OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09... UKUPNO 4 BODA 3. Svaka knjiga ima po korice pa je ukupan broj korica 6, a njihova ukupna debljina mm. Ukupan broj stranica je 90 + 0 + 0 odnosno 30. Zato je ukupna debljina svih stranica jednaka 30:0 odnosno 3 mm. Na kraju, debljina svi knjiga zajedno je + 3 odnosno 47 mm.... UKUPNO 4 BODA 4. Najveći jednoznamenkasti broj je 9, a najveći dvoznamenkasti broj je 99 pa je 999 = 9 + 990 = 9 + 99 0. Dakle, treba dodati 0 puta... UKUPNO 4 BODA. Znamenka 7 se pojavljuje u brojevima 7, 7, 7, 37, 47, 7, 67, 70, 7, 7, 73, 74, 7, 76, 77, 78, 79, 87 i 97. Dakle, znamenka 7 je napisana 0 puta... UKUPNO 4 BODA 6. Ana Beata, Ana Cvijeta, Ana Danijela, Ana Ema Beata Cvijeta, Beata Danijela, Beata Ema Cvijeta Danijela, Cvijeta Ema Danijela Ema Poklone mogu razmijeniti na 0 načina. ( za svaku razmjenu bod ). UKUPNO 0 BODOVA 7. U utorak je obojio 4 letvice više nego u ponedjeljak, u srijedu 8 letvica više, u četvrtak letvica više, u petak 6 letvica više i u subotu 0 letvica više nego u ponedjeljak. Kako je 4 + 8 + + 6 + 0 = 60, to znači da je obojio ukupno 60 letvica više nego da je svaki dan obojio kao u ponedjeljak. S obzirom da je 46 60 = 86 i 86 : 6 = 3, onda je u ponedjeljak obojio 3 letvicu. U srijedu je obojio 8 letvica više nego u ponedjeljak odnosno 39 letvica... UKUPNO 0 BODOVA 8. A B C D E Dužine su:. ( za svaku dužinu bod )... UKUPNO 0 BODOVA
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00.. razred-rješenja. 8 ima 6 djelitelja:,, 3, 6, 9 i 8. 4 ima 8 djelitelja:,, 3, 4, 6, 8, i 4. 49 ima 3 djelitelja:, 7 i 49. Najviše djelitelja ima broj 4.. Kako su razlike uzastopnih članova 7 =, 7 7 = 0 i 37 7 = 0, te je 0 : = i 0 : 0 =, onda sljedeća razlika treba biti 0 = 40, a zatim 40 = 80. Zato u nizu slijedi broj 37 + 40 = 77 odnosno 77 + 80 = 7 Dva broja koji nastavljaju niz su 77 i 7..... UKUPNO 4 BODA 3. U zadanom vremenskom razdoblju sat će se oglasiti 87 = 86 puta. Dijeljenjem 86 :, dobit ćemo 7 i ostatak. Sat je u tom vremenu napravio 7 ciklusa tik, tak, tok, bim, bam te proizveo još jedan zvuk. Sljedeći po redu nakon tik jest zvuk tak. 4. 0 = 3 + 7 0 = 7 + 3 0 = + + 3 0 = + 7 +. Ako je najmanji od tih brojeva, srednji po veličini je 3, a najveći 3 3 = 9. Uvjete zadatka opisuje jednadžba + 3 + 9 = 48. Tada je 3 = 48, odakle je = 48 : 3 = 37. Traženi brojevi su 37, i 333. 6. Prirodni broj je djeljiv s ako je djeljiv i s 3 i s. Da bi bio djeljiv s, zadnja znamenka mu mora biti 0. Da bi bio djeljiv s 3, zbroj znamenaka mu mora biti djeljiv s 3. Najmanji zbroj četvorki djeljiv s 3 je 4 + 4 + 4. Traženi broj je broj 4440. UKUPNO 0 BODOVA
7. Traženi su brojevi oblika abcde, pri čemu znamenke zadovoljavaju uvjete: b je iz skupa {3,, 7} pa je biramo na 3 načina, c je iz skupa {6, 8, 9}te je biramo na 3 načina, d je bilo koja od zadanih znamenaka pa je biramo na 8 načina, e je iz skupa {0, 6, 8}, no zbog a = e mora biti e 0 što znači da je biramo na načina i a je određena znamenkom e. Ukupan broj brojeva koji zadovoljavaju uvjet je 3 3 8 = 44. UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka je duljina kraće stranice pravokutnika izražena u centimetrima. Tada je duljina dulje stranice 4. Opseg tog pravokutnika je ( + 4) = 0 pa je = 0 = 4 BODA Stranica kvadrata dugačka je 4 = 8 cm pa je površina 64 cm. 4 BODA UKUPNO 0 BODOVA
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 6. razred-rješenja. Kako je 0. i 3 0, onda i 0. 3 6 4 4 Dalje je 3 odnosno.... UKUPNO 4 BODA. Neka je ukupan broj kuglica u kutiji. Kako je 7, crvene i plave kuglice čine 7 ukupnog broja kuglica. 3 4 7 Preostale kuglice su zelene pa ih ima. S obzirom da zelenih kuglica ima 0, vrijedi 0. Dakle, 0 : 4. U kutiji su ukupno 4 kuglice..... UKUPNO 4 BODA 3. Neka je traženi broj. Prema uvjetima zadatka možemo pisati 4 4 8 9 9 9 9(4 ) 8(9 ) 36 9 7 8 9 8 7 36 36 Traženi broj je 36..... UKUPNO 4 BODA 4. Neka je veličina kuta uz osnovicu tog trokuta. Tada je + 0 veličina kuta među krakovima tog trokuta. Zato vrijedi + + + 0 = 80 Dalje je 3 + 0 = 80, odnosno 3 = 60, pa je = 3 0'. Kutovi trokuta su veličine 3 0', 3 0' i 73 0'..... UKUPNO 4 BODA. Neka je količina dovezenog krumpira. Kako je 3 7 količina prodanog krumpira, onda je 3 4 ostatak. 7 7 Zato vrijedi 4 3 0. 7 7 Dalje je 4 3 0 odnosno 0 7 7 7. Na kraju je = 470. Dostavljač je na tržnicu dovezao 470 kg krumpira.
6. Neka je broj boca od 0.8 l. Tada je 78 broj boca od 3 4 l. 3 Zato vrijedi 0.8 (78 ) 60. 4 Rješavanjem jednadžbe slijedi = 30. 4 BODA Napunjeno je 30 boca od 0.8 l i 48 boca od 3 4 l..... UKUPNO 0 BODOVA c vc a b 7. Površinu pravokutnog trokuta računamo: c.4 3 4 c.4 6 c = m.... UKUPNO 0 BODOVA 8. F D C G E A B Prema uvjetima zadatka je AC = BC = b (to su kraci jednakokračnog trokuta). Nadalje je CD = CF = b (stranica kvadrata). Konačno, ACD = ACB + BCD = γ + 90 i BCF = BCA + ACF = γ + 90, pa vrijedi ACD = BCF. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta zaključujemo da je ΔACD ΔBCF. Iz dokazane sukladnosti slijedi AD = BF. UKUPNO 0 BODOVA
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 7. razred-rješenja. y y A B S B S D C C Sjecište dijagonala kvadrata je u točki S(, ). Dijagonale kvadrata su okomite i jednakih duljina, a točka S je njihovo zajedničko polovište. Tada je A(, 8) i D(7, )... UKUPNO 4 BODA. : = 4 cm : 80 km = 4 cm : 8 000 000 cm 8000000 400000 4 Traženo mjerilo je : 4 00 000.. UKUPNO 4 BODA 3. Iz uvjeta zadatka moguće je sastaviti jednakost... 6 46. Nakon što Hrvoje napusti skupinu jednakost glasi... 3 4 37. Oduzimanjem druge jednakosti od prve dobivamo da je 6 = 46 37 Dakle, Hrvoje ima 4 godinu... UKUPNO 4 BODA 4. Neka je c početna cijena krumpira. To znači da domaćica raspolaže s 0c kn. Nakon sniženja će nova cijena biti c 0%c = 0.8c. Ako je količina krumpira kojeg može kupiti po novoj cijeni, onda vrijedi 0.8c = 0c. Rješavanjem jednadžbe slijedi =. Po novoj cijeni se može kupiti kg... UKUPNO 4 BODA. Prva osoba za jedan dan obavi posla, a druga osoba posla. 6 Oni skupa za jedan dan mogu obaviti 3 posla. 6 4 Dakle, za cijeli posao im treba 4 dana... UKUPNO 4 BODA
6. D y C A y B Označimo dimenzije početnog pravokutnika s i y. Vrijedi: BC = 3y, AB = DC = + y, AD =. Kako je BC = AD, onda je 3y = odnosno =.y. Neka je p površina početnog pravokutnika. Tada je p = y =.y y Dalje je p ABCD = p = 7.y y = 70 odnosno y y = 0 pa je y = 0 cm. Slijedi = cm. AB = + y = cm BC = 3y = 30 cm Na kraju,o ABCD = AB + BC = 0 cm... UKUPNO 0 BODOVA 7. Produljeni razmjer a : b : c = : 3 : 3. možemo pisati u obliku a : b : c = 30:80 :48, odnosno a : b : c = : 40 : 4. Tada vrijedi a =, b = 40 i c = 4,. Prema uvjetu zadatka je c = b 8 km, tj. 4 = 40 8. Iz posljednje jednadžbe nalazimo da je = 0.. Udaljenosti tvornica A, B i C od luke su redom 7. km, 0 km i km... UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka je s odnosno s duljina puta od mjesta A do mjesta B odnosno duljina puta u povratku. Neka je t odnosno t vrijeme provedeno u vožnji od mjesta A do mjesta B odnosno u povratku. Neka je v odnosno v prosječna brzina na putu do mjesta B odnosno u povratku. 4 30 Tada je s s 0.6s 0.74s, t 6 6 6 i 60 60 60 4 4 3 0 t 6 6 6 60 60 60 6 s s Dalje je v i v t t 37 s 6 s s s t Zato vrijedi 6 6 37 6 4 v: v : t t t s 6 0.74s 6 74 3 0.74 4 4 Dakle, v : v = 4 : 3.... UKUPNO 0 BODOVA
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 8. razred-rješenja. Količnici uzastopnih članova su, 4, 8. Kako je 4 : = i 8 : 4 =, onda sljedeći količnik treba biti 8 = 6, a zatim 6 = 3. Zato u nizu slijedi broj 9 6 = 307, odnosno 307 3 = 98304... UKUPNO 4 BODA. Potrebno je uočiti da je 0 000 9999 = (0 4 ) 9999. Iz toga slijedi jednakost (0 4 ) 9999 =0 39996. Dakle, iza znamenke biti će 39 996 nula, pa će broj imati 39 997 znamenaka... UKUPNO 4 BODA 3. Površina romba je jednaka polovini umnoška duljina njegovih dijagonala. 00 00 00 00 p 00 00 p 00 00 8 p 4 Površina romba iznosi 4 cm... UKUPNO 4 BODA 4. 4a 4ab a 3 ab 4 a ( a b) = a ( a b ) = = 4 a ( a b) a a b a b = 4 = a b.. UKUPNO 4 BODA. Vrijedi a 4a + 00 = a a + + 00 = (a ) + 006. Za a = najmanja vrijednost je 006... UKUPNO 4 BODA 6. Iz a : b = 8 : slijedi da je a = 8 i b =,. Primjenom Pitagorina poučka dobiva se c = (8) + (), tj. c = 89. Duljina hipotenuze je c = 7. Opseg trokuta je 00 cm pa je 8 + + 7 = 00. Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo =.. Duljine stranica trokuta su a = 0 cm, b = 37. cm i c = 4. cm.... UKUPNO 0 BODOVA
7. Broju n prethodnik je broj n,a sljedbenik n +. Iz uvjeta zadatka slijedi jednadžba: n 49 = 3(n ) (n + ) n 49 = 3(n n + ) (n + n +) n 49 = 3n 6n + 3 n 4n 0n = 0 n = Traženi broj je, a njegov sljedbenik 6.... UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka su AD visina na krak BC i CE visina na osnovicu AB. Kako je BC < AB, onda je AD > CE. To znači da je AD = 4 cm, a CE = 0 cm. AB CE BC AD Kako je p, onda vrijedi 0 AB = 4 BC 6 odnosno AB BC. AB Primijenimo li Pitagorin poučak na ΔBCE, slijedi 0 BC, odnosno nakon sređivanja BC = cm i AB = 30 cm. 4 BODA Na kraju, o = AB + BC = 30 + = 80 cm.... UKUPNO 0 BODOVA