Grafy funkcií tangens a kotangens
|
|
- Εύανδρος Ζάχος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt argumentu. Ako vieme, funkčné hodnot pre tangens sú určené -ovou súradnicou priesečníka priamk OM a dotčnice p ku kružnici v bode J [; ]. Bod M na jednotkovej kružnici je priradený známm spôsobom reálnemu číslu. p J tg P U: Opäť nebude nutné hľadať graf na celom definičnom obore, ale iba jeho minimálnej časti. Spomínaš si, ktorá vlastnosť funkcie tangens to dovoľuje? Ž: Funkcia je periodická s najmenšou periódou. Keďže sme jej vlastnosti skúmali na intervale ;, predpokladám, že aj graf nájdeme najskôr iba na tomto intervale. U: Máš pravdu. Interval zodpovedá bodom na jednotkovej kružnici vo IV. a v I. kvadrante. Hodnot argumentu pre bod vo IV. kvadrante berieme ako záporné. Ak rozdelíme túto polkružnicu na rovnakých častí, mal b to bť dostatočný počet hodnôt pre výsledný graf. Sleduj obrázok. 75 p J
2 Ma-Go-8-T List Ž: Pre niektoré hodnot delenia nedostaneme na dotčnici bod. U: -ová súradnica bodu na dotčnici, ktorá prislúcha napríklad uhlu 75 je veľká. Presahuje možnosti nášho zobrazovania. Na druhej strane dáva informáciu o tom, že funkčné hodnot narastajú neobmedzene do nekonečna, ak sa argument blíži k hodnote. Ž: Rozumiem. Podobný problém je aj pri hodnote uhla 75. V tomto prípade je funkčná hodnota záporná. U: Máš pravdu. Nie pre všetk zvolené hodnot uhlov vieme nájsť hodnotu funkcie tangens. Tých niekoľko bodov, ktoré sme vedeli zostrojiť, spojíme. Získame tak časť grafu funkcie tangens na základnom intervale. 75 p = tg J Ž: Podobá sa na graf funkcie = 3. U: Iba podobá. Sú to rozdielne funkcie, a teda aj graf. Pre funkciu = 3 sú hodnot na grafe priradené všetkým reálnm číslam, ale pre funkciu tangens zatiaľ iba pre ;. Výsledný graf pre funkciu tangens dostaneme, ak získanú časť zopakujeme na každom intervale + k; + k pre všetk celé čísla k. Ž: Posunieme interval ; o celočíselné násobk doprava a doľava.
3 Ma-Go-8-T List 3 = tg U: Určite si si v obrázku všimol priamk vznačené čiarkovane červenou farbou. Ž: Pri niektorých iných funkciách to zvkli bť asmptot. U: Máš pravdu. Priamk vznačené čiarkovane červenou farbou sú asmptot grafu funkcie tangens a sú nutnou súčasťou grafu. Vieš, aký majú predpis? Ž: Majú predpis = k +, kde k je celé číslo, lebo funkcia tangens nie je pre tieto hodnot definovaná. Ako sa nazýva graf? U: Graf funkcie tangens nazývame tangentoida. Pomenovania grafov sú pre goniometrické funkcie odvodené od ich názvu. U: Podobným spôsobom sa môžeme dopracovať ku grafu funkcie kotangens. Pripomeň, ako na základe jednotkovej kružnice odčítame hodnotu kotangensu. Ž: Sú to -ové súradnice bodov, ktoré získame ako priesečník dotčnice ku kružnici v bode K [; ] a koncového ramena uhla, ktorý odpovedá hodnote. Q K q M cotg J U: Teraz budeme prenášať -ovú súradnicu. Interval, na ktorom nájdeme základnú časť grafu funkcie kotangens, bude ;. Delenie polkružnice ponecháme ako v prípade tangens na častí.
4 Ma-Go-8-T List 4 = cotg q 5 J Ž: Potvrdilo sa, že kotangens je na tomto intervale neohraničená funkcia a klesajúca. U: Ak zostrojíme takú istú krivku na každom intervale + k; + k, kde k je celé číslo, dostaneme výsledný graf funkcie kotangens, ktorý nazývame kotangentoida. = cotg U: Aj k tomu grafu patria asmptot, na obrázku vznačené opäť čiarkovane červenou farbou. Pokus sa určiť ich predpis. Ž: = k, kde k je celé číslo, lebo reálne čísla k nepatria do definičného oboru funkcie kotangens. U: Základné graf máme. Čo všetko sa s nimi dá v súradnicovej sústave urobiť? Ž: Dajú sa posúvať tak v smere osi, ako aj, preklápať podľa osi, môže sa zmeniť perióda. Ale to posledné potrebujem vsvetliť. U: K tomu sa postupne dostaneme. Nespomenul si, že sa hodnot na grafe môžu meniť rýchlejšie alebo pomalšie, že hodnot môžu bť iba nezáporné, ak do výrazu v predpise funkcie pridáme absolútnu hodnotu atď. Toto všetko dosiahneme vtvorením zloženej fun- kcie. Napríklad: f : = cotg + f : = cotg pozdĺž osi o doľava.. Jej graf dostaneme posunutím grafu funkcie
5 Ma-Go-8-T List 5 Ž: Nikd si nie som celkom istý, či doľava alebo doprava. U: Situáciu, ktorá nastane na grafe základnej funkcie = cotg pre =, dostaneš pre novú funkciu f vted, ak aj jej agrument bude nula. Ž: Teda + =, z čoho dostanem =. U: To čo nastalo pre graf elementárnej funkcie = cotg v bode =, nastane pre zloženú funkciu pre = [. Bod [; ] sa posunie do bodu ] [ ] ; a bod ; do bodu [; ]. Graf sa posunie doľava. = cotg = cotg U: Pokračujme vo vtváraní zloženej funkcie. Pridajme jedno znamienko mínus, vtvorme -násobok funkcie f: h : = cotg +. Ž: Hodnot funkcie sa zmenia na opačné. U: Graf funkcií f a h sú osovo súmerné podľa osi. Graf funkcie f preklopíme podľa osi. = cotg = cotg + Ž: Zaujímavé. Dostali sme tangens.
6 Ma-Go-8-T List 6 U: Pre prípustné hodnot platí: tg = cotg +. Niektoré zložené funkcie môžu vjadrovať iné jednoduchšie funkcie. K tomuto zisteniu nám zatiaľ najlepšie poslúžia graf. Ž: Potom musí platiť aj: cotg = tg +. U: Áno, je to smetrický vzťah. Funkcie tangens a kotangens sú navzájom dopĺňajúce sa funkcie. U: Obe uvedené funkcie sú príkladom zloženej funkcie v tvare: = a tg [b + c] + d = a cotg [b + c] + d kde a; b; c; d R; a; b. Zdôvodnenie, prečo a; b je analogické ako pri funkciách sínus a kosínus. Každý z týchto koeficientov má svoj geometrický význam:. koeficient d posúva graf pozdĺž osi nahor alebo nadol,. koeficient c posúva graf pozdĺž osi doprava alebo doľava, 3. koeficient b mení periódu, 4. koeficient a graf naťahuje alebo skracuje v smere osi, a naviac, ak je a <, tak ten graf aj preklopí okolo osi. Ž: Väčšina z týchto koeficientov je mi jasná, lebo sa objavuje aj pri iných funkciách. Čo je nové, to je b, ktoré mení periódu. Mohli b ste vsvetliť ako? U: Perióda sa zmení na p = b. Ž: Prečo? U: Ak si zoberieš funkciu = cotg, jej základná časť je na intervale ;, čo je interval dĺžk najmenšej periód. Znamená to, že argument je väčší ako nula, ale zároveň menší ako. Aj pre funkciu = cotgb musí bť argument b z toho istého intervalu: < < b <, takže pre premennú platí: < <. Interval pre základnú časť má teda dĺžku b b a to je teraz perióda funkcie = cotgb. Ž: Prečo ste zobrali absolútnu hodnotu? U: Pre záporné b zohľadníme ešte nepárnosť funkcie, a mínus pred funkciou ovplvní koeficient a. Sleduj na príklade: Predpis funkcie f : = cotg 3 = cotg3 sme upravili, lebo funkcia je nepárna. Zápornosť koeficienta b sa prenáša do koeficienta a. Periódu mení b. Ž: Mám ešte jednu otázku. Prečo ste ostatné koeficient neuvažovali?
7 Ma-Go-8-T List 7 U: Neovplvňujú periódu. Neurčujú spôsob zmen nezávislej premenenej. Iba súčin b hovorí, či sa táto premenná bude meniť rýchlejšie alebo pomalšie. Ž: Dobre, pochopil som. Vráťme sa k perióde. Ked bude väčšia, ked menšia? U: Ak b >, perióda sa b -krát zmenší, graf danej funkcie sa v smere osi zhustí, ak b <, perióda sa -krát zväčší, graf danej funkcie sa v smere osi zriedi, teda b natiahne, ak b =, perióda sa nezmení. Také boli aj dve funkcie, ktoré sme uviedli.
8 Ma-Go-8- List 8 Príklad : Načrtnite graf funkcie f : = cotg +. Určte periódu funkcie a priesečník grafu so súradnicovými osami. U: Načrtnúť graf zadanej funkcie b pre teba nemal bť problém. To, aké zmen základného grafu funkcie = cotg spôsobujú čísla na pravej strane predpisu funkcie, poznáš od iných funkcií. Ž: Úloha b nemala bť pre mňa až taká náročná. Graf funkcie = cotg dostanem preklopením grafu funkcie = cotg okolo osi, lebo všetk hodnot pôvodného grafu treba zmeniť na opačné. Ak posuniem graf funkcie = cotg o nahor pozdĺž osi, dostanem graf zadanej funkcie f : = cotg +. = cotg = cotg = cotg = cotg U: Posunuli sa aj smptot grafu funkcie = cotg? Ž: Posúvali sme nahor, takže asmptot sa nezmenili. U: Zmenila sa perióda? Ž: Ani perióda sa nezmenila, lebo sme graf iba posúvali a preklápali. Najmenšia perióda funkcie f : = cotg + je číslo. U: Zostáva určiť priesečník so súradnicovými osami. Čím sa vznačuje priesečník grafu funkcie s osou?
9 Ma-Go-8- List 9 Ž: Jeho -ová súradnica je nulová. Dosadím nulu za do predpisu funkcie f. Keďže cotg pre = neeistuje, neeistuje ani hodnota funkcie f v bode. U: Graf funkcie nemá s osou spoločný bod. Iná situácia nastane pre priesečník grafu funkcie f s osou. Ž: V tomto prípade nulu dosadím za. U: Budeš riešiť rovnicu cotg + =. Ž: Upravím ju na tvar cotg =. Ako ju vrieším, keď hodnota nepatrí medzi význačné, ktoré poznáme? U: Použiješ kalkulačku. Výsledok môžeš uviesť buď v stupňovej alebo oblúkovej miere. V každom prípade hodnota získaná na kalkulačke bude približná. Ž: Výsledok v radiánoch je, U: Lepšiu predstavu budeš mať, ak radián premeníš na stupne. Ž: je približne 6 stupňov, 33 minút a 54, sekúnd. U: Všetk nulové bod funkcie f získame, ak vužijeme periodickosť funkcie kotangens s najmenšou periódou. Priesečník grafu funkcie s osou budú bod, ktorých súradnice sú [, k; ], kde k je celé číslo. Úloha : Načrtnite graf funkcie f : = tg+. Určte periódu a priesečník so súradnicovými osami. Výsledok: =tg = tg
10 Ma-Go-8- List Príklad : Načrtnite graf funkcie f : = tg 3 +. Určte periódu funkcie a priesečník 3 grafu so súradnicovými osami. U: Vhodné je najskôr upraviť predpis funkcie v zadaní. Ž: Prečo? U: Znamienko mínus pred nezávislou premennou má tiež svoj význam. Mohlo b sa stať, že b si naň zabudol. Pri úprave výrazu na pravej strane predpisu zadanej funkcie vuži nepárnosť funkcie tangens. Ž: V argumente 3 funkcie f vberiem pred zátvorku znamienko mínus. Potom vužijem nepárnosť, teda tg = tg. = tg = tg = tg [ ] = tg = U: Pozri sa ešte raz na výsledný tvar predpisu funkcie, ktorý si dostal po úpravách. Dáva jasnejší obraz o postupnosti krokov pri načrtávaní grafu funkcie ako zadaný predpis? Ž: Jasné. Pochopil som vašu poznámku na znamienko mínus pred premennou. Okrem posunov grafu pozdĺž súradnicových osí budem musieť graf aj preklápať. U: Zapamätaj si, že aj číslo pred argumentom má svoj význam. Nemení síce periódu, ale spôsobí preklopenie grafu funkcie tangens podľa osi. Predpis uprav vžd tak, ab bolo osamotené. Ž: Teraz úlohu zvládnem aj sám. Graf funkcie = tg najskôr posuniem o číslo 3 doprava. Dostanem graf funkcie = tg 3 a získam graf funkcie = tg 3. pozdĺž osi. Získaný graf preklopím podľa osi = tg = tg 3
11 Ma-Go-8- List U: Áno, preklopením zmeníš hodnot funkcie tg na opačné čísla. Posledný graf na- 3 koniec posunieš pozdĺž osi nahor o číslo. Táto číselná hodnota ťa mohla zaskočiť. 3 Zvčajne čísla v tomto tvare vzťahujeme k nezávislej premennej. Hodnotami závislej premennej sú však tiež reálne čísla a číslo je jedným z nich. Keďže ide o iracionálne 3 číslo, jeho hodnotu vznačíme v grafe iba približne. = tg = tg 3 Ž: Perióda funkcie sa nezmenila. Je to číslo. U: Nájdime ešte súradnice priesečníkov grafu funkcie so súradnicovými osami. Priesečník, s ktorou osou dostaneš, ak za dosadíš nulu? Ž: Dostanem priesečník s osou. Stačí vužiť, že tg 3 = 3 a dosadiť. tg = tg = Ž: Dá sa s tou hodnotou niečo urobiť? U: Oba sčítance sú iracionálne čísla. Necháme to v tomto tvare. Pre graf odhadneme približnú hodnotu. Zaokrúhlené na stotin to dáva hodnotu,78. Ž: Ab som určil priesečník grafu funkcie f s -ovou osou, potrebujem riešiť rovnicu tg 3 + =. Hľadané priesečník majú -ovú súradnicu rovnú nule, preto som 3 do predpisu funkcie f za dosadil nulu. U: Po odčítaní čísla od oboch strán rovnice dostaneme rovnicu v tvare 3 tg 3 = 3. Zavedieme substitúciu argumentu 3. Tento výraz nahradíme novou premennou, napríklad u. Ž: Ďalej budeme riešiť rovnicu tgu =. Ale to budem potrebovať kalkulačku. 3 U: Hodnotu neznámej u dokážeme určiť iba pomocou kalkulačk. Dostaneme základné riešenie tejto rovnice v intervale ;.
12 Ma-Go-8- List Ž: Dostal som hodnotu neznámej u približne,88. U: Všetk riešenia rovnice pre neznámu u budú v tvare u =,88 + k, kde k je celé číslo. Vužili sme, že funkcia tangens je periodická s najmenšou periódou. Ž: Sú to už -ové súradníce hľadaných priesečníkov? U: Nie. Od substitučnej neznámej u sa musíme vrátiť k neznámej. Dosaď do substitučného vzťahu u = 3 za neznámu u hodnotu u =,88 + k a vpočítaj. Ž: Pripočítam a odpočítam,88 + k. Dostal som: = +,88 k, kde k je celé číslo. 3 U: Ak k je celé číslo, potom aj k je celé číslo. Parameter k možno nahradiť novým parametrom, napríklad l a výsledok pre -ovú súradnicu prepísať do tvaru = +,88 + l, 3 kde l je celé číslo. Vjadrujeme tým, že základná hodnota neznámej sa bude opakovať s najmenšou periódou. Ž: Súradnice priesečníkov grafu funkcie f s -ovou osou budú [ 3 +,88 + l; ], kde l je celé číslo. Úloha : Načrtnite graf funkcie f : = cotg 3. Určte periódu a priesečník so súradnicovými osami. Výsledok: = cotg = cotg 3
13 Ma-Go-8-3 List 3 Príklad 3: Načrtnite graf funkcie f : = cotg. Určte periódu funkcie a priesečník grafu so súradnicovými osami. U: Máš predstavu, ako sa zmení graf funkcie = cotg, ak argumentom bude výraz? Ž: Mala b sa zmeniť perióda funkcie. U: Ako? Ž: Vskúšam si niekoľko hodnôt? U: Skús. Ž: Ak za dosadím nulu, bude hodnota cotg taká istá ako hodnota cotg. To nie je definované. Ktoré ďalšie čísla mám dosadiť? U: Zamsli sa nad tým, čo si získal, ak si za dosadil nulu? Získal si informáciu, že graf zadanej funkcie bude mať tú istú vlastnosť ako graf funkcie = cotg. Získal si jednu asmptotu, respektíve jedno, ľavé obmedzenie základného motívu grafu funkcie. Potrebuješ ešte zistiť pravé obmedzenie. Ktorou hodnotou argumentu je ono dané pre graf funkcie = cotg? Ž: Za treba dosadiť číslo. Vted dostaneme opäť asmptotu grafu funkcie. U: Skúsme ho nájsť aj pre funkciu f : = cotg. Pozor, teraz argument funkcie nie je, ale výraz. Ž: Začínam chápať. Výraz musí mať hodnotu. Teda sa rovná. U: To znamená, že základný motív funkcie f : = cotg načrtneme na otvorenom intervale ;. Vieš teda určiť ako sa zmenila perióda? Ž: Najmenšia perióda bude číslo, lebo je to dĺžka nami zisteného intervalu pre základný motív grafu funkcie. U: Neviem, či si uvedomuješ, ale nepoužili sme v riešení nič nové, čo b si nepoznal. Iba sme pospájali vhodným spôsobom poznatk, ktoré máš. Východiskom sú vžd základné poznatk. Potom sa aj na zložitejšie argument treba pozerať ako na jednoduché. Iba tých výpočtov bude nieked viac. Ž: Načrtnúť graf už nebude problém.
14 Ma-Go-8-3 List 4 = cotg = cotg U: Periódu funkcie f sme už určili. Ak si dosadil za nulu, zistil si, že hodnota neeistuje. Čo to znamená v súvislosti so súradnicovými osami? Ž: Graf nepretína os, nemá priesečník s touto osou. U: Riešenie úloh dokončíme určením priesečníkov s osou. Ž: Dosadím za nulu a vriešim rovnicu cotg =. Kotangens je rovný nule, ak jeho argument je rovný číslu v tvare k +. V našej rovnici je argument výraz, preto = k +. U: Neznámu získame jednoduchou úpravou. Obe stran rovnice vnásobíme číslom. Dostaneme = k +. Priesečník grafu funkcie f : = cotg s osou sú bod so ] súradnicami [k + ;, kde k je celé číslo.
15 Ma-Go-8-4 List 5 Príklad 4: Porovnajte graf funkcií: f : = tg g : = tg h : = tg. Ž: Rozdiel v zostrojovaní grafov bude asi v tom, čo urobíme najskôr. V každom prípade si najskôr načrtnem graf funkcie = tg. U: Z hľadiska priorít operácií v prípade funkcie f treba najskôr odčítať číslo a potom vpočítať z celého výrazu absolútnu hodnotu. Skús tieto dva krok interpretovať na grafe. Ž: Odčítať od tg znamená posunúť graf o jednotku nadol. Absolútna hodnota spôsobí, že všetk hodnot budú kladné. U: Presnejšie nezáporné. Tie časti grafu funkcie = tg, ktoré neboli pod osou ponecháme aj do výsledného grafu a tie, ktoré boli pod osou zobrazíme osovo súmerne podľa osi. Ž: Preklopíme. = tg = tg = tg = tg
16 Ma-Go-8-4 List 6 U: Dôležité je si uvedomiť, že pre hodnot výslednej funkcie platí: f. Ž: V prípade funkcie g to treba urobiť v opačnom poradí. U: Áno. Keďže vchádzame z grafu = tg, najskôr uplatníme absolútnu hodnotu. Ž: Časti pod osou z grafu = tg preklopíme. U: Potom potrebujeme odčítať číslo. Ž: Posunieme o smerom nadol. = tg = tg = tg 3 3 = tg U: Pre funkciu g eistujú reálne čísla, pre ktoré g <. U: Zostáva nám posledná funkcia h : = tg. Ž: S touto funkciou mi budete musieť pomôcť. U: Jedna z možnosti ako dôjsť k výsledku je odstrániť absolútnu hodnotu. Rozober dva prípad podľa toho, aké je vzhľadom k nule. Ž: To b som vedel. Ale mslel som si, že eistuje nejaká finta bez odstraňovania absolútnej hodnot. U: Prezradím ti ju na konci. Zostaň pri odstraňovaní absolútnej hodnot. Čo platí, ak?
17 Ma-Go-8-4 List 7 Ž: Vted platí: = a funkcia h bude mať predpis = tg. Je to rovnaké ako v prípade prvej funkcie. U: S tým rozdielom, že tentokrát to platí iba pre nezáporné. Vrieš ešte pre <. Ž: Vted platí: = a funkcia h bude mať predpis = tg = tg. Graf preklopím podľa osi a posuniem o nadol. U: Toto uplatníme iba pre < =tg U: Aj funkcia h má pre niektoré reálne čísla záporné hodnot. Pozri sa ešte raz na obrázok. Vznačuje sa graf tejto funkcie nejakou súmernosťou? Ž: Podľa osi. U: Ak je osovo súmerný podľa osi, tak je grafom párnej funkcie. To je dôležité pri tejto funkcií. Dá sa to objaviť v zadaní. Absolútna hodnota z čísla má rovnaký výsledok pre kladné, ako aj k nemu opačné záporné číslo. Preto aj tangens pre všetk dvojice navzájom opačných čísel má rovnakú hodnotu. tg = tg. Najskôr, povedané tvojou terminológiou, b sme preklopili graf funkcie = tg zostrojený pre podľa osi. Dostali b sme = tg. Graf tejto funkcie b sme posunuli smerom nadol o = tg = tg
18 Ma-Go-8-4 List 8 = tg =tg U: Porovnaj ešte obor hodnôt týchto troch funkcií. Ž: Hf = ; Hg = ; Hh = R
19 Ma-Go-8-5 List 9 Príklad 5: Načrtnite graf funkcie f : = sin + sin cos na intervale ; 5 U: Výraz na pravej strane predpisu funkcie je zlomok. To znamená, že do definičného oboru funkcie nemusia patriť všetk reálne čísla. Zapíš a vrieš najskôr podmienku pre definičný obor funkcie f. Ž: V menovateli zlomku nesmie bť nula: cos. To platí, keď k +, kde k je celé číslo. Nepárne násobk čísla nebudú patriť do definičného oboru. U: V absolútnej hodnote je iba časť výrazu na pravej strane predpisu funkcie. Nevhneme sa riešeniu dvoch prípadov, podľa toho či výraz v absolútnej hodnote je nezáporný alebo záporný. Ž: V prípade, že sin, absolútna hodnota výraz nemení. U: sin = sin. Pokračuj. sin + sin sin + sin Ž: Dosadím: = = = sin cos cos cos. U: Podiel funkcií sínus a kosínus definuje funkciu tangens: = tg. Ž: Ako vriešim podmienku sin? U: To nie je nutné. Pomôžeme si grafom funkcie = sin. Máš predstavu, čo táto podmienka znamená pre graf? Ktoré tomu vhovujú? Ž: sin je funkčná hodnota a tá má bť kladná. Pozrieme sa iba na tie časti grafu, ktoré sú nad osou. U: Preto graf funkcie = tg načrtneme pre tie reálne čísla, pre ktoré je graf funkcie = sin nad osou. Ab sme boli presní, aj na osi, pretože sínus má bť nezáporný. = tg. = sin
20 Ma-Go-8-5 List Ž: Vriešiť druhý prípad už nebude problém. Je to analogické, len dám mínus, keď odstránim absolútnu hodnotu. U: Máš pravdu, ak sin <, tak sin = sin. sin + sin sin sin Ž: Dosadím: = = = cos cos cos =. U: Pre tie na grafe funkcie = sin, pre ktoré je graf pod osou načrtneme priamku, ktorá je grafom funkcie =. Ž: Ale to je os. 3 = sin U: Funkciu f chápeme ako zjednotenie dvoch funkcií f = f f, kde f : = tg, ak sin a f : =, ak sin < Spojením oboch prípadov do jedného obrázka dostaneme výsledný graf = sin + sin cos
21 Ma-Go-8-6 List Príklad 6: Načrtnite graf funkcie f : = cotg cotg na intervale ;. Ž: Odstránim absolútnu hodnotu. Rozoberiem dva prípad: keď výraz v absolútnej hodnote je kladný a keď je záporný. U: Ak cotg, tak cotg = cotg. Pokračuj. Ž: Dosadím do predpisu: = cotg cotg = cotg cotg =. To je konštantná funkcia. Grafom je os. U: Iba časť osi. Funkciu = sme dostali za predpokladu, že cotg. Pomôžeme si grafom funkcie = cotg. Zohľadniť podmienku cotg znamená zostrojiť graf funkcie = iba pre tie reálne čísla, pre ktoré je graf funkcie = cotg nad osou. Ku kladným číslam priradíme aj nulu. = cotg U: Vrieš druhý prípad. Ž: Ak cotg <, tak cotg = cotg. Dosadím do zadania: = cotg cotg = cotg + cotg = cotg. U: Pre tie reálne čísla, pre ktoré cotg <, graf funkcie = cotg sa nachádza pod osou. Vted podľa zadania zostrojíme graf funkcie = cotg. Ž: Ako sa to prejaví? U: Hodnot budú dvojnásobné v porovnaní s = cotg. Ak bola hodnota, bude. Všeobecne, ak bola f, bude f = f. Keďže cotg < pre funkciu f budú dvakrát menšie.
22 Ma-Go-8-6 List = cotg = cotg U: Výsledný graf dostaneme spojením oboch obrázkov do jedného. Výsledná funkcia sa chápe ako zjednotenie dvoch funkcií, ktoré sme dostali v oboch analzovaných prípadoch = cotg cotg
23 Ma-Go-8-7 List 3 Príklad 7: Načrtnite graf funkcie f : = tg + a určte jej periódu. 3 U: Každý koeficient má v predpise funkcie svoj geometrický význam vzhľadom na graf elementárnej funkcie = tg, alebo treba predpis upraviť? Ž: Mali b sme upraviť výraz za tangensom. Vbrať pred zátvorku číslo. [ U: Po tejto úprave dostaneme: f : = tg + 6 ]. Každý koeficient v tomto predpise má svoj význam. Začnime grafom funkcie = tg a postupne aplikujme zmen určené jednotlivými číslami v predpise našej zloženej funkcie. Čím b si začal? Ž: Posunul b som graf pozdĺž osi doľava o 6. = tg = tg U: Ideš na to dobre. Treba si všímať postupnosť krokov, ktoré musíme urobiť, ab sme vpočítali hodnotu našej funkcie. Posunutie vlastne zodpovedá výpočtu funkčnej hodnot pre + 6. V ďalšom kroku potrebuješ dvojnásobok tohto výrazu, teda +. Musíš to 6 ale vžd vnímať ako argument funkcie tangens. Čo to urobí s grafom, ak argument rastie dvakrát rýchlejšie? Ž: Pochopil som. Zmení sa perióda, bude dvakrát menšia. U: Áno, perióda bude číslo. Na každom intervale, kde máme základný motív tangentoid, ho teraz musíme načrtnúť dvakrát = tg+ 6 =tg[+ 6 ]
24 Ma-Go-8-7 List 4 U: V postupnosti výpočtov nám ostáva od toho, čo doteraz máme, odpočítať číslo. Ž: S tým nemám problém. Každá hodnota sa zmenší o. Preto posuniem posledný graf po osi dole o číslo. 6 5 =tg[+ 6 ] =tg[+ 6 ] U: Správnosť výsledku si môžeme skontrolovať nasledovne: Základným intervalom pre funkciu = tg je otvorený interval funkcia je tvaru = tgu, kde u = + 3 u ; < + 3 <. ;. Ale aj naša. Teda aj pre argument u platí základný interval:. Ak si zostavíme sústavu dvoch nerovníc, určíme aké bude. Nemal b bť problém pre teba ich vriešiť. Pokús sa ich riešiť naraz. Ž: Odstránim zlomk?
25 Ma-Go-8-7 List 5 U: Správne. Vnásob všetk výraz číslom 6. Ž: Vnásobím všetk výraz číslom 6, odpočítam a vdelím číslom. 3 < + < 3 5 < < 5 < < U: To je jeden z intervalov, na ktorom sme načrtli základný motív tangentoid. Aká je perióda zadanej funkcie? Ž: Dĺžka tohto intervalu, teda číslo.
26 Ma-Go-8-8 List 6 Príklad 8: Načrtnite graf funkcie f : = tg tg. Ž: Dosť komplikované zadanie. Odmocnina, zlomok a ešte aj absolútna hodnota. U: V komplikovaných zadaniach sa často skrývajú jednoduché poznatk, ktoré objavíme až po úpravách. Odstráňme preto najskôr absolútnu hodnotu. Ž: V tom potrebujem poradiť. U: Podľa definície absolútnej hodnot, jej výpočet závisí od toho, či ide o kladné alebo záporné číslo. Ak a >, tak a = a. V našom prípade: ak tg >, tak tg = tg. Ak a <, tak a = a. V našom prípade: ak tg <, tak tg = tg. Ž: Prečo neuvažujeme rovné nule? U: Výraz tg sa nachádza v menovateli zlomku, a ako vieme, v menovateli nemôže bť nula. Nulou nevieme deliť. Vráťme sa k odstraňovaniu absolútnej hodnot: Prvý prípad je, ak tg >. Vted tg = tg. Dosaď do zadania a uprav predpis funkcie. Ž: Tangens sa vkrátia a dostanem číslo. f : = tg tg = tg tg = U: V prípade, že tg >, zadaná funkcia predstavuje konštantnú funkciu =. Dúfam, že vieš čo je jej grafom. Ž: Priamka rovnobežná s osou, prechádzajúca na -ovej osi cez bod. U: Podmienku tg > nie je nutné vriešiť. V obrázku si načrtneme aj graf funkcie = tg a graf funkcie = načrtneme iba pre tie reálne čísla, pre ktoré je graf funkcie = tg nad osou. Vted sú funkčné hodnot kladné. = tg = tg tg Ž: Prečo ste použili prázdne krúžk?
27 Ma-Go-8-8 List 7 U: Pre čísla { ; 3 ; ; ; 3 ; } { ; ; ; ; ; } nadobúda funkcia tangens hodnotu nula. nie je funkcia tangens definovaná a pre Ž: Pokúsim sa vriešiť druhý prípad: ak tg <, tak tg = tg. Dosadím do zlomku tg tg = tg =. Zlomok je pod druhou odmocninou. Hodnota zlomku je a druhá tg odmocnina zo záporného čísla neeistuje. U: Áno, odmocnina zo záporného čísla v množine reálnch čísel neeistuje. Čo to znamená pre našu funkciu? Ž: Nepriradíme nič. U: Pre tie reálne čísla, pre ktoré má platiť podmienka tg <, nepriradíme na grafe žiadnu hodnotu. Podmienke vhovuje tá časť grafu funkcie = tg, ktorá je pod osou. U: Výsledný graf je na poslednom obrázku: = tg = tg tg U: Určite si si všimol, aký je definičný obor zadanej funkcie. Ž: Tvoria ho iba tie reálne čísla, pre ktoré sa graf funkcie = tg nachádza nad osou. tg U: Áno. Definičný obor funkcie f : = sa dá zapísať v tvare, ktorý je uvedený tg v rámčeku. Df = k Z k; + k
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií sínus a kosínus
Ma-Go-5-T List Graf funkcií sínus a kosínus RNDr. Marián Macko U: Pozoroval si nieked, ako sa správa vodná hladina na jazere, ak tam hodíš kameň? Ž: Vlní sa. U: Svojím tvarom v jednej vbranej línií pripomína
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραRovnosť funkcií. Periodická funkcia.
VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραVaFu02-T List 1. Graf funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu0-T List Graf funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Vieme, že funkcia vjadruje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Akým spôsobom b mohla bť funkcia zadaná? Ž: Stretol som sa najmä srovnicami, napríklad
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραÚlohy o kvadratických funkciách
VaFu7-T List Úloh o kvadratických funkciách RNDr. Beáta Varinčíková U: V prai sa neraz stretávame s úlohami vžadujúcimi nájsť optimálne riešenie. Napríklad naplánovať výrobu podniku v snahe dosiahnuť maimáln
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. (prednáška pre 1. roč. iai) V. Balek
Matematika prednáška pre. roč. iai) V. Balek . Definícia derivácie Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a? Matematická analýza je náuka o deriváciach diferenciáln počet) a integráloch integráln
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραVýrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;
Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného valca
Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραJKTc01-T List 1. Číselné množiny. Mgr. Jana Králiková
JKTc01-T List 1 Číselné množiny Mgr. Jana Králiková U: Čo si predstavuješ pod pojmom množina? Ž: Skupinu nejakých vecí. U: Presnejšie by sa dalo povedať, že množina je skupina (súbor, súhrn) navzájom rôznych
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότερα