mení súčin na súčet a mocninu na súčin":

14 ln) = ln + ln, ln p ) = p ln Dokazuje sa to takto: = e ln e ln = e ln+ln /ln...), p = e ln ) p = e p ln /ln...). Úloha na "spriatelenie sa" s funkciami e a ln: dokážte vzorec log a = ln ln a. P o j e m l i m i t Čo je to limita, to dá sa objasnit na známom "chtáku" s Achillom a kortnačkou. s t t t Achilles nedobehne kortnačku, lebo vžd ked prebehne úsek, ktorý ho od nej delí, kortnačka sa posunie o kúsok d alej. Tento "chták" pochádza od gréckeho filozofa Zenóna a nazýva sa Zenónova apória. Riešenie samozrejme je, že Achilles na prebehnutie každého úseku potrebuje konečný čas, ale tieto čas sú stále kratšie a kratšie, takže ked ich sčítame, dostaneme konečný výsledok. V apórii sa zamieňa reáln čas s výpočtovým!) Označme rýchlost Achilla v A, rýchlost kortnačk v k a začiatočnú vzdialenost medzi Achillom a kortnačkou l. Čas, za ktoré Achilles prebehne jednotlivé úsek, sú t = l v A, t = v kt v A, t 3 = v kt v A,... 3

15 takže celkový čas je t celk = + q + q +...)t, q = v k v A. Nech q = /, teda Achilles je rýchlejší než kornačka. Nie je to realistické, ale pekne to vjde.) Nekonečný súčet v hranatých zátvorkách je = čo sa dá znázornit takto: 4 Po nekonečne vel a krokoch dostaneme konečné číslo!) Pre celkový čas odtial plnie a to je správn výsledok. Pozrime sa teraz bližšie na súčt t celk = t = l v A v k, s n = }{{} n+ členov Čím vššie je poradové číslo súčtu, tým menej mu chýba do nekonečného súčtu, ktorý sa rovná : s n s n = n. = 0 0,3n. Napr. všetk súčt s n > 3 majú s n < 0,, všetk súčt s n > 6 majú s n < 0,0 atd. Ako vidno, ak je n väčšie než dostatočne vel ké N, potom je s n menšie než l ubovol ne malé ǫ. Čísla a, a, a 3,... zoradené v smere rastúceho poradového čísla sa nazývajú postupnost. Číslo, ku ktorému sa blížia člen postupnoti, ak poradové číslo rastie do nekonečna, sa nazýva limita postupnosti a označuje lim n a n. Z predchádzajúcich úvah plnie: lim a n = a n > dostatočne vel ké N: a n a < l ubovol ne malé ǫ n matematický zápis: ǫ > 0 N n > N : a n a < ǫ) 4

16 Príklad: "postupnost Achilla a kortnačk" s, s, s 3,... Sú to čiastočné súčt inej postupnosti, ale to teraz nie je podstatné.) Limita tejto postupnosti je, čo dokážeme tak, že vezmeme N = log ǫ zaokrúhlené nahor. Tu predpokladáme ǫ <. Hodnot ǫ nie sú zaujímavé, ale ak chceme mat N definované všade, môžeme pri nich vziat N = 0. Ak máme funkciu = f), o ktorej vieme, že má limitu v = a, môžeme túto limitu nájst metódou "Achilles naháňa kortnačku": zvolíme postupnost -ov, ktoré sa blížia k a, a zistíme, k čomu sa blíži postupnost -ov. Ak o funkcii nevieme, či má limitu alebo nie, a metóda "Achilles naháňa kortnačku" dá rovnaký výsledok pre každú postupnost -ov, znamená to, že funkcia limitu má. Je to zároveň spôsob, ako limitu funkcie DEFINOVAŤ. Iný spôsob je založený na metóde "matematik chtá leva": zmenšujeme interval -ov okolo a a pozeráme sa, či sa zároveň zmenšuje interval -ov okolo nejakého b. Ak áno, limita funkcie eistuje a rovná sa b. Teda: lim f) = b a < dostatočne malé δ: f) b < l ubovol ne malé ǫ a matematický zápis: ǫ > 0 δ a < δ : f) b < ǫ) Matematik chtá leva tak, že rozdelí púšt na štvorček a zistí, v ktorom z nich sa lev nachádza. Limita sa "chtá" podobne, lebo zistit interval -ov pri danom intervale -ov znamená nájst obdĺžnik v rovine,), ktorým prechádza graf funkcie.) Ak je funkcia definovaná v nejakom bode a jej hodnota sa rovná limite v tomto bode, hovoríme, že funkcia je v tomto bode spojitá. Funkcia je spojitá v konečnej oblasti, ak je spojitá v každom bode oblasti. Ak je funkcia daná cez iné funkcie, ktorých limit eistujú, jej limitu môžeme počítat cez limit týchto funkcií. Napr. lim a { ) f) eg)+5h = [lim f)] ep lim a [ ] g) + 5 lim h) a a Pravidlá: ) limita lineárnej kombinácie sa rovná lineárnej kombinácii limít, ) limita súčinu sa rovná súčinu limít, 3) limita zloženej funkcie sa rovná limite vonkajšej funkcie pri hodnote argumentu blížiacej sa k limite vnútornej funkcie. Zavádza sa aj limita sprava a zl ava, limita v nekonečne a nekonečná limita. Napr. f) má limitu b pri rastúcom do +, ak pri väčšom než dostatočne vel ké M je f) b menšie než l ubovol ne malé ǫ; a f) má limitu + pri blížiacom sa k a, ak pri a menšom než dostatočne malé δ je f) väčšie než l ubovol ne }. 5

17 vel ké M. Ak je limita konečná, hovoríme, že funkcia konverguje, a ak je nekonečná, hovoríme, že funkcia diverguje. P r í k l a d Vriešime si tri príklad s racionálnmi funkciami, jeden na "normálnu" limitu, druhý na nekonečnú limitu a tretí na limitu v nekonečne.. lim =? Riešenie: čit. = ) + ) men. = ) + 3) zlomok = limita = =. INÝ POSTUP: zapíšeme = + ǫ a urobíme limitu ǫ 0. Riešenie vzerá takto: zlomok = + ǫ +... ǫ = = + 3ǫ ǫ) + 3 ǫ limita =.. lim =? Riešenie: zlomok = ǫ +...) + + ǫ 3 = ǫ +... lim = ±. ±...) To " ±" znamená " sa blíži k sprava a zl ava".) + 3. lim + 3 =? Riešenie: zlomok = = +... ) +... limita =. "Tri bodk" sa dajú formalizovat tak, že zavedieme VELIČINU RÁDU ǫ n : fǫ) = Oǫ n fǫ) ) lim = KONEČNÁ konštanta = 0) ǫ 0 ǫn Riešenie príkladu potom môžeme zapísat takto: čit. = ǫ + Oǫ ) men. = ǫ + Oǫ ) zlomok = + Oǫ) + Oǫ) limita = + lim Oǫ) ǫ 0 + lim Oǫ) =. ǫ 0 6

18 4. Výpočet limít. Derivácia. D v e d ô l e ž i t é l i m i t. lim 0 sin Majme kruhový výsek s polomerom a dva pravouhlé trojuholník so stranami v jeho ramenách, jeden vpísaný a druhý opísaný. Označme uhol pri vrchole výseku a odvesn trojuholníkov ležiace oproti vrcholu výseku a, vid obrázok. Uhol je samozrejme) daný v radiánoch, takže sa rovná dĺžke oblúka a platia preň nerovnosti Pre pomer k odtial plnie < <. < <. Odvesna menšieho trojuholníka pril ahlá k vrcholu výseku má dĺžku, preto tu sme vnechali delenie ) a lim 0 = = lim 0 = tu sme vužili, že pri 0 aj 0). Teraz dokážeme pomocnú vetu alebo, ako hovoria matematici, lemu: f) < g) v okolí = a lim f) lim g). a a Dôkaz: predpokladajme, že lema NEPLATÍ, teda že prvá limita je väčšia než druhá. Limita funkcie h = f g je potom kladná, čo znamená, že v dostatočne malom intervale okolo a 7

19 sú hodnot h) l ubovol ne blízke k istému kladnému číslu. Ale to nemôžu, lebo funkcia h) je záporná všade mimo a. Ak označíme dotčné kladné číslo b a zvolíme napríklad ǫ = b/, nerovnost h) b < ǫ platí iba ak h) > 0, preto určite neeistuje také δ, že b platila pri všetkých a < δ.) Takýto argument sa nazýva dôkaz sporom. Koniec dôkazu sa zvkne označovat takto: čbtd, q.e.d. alebo Prvé znamená "čo bolo treba dokázat ", druhé "quod erat demonstrandum" a tretie... no, to je taký štvorček. Takže: Pomer k je ohraničený zdola pomerom k, ktorého limita je, a zhora jednotkou, ktorej limita je tiež. Aj konštantná funkcia je funkcia!) Podl a lem to znamená, že limita / a teda limita / =. Ak ešte vužijeme, že = sin, dostaneme "dôležitú limitu č. ": sin lim 0 = Pre úplnost dodajme, že sme od začiatku chápali ako kladné číslo, takže, striktne vzaté, sme dokázali iba to, že limita sin/ pre idúce do 0 SPRAVA je. Limitu pre idúce do 0 zl ava dopočítame najl ahšie tak, že vužijeme nepárnost sínusu. Funkcia je nepárna, ak f ) = f).) Začneme lemou: postupnost. lim + ) n n n { + n) n }, n =,,... je rastúca a zhora ohraničená. Dôkaz: rozpíšme n-tý člen postupnosti podl a binomickej vet: + ) n = + n nn ) nn )n ) + + n n n 3! = + + ) + ) ) +... n 3! n n Odtial dostaneme + ) n+ = + + n člen č. n + > + ) n n n + n = ) + ) ) + 3! n + n + rastúcost postupnosti) a + ) n < + + n + 3! +... < < 3 8

20 ohraničenost postupnosti). V poslednej nerovnosti sme vužili, že nekonečná suma / + /4 + / sa rovná, vid Achilles a kortnačka, takže každá konečná suma musí bt menšia než. A teraz d alšia lema: ak je postupnost neklesajúca a zhora ohraničená, potom má limitu. Poznámk na okraj: ) špeciálnm prípadom neklesajúcej postupnosti je rastúca postupnost líšia sa tým, že v rastúcej postupnosti musí bt nasledujúci prvok väčší než predchádzajúci, zatial čo v neklesajúcej postupnosti sa mu môže aj rovnat ), ) limita nemôže bt väčšia než horná hranica postupnosti, preto je nutne konečná. Veta sa dá dokázat "konštruktívne". Povedzme, že postupnost je ohraničená zhora číslom 3. Ak sa budeme pozerat na člen postupnosti v poradí, v ktorom za sebou nasledujú, zistíme, že číslice na jednotlivých desatinných miestach sa časom prestávajú menit. Najprv sa takto "zmrazia" jednotk - ak sú všetk člen postupnosti kladné, tak na hodnote alebo - potom desatin, potom stotin atd. Číslo zložené zo "zmrazených" číslic spĺňa definíciu limit. Bez odhadu zvšných členov nezistíme, či je číslica už "zmrazená", ak nedosiahla svoju maimálnu hodnotu: ak bol počet jednotiek tisíckrát za sebou, pri tisícprvom kroku môže skočit na. Ale pre eistenciu limit je podstatné, že každé "zmrazenie" nastane po konečnom počte krokov. Z dvoch liem, ktoré sme dokázali, plnie, že postupnost + /n) n má limitu. Túto limitu b sa patrilo nejako označit a nazvat - a tak ju matematici označili e a nazvali Eulerovo číslo alebo základ prirodzených logaritmov. Máme teda "dôležitú limitu č. ": + n) n = e DEFINÍCIA e!) lim n Program v jazku FORTRAN s použitím DOUBLE PRECISION zobrazovania čísel na 4 platných miest) dáva: n + ) n n 0, , , , , , ,7887 9

21 Presná hodnota e na 8 platných miest je,7888. R o z v o j e d o. r á d u Zaved me VELIČINU ZANEDBATEL NÚ V RÁDE ǫ n : fǫ) = oǫ n ) lim ǫ 0 fǫ) ǫ n = 0 Týmto spôsobom môžeme zapísat "tri bodk", o ktorých bola reč v predchádzajúcej prednáške člen vo výraze, ktorého limitu hl adáme, nepodstatné pre výpočet), ked nevieme, akého rádu sú. Ak nejakú funkciu argumentu zapíšeme ako polnóm n-tého rádu v plus o n ), hovoríme, že máme jej rozvoj do n-tého rádu. Ked budeme zostavovat tabul ku derivácií, budeme potrebovat rozvoje elementárnch funkcií do. rádu. Pozrime sa na ne.. + ) p = + p + o) Dôkaz: p = n: vid binomická veta; p = n m : + ) p = q n, q = + ) m : + ) p = q n = q ) + q + q q n ) = q m ) }{{} + q + q q n + ) p + q + q lim = n qm 0 m = p; p > 0 iracionálne: vid p = limita P, P = n napr. P = čísla s konečným desatinným rozvojom, m ktorý tvoria číslice z desatinného rozvoja p); p < 0: + ) p =. sin = + o), cos = + o) + ) p = + ) p [ + ) p ] + ) p + ) p lim = lim = p = p. 0 0 Dôkaz: prvý vzorec plnie okamžite z "dôležitej limit č. " a druhý dostaneme takto: cos cos lim = lim cos + cos = lim 0 Ab sme dostali tú nulu, posledný výraz musíme zapísat ako sin + cos ) = 0. sin sin + cos a vužit vetu o limite súčinu.) Úpravou použitou pri odvodení druhého vzorca l ahko získame aj prvý opravný člen v kosínuse, ktorý sa rovná /. 0

22 3. e = + + o) Dôkaz: najprv dokážeme, že "dôležitá limita č. " sa dá rozšírit z postupnosti na funkciu spojitej premennej, teda že platí lim + = e, ) kde nadobúda l ubovol né hodnot > 0. Na to stačí dokázat, že funkcia + /) je rastúca rovnako ako postupnost + /n) n. Presvedčte sa!) Vezmime najprv dve RACIONÁLNE čísla a spĺňajúce 0 < < a dajme ich na spoločného menovatel a, teda zapíšme ich ako = n m, = n m, n < n. Postupnost + m/n) n s konštantným m je rastúca, čo sa dokáže opät pomocou binomického rozvoja. Tento rozvoj sa líši od rozvoja + /n) n iba tým, že jeho člen sú vnásobené mocninami m, čo pri dôkaze nehrá rolu.) Rastúcost postupnosti + m/n) n znamená, že + m ) n < + m ) n, n n a ked túto nerovnost umocníme na /m, dostaneme + ) < + ), čiže funkcia + /) definovaná na racionálnch kladných číslach je rastúca. K tomu umocneniu: funkcia /m je inverzná k rastúcej funkcii, preto je tiež rastúca; ale to znamená, že ak a < b, potom aj a /m < b /m.) Iracionálne čísla zahrnieme do teórie rovnako v bode, teda tak, že ich budeme chápat ako limit racionálnch čísel. Nech je povedzme racionálne a iracionálne. Zvol me RASTÚCU postupnost racionálnch čísel X n blížiacu sa k v limite n, napr. postupnost spomenutú v bode, a označme hodnotu n, od ktorej začne platit X n >, N. Môže to bt aj.) Podl a tvrdenia, ktoré sme pred chvíl ou dokázali, je postupnost +/X n ) Xn rastúca a všetk jej člen začínajúc N-tým sú väčšie než + / ) ; to znamená, že aj číslo + / ), ktoré je definované ako limita tejto postupnosti, je väčšie než + / ). Ďalšie prípad sa rozoberú podobne. Tým máme dokázanú zovšeobecnenú verziu "dôležitej limit č. ". Ak označíme spojitú premennú v tejto verzii p, môžeme písat [ e = lim + p ] = lim + p p) p p tu sme vužili vetu o limite zloženej funkcie), a teda e = lim + ) n n n ) p

23 tu sme prešli od spojitej premennej p k p n = n/). Ďalej, z binomického rozvoja máme + < + ) n < + + n konečná suma) 8 a ak vužijeme geometrický rad zovšeobecnenú verziu vzorca, o ktorom bola reč pri Archimedovi a kortnačke) dostaneme + q + q n +... nekonečná suma) = q + < + ) n < + + n. pri q <, Teraz môžeme použit lemu o limite nerovnosti, pomocou ktorej sme dokázali "dôležitú limitu č. ". Z tejto lem plnie + e + +, takže 0 e. Nakoniec ešte raz použijeme lemu o limite nerovnosti ktorá samozrejme platí aj v prípade, že f) g)) a dostaneme e lim = 0. 0 A to je už naozaj všetko. Uf! Opravné člen sú rádu, iba opravný člen v sínuse je rádu 3 rovná sa 3 /6). Zo vzorcov, ktoré sme odvodili, môžeme získat aj rozvoje inverzných funkcií, napr. ln + ) u lim = lim 0 u 0 e u = ln + ) = + o). Rozvoje funkcií sa dajú vužit pri výpočte limít. Je to vlastne maskované l Hospitalovo pravidlo, o ktorom bude reč neskôr. Rozvoje sú asi najefektívnejšia metóda výpočtu limít, ale treba im "príst na chut ". D e f i n í c i a d e r i v á c i e Zopakujme si teraz definíciu derivácie z prednášk : f f ) = lim 0 ) f ) f ) = lim

24 Ked že funkcia sa dá znázornit krivkou grafom funkcie), vzniká otázka, či aj derivácia nemá nejaký geometrický význam. Má. Ak zavedieme smernicu priamk ako tangens uhla medzi priamkou a osou, platí: derivácia je smernica dotčnice ku grafu funkcie. Dôkaz je znázornený na obrázku: secnica dotcnica Slovami: majme funkciu f), ktorá nie je konštantná ani lineárna, zvol me na jej grafe dva bod,), +, + ), kde = f) a = f + ) f), a preložme týmito bodmi priamku. Ked že priamka pretína graf funkcie, môžeme ju nazvat sečnica. Smernica sečnice je k =. Predpokladajme teraz, že prvý bod je pevný a druhý sa k nemu neobmedzene blíži. Priamka, ku ktorej sa pritom blíži sečnica, je dotčnica. To môžeme považovat za jej definíciu.) Limitnej procedúre, ktorú sme opísali, zodpovedá, že sa blíži k 0. Smernica dotčnice teda je k dotčn = lim 0 = f ). 3