ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τοµέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτοµάτου Ελέγχου Αν. Καθηγητής Χρ. Προβατίδης ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-00, Εξάµηνο: Εαρινό ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΟ ΘΕΜΑ Ανάλυση δικτυώµατος µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων ΜΕΡΟΣ Α: Ανάλυση διδιάστατου ( ) δικτυώµατος δέκα ράβδων (0-bar truss) Έστω το δικτύωµα του Σχήµατος (οι διαστάσεις σε in). Οι ράβδοι είναι κατασκευασµένες από υλικό µέτρου ελαστικότητας E=0 7 psi και πυκνότητας ρ=0.lb/in. Τα εµβαδά των ράβδων περιγράφονται στον Πίνακα, ενώ το δικτύωµα φορτίζεται εξωτερικά ως ο Πίνακας ορίζει. P P P P (α) (β) Σχήµα. ικτύωµα 0 ράβδων (0-bar): α) Τοπολογία και β) Φόρτιση Πίνακας : Εµβαδά διατοµών ράβδων Πίνακας : Εξωτερική φόρτιση Ράβδος ιατοµή [in ] Συνιστώσα Τιµή [kips], πλήθος γραµµάτων ονόµατος P 0, 7 πλήθος γραµµάτων επωνύµου P 0, 8 πλήθος γραµµάτων µητρωνύµου,9 πλήθος γραµµάτων πατρωνύµου, 0 µήνας γέννησης ΖΗΤΕΙΤΑΙ: i. Να υπολογισθούν οι κοµβικές µετατοπίσεις και να βρεθεί ποιος (ποιοι) κόµβος (κόµβοι) εµφανίζει (εµφανίζουν) τη µέγιστη µετατόπιση. ii. Να υπολογισθούν οι τάσεις των ράβδων, να βρεθεί ποιες ράβδοι εφελκύονται (θλίβονται) και ποια (ποιες) ράβδος (ράβδοι) καταπονούνται περισσότερο. iii. Να υπολογισθούν οι δυνάµεις στήριξης και να βρεθεί µε τι ισούται το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης. iv. Να υπολογισθεί το βάρος του δικτυώµατος. v. Να απαντηθούν τα (i)-(iii) στην περίπτωση όπου λαµβάνεται υπ όψιν το ίδιον βάρος της κατασκευής και να σχολιασθούν τα αποτελέσµατα. - -
ΜΕΡΟΣ Β: Ανάλυση τρισδιάστατου ( ) δικτυώµατος ράβδων ( bar, power transmission tower) Ανάλυση Μηχανολογικών Κατασκευών Ι - Απρίλιος 00 Έστω το δικτύωµα του Σχήµατος. Τα µέλη του δικτυώµατος χωρίζονται σε οκτώ οµάδες, έχουν µέτρο ελαστικότητας ίσο µε E=0 7 psi και πυκνότητα ίση µε ρ=0.lb/in. Oι συντεταγµένες των κόµβων δίδονται στον Πίνακα, η περιγραφή των ράβδων δίδεται στον Πίνακα, η οµαδοποίηση των ράβδων και τα αντίστοιχα εµβαδά περιγράφονται στον Πίνακα, ενώ το δικτύωµα φορτίζεται εξωτερικά ως ο Πίνακας ορίζει. Πίνακας : Συντεταγµένες κόµβων A/A κόµβου X [in] Y [in] Z [in] -7. 0 00 7. 0 00-7. 7. 00 7. 7. 00 7. -7. 00-7. -7. 00 7-00 00 0 8 00 00 0 9 00-00 0 0-00 -00 0 Σχήµα. ικτύωµα ράβδων (-bar) Πίνακας : Περιγραφή ράβδων α/α ΚΑ ΚΠ α/α ΚΑ ΚΠ α/α ΚΑ ΚΠ α/α ΚΑ ΚΠ α/α ΚΑ ΚΠ 9 9 7 7 8 0 8 8 7 7 9 0 9 8 9 0 7 0 0 8 α/α: αύξων αριθµός ράβδου, ΚΑ: κόµβος αρχής, ΚΠ: κόµβος πέρατος Πίνακας : Οµαδοποίηση ράβδων Οµάδα ράβδων α/α ράβδων Εµβαδόν διατοµής [in ] Πίνακας : Φόρτιση [kp] α/α κόµβου Fx Fy Fz πλήθος γραµµάτων ονόµατος.0 0.0 -.0,,, πλήθος γραµµάτων επωνύµου 0.0 0.0 -.0, 7, 8, 9 πλήθος γραµµάτων µητρωνύµου 0. 0.0 0.0 0, πλήθος γραµµάτων πατρωνύµου 0. 0.0 0.0, ηµέρα γέννησης,,, 7 µήνας γέννησης 7 8, 9, 0, τελευταία ψηφία έτους γέννησης 8,,, τελευταία ψηφία µητρώου ΖΗΤΕΙΤΑΙ: Να απαντηθούν τα ερώτηµατα (i)-(v) του Μέρους Α. - -
ΜΕΡΟΣ Γ: Ερωτήσεις θεωρίας και κρίσεως Ανάλυση Μηχανολογικών Κατασκευών Ι - Απρίλιος 00 ) Πόσους και ποιους βαθµούς ελευθερίας έχει ένα στοιχείο ράβδου σε δύο διαστάσεις και σε τρεις διαστάσεις; ) Εξαρτάται το µητρώο δυσκαµψίας της ράβδου από το λόγο Poisson ή όχι και γιατί; ) Τι επίπτωση έχει στην επίλυση ενός δικτυώµατος η ύπαρξη ράβδου µε εξαιρετικά µικρό (απειροστό) µήκος; ) Με ποιον τρόπο είναι δυνατή η αύξηση της δυσκαµψίας ενός δικτυώµατος, οι κόµβοι του οποίου έχουν συγκεκριµένη και αµετάβλητη θέση; ) Ποια η διαφορά µεταξύ κοµβικών δυνάµεων και δυνάµεων αναπτυσσοµένων στις ράβδους ενός δικτυώµατος; ) Για ποιο λόγο είναι χρήσιµη η γνώση των δυνάµεων στήριξης ενός δικτυώµατος; 7) Για ποιο λόγο είναι χρήσιµη η γνώση των κοµβικών µετατοπίσεων και των τάσεων σε ένα δικτύωµα; 8) Για ποιο λόγο είναι χρήσιµη η γνώση του βάρους ενός δικτυώµατος και γενικότερα µίας κατασκευής; 9) Στο Σχήµα, οι ράβδοι και 9 τέµνονται αντίστοιχα µε τις ράβδους και 0. Ωστόσο, στα σηµεία τοµής δεν έχουν τοποθετηθεί κόµβοι. Μπορείτε να δώσετε µία εξήγηση γι αυτό; 0) Πώς αλλάζουν τα αποτελέσµατα του Μέρους Α εάν στο εξεταζόµενο δικτύωµα προστεθεί µία ράβδος µεταξύ των κόµβων και ; ) Βάσει ποιου κριτηρίου χαρακτηρίζεται µία κατασκευή ως (εσωτερικά) υποστατική, ισοστατική ή υπερστατική; ) Να εξετάσετε, από πλευράς επάρκειας στήριξης, τις παρακάτω περιπτώσεις: F (α) (β) (γ) ) Να υπολογισθεί το µητρώο δυσκαµψίας µίας ράβδου σε τρεις διαστάσεις (οι ενδιάµεσες πράξεις είναι δυνατόν να παραληφθούν). F F - -
Ο ΗΓΙΕΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Μέγιστος αριθµός ατόµων ανά οµάδα: Ηµεροµηνία Παράδοσης: Μία εβδοµάδα πριν από την έναρξη της εξεταστικής περιόδου του Ιουνίου 00 Ηµεροµηνία Προφορικής Εξέτασης: Κατά τη διάρκεια της τελευταίας εβδοµάδας πριν από την έναρξη της εξεταστικής περιόδου του Ιουνίου 00 (θα υπάρξει νεώτερη ανακοίνωση) Η εργασία είναι ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ. Ωστόσο, προτείνεται η ενασχόληση µε αυτήν δεδοµένου ότι προτρέπει για πρακτική εξάσκηση σε βασικά στοιχεία της Ανάλυσης Μηχανολογικών Κατασκευών. Κάθε οµάδα παραδίδει ΜΙΑ έκθεση, η οποία πρέπει να περιέχει: i) τις απαντήσεις των ζητουµένων στα Μέρη Α, Β και Γ (ΕΙΤΕ σε χειρόγραφη ΕΙΤΕ σε ηλεκτρονική µορφή) ii) τον αντίστοιχο κώδικα (σε έντυπη ΚΑΙ σε ηλεκτρονική µορφή) Κάθε οµάδα θα υποστηρίξει προφορικά την εργασία της σε προκαθορισµένο χρόνο και τόπο. Η υποστήριξη, µεταξύ άλλων, θα περιλαµβάνει επίδειξη εκτέλεσης του κώδικα, επεξήγηση τµηµάτων του και επί τόπου υλοποίηση αλλαγών, οι οποίες θα ζητηθούν από την εξεταζόµενη οµάδα. ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΟΠΟΙΑ ΕΝ ΘΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΧΘΕΙ ΕΝ ΘΑ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΘΕΙ. Η συνεργασία µεταξύ των οµάδων προβλέπεται και επιβάλλεται, ωστόσο, για λόγους προφανείς, δεν ενδείκνυται η µη εποικοδοµητική αντιγραφή. Η συµµετοχή του παρόντος θέµατος στην τελική βαθµολογία ισούται µε 0% (% για το Μέρος Α, 0% για το Μέρος Β και % για το Μέρος Γ). Στην αξιολόγηση κάθε εργασίας, µεταξύ άλλων παραγόντων, θα ληφθεί σοβαρά υπ όψιν η ορθότητα των αριθµητικών αποτελεσµάτων, η λακωνική αλλά εύστοχη και πλήρης απάντηση των ερωτήσεων, όπως επίσης και η επιµέλεια της εργασίας. Τυχόν συντακτικά, ορθογραφικά και γραµµατικά σφάλµατα, όπως επίσης και η προχειρότητα στη σύνταξη της εργασίας, θα έχουν ΑΡΝΗΤΙΚΗ επίδραση στη βαθµολογία. ΕΙ ΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην ιστοσελίδα http://users.ntua.gr/cprovat έχουν αναρτηθεί ένας κώδικας Matlab για την επίλυση διδιάστατου δικτυώµατος καθώς και συνοδευτικό επεξηγηµατικό υλικό. Προτείνεται η κατάλληλη τροποποίηση αυτού του κώδικα προς αντιµετώπιση των ζητουµένων. Ωστόσο, κάθε άλλη προσπάθεια σύνταξης κώδικα είτε σε Matlab είτε σε οποιοδήποτε άλλο περιβάλλον (υπολογιστικό ή προγραµµατιστικό) είναι ευπρόσδεκτη. Το ίδιον βάρος µίας ράβδου προτείνεται να αντιµετωπισθεί ως εξής: πρώτα υπολογίζεται το βάρος της ράβδου ως γινόµενο του όγκου της ράβδου επί την πυκνότητά της, κατόπιν, το βάρος ισοµοιράζεται µεταξύ των κόµβων αρχής και πέρατος της ράβδου, τέλος, ενηµερώνεται κατάλληλα το διάνυσµα των εξωτερικά ασκουµένων δυνάµεων. Υπενθυµίζεται ότι kip=000lb. - -
ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Μέρος Α: Υπολογισµός ( ) δικτυώµατος δέκα ράβδων (0-bar truss) Περίπτωση η : το ίδιον βάρος του δικτυώµατος αµελείται Κοµβικές µετατοπίσεις (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Μετατόπιση κατά Μετατόπιση κατά Συνισταµένη τη x-διεύθυνση [in] τη y-διεύθυνση [in] µετατόπιση [in] Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη x-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη y-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη συνισταµένη µετατόπιση εµφανίζεται στον κόµβο.... Τάσεις στις ράβδους (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Αξονική τάση Ε Εφελκυσµός α/α ράβδου [psi] Θ Θλίψη 7 8 9 0 Η ράβδος που καταπονείται περισσότερο είναι η ράβδος.... υνάµεις στήριξης (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) ύναµη κατά τη ύναµη κατά τη Το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης x-διεύθυνση [kips] y-διεύθυνση [kips] ισούται µε... ΑΘΡΟΙΣΜΑ Βάρος κατασκευής:... lb... - -
ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Μέρος Α: Υπολογισµός ( ) δικτυώµατος δέκα ράβδων (0-bar truss) Περίπτωση η : το ίδιον βάρος του δικτυώµατος λαµβάνεται υπ όψιν Κοµβικές µετατοπίσεις (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Μετατόπιση κατά Μετατόπιση κατά Συνισταµένη τη x-διεύθυνση [in] τη y-διεύθυνση [in] µετατόπιση [in] Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη x-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη y-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη συνισταµένη µετατόπιση εµφανίζεται στον κόµβο.... Τάσεις στις ράβδους (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Αξονική τάση Ε Εφελκυσµός α/α ράβδου [psi] Θ Θλίψη 7 8 9 0 Η ράβδος που καταπονείται περισσότερο είναι η ράβδος.... υνάµεις στήριξης (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) ύναµη κατά τη ύναµη κατά τη Το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης x-διεύθυνση [kips] y-διεύθυνση [kips] ισούται µε... ΑΘΡΟΙΣΜΑ Βάρος κατασκευής:... lb... - -
ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Μέρος Β: Υπολογισµός ( ) δικτυώµατος ράβδων (-bar, power transmission tower) Περίπτωση η : το ίδιον βάρος του δικτυώµατος αµελείται Κοµβικές µετατοπίσεις (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Μετατόπιση κατά Μετατόπιση κατά τη x-διεύθυνση [in] τη y-διεύθυνση [in] 7 8 9 0 Συνισταµένη µετατόπιση [in] Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη x-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη y-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη συνισταµένη µετατόπιση εµφανίζεται στον κόµβο.... Τάσεις στις ράβδους (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) α/α Αξονική τάση Ε Εφελκυσµός α/α Αξονική τάση ράβδου [psi] Θ Θλίψη ράβδου [psi] 7 8 9 7 0 8 9 0 Ε Εφελκυσµός Θ Θλίψη Η ράβδος που καταπονείται περισσότερο είναι η ράβδος.... υνάµεις στήριξης (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) ύναµη κατά τη ύναµη κατά τη Το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης x-διεύθυνση [kips] y-διεύθυνση [kips] ισούται µε...... ΑΘΡΟΙΣΜΑ Βάρος κατασκευής:... lb - 7 -
ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Μέρος Β: Υπολογισµός ( ) δικτυώµατος ράβδων (-bar, power transmission tower) Περίπτωση η : το ίδιον βάρος του δικτυώµατος λαµβάνεται υπ όψιν Κοµβικές µετατοπίσεις (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) Μετατόπιση κατά Μετατόπιση κατά τη x-διεύθυνση [in] τη y-διεύθυνση [in] 7 8 9 0 Συνισταµένη µετατόπιση [in] Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη x-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη µετατόπιση κατά τη y-διεύθυνση εµφανίζεται στον κόµβο.... Η µέγιστη συνισταµένη µετατόπιση εµφανίζεται στον κόµβο.... Τάσεις στις ράβδους (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) α/α Αξονική τάση Ε Εφελκυσµός α/α Αξονική τάση ράβδου [psi] Θ Θλίψη ράβδου [psi] 7 8 9 7 0 8 9 0 Ε Εφελκυσµός Θ Θλίψη Η ράβδος που καταπονείται περισσότερο είναι η ράβδος.... υνάµεις στήριξης (να συµπληρωθούν κατάλληλα τα πεδία) ύναµη κατά τη ύναµη κατά τη Το άθροισµα των δυνάµεων στήριξης x-διεύθυνση [kips] y-διεύθυνση [kips] ισούται µε...... ΑΘΡΟΙΣΜΑ Βάρος κατασκευής:... lb - 8 -
ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Σύγκριση µεταξύ αποτελεσµάτων συνδυασµού Α (Β) και συνδυασµού Α (Β): Μέρος Γ: Ερωτήσεις θεωρίας και κρίσεως Ερώτηµα :... Ερώτηµα :... Ερώτηµα :... Ερώτηµα :... Ερώτηµα :... Ερώτηµα :... - 9 -
Ερώτηµα 7:... Ερώτηµα 8:... Ερώτηµα 9:... Ερώτηµα 0:... Ερώτηµα :... Ερώτηµα :... Ερώτηµα : (µόνο για το Ε, εάν κριθεί απαραίτητο, να επισυναφθούν επιπρόσθετες σελίδες) - 0 -