Διάλεξη 5- Σημειώσεις

Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό 1 του που συμβολίζεται με 0 1. Αν 00 ( ) 0 στο εσωτερικό του τότε η συνάρτηση ( ) είναι κοίλη (concave) 2. Αν 00 ( ) 0 στο εσωτερικό του τότε η είναι γνησίως ή αυστηρώς κοίλη (strictly concave) 3. Αν 00 ( ) 0 στο εσωτερικό του τότε η συνάρτηση ( ) είναι κυρτή (convex) 4. Αν 00 ( ) 0 στο εσωτερικό του τότε η είναι γνησίως κυρτή (strictly convex) Σημείωση 1: Σημείωση 2: Η γραμμική συνάρτηση θεωρείται και κοίλη και κυρτή Αν κοίλη (κυρτή) τότε = κυρτή (κοίλη) Σημείωση 3: Οι κοίλες και κυρτές συναρτήσεις σχηματίζουν καμπύλες. Όταν ένα ευθύγραμμο τμήμα (χορδή) που σχηματίζεται από δύο σημεία ( 1 ( 1 )) και ( 2 ( 2 )) βρίσκεται πάνω από το τόξο (καμπύλη) της συνάρτησης τότε αυτή είναι κυρτή. Όταν βρίσκεται κάτω από το τόξο της συνάρτησης τότε αυτή είναι κοίλη. 1 Για παράδειγμα αν =[ ] τότε το εσωτερικό του είναι όλα τα ( ) Επίσης θυμηθείτε ότι κυρτά είναι όλα τα συνεχόμενα διαστήματα στο R 1

Παράδειγμα. Η συνάρτηση ( ) = 2 : R R + είναι αυστηρώς κυρτή 0 ( ) =2 00 ( ) =2 0 στο εσωτερικό του R Παράδειγμα. Η συνάρτηση ( ) = : R R + είναι αυστηρώς κυρτή 0 ( ) = 00 ( ) = 0 στο εσωτερικό του R Παράδειγμα. Η συνάρτηση ( ) =ln : R ++ R είναι αυστηρώς κοίλη 0 ( ) = 1 00 ( ) = 1 2 0 στο εσωτερικό του R ++ f(x)=lnx 2 1.5 f(x2) 1 0.5 f(x1) -0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8-0.5 x1=1.5 x2=3 x -1-1.5-2 Ησυνάρτηση ( ) =ln : R ++ R είναι αυστηρώς κοίλη. Ένα οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα (χορδή: εδώ το μπλε ευθύγραμμο τμήμα) βρίσκεται κάτω από την καμπύλη (τόξο) της συνάρτησης. Σημείωση: Σε ένα λιγότερο αυστηρό πλαίσιο όπου δεν υποθέτουμε αναγκαστικά την ύπαρξη δεύτερης ή ακόμη και πρώτης παραγώγου, μία συνάρτηση ( ) είναι κοίλη στο κυρτό διάστημα R αν για κάθε 1 2 και 2

[0 1] έχουμε ( 1 +(1 ) 2 ) ( 1 )+(1 ) ( 2 ) Ησυνάρτηση ( ) είναι αυστηρώς κοίλη στο κυρτό διάστημα R αν για κάθε 1 6= 2 και (0 1) έχουμε ( 1 +(1 ) 2 ) ( 1 )+(1 ) ( 2 ) Αντίστοιχα με και δίνεται ο γενικότερος ορισμός της κυρτότητας και αυστηρής κυρτότητας. Οι κοίλες συναρτήσεις, σε πολλές οικονομικές εφαρμογές, παριστούν φθίνουσες οριακές αποδόσεις και μπορούν να εκπροσωπήσουν συναρτήσεις χρησιμότητας και παραγωγής που θα τις μάθετε σταδιακά στο πλαίσιο σπουδών σας. Για παράδειγμα, η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas = ( ) =, 0, 0 δίνει οριακή απόδοση εργασίας = 0 = που ονομάζεται οριακό προϊόν ή οριακή παραγωγικότητα της εργασίας. Έστωότι0 1. Τοοριακόπροϊόν είναι αύξουσα συνάρτηση της εισροής της εργασίας καθώς 0 αφού 0 = = = 1 0 Όμως, με την υπόθεση 0 1, η συνάρτηση παραγωγής επίσης παρουσιάζει φθίνον οριακό προϊόν, αφού η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης παραγωγής είναι αρνητική, 00 0, γιακάθε 0, ήη 3

πρώτη παράγωγος του οριακού προϊόντος είναι αρνητική, δηλαδή 00 = 2 = 2 = = ( 1) 2 0 Οπότε η συνάρτηση παραγωγής τύπου Cobb-Douglas = είναι αυστηρώς κοίλη όταν η παράμετρος είναι περιορισμένη στο 0 1και η κοιλότητα (μεταξύ άλλων) υποννοεί την φθίνουσα οριακή αποδόση της εργασίας. 1.1 Αποστροφή κινδύνου (risk aversion): κοιλότητα συνάρτησης χρησιμότητας Θεωρούμε, σε πολλά βασικά οικονομικά υποδείγματα, ότι μπροστά σε έναν κίνδυνο (ρίσκο), δηλαδή σε συνθήκες αβεβαιότητας, τα άτομα της οικονομίας αποστρέφονται τον κίνδυνο (risk aversion). Η συγκεκριμένη υπόθεση βεβαιώνεται από την υπόθεση της κοιλότητας της συνάρτησης χρησιμότητας 2, ( ), μίας συνάρτησης που αποδίδει μετρήσιμους αριθμούς σε (μη-μετρήσιμα) επίπεδα χρησιμότητας. 1.1.1 Παράδειγμα (s.o.s) Έστω ότι συμβολίζει το αβέβαιο αποτέλεσμα, πληρωμή ή πλούτο (wealth) στην περίπτωση που αντιμετωπίζουμε με πιθανότητα =0 5 να λάβουμε 1 = 10 και με πιθανότητα 1 =0 5 να λάβουμε 2 =20 ευρώ, έναντι της εναλλακτικής να λάβουμε με βεβαιότητα 15 ευρώ. Δηλαδή είμαστε αντιμέτωποι με μία επιλογή, να λάβουμε με βεβαιότητα 15 ευρώ ή μπορούμε να συμμετέχουμε στον συγκεκριμένο τζόγο και να λάβουμε 10 ευρώ με πιθανότητα 50% ή 20 ευρώ με πιθανότητα 50% (οι πιθανότητες 2 Περισσότερα θα μάθετε στην Μικροοικονομική... 4

1 = και 2 =1 είναι ίσες προς αλγεβρική διευκόλυνση της ανάλυσης, μπορούν να διαφέρουν 1 6= 2 αρκεί 1 + 2 =1). Η αναμενόμενη ή μέση τιμή του τζόγου ή αβέβαιου αποτελέσματος δίνεται από ( )= 1 1 + 2 2 = 1 1 +(1 1 ) 2 ή στο συγκεκριμένο παράδειγμα από ( )= 1 +(1 ) 2 =0 5 10 + 0 5 20 = 15 Έστω ότι η συνάρτηση ( ) εκφράζει χρησιμότητα από την όποια επιλογή μας. Τότε, η υπόθεση της κοιλότητας της συνάρτησης χρησιμότητας ( 0 ( ) 0 00 ( ) 0 αν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη) υποννοεί ότι είμαστε αποστροφείς κινδύνου (risk averse) αφού ( ( )) {z } χρησιμότητα βέβαιου αποτελέσματος ( ( )) {z } χρησιμότητα τζόγου δηλαδή (υπόθεση κοιλότητας) (15) 0 5 (10) + 0 5 (20) όπου (15) = (0 5 10 + 0 5 20) ή γενικότερα ( 1 +(1 ) 2 ) ( 1 )+(1 ) ( 2 ) γιά κάποια πιθανότητα [0 1]. 5

Πηγή: wikipedia Η χρησιμότητα της βέβαιης επιλογής είναι μεγαλύτερη από τη χρησιμότητα αν αναλάβουμε το στοίχημα (άρα ΔΕΝ αναλαμβάνουμε το στοίχημα). Η αναμενόμενη χρησιμότητα ( ( )) (χρησιμότητα του τζόγου) είναι ίση με τη χρησιμότητα που απολαμβάνουμε από ένα ποσό ή στο παραπάνω γράφημα, μικρότερο του ( ). Το συγκεκριμένο ποσό : = ( ( )) καλείται ισοδύναμο βεβαιότητας (certainty equivalent) ενώ η απόσταση ( ) = είναι το πριμ κινδύνου (risk premium). Παράδειγμα: Έστω ότι αντιμετωπίζετε μία συνάρτηση χρησιμότητας ( )= ln( ):(1 + ] R ++ και το παραπάνω δίκαιο στοίχημα. Τότε σε επίπεδα χρησιμότητας ( ( )) = (15) = ln 15 = 2 7080 : χρησιμότητα βέβαιου αποτελέσματος ( ( )) = 0 5ln10+0 5ln20=2 6491 : χρησιμότητα τζόγου και = ( ( )) ln =2 6491 =14 1421 Άρα το πριμ κινδύνου είναι ίσο με = ( ) =15 14 1421 = 0 8579 6

Αυτό σημαίνει ότι είστε αδιάφοροι (indifferent) μεταξύ 14 1421 ευρώ σίγουρη πληρωμή και 15 ευρώαπότοσυγκεκριμένοτζόγο. Οποιοδήποτε στοίχημα σας δώσει σίγουρη πληρωμή παραπάνω από 14 1421 ευρώ θα προτιμηθεί έναντι του τζόγου. 2 Βελτιστοποίηση Εύρεση της τιμής στην οποία η συνάρτηση έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή ( ) : R R max ( ) ή min ( ) Χαρακτηρισμός του μέγιστου ή ελάχιστου σημείου { ( )} ως τοπικό, ολικό, μοναδικό ολικό. Το μέγιστο ή ελάχιστο της συνάρτησης μπορεί να χαρακτηρισθεί επιπλέον ως (α) εσωτερικό αν το βρίσκεται στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της συνάρτησης ή (β) συνοριακό στην περίπτωση που το βρίσκεται στα άκρα του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. 2.1 Εσωτερικά σημεία Έστω ότι : R R. Έστω ότι 0 ένα εσωτερικό σημείο του. π.χ αν =[ ] τότε 0 ( ). Υποθέστε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε μία γειτνίαση του 0 (άρα και στο 0 ). Τότε αν (i) Συνθήκη Πρώτης Τάξης (Σ.Π.Τ) ήαναγκαίασυνθήκηγιαύπαρξημέγιστου 0 ( 0 )=0 7

και Συνθήκη Δεύτερης Τάξης (Σ.Δ.Τ) ή ικανή συνθήκη για ύπαρξη μέγιστου 00 ( 0 ) 0 άρα 0 ( 0 )=0 και 00 ( 0 ) 0 η έχει τοπικό μέγιστο στο 0 (ii) Συνθήκη πρώτης τάξης (Σ.Π.Τ) ή αναγκαία συνθήκη για ύπαρξη ελάχιστου 0 ( 0 )=0 και Συνθήκη Δεύτερης Τάξης (Σ.Δ.Τ) ή ικανή συνθήκη για ύπαρξη ελάχιστου 00 ( 0 ) 0 άρα 0 ( 0 )=0 και 00 ( 0 ) 0 η έχει τοπικό ελάχιστο στο 0 Θεωρία: Έστω ότι : R R. Επιπλέον, έστω ότι 0 Τέλος, έστω ότι το είναι συμπαγές (κλειστό και φραγμένο) και κυρτό τότε (i) αν η είναι συνεχής και κοίλη (concave) και έχει τοπικό μέγιστο στο 0, τότε η έχει ολικό μέγιστο στο 0 (ii) αν η είναι κυρτή (convex) και έχει τοπικό ελάχιστο στο 0,τότεη έχει ολικό ελάχιστο στο 0 Θεωρία: Έστω ότι : R R. Επιπλέον, έστω ότι 0 Τέλος, έστω ότι το είναι συμπαγές (κλειστό και φραγμένο) και κυρτό τότε (i) αν η είναι αυστηρώς κοίλη (strictly concave) έχει το πολύ ένα ολικό μέγιστο (μοναδικό ολικό μέγιστο στο σημείο 0 ( 0 )=0αν είναι τουλάχιστον μία φορά παραγωγίσιμη στο 0 ) 8

(ii) αν η είναι αυστηρώς κυρτή (strictly convex) έχει το πολύ ένα ολικό ελάχιστο στο 0 (μοναδικό ολικό ελάχιστο στο σημείο 0 ( 0 )=0αν είναι τουλάχιστον μία φορά παραγωγίσιμη στο 0 ) 2.2 Παρένθεση: δεξιά και αριστερή παράγωγος συνάρτησης Μία συνάρτηση :[ ] R με R και είναι δεξιά παραγωγίσιμη στο αν υπάρχει και είναι πεπερασμένο (όχι άπειρο) το όριο 0 ( + ) = lim 0 + ( + ) ( ) Αντίστοιχα είναι αριστερά παραγωγίσιμη στο αν υπάρχει και είναι πεπερασμένο το όριο 0 ( ( + ) ( ) ) = lim 0 Μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0 όταν 0 ( + 0 )= 0 ( 0 ) (= 0 ( 0 )) Η συνέχεια μίας συνάρτησης ΔΕΝ συνεπάγεται και παραγωγισιμότητα ενώ η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται και συνέχεια της συνάρτησης. Για παράδειγμα (συνέχειας και μη-παραγωγισιμότητας), ησυνάρτηση ( ) = R είναι συνεχής αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 =0 αφού τα δεξιά και αριστερά όρια της ( ) στο 0 =0δεν είναι ίσα. Παρόλαυτα, η συνάρτηση είναι δεξιά παραγωγίσιμη στο 0 =0με 0 (0 + )=1και αριστερά παραγωγίσιμη στο 0 =0με 0 (0 )= 1 0 (0 + 0+ 0 ) = lim = lim 0 + 0 + = lim 0 + =1 0 (0 ) = lim 0 0+ 0 = lim 0 = lim 0 = 1 9

Σεέναάλλοπαράδειγμα (παραγωγισιμότητας), έστωησυνάρτηση = ln ( +1) [0 10]. Η συνάρτηση είναι δεξιά παραγωγίσιμη στο αριστερό άκρο του πεδίου ορισμού της (στο 0). Για παράδειγμα η δεξιά παράγωγος δίνεται από 0 (0 + ln (1 + ) ln (1) )= lim 0 1 (1 + ) = lim =1 0 + 0 + 1 Στο άλλο άκρο του πεδίου ορισμού της, (στο 10), είναι επίσης αριστερά παραγωγίσιμη. Για παράδειγμα η αριστερή παράγωγος δίνεται από 0 (10 ln (10 + ) ln (10) ) = lim 0 1 (10 + ) = lim = 1 0 0 1 10 Τέλος,σε ένα άλλο παράδειγμα (παραγωγισιμότητας), έστω η συνάρτηση ( ) = 2 με [0 1]. Δείξτε - με χρήση ορίων - ότι η συνάρτηση είναι δεξιά παραγωγίσιμη στο 0 με 0 (0 + )=0και αριστερά παραγωγίσιμη στο 1 με 0 (1 )=1. 2.3 Συνοριακά σημεία Έστω =[ ], όπου R και και έστω ότι : R (i) Αν η είναι δεξιά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό μέγιστο στο Αν είναι δύο φορές δεξιά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) = 0 με 00 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό μέγιστο στο Επιπλέον, αν 0 ( ) 0 και η είναι κοίλη στο 0 τότε έχει ολικό μέγιστο στο ενώ αν η είναι αυστηρώς κοίλη στο 0 τότε έχει μοναδικό ολικό μέγιστο στο Σημείωση: Σε περίπτωση συνοριακού σημείου στο οποίο η συνάρτηση είναι μη-παραγωγίσιμη, τότε χαρακτηρίζουμε το ακρότατο με βάση την ανισότητα ( ) T ( ) \{ }. Παρομοίως και για το δεξιό συνοριακό σημείο 10

(ii) Αν η είναι δεξιά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό ελάχιστο στο Αν είναι δύο φορές δεξιά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) = 0 με 00 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό ελάχιστο στο Επιπλέον αν 0 ( ) 0 και η είναι κυρτή στο 0 τότε έχει ολικό ελάχιστο στο ενώ αν η είναι αυστηρώς κυρτή στο 0 τότε έχει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο (iii) Αν η είναι αριστερά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό μέγιστο στο Αν είναι δύο φορές αριστερά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) =0με 00 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό ελάχιστο στο Επιπλέον αν 0 ( ) 0 και η είναι κοίλη στο 0 τότε έχει ολικό μέγιστο στο ενώ αν η είναι αυστηρώς κοίλη στο 0 τότε έχει μοναδικό ολικό μέγιστο στο (iv) Αν η είναι αριστερά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό ελάχιστο στο Αν είναι δύο φορές αριστερά-παραγωγίσιμη στο και 0 ( ) =0με 00 ( ) 0 τότε η έχει τοπικό μέγιστο στο Επιπλέον αν 0 ( ) 0 και η είναι κυρτή στο 0 τότε έχει ολικό ελάχιστο στο ενώ αν η είναι αυστηρώς κυρτή στο 0 τότε έχει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο 2.4 Γράφημα Γράφημα στον πίνακα που παρουσιάζει όλα τα πιθανά ακρότατα... 11

2.5 Παρένθεση: κριτήριο ν-οστής παραγώγου Έστω μία συνάρτηση ( ) φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα με το 0 εσωτερικό σημείο του. Αν 0 ( 0 )= 00 ( 0 )= 000 ( 0 )= = ( 1) ( 0 )=0 με ( ) ( 0 ) 6= 0 και (i) το είναι άρτιος (ζυγός) αριθμός τότε, ( ) ( 0 ) 0 η έχει τοπικό ελάχιστο στο 0 ( ) ( 0 ) 0 η έχει τοπικό μέγιστο στο 0 (ii) το είναι περιττός αριθμός τότε η έχει σημείο καμπής στο 0. Παράδειγμα. Προβείτε σε εύρεση του τοπικού μέγιστου ή ελάχιστου της συνάρτησης ( ) =1 4 Παράδειγμα. Προβείτε σε εύρεση του τοπικού μέγιστου ή ελάχιστου της συνάρτησης ( ) = 6 Παράδειγμα. Προβείτε σε εύρεση του τοπικού μέγιστου ή ελάχιστου της συνάρτησης ( ) = 3 3 Σημεία καμπής Έστω μία συνάρτηση ( ) δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και το 0 εσωτερικό σημείο του. Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής στο 0 αν 12

00 ( 0 )=0και η δεύτερη παράγωγος 00 αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0 00 ( 0 ) 00 ( 0 + ) 0 για 0. Παράδειγμα. ( ) = 3 και 00 ( ) =6 άρα 00 (0) = 0 οπότε πιθανό σημείο καμπής το 0 =0 Έχουμε 00 ( 0 ) 00 ( 0 + ) = 6( 0 ) 6( 0 + ) = 6 2 0 36 2 = 36 2 0 4 Ασύμπτωτες Ηευθεία = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της ( ) όταν lim ( ) = ή lim ( ) = + Ηευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της ( ) όταν lim + ( ) =± ή lim ( ) =± Ηευθεία = + είναι πλάγια ασύμπτωτη της ( ) όταν ( ) lim = R και lim [ ( ) ] = R ± ± Παράδειγμα ( ) = 2 3 2 2 2 3 lim = ± δεν υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη ± 2 2 2 3 lim = υπάρχει κατακόρυφη ασύμπτωτη 1 + 2 2 13

2 3 2 2 lim + = 1 2 2, lim 3 + 2 2 1 2 = 1 υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη = 1+ 2 5 Μελέτη συνάρτησης (κατασκευή πίνακα μεταβολών) 5.1 Πλήρης Μελέτη Προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της. Εξετάζουμε αν είναι άρτια 3 ( ) = ( ), περιττή 4 ( ) = ( ) ήπεριοδική ( + ) = ( ) με + να ανήκει στο πεδίο ορισμού. Ο μικρότερος τέτοιος αριθμός ονομάζεται περίοδος της. Εξετάζουμε τη συνέχεια της στο πεδίο ορισμού της Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία (σημεία στασιμότητας 0 : 0 ( 0 )=0,άκρα πεδίου ορισμού, τυχόν σημεία μη-παραγωγισιμότητας και ασυνέχειας) Εξετάζουμε τη μονοτονία με το πρόσημο της 0 Βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα, ΣΠΤ, ΣΔΤ Προσδιορίζουμε την καμπυλότητα με το πρόσημο της 00 και τα σημεία καμπής 00 () = 0 Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες Βρίσκουμε τα σημεία τομής της ( ) με τους άξονες 5.2 Βασική Μελέτη (πίνακας μεταβολών) Υποθέτουμε συνάρτηση ( ) (συνεχή και) τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμη στα εσωτερικά σημεια του πεδίου ορισμού της. 3 και επομένως η γραφική παράστασή της έχει άξονα συμμετρίας τον κάθετο άξονα 0. 4 Η γραφική παράσταση ιαςπεριττήςσυνάρτησηςείναισυ ετρική ως προς την αρχή των αξόνων (0 0). 14

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της (τα άκρα του και πιθανά σημεία ασυνέχειας). Βρίσκουμε τα σημεία στασιμότητας 0 : 0 ( 0 )=0 Εξετάζουμε τη μονοτονία με το πρόσημο της 0 γύρω από τα 0 Προσδιορίζουμε την καμπυλότητα με το πρόσημο της 00 και τα σημεία καμπής 00 ( ) =0 Βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα: Σ.Π.Τ, Σ.Δ.Τ Άσκηση 1 Βρείτε τα στάσιμα σημεία ( : 0 ( ) =0)της παρακάτω συνάρτησης = ( ) ( ) :R R και βεβαιώστε αν πρόκειται για τοπικά μέγιστα, ελάχιστα ή σημεία καμπής = 3 3 2 +1 50 y y x 3 3 x 2 1 40 30 20 10-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-10 x -20-30 -40-50 Άσκηση 2 Βρείτε τα στάσιμα σημεία ( : 0 ( ) =0)της παρακάτω συνάρτησης = ( ) ( ) :R R και βεβαιώστε αν πρόκειται για τοπικά μέγιστα, ελάχιστα ή 15

σημεία καμπής = 4 4 3 +16 2 y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 y x 4 4x 3 16x 2-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-10 x Σημείωση: Το πολυώνυμο 3 3 2 +4=( +1)( 2) 2 5.3 Άσκηση Βρείτε τα στάσιμα σημεία ( : 0 ( ) =0)της παρακάτω συνάρτησης = ( ) ( ) :R R και βεβαιώστε αν πρόκειται για τοπικά μέγιστα, ελάχιστα ή σημεία καμπής = 2 2 +1 16

y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 2x y x 2 1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-0.2 x -0.4-0.6-0.8-1.0 Σ.Π.Τ 0 ( ) = 2( 2 +1) 4 2 ( 2 +1) 2 =0 2 2 2 ( 2 +1) 2 =0 = ( 1 1 Σ.Δ.Τ 00 ( ) = 4 ( 2 +1) 2 4 (2 2 2 )( 2 +1) ( 2 +1) 4 = 4 ( 2 +1) 2 (3 2 2 ) ( 2 +1) 4 00 ( 1) 0 τοπικό ελάχιστο 00 (1) 0 τοπικό μέγιστο 5.4 Άσκηση Προβείτε σε βασική μελέτη της συνάρτησης ( ) = 2 ( ) :R R 2 +1 17

δημιουργώντας τον κατάλληλο πίνακα (φθίνουσα/αύξουσα, τοπικά ακρότατα, σημεία καμπής) Από την πρώτη παράγωγο διαπιστώνουμε ότι 0 ( ) 0 2 2 2 0 1 1 ενώ η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται στα σημεία 00 ( ) =0 4 2 +1 2 3 2 2 =0 r 3 = ± 2 =0 q 3 2 1 0 1 0 ( )... 0 +. + 0.. q 3 2 +....... 00 ( ) 0 +. + 0. 0 + 0 &. &. %. % &. & 00..... 5.5 Άσκηση Έστω η συνάρτηση = με [0 1] δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι το =[0 1] R μεεσωτερικόσύνολοτο 0 =(0 1). Το γράφημα της συνάρτησης φαίνεται παρακάτω. Ερώτηση 1. Προβείτε στη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης max 18

Ερώτηση 2. Χαρακτηρίστε τον τύπο του μέγιστου (τοπικό, ολικό, ολικό και μοναδικό; ) Ερώτηση 3. Επίσης μελετήστε το πρόβλημα μεγιστοποίησης στα συνοριακά σημεία =0και =1 y 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x*=0.25 x Απάντηση 1. Σ.Π.Τ Σ.Δ.Τ: Επειδή 0 ( ) = 0 1 2 1 2 1=0 1 2 1=0 = 1 4 =0 25 00 ( ) = 1 µ 1 4 3 2 00 = 1 4 4 µ 3 2 1 0 4 και έχουμε σίγουρα τοπικό μέγιστο στο στάσιμο σημείο = 1 4. 19

Απάντηση 2. Όμως 00 ( ) = 1 4 3 2 0 στο 0 Άρα η δεύτερη παράγωγος 00 ( ) είναι αρνητική για κάθε στο εσωτερικό τουπεδίουορισμού,δηλαδή 0 οπότε η ( ) = είναι αυστηρώς κοίλη και το = 1 4 00 ( ) 0. είναι ολικό μοναδικό μέγιστο αφού Απάντηση 3. Στο (αριστερό) συνοριακό σημείο =0έχουμε lim 0 + 0 ( ) + και η συνάρτηση δεν είναι δεξιά παραγωγίσιμη στο 0. Όμως (0) = 0 ( ) =, (0 1) (0 1] άρα το =0αντιστοιχεί σε τοπικό ελάχιστο. Επειδήηανισότηταισχύει για κάθε (0 1) το ελάχιστο μπορεί να είναι ολικό ή ολικό και μοναδικόαρκείναεξετάσουμετισυμβαίνεικαιστοάλλοάκρο(σύνορο) του πεδίο ορισμού. Στο συνοριακό σημείο = 1 έχουμε αριστερή παραγωγισιμότητα αφού 0 (1) = 1 2 0 Επειδή η 0 (1) 0, ησυνάρτησηέχει τοπικό ελάχιστο στο =1. Ατυχώς η συνάρτηση δεν είναι κυρτή ή αυστηρώς κυρτή για να χρησιμοποιήσουμε τη συνθήκη (iv) που δόθηκε παραπάνω. Όμως αφού (1) = 0 ( ) (0 1) το ελάχιστο (1) = 0 είναι ολικό (όχι όμως και μοναδικό). Άρα η συνάρτηση, στο πεδίο ορισμού της, έχει ένα εσωτερικό ολικό και μοναδικό μέγιστο στο 1 = 1 και δύο συνοριακά ολικά ελάχιστα στα 4 2 =0 3 =1. 20