MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina
MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu rezultata u slučajevima kada rezultati imaju tendenciju grupiranja oko neke vrijednosti.
ARITMETIČKA SREDINA _ Označava se X ili M (mean). Izračun iz sirovih rezultata: zbroj svih vrijednosti n u skupu rezultata podijeljen s ukupnim brojem rezultata. M = X / N Npr. 5, 6, 6, 7, 8 M= 32/5 = 6,4
Uvjetza izračunavanje aritmetičke sredine! Nepostojanje ekstremnih rezultata Ukoliko postoje: izbaciti ih! Npr. 10, 12, 14, 13, 35, 11, 16
ARITMETIČKA SREDINA Kod velikog broja rezultata koji su grupirani u razrede: M = (m x f) / N, gdje je m sredina razreda, a f frekvencija. Npr. Date su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj većoj organizaciji Interval f M = (24,5*146)+(34,5*210)+(44,5*151)+ 20-29 146 (54,5*121)+(64,5*88) / 716 = 30-39 210 40-49 151 50-59 121 60-69 88 = 29812 / 716 = = 41,636
Zajednička aritmetička sredina se koristi ako smo neku pojavu izmjerili iliviše puta i svaki put izračunali č aritmetičku sredinu. U tom slučaju ne smijemo zbrojiti sve aritmetičke sredine i podijeliti ih njihovim brojem, jer je aritmetička sredina, kao težište žš rezultata osjetljiva na vrijednost i broj rezultata. To znači da bi zajednička aritmetička sredina zbog jedne ekstremne aritmetičke sredine mogla biti značajno pomaknuta, a moguće ć je da je ta aritmetička tičk sredina dobivena iz malog broja mjerenja, j pa ona u ukupnom broju mjerenja ne bi smjela imati značajniji utjecaj. zajednička M = NiMi / Ni
Primjer za zajedničku aritmetičku sredinu Mjerenje N M N*M 1 5 20,5 102,5 2 40 22 880 3 17 23,1 392,7 4 35 22,2 777 Σ= 97 Σ=2152,2 zajed. M= 2152,22 / 97 = 22, 187
Medijan (C) = centralna vrijednost vrijednost koja se nalazi točno u sredini u nizu rezultata poredanih po veličini. Formula za izračunavanje položaja centralne vrijednosti: C= (N + 1) / 2 Tom formulom možemo izračunati da se medijan nalazi npr. na petom mjestu u nizu i onda očitamo tu vrijednost koja jecentralna vrijednost ili medijan.
Primjer izračunavanja medijana Redni broj rezultata Rezultat 1. 5 2. 6 3. 6 4. 7 5. 8 Položaj C= (5+ 1) / 2 = 3 C= 6
Mod (D) = dominantna vrijednost vrijednost koja je u nizu mjerenja najčešće postignuta, odnosno vrijednost s najvećom frekvencijom. Npr. 5, 6, 6, 7, 8 Rezultat Frekvencija 5 1 6 2 7 1 8 1 D= 6 (f=2)
Geometrijska sredina (G) (logaritamska sredina) definira se kao n ti korjen iz umnožaka između N brojeva. G=N X 1 X 2.X n ne može se računati č ako je bilo koji kjibroj nula ili negativan. najčešće se koristi kao mjera prosječne brzine nekih promjena.
Primjer 1 Neko je mjesto 1995. imalo 2000 stanovnika, 1996. 9000 stanovnika, a 1997. godine 18000 stanovnika. Koliko je prosječno porasla populacija svake godine? 1996. broj stanovnika 4,5 puta veći nego 1995. X1 = 4,5 1997. broj stanovnika 2 puta veći nego 1996. X2 = 2 G= 2 4,5x 2 = 9 = 3. Populacija je u prosjeku rasla 3 puta godišnje.
Primjer 2. Prosječna č plaća ć se od 1997 do 2002 mijenjala na slijedeći ć način: č 1997. g. 3056 kn 1998. g. 3127 kn 1999. g. 3300 kn 2000. g. 3450 kn 2001. g. 3512 kn 2002. g. 3789 kn Koliko je prosječno plaća rasla godišnje?
Primjer 2 Rješenje Prosječnaplaća se od1997do2002mijenjala do naslijedeći način: 1997. g. 3056 kn 1998. g. 3127 kn 1,0232 1999. g. 3300 kn 1,0553 1,0454 2000. g. 3450 kn 1,01797 2001. g. 3512 kn 1,0789 2002. g. 3789 kn G 51,0232*1,0553*1,0454*1,01797*1, 0789 = 5 1, 23975 = 1,044 Provjera - 3056*1,044*1,044*1,044*1,044*1,044= 3790
Harmonijska sredina (H) definira se kao recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti numeričke varijable H N 1 x Koristi se rijetko, uglavnom kada se želi dobiti prosjek nekih odnosa.
Primjer 1 Ako udaljenost dlj od 200 km neki vozač č u jednom jd smjeru prođe brzinom od 50 km/h, a u povratku brzinom 100 km/h, kolika je prosječna brzina tog vozača tokom cijelog puta? Dakle, H prosječna brzina nije 66,7 75 km/h / h jer time u račun ne bismo 0,03 2 uzeli i vrijeme. 100 1 2 Naime, 1 50 da je on jedan sat vozio 100, a drugi sat 50 km/h, onda bi prosječna brzina bila 75. Ali on je 200 km prošao u jednom smjeru za 4 sata (kada je brzina bila 50 km/h), a u drugom smjeru za 2 sata (kada je vozio 100 km/h). To je ukupno 6 sati, a 400 / 6= 66,7
Primjer 2 Da bi se dobio povrat uloženih 1 mil kn putem ulaganjau investicijski projekt A potrebno je 12 mj, ulaganjem u projekt B 6 mj, i u projekt C 4 mj. Ako investitor ima uložen isti iznos, tj, 1 mil kn u sva tri projekta tijekom razdoblja od 12 mj, koliko je u tom slučaju prosječno vrijeme povrata jedinice uloženog kapitala?
Primjer 2. Rješenje H= 3/ ( 1/12+1/6+1/4)=66 mj U ovom bi slučaju bilo pogrešno računati aritmetičku sredinu (12+6+4)/3=7,33 mj. Naime, u razdoblju investiranja od 12 mj investicija A rezultirala je s 1 mil kn, investicija B s 2 mil kn, i investicija C s 3 mil kn (ukupno 6 mil kn)). Pomnožimo li 7,33 mj s 6 mil kn dobivamo znatno više od 36 mj (koliko je trajalo vrijeme ulaganja u sva tri projekta zajedno (12mj *3). Naime, ukupno vrijeme investiranja podijeljeno rezultirajućim kapitalom daje prosječno vrijeme povrata jedinice uloženog kapitala. Stoga, g, traženi posjek pomnožen rezultiajućim kapitalom mora dati ukupno vrijeme investiranja. Tom zahtjevu udovoljava harmonijska sredina. U ovom slučaju ona iznosi: 6 mj, a kad pomnožimo dobiveni rezultat dobiveni rezultat s 6 tj. s rezultirajućim kapitalom, dobivamo 36 tj broj mjeseci trajanja svih ulaganja.
Zadaci za vježbu
1. zadatak Izračunati aritmetičku sredinu, medijan i modza slijedeći niz rezultata: 120 113 117 118 128 129 131 122 116 118
1. Zadatak Rješenje M = 1212/10 = 121,2 Pol C = (10+1)/2 = 11/2 = 5.5 C = 119 D = 118
2. Zadatak Izračunati aritmetičku sredinu iz grupiranih rezultata: Razred Sredina razreda Frekvencija (m) (f) 200-204204 202 1 205-209 207 1 210-214 212 2 215-219 217 3 220-224 222 5 225-229 227 8 230-234 232 2 235-239239 237 2 240-244 242 1
2. Zadatak Rješenje M= (mxf)/n= 5590/25=223,6
3. Zadatak Neki je anketar u tri različita grada kupovao papir za istraživačke svrhe. Prosječna cijena pakovanja papira u pojedinom gradu, kao i broj kupljenih pakovanja u svakom od tri grada navedeni su dolje. Koliko je tog anketara prosječno stajalo svako pakovanje papira? p Grad Cijena pakovanja Broj kupljenih pakovanja papira Šibenik 41,00 kn 5 Split 35,00 kn 15 Zadar 37,00 kn 9
3. Zadatak Rješenje M= Mi*Ni /N= 1063/29=36.66
MJERE VARIJABILNOSTI Raspon Srednje odstupanje Standardna devijacija Koeficijent varijabilnosti Poluinterkvartilno raspršenje
Varijabilnost? Kod mjerenja određenih pojava, rezultati često imaju tendenciju grupiranja oko srednje vrijednosti koja bi trebala reprezentirati skup rezultata. Ako su vrijednosti nekog niza mjerenja gusto grupirane oko srednje vrijednosti tada ona dobro reprezentira rezultate. Kod minimalnog grupiranja rezultata srednja vrijednost g g p j j j slabo reprezentira rezultate.
Varijabilnost? Npr. ako su rezultati nekog niza mjerenja svi jednaki, onda je taj rezultat središnja vrijednost, i ona dobro reprezentira rezultate, a distribucija izgleda ovako: M
Varijabilnost? Ako su svi rezultati u mjerenju neke pojave različiti i ne pokazuju tendenciju grupiranja, onda aritmetička sredina ne reprezentira dobro rezultate, a distribucija izgleda ovako: M
Varijabilnost? Mjera centralne tendencije sama po sebi nije dovoljan reprezentant trezultata. t Potrebno je znati i kako se rezultati grupiraju oko aritmetičke sredine, odnosno kakva je distribucija. Na taj način saznajemo i koliko dobro aritmetička sredina reprezentira rezultate.
Mjere varijabilnosti ukazuju na to koliko rezultati variraju oko srednje vrijednosti.
RASPON Raspon je razlika između đ najvećeg ć i najmanjeg j rezultata u skupini. Njjd Najjednostavnija, ali i najmanje j precizna mjera varijabilnosti. Npr: U skupini rezultata 1, 34, 6, 27, 33, 17, raspon rezultata je 34 1=33. Nedostaci ove mjere: jedan ekstremni rezultat znatno povećava raspon, a i obično je veći što je veći broj mjerenja j neke pojave.
SREDNJE ODSTUPANJE prosječna veličina odstupanja pojedinačnih rezultata od aritmetičke sredine, bez obzira na smjer odstupanja. X M / N Primjer: 5, 5, 2, 6, 4 M=4,4, N=5, =22 5 4,4 =0,6 5 4,4 =0,6, 2 4,4 =2,4 6 4,4 =1,6 4 4,4 =0,4 =5,6 Srednje odstupanje = 5, 6 / 5 = 1,12 Rezultati prosječno odstupaju od aritmetičke sredine za 1,12. Srednje odstupanje daje informacije o načinu grupiranja rezultata, ali se ne koristi jer se iz njega ne mogu izvoditi daljnja računanja.
STANDARDNA DEVIJACIJA i VARIJANCA Standardna devijacija je mjera koja pokazuje kako se gusto rezultati nekog mjerenja grupiraju oko aritmetičke sredine. Koristi se uz aritmetičku sredinu kao mjeru centralne tendencije i ima smisla ako su rezultati normalno distribuirani ili barem približno normalno. Jedan od načina da se izbjegnu predznaci odstupanja je da se odstupanja kvadriraju. Ako se kvadrirana odstupanja zbroje i izračuna im se aritmetička sredina, dobija se mjera varijabiliteta koja se zove VARIJANCA. To je prosječna suma kvadriranih odstupanja. V= (X M) 2 / N 1 Taj je pojam varijance nemoguće grafički predočiti. Ipak, drugi korijen iz varijance može se prikazati kao potpuno definirani razmak na skali rezultata. To je STANDARDNA DEVIJACIJA (sd ili ) jer se koristi kao standard za mjerenje varijabiliteta rezultata sd= V = sd 2
Standardna devijacija M± 1sd=68,26% rezultata M± 2sd=95,44% rezultata M± 3sd=99,73% rezultata
Izračunavanje standardne devijacije iz sirovih rezultata Sd ili Sd ( X M N 1 2 ) 2 ( ) 2 X X N N 1
Primjer Rezultati: 5, 5, 2, 6, 4 M=4.4, 4 N=5, =22
N 1 umjesto N N bi se u nazivniku moglo koristiti kada bi imali sve rezultate iz populacije. p Budući da to najčešće nije slučaj jer raspolažemo samo određenim uzorkom iz populacije, nikad ne računamo pravu aritmetičku sredinu populacije ni standardnu devijaciju populacije. Korištenjem N 1 u nazivniku dobija se bolja aproksimacija.
Izračunavanje sd iz grupiranih rezultata Tablica potrebno: m = sredina razreda f = frekvencija X = intervalna udaljenost m od privremene M (sredina razreda s najvećom frekvencijom):1, 2, 3... fx = f *X fx 2 = fx *X N = Σ f i = br rezultata u razrednom intervalu i fx' 2 N ( 1 fx') 2 N
Izračunavanje sd iz grupiranih rezultata Primjer. Date su frekvencije dobi zaposlenika u nekoj većoj organizaciji: Raz. interval f m X' fx' f x' 2 20-29 29 146 24,5-1 -146 146 30-39 210 34,5 0 0 0 40-4949 151 44,5 1 151 151 50-59 121 54,5 2 242 484 60-69 69 88 64,5 3 264 792 i=10 Σ=716 Σ=511 Σ=1573 715 511 2 261121 1573 1573 10 716 10 716 12, 99 715
Drugi način računanja M i sd iz grupiranih rezultata: d' ( f M M' ( i * ) * i N gdje je: d'=m d=m-m sd d' ( ) 2 * f ( i * i 2 ) ( M M') N 2 m=sredina razreda M'=provizorna M (s najvećom f)
Isti primjer na 2. način Raz. interval f m d d' i d ' * i f ( d' ) f i 2 * 20-29 146 24,5-10 -1-146 146 30-39 210 34,5 0 0 0 0 40-49 151 44,5 10 1 151 151 50-59 121 54,5 20 2 242 484 60-69 88 64,5 30 3 264 792 i=10 716 511 1573 511 M 34,5 *10 41637 41,637 716 1573 sd ( *100) (41,64 34,5) 2 12,99 716
ZAJEDNIČKA STANDARDNA DEVIJACIJA Zaj. Sd iz više nezavisnih uzoraka jest korijen sume svih standardnih devijacija. j Sd Sd 1 Sd 2 Sd 3 Sd 4... Sdn
KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI Ako postoje dij dvije jednake jd aritmetičke tičk sredine i njihove standardne d devijacije, onda je na temelju s. d. relativno lako zaključiti koji rezultati više variraju. Međutim, đ kada se uspoređuju đ različite aritmetičke tičk sredine teško je procijeniti samo na temelju s. d. koji su rezultati relativno varijabilniji. Npr. sd=10 ne znači isto za skupinu rezultata t čija je aritmetička tičk sredina 2 i 100. Da bi se mogla uspoređivati varijabilnost različitih pojava, koristi se KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI koji pokazuje koliki postotak vrijednosti aritmetičke sredine iznosi vrijednost standardne devijacije.
KOEFICIJENT VARIJABILNOSTI Sd V X 100 Koristi kada se želi utvrditi u kojem svojstvu neka grupa varira više, a u kojem manje ili koja od grupa varira više, a koja manje u istom svojstvu.
Primjer 1 Na skupini iod N= 612 ispitanika, it ik primjenjeni j isu test numeričkih sposobnosti i test riječnika. Date su M i sd, a zanima nas u kojem od ta dva svojstva ispitanici više variraju. M1= 134, 4 sd1= 6, 06 M2= 29, 2 sd2= 3, 89 V1= 6, 06x100/134,4= 4, 51% V2= 3, 89x100 / 29, 2= 13, 32% Dakle, više variraju u drugom svojstvu!
Primjer 2 Utvrđeno je da 10 godišnje djevojčice imaju visinu M=134,9 cm sd=6,43, a dječaci č M=134,4 cm, sd=6,06. Variraju li u visini više dječaci ili djevojčice?
Rješenje Djevojčice: V= (6.43*100)/134.9=4.77% Dječaci: V= (6.06*100)/124.4=4.51% Djevojčice nešto više variraju u visini od dječaka.
Zadaci za vježbu
1 zadatak Iz seta rezultata: 10 12 15 14 17 16 19 15 izračunajte raspon, srednje odstupanje i standardnu devijaciju.
1. Zadatak rješenje Raspon = 7 Srednje odstupanje = 2.22 Sd = 2.66
2. Zadatak Iz grupiranih rezultata izračunajte sd: m f 142 1 147 1 152 3 157 5 162 6 167 12 172 8 177 4 182 4 187 3 192 2 197 1
Sd=11.9 2. Zadatak rješenje
3. Zadatak. Iz grupiranih rezultata izračunajte M, sd i koef. varijabilnosti. i 157-159 1 160-162 2 163-165 9 166-168168 15 169-171 25 172-174 28 175-177 20 178-180 16 181-183 13 184-186 5 187-189 1 f
3. Zadatak rješenje M=173.47 sd=5.94 koef.varijabilnosti=3,42%
4. zadatak Date su aritmetičke sredine i standardne devijacije; izračunajte koef.varijabilnosti. M1=67,2 sd1=5,3 M2=83,4 sd2=5,8
4. Zadatak rješenje k. V1= (5,3*100)/67,2=7,89 k. V2= (5,8*100)/83,4=6,95