Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό αντικίμνο της Αναλυτικής Γμτρίας Μ τις ξισώσις τν γραμμών μπορούμ μ αλγβρικές μθόδους να μλτήσουμ τις γμτρικές ιδιότητς τν γραμμών αυτών ή να αντιμτπίσουμ διάφορα άλλα συναφή προβλήματα Τι λέμ γνία υθίας μ τον άξονα Τη γνία που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρ από το Α κατά τη θτική φορά μέχρι να συμπέσι μ την υθία τη λέμ γνία που σχηματίζι η μ τον άξονα Αν η υθία ίναι παράλληλη προς τον άξονα τότ λέμ ότι σχηματίζι μ αυτόν γνία = Σ κάθ πρίπτση για τη γνία ισχύι < 18 ή σ ακτίνια < π Α Α σχ 1 σχ Πς ορίζουμ τον συντλστή διύθυνσης μιας υθίας ( Πότ ίναι θτικός, αρνητικός, μηδέν Πότ δν ορίζται Ως συντλστή διύθυνσης μιας υθίας ( ορίζουμ την φαπτομένη της γνίας που σχηματίζι η μ τον άξονα Είναι: θτικός, αν η γνία που σχηματίζι μ τον άξονα ίναι οξία ( σχ1 αρνητικός, αν ίναι αμβλία( σχ Αν η υθία σχηματίζι μ τον άξονα μηδνική 1
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις γνία, δηλαδή ίναι παράλληλη στον άξονα, ο συντλστής διύθυνσης ίναι ίσος μ μηδέν Στην πρίπτση που η γνία της υθίας μ τον άξονα ίναι 9, δηλαδή η υθία ίναι κάθτη στον άξονα, δν ορίζουμ συντλστή διύθυνσης για την υθία αυτή Αποδίξτ την πρόταση : Όταν μια υθία και ένα διάνυσμα ίναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης Έστ ένα διάνυσμα δ παράλληλο σ μια υθία Αν φ και ίναι οι γνίς που σχηματίζουν το δ και η μ τον αντίστοιχα, τότ θα ισχύι φ = ή φ = π + και πομένς φ φ = φ ( σχ3 σχ4 Σχ3 Σχ4 δ φ φ φ= δ φ=π+ Αποδίξτ την πρόταση : συντλστής διύθυνσης λ μιας υθίας που διέρχται από τα σημία A ( 1, 1 και B (,, μ 1 ίναι 1 λ = 1 Αν ίναι γνστές οι συντταγμένς δύο σημίν μιας μη κατακόρυφης υθίας, δηλαδή μιας υθίας που δν ίναι κάθτη στον άξονα, τότ μπορούμ να βρούμ και το συντλστή διύθυνσης της υθίας αυτής Πράγματι, αν A ( 1, 1 και B (, ίναι δύο σημία της υθίας, τότ ο συντλστής διύθυνσης της ίναι ίσος μ το συντλστή διύθυνσης του - 1 διανύσματος AB = ( - 1, - 1, δηλαδή ίσος μ - 1 1 Επομένς: λ = 1
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Να βρθί η ξίσση της υθίας που διέρχται από το σημίο A (, και έχι συντλστή διύθυνσης λ Έστ O ένα σύστημα συντταγμένν στο πίπδο και A (, ένα σημίο του πιπέδου Ζητάμ την ξίσση της υθίας που διέρχται από το Α και έχι συντλστή διύθυνσης λ Ένα σημίο M (, διαφορτικό του A, ανήκι στην, αν και μόνο αν το διάνυσμα αν και μόνο αν το AM και η έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης Επιδή ( AM ίναι παράλληλο στην, δηλαδή AM = (,,έχουμ λ AM φ = Επομένς, το σημίο M (, ανήκι στην αν και μόνο αν = λ ή = λ( Η τλυταία ξίσση παληθύται και από το σημίο A, ( Α(, M(, Να βρθί η ξίσση της υθίας, που διέρχται από τα σημία : A 1, και B, ( 1 μ 1 ( Έστ η υθία που διέρχται από τα σημία A ( 1, 1 και B (, Αν 1, τότ ο συντλστής διύθυνσης της υθίας ίναι 1 λ = και πομένς η 1 ξίσση = λ( γίνται: = ( 1 1 1 1 B(, Α( 1, 1 Πότ δν μπορούμ να χρησιμοποιήσουμ τις ξισώσις = λ( και = ( 1 1 1 1 1 ι ξισώσις = λ( και 1 = ( 1 1 δν μπορούν να χρησιμοποιηθούν, όταν η υθία ίναι κατακόρυφη, αφού στην πρίπτση αυτή δν ορίζται ο συντλστής διύθυνσης της υθίας Όμς η ξίσση μιας κατακόρυφης υθίας που διέρχται από το σημίο A (, μπορί να βρθί αμέσς, αφού κάθ σημίο της Μ έχι ττμημένη και άρα η ξίσσή της ίναι: = 3
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Η ξίσση υθίας που τέμνι τον άξονα στο σημίο A (, β και έχι συντλστή διύθυνσης λ ίναι β = λ(, η οποία τλικά γράφται = λ + β Α(,β Ποις ίναι οι ιδικές μορφές της ξίσσης υθίας Αν μια υθία διέρχται από την αρχή τν αξόνν και έχι συντλστή διύθυνσης λ, τότ η ξίσσή της ίναι = λ( ή = λ οι διχοτόμοι τν γνιών O και O έχουν ξισώσις = και = αντιστοίχς o δ δ 1 =- = 135 45 o αν μια υθία διέρχται από το σημίο A (, και ίναι παράλληλη στον άξονα, δηλαδή ίναι όπς λέμ μια οριζόντια υθία, έχι ξίσση = (, δηλαδή = Α(, 4
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Να αποδίξτ το θώρημα : Κάθ υθία του πιπέδου έχι ξίσση της μορφής A + B + Γ = μ A ή B (1 και αντιστρόφς, κάθ ξίσση της μορφής (1 παριστάνι υθία γραμμή Έστ μια υθία στο καρτσιανό πίπδο Αν η υθία τέμνι τον άξονα στο σημίο Σ (, β και έχι συντλστή διύθυνσης λ, τότ θα έχι ξίσση = λ + β, η οποία γράφται λ + ( 1 + β = Αν η υθία ίναι κατακόρυφη και διέρχται από το σημίο P(,, τότ θα έχι ξίσση =, η οποία γράφται ισοδύναμα + + ( = P(, Βλέπουμ, δηλαδή, ότι και στις δύο πριπτώσις η ξίσση της υθίας παίρνι τη μορφή A + B + Γ = μ A ή B Αντιστρόφς, έστ η ξίσση A + B + Γ = μ A ή B A Αν B, τότ η ξίσση γράφται = B Γ B, που ίναι ξίσση υθίας μ συντλστή διύθυνσης λ = A B και η οποία τέμνι τον άξονα στο σημίο Γ, B Αν B =, τότ, λόγ της υπόθσης, ίναι A και η ξίσση γράφται = Γ, που ίναι ξίσση υθίας A Γ κάθτης στον άξονα στο σημίο του P, A Σ όλς λοιπόν τις πριπτώσις η ξίσση A + B + Γ = μ A ή B παριστάνι υθία 5
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Να αποδίξτ ότι: Η υθία μ ξίσση A + B + Γ = ίναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = ( B, A Έστ O ένα σύστημα συντταγμένν στο πίπδο και μια υθία του πιπέδου μ ξίσση A + B+ Γ = Είδαμ προηγουμένς ότι: A Αν B, τότ η έχι συντλστή διύθυνσης λ= B και πομένς ίναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = ( B, A Αν B =, τότ η ίναι παράλληλη προς τον άξονα και πομένς παράλληλη και πάλι προς το διάνυσμα δ = ( B, A Να αποδίξτ ότι : Η υθία μ ξίσση A + B + Γ = ίναι κάθτη στο διάνυσμα n = ( A, B το διάνυσμα δ = ( B, A ίναι κάθτο στο διάνυσμα n = ( A, B, αφού δ n = ( B, A ( A, B = AB AB = Επομένς: Η υθία μ ξίσση A + B + Γ = ίναι κάθτη στο διάνυσμα n = ( A, B Έστ μια υθία του καρτσιανού πιπέδου, μ ξίσση A + B + Γ = και M (, ένα σημίο κτός αυτής Ποιος ίναι ο τύπος της απόστασης του σημίου Μ από την υθία Είναι : A + B + Γ d( M, = A + B Έστ A ( 1, 1, B (, και Γ ( 3, 3 τρία σημία του καρτσιανού πιπέδου που δν ίναι συνυθιακά Ποιος ίναι ο τύπος για το μβαδό του τριγώνου ΑΒΓ Είναι : 1 ( AB Γ = det( Γ AB, A Ποιος ο τύπος για την ύρση της απόστασης τν υθιών 1 : = λ + β 1 και : = λ + β ( παράλληλς Είναι : β1 β d( 1, = 1 + λ 6