ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διέλευση Σημάτων από ΓΧΑ Συστήματα Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις Φασματική Πυκνότητα Ενέργειας και Ισχύος Ιδανικά Φίλτρα Μη ιδανικά Φίλτρα
Διέλευση Σημάτων από ΓΧΑ Συστήματα 3 Η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος σε διέγερση x(t), υπολογίζεται είτε με το συνελικτικό ολοκλήρωμα μέσω της κρουστικής απόκρισης h(t), είτε με πολλαπλασιασμό του φάσματος εισόδου X() με τη συνάρτηση μεταφοράς H(). - y t x t h t Y X H H ht ht H Διέλευση Σημάτων από ΓΧΑ Συστήματα 4 x ht d yt j t wt W e d xt yt j t W w t e dt X Y X H Y
5 Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Περιοδικά Σήματα Η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος στο εκθετικό j ot e είναι j ot H o e Αν x(t) ένα περιοδικό σήμα εισόδου με περίοδο T o για το οποίο xt n xe n nt j T o 6 Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Περιοδικά Σήματα Τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t x t xne n nt j T o nt nt j j T n o To xn e xnh e n n To όπου n H H n H To o n o 3
7 Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Περιοδικά Σήματα Αν γράψουμε H n H n e o o j H n o τότε n yn xnh xn Hno e To j x n H n o Άρα y t n y e n nt j T o 8 Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Περιοδικά Σήματα Άρα η έξοδος του συστήματος είναι περιοδική της ίδιας συχνότητας και αναπτύσσεται σε Σειρά Fourier. Επιπλέον στην έξοδο υπάρχουν μόνο οι συχνότητες που υπήρχαν στην είσοδο. Άρα αν ένα σύστημα εισάγει νέες συχνότητες θα είναι είτε μη γραμμικό είτε χρονικά μεταβαλλόμενο. Η συνάρτηση j t H h t e dt καλείται Συνάρτηση Μεταφοράς ή Απόκριση Συχνότητας του ΓΧΑ Συστήματος 4
Παράδειγμα 9 Δίνονται Υπολογίστε την έξοδο x t t t t h t e u t cos00 cos400 Το σήμα εισόδου αποτελείται από μια dc συνιστώσα, μια βασική συχνότητα o =00Hz, και τη δεύτερη αρμονική o =00Hz. xt j00t j00t j00t j00t e e e e xe n xo x x x x 4 n j n00t Παράδειγμα 0 t H h t e dt e e dt e dt j t t j t j 0 0 j t e j j 0 yo y y j00 j00 y y 4 j400 4 j400 j n 00 t n n cos 00 n y t y e y n t y n n 5
Παράδειγμα A T o 5 0 sec 0 sec Υπολογίστε την έξοδο Παράδειγμα k 4 5 xt cos k0 t k 0 k e e e e e e 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 j0 t j0 t j3*0 t j3*0 t j5*0 t j5*0 t Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης μεταφοράς για όλες τις αρμονικές που υπάρχουν στο σήμα 5 jh εισόδου 0 5 5 j j H 0 H 0 e H00KHz e 5e H j 5 0 5e j j 5 5 H 3*0 5 e H 3*0 5e j j 5 5 H 5*0 5 e H 5*0 5e 6
Παράδειγμα 3 5 j x H0 5 j 0 j y x H0 e 5e e 0 j 0 j 0 j y e y3 e y 3 e 3 3 j j y5 e y5 e yo y y y4 y 4 0 y t 5 y e n n5 5 j n0 t 5 5 5 5 5 5 j0 t j0 t j3*0 t j3*0 t j5*0 t j5*0 t 0 0 0 0 e e e e e e 3 3 0 5 0 5 5 cos 0 t cos3*0 t cos5*0 t 3 0 5 0 5 4 5 sin 0 t sin 60 t sin 00 t 3 Συνήθη ΓΧΑ Συστήματα 4 Φίλτρα : Συστήματα Επιλεκτικά ως προς τη Συχνότητα, που χρησιμοποιούνται συνήθως για να περιορίσουν το φασματικό περιεχόμενο ενός σήματος σε ένα δεδομένο εύρος ζώνης συχνοτήτων. Δίαυλοι : Μέσα μετάδοσης που συνδέουν πομπό και δέκτη σε ένα σύστημα επικοινωνιών. Πολλές φορές αντιμετωπίζονται ως φίλτρα. Εκείνο που ενδιαφέρει είναι η επίδραση αυτών των ΓΧΑ Συστημάτων σε σήματα που μεταδίδονται διαμέσω αυτών. Η μελέτη αυτή μπορεί να γίνει είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο της συχνότητας. 7
Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 5 Με τον όρο μετάδοση χωρίς παραμορφώσεις εννοούμε ότι το σήμα εξόδου ενός επικοινωνιακού διαύλου είναι ένα ακριβές αντίγραφο του σήματος εισόδου, εκτός από μια αλλαγή στο πλάτος και/ή μια σταθερή χρονική καθυστέρηση. Μαθηματικά αυτή η συνθήκη εκφράζεται: y t Ax t Όπου η σταθερά A είναι η αλλαγή στο πλάτος και η σταθερά τ η καθυστέρηση μετάδοσης. Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 6 Αν X(), Y() οι μετ/σμοί Fourier των σημάτων εισόδου και εξόδου αντίστοιχα, τότε εφαρμόζοντας μετ/σμό Fourier στην προηγούμενη συνθήκη, προκύπτει η αντίστοιχη συνθήκη στο πεδίο της συχνότητας j Y AX e Άρα Y H Ae X ή πιο γενικά j j m H Ae m0,,,... 8
Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 7 Η συνθήκη αυτή υποδεικνύει ότι για να επιτευχθεί μετάδοση ενός σήματος χωρίς παραμορφώσεις, η συνάρτηση μεταφοράς του διαύλου πρέπει να ικανοποιεί δύο συνθήκες. Η απόκριση πλάτους να είναι σταθερή για όλες τις συχνότητες του σήματος. Η φάση να είναι γραμμική με τη συχνότητα και να μηδενίζει (ή να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π) για μηδενική συχνότητα H A H m Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 8 Υπενθυμίζουμε ότι η καθυστέρηση σχετίζεται με τη φάση και τη συχνότητα ως εξής: d d d d Αν η φάση μεταβάλλεται γραμμικά ως προς τη συχνότητα, τότε η κλίση (η παράγωγος) παραμένει σταθερή, και άρα σταθερή είναι και η καθυστέρηση. Στην πράξη δεν είναι εφικτή μετάδοση χωρίς παραμορφώσεις. Η έξοδος υπόκειται σε παραμορφώσεις ως προς το σήμα εισόδου, και ο δίαυλος καλείται «διασκορπιστικός». 9
Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 9 Θεωρούμε ένα δίαυλο φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς j H e Η είσοδος του διαύλου φίλτρου είναι cos cos x t t t Και η έξοδος εύκολα υπολογίζεται ως yt cos t cos t Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 0 0-0 0.5.5.5 3 3.5 4 0-0 0.5.5.5 3 3.5 4 0 Συνεχείς γραμμές: είσοδος Διακεκομμένες: έξοδος Ίδια χρονική καθυστέρηση σε όλες τις συχνότητες (γραμμική φάση) - 0 0.5.5.5 3 3.5 4 0
Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 0-0 0.5.5.5 3 3.5 4 0-0 0.5.5.5 3 3.5 4 Διαφορετική χρονική καθυστέρηση στις συχνότητες (μη γραμμική φάση) και άρα παραμόρφωση του σήματος εισόδου. 0-0 0.5.5.5 3 3.5 4 Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις Υπάρχουν δύο τύποι παραμόρφωσης σε ένα διασκορπιστικό δίαυλο Όταν το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς δεν είναι σταθερό με τη συχνότητα. Άρα οι φασματικές συνιστώσες του σήματος εισόδου μεταδίδονται με διαφορετικό κέρδος ή εξασθένιση (παραμόρφωση πλάτους). Όταν η φάση δεν μεταβάλλεται γραμμικά με τη συχνότητα. Αν το φάσμα του σήματος χωριστεί σε μικρές περιοχές, κάθε μία από αυτές μεταδίδεται με διαφορετική καθυστέρηση (παραμόρφωση φάσης ή καθυστέρησης) Η διόρθωση της παραμόρφωσης γίνεται συνήθως με ειδικά κυκλώματα τα οποία και ονομάζονται εξισωτές (equalizers). Η συνάρτηση μεταφοράς των εξισωτών προσδιορίζεται από την απαίτηση η συνολική συνάρτηση μεταφοράς να ακολουθεί τις προαναφερθείσες συνθήκες.
Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 3 Θεωρούμε ένα σήμα του οποίου το φάσμα καταλαμβάνει το εύρος B B Το σήμα αυτό τίθεται ως είσοδος σε φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς A Ccos B Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 4 Η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου γράφεται H H e ACcos e B jh j C j C j B B A e e e j j j j C B C B Ae e e
Μετάδοση Χωρίς Παραμορφώσεις 5 Υπολογίζουμε την έξοδο με την ιδιότητα της γραμμικότητας και της χρονικής μετατόπισης C C y t Axt xt xt B B Έχουμε μια καθυστερημένη έκδοση της εισόδου με πλάτος Α, και δύο συνιστώσες που η μια προηγείται και η άλλη έπεται της βασικής κατά (/Β). Αυτές οι δύο συνιστώσες είναι μια έκφραση «ηχούς», δηλαδή μια παραμόρφωση πλάτους που οφείλεται στο μη σταθερό πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς. Μετ/σμός Fourier της Αυτοσυσχέτισης 6 Ο μετασχηματισμός Fourier της αυτοσυσχέτισης οποιουδήποτε σήματος υπολογίζεται ως εξής * Rx xtx tdt * * x x x x * X X X Δηλαδή είναι μια πραγματική και πάντα θετική συνάρτηση 3
Φασματική Πυκνότητα Ενέργειας 7 Η ενέργεια ενός σήματος ενέργειας x(t) υπολογίζεται από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης x x 0 E xt dt R X d Το γεγονός ότι ολοκληρώνουμε ένα μέγεθος σε όλο το φάσμα και προκύπτει το ενεργειακό περιεχόμενο του σήματος, σημαίνει ότι το μέγεθος αυτό, και άρα και το τετράγωνο του πλάτους του φάσματος, είναι μια συνάρτηση πυκνότητας, ονομάζεται δε φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος και έχει μονάδες ενέργειας ανά Hertz στο εύρος ζώνης του σήματος. Φασματική Πυκνότητα Ενέργειας 8 Συνεπώς ο μετ/σμός Fourier της αυτοσυσχέτισης είναι η φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος x R X G x Αν ολοκληρώσουμε την G x () σε όλο το εύρος ζώνης του σήματος, προκύπτει η ενέργεια του σήματος. Αποδεικνύεται εύκολα ότι η φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος εξόδου ενός συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς H() δίνεται ως εξής y x h G Y G G X H 4
Φασματική Πυκνότητα Ενέργειας 9 Με χρήση της ιδιότητας του γινομένου στο πεδίο της συχνότητας προκύπτει F Ry X H F R F x X H Rh Rx h h Αμοιβαία Φασματική Πυκνότητα Ενέργειας 30 Για δύο σήματα R xt y t dt xy xy R x y x y R yx F F R x y X Y xy F yx xy F R X Y R 5
Φασματική Πυκνότητα Ισχύος 3 Όμοια με τα σήματα ενέργειας υπολογίζουμε και τη φασματική πυκνότητα ισχύος ενός σήματος ισχύος. Έχει μονάδες ισχύος ανά Hertz. Η μέση ισχύς δίνεται από : 0 P R R d S d x x x x Η φασματική πυκνότητα ισχύος εξόδου ενός συστήματος δίνεται παρόμοια από : y S S H x ΦΠΙ Περιοδικών Σημάτων 3 Για τα περιοδικά σήματα η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι περιοδική με περίοδο την ίδια με εκείνη του σήματος, και αναπτύσσεται σε Σειρές Fourier, με συντελεστές ίσους με το τετράγωνο του πλάτους των μιγαδικών συντελεστών Fourier του αρχικού σήματος, δηλαδή n j To Rx xn e n 6
ΦΠΙ Περιοδικών Σημάτων 33 Επιπλέον η φπι του περιοδικού σήματος υπολογίζεται ως Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, όπου λόγω της περιοδικότητάς της ο μετ/σμός Fourier θα αποτελείται από κρουστικές σε διάφορες συχνότητες (αρμονικές), δηλαδή n Sx xn n To Η συνολική ισχύς υπολογίζεται ως εξής P S d x x x n n ΦΠΙ Περιοδικών Σημάτων 34 Αν τώρα υποθέσουμε ότι το περιοδικό σήμα x(t) αποτελεί είσοδο στο ΓΧΑ σύστημα με H(), τότε η έξοδος είναι nt nt j j T n o To n n n n To y t y e x H e και θα έχει φασματική πυκνότητα ισχύος n n Sy H Sx xn H n To To 7
Ιδανικά Φίλτρα 35 Κάθε φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση κάποιων συχνοτήτων και αποκόπτει τις υπόλοιπες. Δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς έχει μια ζώνη διέλευσης και μια ζώνη αποκοπής ή απόρριψης. Κάθε συχνότητα του σήματος που ανήκει στη ζώνη διέλευσης δεν θα υποστεί παραμόρφωση, ενώ κάθε συχνότητα που ανήκει στη ζώνη αποκοπής θα απορριφθεί. Ανάλογα με τη συνάρτηση μεταφοράς τους, διακρίνουμε 4 κατηγορίες ιδανικών φίλτρων Βαθυπερατά (Low Pass Filter, LPF) Υψιπερατά (High Pass Filter, HPF) Ζωνοπερατά (Band Pass Filter, BPF) Ζωνοφρακτικά (Band Stop Filter, BSF) Ιδανικά Βαθυπερατά Φίλτρα (LPF) 36 H() H() - a-nπ 0 a - a 0 a Κλίση= -πτ H 0 a j n e a a Εύρος Ζώνης : W= a 8
Ιδανικά Υψιπερατά Φίλτρα (HPF) 37 H() - b 0 b H() - b 0 b Κλίση= -πτ Ιδανικά Ζωνοπερατά Φίλτρα (BPF) 38 H() Εύρος Ζώνης W= a - b - a - b 0 b a nπ H() Κλίση= -πτ - a a - b 0 b 9
Ιδανικά Ζωνοφρακτικά Φίλτρα (BSF) 39 H() - a - b 0 b a H() - a 0 b - a b Κλίση= -πτ Μη Ιδανικά Φίλτρα & Εύρος Ζώνης 40 Στην πράξη τα φίλτρα που προαναφέρθηκαν δεν είναι πραγματοποιήσιμα. Τα πραγματικά φίλτρα έχουν συνάρτηση μεταφοράς διαφορετική. Το εύρος ζώνης ορίζεται ως το διάστημα των θετικών συχνοτήτων εντός του οποίου το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς παίρνει τιμές μεγαλύτερες από το καθορισμένο ποσοστό της μέγιστης τιμής του. Αν το όριο που θέτουμε για το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς είναι ένας παράγοντας 0.707, ή το κέρδος ισχύος που ορίζεται ως 0log0 H έχει μειωθεί κατά 3dB, τότε το εύρος ζώνης ονομάζεται 3dB. 0
Μη Ιδανικό Βαθυπερατό Φίλτρο 4 H() H(0) 0.707 H(0) - a 0 a Εύρος Ζώνης 3dB : W= a Μη Ιδανικό Ζωνοπερατό Φίλτρο 4 H() H(0) 0.707 H(0) - a - c - b 0 b c a Εύρος Ζώνης 3dB : W= a - b Έχουμε θεωρήσει ότι το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς είναι συμμετρικό ως προς μια κεντρική c.
43 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 0 44759 e mail: kanatas@unipi.gr