Θέµα Ένα θέµα ανάλυσης στο κεφάλαιο των παραγώγων, µε πολύ ωραία ερωτήµατα, κατάλληλο για ένα πιθανό 3 ο θέµα Ας το δούµε πολύ προσεκτικά Θέµα Ένα θέµα µε κλασσικά ερωτήµατα στο ο κεφάλαιο της ανάλυσης και µε χρήση του θεωρήµατος De L Hospital Το επίπεδο δυσκολίας του Θέµατος πλησιάζει προς ένα πιθανό (σχετικά δύσκολο) ο θέµα των πανελλαδικών, οπότε καλόν είναι ο υποψήφιος να προσπαθήσει να το λύσει χωρίς να δει την προτεινόµενη λύση Θεωρούµε τις συναρτήσεις f,g : R R µε g() = ( )e + + Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει: Αφενός, τότε: + e - (+)f() ) εφ(+) () για κάθε και αφετέρου, f() lim =, α Να βρεθεί ο αριθµός f() β Να βρεθεί ο αριθµός f(-) γ Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει µε την γραφική παράσταση της συνάρτησης g ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο µε τετµηµένη, ( ) δ Να δείξετε ότι υπάρχει το ξ +ξ+ f() + ( ξ )e f( ξ ) + ( )e + + ουλάχιστον ένα ξ [, ] + για κάθε [,] ξ ώστε να ισχύει: Σελίδα
Θέµα 3 Μια άσκηση (υποψήφιο 3 ο θέµα των πανελλαδικών, µέτριας δυσκολίας) για την οποία χρειάζεται καλή γνώση της θεωρίας και κατανόηση των βασικών εννοιών και τεχνικών στο µέτρο των µιγαδικών αριθµών Θέµα 4 ίνεται η συνάρτηση f : R R µε: 3 f() = e + + = + + Α Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε το πεδίο ορισµού της f B Να λύσετε την εξίσωση f () = Γ Να βρείτε το όριο: f() f () limm 5 Θέµα 5 ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = e + ( )i, R α Να δείξετε ότι Re(z) > Im(z) για κάθε R β Να δείξετε ότι υπάρ αριθµός ρχει ένας τουλάχιστον (,) w = z + z + i να είναι πραγµατικός γ Να βρείτε τον µιγαδικό z του οποίου το µέτρο να γίνεται ελάχιστο, καθώς και το ελάχιστο µέτρο τέτοιος ώστε ο Σελίδα
Θέµα 6 (Αξίζει να το διαβάσετε!) Ένα καταπληκτικό θέµα στην Ανάλυση Στα δύο πρώτα ερωτήµατα κάνουµε µια καλή επανάληψη στη µονοτονία, στη καµπυλότητα και στο σύνολο τιµών συνεχούς συνάρτησης Στα ερωτήµατα Γ! και! εξετάζουµε τη διείσδυση του µαθητή σε ειδικά θέµατα της Ανάλυσης e ίνεται η συνάρτηση f : R R µε f() =, R e + α Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιµών της β Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα και τα σηµ µεία καµπής γ Να δείξετε ότι για κάθε δ i Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει µε την διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων ακριβώς ένα κοινό σηµείο M( m,m ) µε m (, ) ii Να δείξετε ότι m > ισχύει ( ) ( ) ( ) f( )d = m ln m ( ) f + f 3 < f 3 + f Θέµα 7 (Αξίζει να το διαβάσετε!) Ένα εξαιρετικό πιθανό 4 ο Θέµα, δανεισµένο από το εξαιρετικό βιβλίο του Γιάννη Μπαϊλάκη «το 4 ο θέµα των Μαθηµατικών» θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης ίνεται η λύση που προτείνει ο συγγραφέας του βιβλίου Σελίδα 3
Θέµα 8 Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 4 ο θέµα στην Ανάλυση µε συναρτησιακή σχέση, για εξαιρετικούς λύτες Αξίζει να το διαβάσετε ίνεται η συνεχής f(t)dt < f( + y) για κάθε,y R Να δείξετε ότι: y συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει α f() > για κάθε RR β γ f() β > f(t)dt για κάθ y α α β < θε R e f(t)dt e f(t)dtt για κάθε α,β R µε α< β δ υπάρχει (,) τέτ τοιο ώστε ( ) f( ) = = f(t)dt = Ένα σύνθετο και σχετικά δύσκολο πιθανό 4 ο Θέµα Το α απαιτεί παρατηρητικότητα, σωστή ανάλυση των δεδοµένων και καλή γνώση των θεωρηµάτων της συνέχειας Το β θεωρία Το γ αντιµετωπίζεται σε συνδυασµό µε τα προηγούµενα ερωτήµατα Το δ είναι εύκολο και στηρίζεται στην παρατηρητικότητα Το ε βγαίνει βασικά µε παραγώγιση της αρχικής σχέσης Το στ µε εις άτοπο Το ζ βγαίνει από τα προηγούµενα ίνεται η συνεχής συνάρτη f() > για κάθε >, f f() ( ) α Να δειχθεί ότι f() = = για κάθε > β Να δειχθεί ότι η συνάρτησηη f είναι «-» γ Να δειχθεί ότι για κάθε > Αν η συνάρτηση f είναι επί πλέον παραγωγίσιµη και γνησίως µονότονη, τότε: δ Να αποδειχθεί ότι η συνάρτ ε Να δειχθεί ότι [ f ()] = στ f() για κάθε [,] ηση [ ) Θέµα 9 f :, + R για την οποία ισχύουν τα εξής: ισχύει f () f( ) = τηση f είναι γνήσια αύξουσα στο [, + ), Σελίδα 4
ζ f(t)dt Θέµα Ένα πολύ ωραίο πιθανό 3 ο Θέµα Το α ερώτηµα θέλει προσοχή και παρατηρητικότητα και σωστή ανάλυση των δεδοµένων Το β ερώτηµα αντιµετωπίζεται κατά βάση µε τη θεωρία Το γ ερώτηµα αντιµετωπίζεται σε συνδυασµό µε τα προηγούµενα ερωτήµατα Το δ ερώτηµα είναι ένα κλασσικό θέµα στο κριτήριο της παρεµβολής ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν τα εξής: f( ) f ()= για κάθε R, f() = α Να δειχθεί ότι f()> για κάθε R β Να δειχθεί ότι η συνάρτησηη f( ) g() =, R είναι σταθερή f() γ Να δειχθεί ότι f()= +, R δ Να βρεθεί το όριο συν L=lim + f() Θέµα Ένα θέµα στο οποίο ο µαθητής εξετάζεται στο πρώτο ερώτηµα σε ένα κλασσικό θέµα µονοτονίας και ακροτάτων σε δίκλαδη συνάρτηση Το β ερώτηµα απαιτεί καλή γνώση των µιγαδικών που το υποερώτηµα iv λύνεται σε συνδυασµό µε το α ερώτηµα Θέµα Τα ερωτήµατα α, β, γ, είναι σχετικά εύκολα Το ερώτηµα δ είναι µια κλασσική περίπτωση κριτηρίου παρεµβολής Το ερώτηµα ε Σελίδα 5
απαιτεί συνθετική σκέψη και λύνεται σε συνδυασµό µε τα προηγούµενα ερωτήµατα Το ερώτηµα στ, είναι πολύ δύσκολο να απαντηθεί από µαθητή που απλώς ξέρει καλά τη θεωρία Απαιτεί µεγάλη διεισδυτικότητα και κριτική ικανότητα ίνεται η συνάρτηση f :R R µε f () = + α Να µελετηθεί η συνάρτησηη f ως προς τη µονοτονία τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιµών της β Να λυθεί η εξίσωση f()= γ Να βρεθούν οι ασύµπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f f () ηµ δ Να βρεθεί το όριο lim + ε Αν για τα, R ισχύει f( ) + f( ) =, να δείξετε ότι = = στ Να δείξετε ότι υπάρχουν κ, λ, f κ + f λ = κ λ ( ) τέτοιοι ώστε ( ) ( ) Θέµα 3 Τα ερωτήµατα α, β, γ, είναι σχετικά εύκολα Το ερώτηµα δ είναι µια κλασσική περίπτωση κριτηρίου παρεµβολής Το ερώτηµα ε απαιτεί συνθετική σκέψη και λύνεται σε συνδυασµό µε τα προηγούµενα ερωτήµατα Το ερώτηµα στ, είναι πολύ δύσκολο να απαντηθεί από µαθητή που απλώς ξέρει καλά τη θεωρία Απαιτεί µεγάλη διεισδυτικότητα και κριτική ικανότητα Έστω η συνάρτηση f : που ικανοποιεί τη συνθήκη: 3 f () + 3f() = για κάθε Να αποδειχθούν τα εξής: α Η συνάρτηση f είναι συνεχής β Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη γ Να βρεθεί η µονοτονία της f δ Η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορισθεί η f ε Να λυθεί η εξίσωση f()= στ Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα: I = 4 f ()d Θέµα 4 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : που ικανοποιεί τη συνθήκη: f f() + y = + f(y) για κάθε,y ( ) Να αποδειχθούν τα εξής: α Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιµη β (f f )() = για κάθε Σελίδα 6
γ f = f δ f( + y) = f() + f(y) για κάθε,y ε Αν f () =, τότε f() = για κάθε e Θέµα 5 ίνεται η συνάρτηση f()= = dt, IR t + α Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τη καµπυλότητα β e Να δειχθεί ότι < f() <, για κάθε > e + e γ Να βρεθεί το όριο: lim dt + e ( t + ) δ Αν g() = e f(), IR, να δείξετε ότι το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα και τις ευθείες = και =, δίνεται από τον e + τύπο E( Ω ) = ef () ln Θέµα 6 Ας δούµε ένα µικτό θέµα µε µιγάδες και ανάλυση (ασύµπτωτες) Κατάλληλο για ο θέµα στις εξετάσεις Αξίζει της προσοχής µας α Έστω ο µιγαδικός αριθµ µός z C Αν για τον z ισχύει η σχέση: ( + i) z + ( i) z + 4 =, να δείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται σε ευθεία (ε) β Αν η ευθεία (ε) του ερωτήµατος (α) είναι πλάγια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τύπο f() =α +β+ για +, να e βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β γ Να βρεθεί η ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g µε f() g() =,, για + Θέµα 7 Ένα πολύ ωραίο θέµα εξετάσεων, πιθανό 3 ο Θέµα, µε µέτριο βαθµό δυσκολίας Το πρώτο ερώτηµα είναι απλή αντικατάσταση Το β ερώτηµα βγαίνει µε απλές παραγωγίσεις Σελίδα 7
Το γ ερώτηµα βγαίνει από το β και είναι απλή συνέπεια του ΘΜΤ Έστω η παραγωγίσιµη [ ) συνάρτηση [ ) f :, + R καθώς και η συνάρτηση F :, + R µε F()= = f(t)dt Αν για τις συναρτήσεις f και F ισχύει η σχέση F() e = f() για κάθε, τότε: α Να βρεθεί η τιµή f() f () β Να δειχθεί ότι = για κάθε f () γ Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f Θέµα 8 Το θέµα να προσεχθεί ιδιαίτερα 3 Έστω η g : R µε g()= = + Αν για τη συνεχή συνάρτησηη f : R ισχύει + για κάθε R, τότε: 3 f () + f () α Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της g, δηλαδή η βρείτε το πεδίο ορισµού και τη µονοτονία β Να αποδείξετε ότι ισχύει f() g () για κάθε R g, της οποίας να γ Να αποδείξετε ότι f()d 5 4 Θέµα 9 Ίσως το καλύτερο επαναληπτικό θέµα Να µελετηθεί καλά και να προσεχθεί ιδιαίτερα! Από το βιβλίο του Γιάννη Μπαϊλάκη: Μαθηµατικά θέµατα µε κατεύθυνση για µια πορεία µε επίγνωση Σελίδα 8
Θέµα Θέµα Σελίδα 9
Θέµα Ένα πολύ ωραίο υποψήφιο 3 ο θέµα Ας το µελετήσουµε και να το προσέξουµε 3 Έστω η συνάρτηση g : R R µε g() = + α Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «-» και στη συνέχεια να λύσετε τις εξισώσεις g() = και g() = β Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε να ισχύει g f(), για κάθε R Να δείξετε ότι: ( ) i f () g (), 5 ii f()d 4 Θέµα 3 Θέµα 4 (εξαιρετικό) Έστω * z C, µε z < α Αν w=, να δειχθεί ότι Re(w) < z 4 β Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( ) e z = έχει µοναδική λύση ρ στο διάστηµα (, γ Θεωρούµε τη συνάρτηση f() ρ ) f() = e z e z, Να δειχθεί ότι Σελίδα
Θέµα 5 (εξαιρετικό) Έστω o µιγαδικός αριθµός z C, µε Im(z) = Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε f () = ln e + z α Να βρεθεί το lim f() + + β Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τη καµπυλότητα γ Να δειχθεί ότι για κάθε R, ισχύει ότι: z z < f( + ) f() < + e + z e + z δ Να βρεθεί ο µιγαδικός z αν ισχύει ότι: + f () + f() d = l n ( ) Θέµα 6 (µελετήστε το καλά) Θέµα 7 (µελετήστε το καλά) Θέµα 8 Σελίδα
Θέµ µα 9 (προτείνει ο Χρήστος Κυριαζής) Θέµα 3 Πολύ καλό και έξυ νο Θέµα ιαβάστε το καλά Θέµα 3 Πολύ καλό και έξυ νο Θέµα ιαβάστε το καλά Θέµα 3 Αρκετά δύσκολο θέµα µε ολλά ιδιαίτερα σηµεία Αξίζει να µ είτε στη διαδικασία της Σελίδα
ροσ άθειας να το λύσετε ή τουλάχιστον διαβάστε το! Θέµα 33 Θέµα 34 Σελίδα 3
Θέµα 35 Θέµ µα 36 (Ας το µελετήσουµε καλά) Έστω η αραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R µε f() =, για την ο οία ισχύει f () για κάθε R α Να α οδείξετε ότι ισχύει f () Θέµα 37, για κάθε R Σελίδα 4
β Αν το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται α ό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες =α και =β =β, µε α<β α<β, είναι αριθµοί α και β ( ) β + Ε=, να βρεθούν οι 4 Θέµα 38 Τις λύσεις των θεµάτων θα τις βρούµε στο προσωπικό µου site, wwwmathjazzcom µαθηµατικά τράπεζα θεµάτων 3 ο και 4 ο θέµα Σελίδα 5