(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i)

Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Το συνεχές μοντέλο συνεχούς χρόνου Σ. Ξανθόπουλος Παν. Αιγαίου Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 1 /

Σύνοψη 1 Προκαταρκτικά 2 Διαδικασία Wiener ή Κίνηση Brown 3 Στοχαστικό Ολοκλήρωμα και Στοχαστικός Λογισμός 4 Το Λήμμα του Itô 5 Υπό συνθήκη μέση τιμή 6 Παράγωγος Radon Nikodym 7 Θεώρημα Cameron Martin Girsanov 8 Martingales 9 Το μοντέλο Black Scholes 10 Η εξίσωση Black Scholes Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 2 /

Προκαταρκτικά σ-άλγεβρα Σύνολο Ω, F συλλογή υποσυνόλων του Ω. Ω F F σ-άλγεβρα A F A c F A 1, A 2,... F i=1 A i F Μία ιδιαίτερη σ-άλγεβρα είναι αυτή που φτιάχνεται στο R από τα διαστήματα (ή στο R n από τα ανοιχτά σύνολα) και τη λέμε Borel σ-άλγεβρα Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 3 /

Προκαταρκτικά Χώρος πιθανότητας Χώρος πιθανότητας = (Ω, F, P) Ω δειγματικός χώρος ( = ένα σύνολο) F σ-άλγεβρα γεγονότων επί του Ω P μέτρο πιθανότητας. P : F [0, 1] έτσι ώστε (1) P(Ω) = 1 (2) A 1, A 2,... F : A i A j = για i j έπεται ότι P( i=1 A i) = i=1 P(A i) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 4 /

Προκαταρκτικά Διήθηση Διήθηση επί του (Ω, F, P) είναι μια οικογένεια (F t ) t [0,T ] από σ-υποάλγεβρες της F, έτσι ώστε: F t1 F t2 όταν t 1 t 2 Το F 0 περιέχει όλα τα γεγονότα πιθανότητας 0 t [0, T ] F t = τ t F τ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 5 /

Προκαταρκτικά Δομή πληροφορίας Δομή πληροφορίας επί του (Ω, F, P) είναι μια διήθηση (F t ) t [0,T ] της F έτσι ώστε A F 0 P(A) = 0 ή P(A) = 1 F T = F Χώρος πιθανότητας με δομή πληροφορίας: (Ω, F, (F t ) t, P) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 6 /

Προκαταρκτικά Τυχαία μεταβλητή X : Ω R τυχαία μεταβλητή επί του (Ω, F, P) εάν και μόνο εάν X 1 (borel ) F (γενικότερα μπορώ να μιλήσω για τυχαίες μεταβλητές X : Ω R n με τον ίδιο ορισμό) εάν και μόνο εάν X μετρήσιμη επί του F Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 7 /

Προκαταρκτικά σ-άλγεβρα παραγόμενη από τ.μ. Η σ-άλγεβρα F X που παράγεται από μια τυχαία μεταβλητή X : Ω R είναι η μικρότερη σ-άλγεβρα επί της οποίας η X είναι μετρήσιμη (είναι η σ-άλγεβρα που παράγεται από το σύνολο X 1 (διάστημα του R)) και αντιπροσωπεύει την ίδια πληροφορία που έχει και η τυχαία μεταβλητή X Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 8 /

Προκαταρκτικά Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστική διαδικασία επί του (Ω, F, P) είναι: Ορισμός (1) Μια συλλογή (X t) t [0,T ] (το T μπορεί να είναι και ) από τυχαίες μεταβλητές X t επί του (Ω, F, P) Ορισμός (2) Μία συνάρτηση X : [0, T ]xω R έτσι ώστε t [0, T ] η απεικόνιση X t := X (, t) : Ω R είναι τυχαία μεταβλητή επί του (Ω, F, P). Ορισμός (3) Μια τυχαία μεταβλητή Ω R [0,T ] = {συναρτήσεις [0, T ] R} ω X ω : [0, T ] R X ω(t) = X (t, ω) = X t(ω) όπου ο R [0,T ] είναι εφοδιασμένος με κατάλληλη σ-άλγεβρα Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 9 /

Προκαταρκτικά Προσαρμοσμένη σε διήθηση στοχαστική διαδικασία Μία στοχαστική διαδικασία (X t ) t επί του (Ω, F, (F t ) t, P) είναι προσαρμοσμένη στη διήθηση (F t ) t εάν και μόνο εάν η X t είναι μετρήσιμη επί της F t για κάθε t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 10 /

Διαδικασία Wiener ή Κίνηση Brown Διαδικασία Wiener ή κίνηση Brown Ορισμός Διαδικασία Wiener ή κίνηση Brown είναι μια στ.δ. (W t ) t [0,T ] τέτοια ώστε να ικανοποιούνται τα παρακάτω: (i) W 0 = 0 (ii) Ανεξαρτησία προσαυξήσεων t 1 < t 2 t 3 < t 4 W t4 W t3 και W t2 W t1 ανεξάρτητες τ.μ. (iii) Κανονικότητα προσαυξήσεων W t W s N(0, t s) t > s (iv) Συνεχείς Τροχιές ω Ω η W ω : [0, + ] R με W ω (t) := W t (ω) είναι συνεχής Σχόλιο Πρακτικά είναι μια στ.δ. (W t ) t [0,T ] έτσι ώστε W t = ε t t όπου ε t N(0, 1) και ε t, ε s ανεξάρτητες t s (βλέπε και τυχαίο περίπατο) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 11 /

Διαδικασία Wiener ή Κίνηση Brown Παράδειγμα Εστω Z N(0, 1). Είναι η X t = Z t κίνηση Brown; Απάντηση Εξετάζοντας ως προς την κανονικότητα, θέλω η X t X s να είναι κανονικά κατανεμημένη με μέσο 0 και διακύμανση t s. Ομως εδώ έχουμε X t X s = Z t Z s = Z( t s) που έχει διακύμανση ( t s) 2 t s (επιπλέον άμεσα βλέπουμε ότι δεν υπάρχει ανεξαρτησία προσαυξήσεων αφού το Z είναι κοινό) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 12 /

Διαδικασία Wiener ή Κίνηση Brown Παράδειγμα Εστω (W t ) t κίνηση Brown. (i) Δείξτε ότι οι τ.μ. W t s και W t W s έχουν την ίδια κατανομή (ii) Δείξτε ότι η τ.μ. W t W s είναι ανεξάρτητη από την W s s < t Απόδειξη (i) W t s = W t s W 0 N(0, t s) (W t W s ) (ii) Από τη συνθήκη των ανεξάρτητων προσαυξήσεων στον ορισμό έχουμε άμεσα ότι W t W s ανεξάρτητη από την W s W 0 = W s για κάθε s < t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 13 /

Διαδικασία Wiener ή Κίνηση Brown Παράδειγμα Εστω (W t ) t και ( W t ) t δύο ανεξάρτητες κινήσεις Brown και ρ [ 1, 1]. Τότε η X t = ρw t + 1 ρ 2 W t είναι κίνηση Brown. Απόδειξη X t X s = ρ(w t W s ) + 1 ρ 2 ( W t W s ) Ομως W t W s W t W s N(0, t s) και άρα ρ(w t W s ) N(0, ρ 2 (t s)) και 1 ρ 2 ( W t W s ) N(0, (1 ρ 2 )(t s)) Επίσης προφανώς ρ(w t W s ) και 1 ρ 2 ( W t W s ) είναι ανεξάρτητες αφού (W t ) t και ( W t ) t είναι ανεξάρτητες. Άρα το άθροισμα τους είναι N(0, ρ 2 (t s) + (1 ρ 2 )(t s)) = N(0, t s). ( Ολες οι άλλες συνθήκες του ορισμού επαληθεύονται άμεσα.) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 14 /

Διαδικασία Wiener ή Κίνηση Brown Κατασκευή συσχετισμένων κινήσεων Brown από ανεξάρτητες Παράδειγμα Εστω (W t ) t και ( W t ) t δύο ανεξάρτητες κινήσεις Brown και ρ [ 1, 1]. Τότε η X t = ρw t + 1 ρ 2 W t είναι κίνηση Brown όπως είδαμε προηγουμένως και επιπλέον Correl(X t, W t ) = Correl(X t, W t ) = ρ Απόδειξη Cov(X t, W t ) = Cov(ρW t + 1 ρ 2 W t, W t ) = Cov(ρW t, W t ) = ρvar(w t ) = ρvar(w t W 0 ) = ρt Επιπλέον Var(X t ) = Var(ρW t + 1 ρ 2 W t ) = ρ 2 Var(W t ) + (1 ρ 2 )Var( W t ) = ρ 2 t + (1 ρ 2 )t = t Άρα Correl(X t, W t ) = Cov(X t, W t ) Var(Xt )Var(W t ) = ρt t = ρ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 15 /

Στοχαστικό Ολοκλήρωμα και Στοχαστικός Λογισμός Ορισμός Εστω στοχαστική διαδικασία (X t ) t προσαρμοσμένη στην F (Wt)t (X t ) t L 2 [a, b] b a E(X 2 t )dt < (X t ) t L 2 (X t ) t L 2 [0, τ] τ > 0 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 16 /

Στοχαστικό Ολοκλήρωμα και Στοχαστικός Λογισμός Ορισμός στοχαστικού ολοκληρώματος Ορισμός Θέλω να ορίσω το στοχαστικό ολοκλήρωμα b a X tdw t Εστω (X t ) t L 2 [a, b] που είναι απλή, δηλαδή t 0 = a < t 1... < t n = b : X t = X tk για t [t k, t k+1 ). Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή b a n 1 X t dw t = X tk [W tk+1 W tk ] k=0 Για γενική (X t ) t L 2 [a, b] που δεν είναι απλή ακολουθία απλών ((X n (t)) t ) n=1,... : b lim n a E((X n(t) X (t)) 2 )dt = 0 n η Z n = b a X n(t)dw t είναι καλά ορισμένη τ.μ. και αποδεικνύεται ότι υπάρχει τ.μ. Z με lim n Z n = Z στον L 2 Ορίζουμε b a X t dw t = lim n b a X n (t)dw t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 17 /

Στοχαστικό Ολοκλήρωμα και Στοχαστικός Λογισμός Ιδιότητες Εστω στ.δ. (X t ) t τέτοια ώστε: b a E(X 2 t )dt < (X t ) t προσαρμοσμένη στην F (Wt) Τότε E( b a X tdw t ) = 0 Var( b a X tdw t ) = E(( b a X tdw t ) 2 ) = b a E(X 2 t )dt (Ισομετρία Itô ) Το στοχαστικό ολοκλήρωμα είναι γραμμική συνάρτηση, δηλ. (αxt + βy t )dw t = α X t dw t + β Y t dw t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 18 /

Το Λήμμα του Itô Συμβολισμός - Στοχαστικό Διαφορικό Εστω (X t ) t στ.δ. και έστω ότι υπάρχουν x 0 R και (µ t ) t, (σ t ) t (προσαρμοσμένες στην F (Wt) ), έτσι ώστε: t t X t = x 0 + µ s ds + σ s dw s 0 0 Τότε θα συμβολίζω την προηγούμενη έκφραση με τον εξής ισοδύναμο τρόπο: dx t = µ t dt + σ t dw t και θα την ονομάζω στοχαστικό διαφορικό της X t με αρχική συνθήκη X 0 = x 0 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 19 /

Το Λήμμα του Itô Σχόλιο Την κίνηση Brown μπορώ να την ορίσω και με τον εξής πρακτικό τρόπο ορίζοντας το διαφορικό της ως εξής: dw t = ε t dt όπου εt ανεξάρτητες N(0, 1) και (dt) k = 0 k > 1 Στη συνέχεια προκύπτει εύκολα ότι Πράγματι, (dw t ) 2 = dt E(dW t) = E(ε t dt) = E(εt) dt = 0 dt = 0 Var(dW t) = Var(ε t dt) = dt Var(εt) = dt E((dW t) 2 ) = Var(dW t) + (E(dW t)) 2 = dt + 0 = dt Var((dW t) 2 ) = Var((ε t dt) 2 ) = Var((ε 2 t dt) = dt2 Var((ε 2 t ) = 0 Άρα αφού το (dw t) 2 έχει μηδενική διακύμανση δεν είναι στοχαστικό και άρα ισούται με τη μέση τιμή του, επομένως (dw t) 2 = E((dW t) 2 ) = dt Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 20 /

Το Λήμμα του Itô Το Λήμμα του Itô Θεώρημα Εστω dx t = µ t dt + σ t dw t και Z t = f (t, X t ) όπου f : [0, + ] R R (διαφορίσιμη όσο χρειάζεται) Τότε: [ f dz t = df (t, X t ) = t + µ f t + 1 2 ] f f X t 2 σ2 t dt + σ t dw t X t Απόδειξη. Taylor στην f δίνει: df = f f dt + dx t + 1 2 f t X t 2 t 2 (dt)2 }{{} f f dt + t =0 (µ tdt + σ tdw t) + 1 2 f σt 2 dt = X t 2 X 2 t X 2 t + 1 2 f (dx t) 2 + dt dx t 2 t X t }{{} X 2 t 2 f =0 + }{{}... = =0 [ f t + f µt + 1 ] 2 f f X t 2 σ2 t dt + σ Xt 2 t dw t X t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 21 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα Λύση Από το λήμμα του Itô έχουμε E(W 4 t ) =? dwt 4 = 6Wt 2 dt + 4Wt 3 dw t t Wt 4 = 0 + 6 0 W 2 s ds + 4 t t E(Wt 4 ) = 6 E(Ws 2 )ds = 6 0 0 t W 3 s dw s 0 sds = 3t 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 22 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα E(exp(aW t )) =? Λύση Από το λήμμα του Itô έχουμε d(exp(aw t )) = a exp(aw t )dw t + 1 2 a2 exp(aw t ) dt }{{} =(dwt ) 2 Θέτω E(exp(aW t )) = f t και άρα exp(aw t ) = exp(aw 0 ) + 1 t t a 2 exp(aw s )ds + a exp(aw s )dw s }{{} 2 0 0 =e 0 =1 E(exp(aW t )) = 1 + E( 1 t t a 2 exp(aw s )ds) + E( a exp(aw s )dw s ) 2 0 0 }{{} =0 E(exp(aW t )) = 1 + 1 t 2 a2 E(exp(aW s ))ds 0 f t = 1 + 1 { t 2 a2 f s ds 0 df t = a2 ft dt 2 f 0 = 1 } ΣΔΕ f t = exp( a2 t 2 ) E(exp(aW t )) = exp( a2 t 2 ) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 23 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα t 0 W s dw s =? Λύση Θέτουμε Z t = W 2 t. Τότε, από το λήμμα του Itô έχουμε dz t = 2W t dw t + 1 2 2dt W tdw t = 1 2 (d(w 2 t ) dt) t 0 W s dw s = 1 2 ( t t 0 0 t d(ws 2 ) ds) 0 W s dw s = W 2 t t 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 24 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα Ποιά είναι η δυναμική της X t = exp(µt + σw t ); Λύση Από το λήμμα του Itô έχουμε dx t = µ exp(µt+σw t )dt+σ exp(µt+σw t )dw t + 1 2 exp(µt+σw t)σ 2 dt dx t = (µ + 1 2 σ2 )X t dt + σx t dw t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 25 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα Να λυθεί η στοχαστική διαφορική dx t = σx t dw t ) Λύση Από το προηγούμενο παράδειγμα μαντεύω ότι X t = exp( σ2 2 t + σw t) και επαληθεύω εφαρμόζοντας το λήμμα του Itô Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 26 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα Να λυθεί η στοχαστική διαφορική dx t = µx t dt + σx t dw t ) Λύση Μαντεύω ότι X t = exp((µ σ2 2 )t + σw t) και επαληθεύω εφαρμόζοντας το λήμμα του Itô Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 27 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα Να λυθεί η στοχαστική διαφορική dx t = µ t X t dt + σx t dw t ), όπου µ t φραγμένη, ολοκληρώσιμη συνάρτηση του χρόνου Λύση Η διαφορά με το προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι εδώ χρειάζομαι ένα ολοκλήρωμα µ t = t 0 µ sds. Θέτω X t = exp(( t 0 µ s ds σ2 2 )t + σw t) και επαληθεύω εφαρμόζοντας το λήμμα του Itô Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 28 /

Το Λήμμα του Itô Παράδειγμα Λύση dx t = µ tdt + σ tdw t dy t = ν tdt + ρ tdw t d(x ty t) =? X ty t = 1 2 [(Xt + Yt)2 X 2 t Y 2 t ] d(x ty t) = 1 2 [d(xt + Yt)2 dx 2 t dy 2 t ] και στη συνέχεια εφαρμόζω το λήμμα του Itô στα dxt 2, dyt 2 και d(x t + Y t) 2. (Το τελευταίο το κάνω ξεκινώντας από την d(x t + Y t) = (µ t + ν t)dt + (σ t + ρ t)dw t) για να βρώ τελικά: d(x ty t) = Y tdx t + X tdy t + σ tρ tdt (Δοκιμάστε να το κάνετε και μπακάλικα κάνοντας απευθείας Taylor στο d(x ty t) ως προς τις δυο μεταβλητές X t και Y t) Σχόλιο Παρατηρείστε ότι αν η ρ t = 0, δηλαδή η Y t είναι ντετερμινιστική, τότε έχουμε το συνηθισμένο κανόνα του γινομένου d(x ty t) = Y tdx t + X tdy t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 29 /

Υπό συνθήκη μέση τιμή Ορισμός Εστω τ.μ. X με E( X ) <. Ορίζουμε την υπό συνθήκη μέση τιμή της X δεδομένης της πληροφορίας που έχουμε τη χρονική στιγμή t και συμβολίζουμε με E(X F t ) εκείνη την F t -προσαρμοσμένη τ.μ. Z τέτοια ώστε E(1 A X ) = E(1 A Z) A F t Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδική τέτοια Z. Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 30 /

Υπό συνθήκη μέση τιμή Πρόταση E(aX + by F t ) = ae(x F t ) + be(y F t ) Εάν Y είναι F t -μετρήσιμη, τότε: E(YX F t ) = YE(X F t ) E (E (X F t2 ) F t1 ) = E(X F t1 ), t 1 < t 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 31 /

Παράγωγος Radon Nikodym Ισοδύναμα μέτρα: P Q {P(A) > 0 Q(A) > 0 A F} Από κοινού πιθανοφάνεια κίνησης Brown : Εστω t 0 = 0, x 0 = 0, x i = x i x i 1, t i = t i t i 1. Δεδομένου ότι W i ανεξάρτητα για τα διάφορα i γράφουμε f n P (x 1,..., x n ) = n i=1 1 exp( ( x i) 2 ) 2π ti 2 t i και είναι μια έκφραση της ευκολίας που έχει η κίνηση Brown να περάσει από συγκεκριμένα σημεία σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές Radon-Nikodymπαράγωγος: Εστω P Q και έστω ω Ω. Για κάθε 0 = t 0 < t 1... < t n = T ορίζουμε x i = W ti (ω) και την Radon-Nikodym παράγωγο ως την εξής θετική τυχαία μεταβλητή: dq fq n (ω) = lim (x 1,..., x n ) dp n fp n(x 1,..., x n ) = lim Q(A) A {ω} P(A) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 32 /

Παράγωγος Radon Nikodym Ιδιότητες Αλλαγή μέτρου: Εάν E Q ( X ) < τότε E Q (X ) = E P ( dq dp X ) E Q (X t F s ) = ζ 1 s E P (ζ t X t F s ) όπου s t T, ζ t = E P ( dq dp F t) και X t προσαρμοσμένη στην F t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 33 /

Θεώρημα Cameron Martin Girsanov Θεώρημα (Ι) Εστω W t μια P-κίνηση Brown, γ t προβλέψιμη και E P (exp( 1 T 2 0 γ2 t dt)) <. Τότε, υπάρχει μέτρο Q έτσι ώστε: Σχόλιο Q P dq dp = exp( T 0 γ tdw t 1 T 2 0 γ2 t dt) Η W t = W t + t 0 γ sds είναι κίνηση Brown κάτω από το μέτρο Q Με άλλα λόγια η W t εξακολουθεί να είναι κίνηση Brown κάτω από το μέτρο Q αλλά με τάση γ t. Πράγματι, dw t = γ t + d W t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 34 /

Θεώρημα Cameron Martin Girsanov Θεώρημα (ΙΙ) Εστω W t μια P-κίνηση Brown και Q P Τότε, υπάρχει προβλέψιμη γ t έτσι ώστε: t W t = W t + γ s ds είναι Q Brown 0 Επιπλέον, dq T dp = exp( γ t dw t 1 T γt 2 dt) 0 2 0 Σχόλιο Άρα το Θεώρημα Girsanov επιτρέπει το χειρισμό της τάσης μιας στ.δ. Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 35 /

Θεώρημα Cameron Martin Girsanov Παράδειγμα dx t = µ t dt + σ t dw t θέλω να δω αν υπάρχει μέτρο Q ώστε η τάση της X t κάτω από αυτό το μέτρο να είναι ν t αντί για µ t. Εχουμε: Ορίζω dx t = ν t dt + σ t (dw t + µ t ν t dt) σ t γ t = µ t ν t σ t Αν η γ t ικανοποιεί την τεχνική συνθήκη E P (exp( 1 2 0 γ2 t dt)) < τότε υπάρχει Q τέτοιο ώστε η W t = W t + t 0 ( µs νs σ s )ds να είναι Q-Brown. Δηλαδή dx t = ν t dt + σ t d W t όπου W t είναι Q-Brown T Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 36 /

Θεώρημα Cameron Martin Girsanov Παράδειγμα Εστω X t = µt + σw t όπου W t είναι P-Brown και µ, σ σταθερά. Τότε το Θ. Girsanov με γ t = µ σ συνεπάγεται ότι υπάρχει Q P έτσι ώστε W t = W t + µ σ t είναι Q-Brown. Άρα X t = σ W t είναι Q-Brown Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 37 /

Θεώρημα Cameron Martin Girsanov Παράδειγμα Εστω γεωμετρική κίνηση Brown dx t = µx t dt + σx t dw t όπου W t είναι P-Brown. θέλω να δω αν υπάρχει μέτρο Q ώστε η δυναμική της X t κάτω από αυτό το μέτρο να είναι: Ορίζω dx t = νx t dt + σx t dw t γ t = µ ν σ Η γ t ικανοποιεί την τεχνική συνθήκη αφού µ, ν, σ είναι σταθερά και άρα από το Θ. Girsanov υπάρχει Q P τέτοιο ώστε η W t = W t + t 0 ( µ ν σ )ds = W t + µ ν σ t να είναι Q-Brown. Δηλαδή dx t = νx t dt + σx t d W t όπου W t είναι Q-Brown Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 38 /

Martingales Ορισμός Η στ.δ. (X t ) t λέγεται martingale επί της διήθησης (F t ) t εάν και μόνο εάν (X t ) t είναι προσαρμοσμένη στην (F t ) t t, E( X t ) < t 1 t 2, E(X t2 F t1 ) = X t1 Σχόλιο Supermartingale Submartingale t 1 t 2, t 1 t 2, E(X t2 F t1 ) X t1 E(X t2 F t1 ) X t1 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 39 /

Martingales Παράδειγμα Η P κίνηση Brown είναι P-martingale Απόδειξη. Εστω s t. Η W t W s δεν εξαρτάται από την ιστορία μέχρι τη στιγμή s και επιπλέον W t W s N(0, t s). Άρα E P (W t W s F s ) = 0 E P (W t F s ) = E P (W s F s ) = W s Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 40 /

Martingales Παράδειγμα Εστω X τ.μ. μετρήσιμη επί της F T με E P ( X ) <. Η στ.δ. X t = E P (X F t ) είναι P-martingale και X T = X Απόδειξη. Εστω s t. Αρκεί να δείξουμε ότι E P (X t F s ) = X s E P (E P (X F t ) F s ) = E P (X F s ) Η τελευταία σχέση όμως ισχύει (Tower Law) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 41 /

Martingales Παράδειγμα Η X t = γt + W t είναι P-martingale εάν και μόνο εάν γ = 0 (Δηλαδή οι martingales δεν έχουν τάση) Απόδειξη. Άσκηση Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 42 /

Martingales Πρόταση t2 (X t ) t L 2 (t 1, t 2 ) E( X s dw s F (Wt) t 1 ) = 0 t 1 (X t ) t L 2 Z t = t 0 X s dw s είναι F (Wt) martingale δηλαδή το στοχαστικό ολοκλήρωμα είναι martingale Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 43 /

Martingales Πρόταση Εστω dx t = µ t dt + σ t dw t με E(( T 0 σ2 s ds) 1/2 ) < Τότε X t είναι martingale εάν και μόνο εάν µ t = 0 Πρόταση Εστω dx t = σ t X t dw t για κάποια προβλέψιμη σ t. Τότε X t είναι martingale υπό την προϋπόθεση ότι E(exp( 1 T 2 0 σ2 s ds)) < Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 44 /

Martingales Θεώρημα Αναπαράστασης Martingales Θεώρημα Εστω (M t ) t μια Q-martingale (με σ t 0 ς.β.) και (N t ) t μια άλλη Q-martingale.Τότε: Υπάρχει μοναδική προβλέψιμη (φ t ) t έτσι ώστε: T 0 φ 2 t σ 2 t dt < 0 ς.β. T N t = N 0 + φ s dm s (dn t = φ t dm t ) 0 (η διαδικασία φ t είναι απλά ο λόγος των martingales ) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 45 /

Το μοντέλο Black Scholes Δύο αξιόγραφα: Βέβαιος τίτλος: Την t αξίζει B t = B 0 exp(rt) (συνήθως θεωρούμε B 0 = 1 οπότε B t = exp(rt)) Αβέβαιος τίτλος: Την t αξίζει S t = S 0 exp(µt + σw t ) Θεωρώ τις προεξοφλημένες στην t 0 = 0 αξίες των αξιογράφων Βέβαιος τίτλος*: Bt = Bt B t = 1 Αβέβαιος τίτλος*: St = St B t (έχοντας θεωρήσει B 0 = 1 έχουμε S t = S t exp( rt)) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 46 /

Το μοντέλο Black Scholes Η δυναμική της προεξοφλημένης αξίας του βέβαιου τίτλου B t = 1 άρα είναι martingale κάτω από οποιοδήποτε μέτρο και προφανώς db t = 0 Η δυναμική της προεξοφλημένης αξίας του αβέβαιου τίτλου St = S t = S 0 exp(µt + σw t ) B t B 0 exp(rt) ) ( ) St Εστω Y t = ln S 0 B 0 ln d ln ( S t S 0 B 0 ( S t S 0 B 0 ) = S 0 B 0 exp((µ r)t + σw t ) = (µ r)t + σw t = (µ r)dt + σdw t. [ Οπότε S t S = exp(y t ) και άρα ds 0 t = S0 d exp(y B t )] 0 B 0 dy t = (µ r)dt + σdw t Itô d exp(y t ) = exp(y t )(µ r + σ2 2 )dt + exp(y t)σdw t ds t = S t (µ r + σ2 2 )dt + S t σdw t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 47 /

Το μοντέλο Black Scholes Να εξαφανίσουμε την τάση αλλάζοντας μέτρο, για να κάνουμε την S t martingale Εστω γ t = γ = (µ r + σ 2 2 ) σ Αφού γ t σταθερή ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του Θ. Girsanov (δηλ. γ t προβλέψιμη και E(exp( 1 2 T0 γt 2 dt)) < ) Άρα υπάρχει μέτρο Q έτσι ώστε: Q P dq dp = exp( T 0 γtdwt 1 T 2 0 γ2 t dt) W t = W t + t 0 γsds είναι Q-Brown Η τελευταία σχέση μπορεί να γραφεί και ως t t W t = W 0 + dw s + 0 0 γ sds dw t = d W t µ r + σ 2 2 dt σ Άρα κάτω από το μέτρο Q η δυναμική της προεξοφλημένης αξίας του αβέβαιου τίτλου δίνεται ως: dst = St (µ r + σ2 2 )dt + S t σ d W t µ r + σ2 2 dt dst = σst d σ W t και άρα S t είναι Q martingale (από την τελευταία πρόταση στο κεφάλαιο για τα martingales) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 48 /

Το μοντέλο Black Scholes Από απαίτηση X την T σε στ.δ. martingale Εστω μια απαίτηση X τη χρονική στιγμή T που η αξία της εξαρτλαται από το S T. Θεωρούμε την προεξοφλημένη αξία της απαίτησης X = X B T και στη συνέχεια τη στ.δ. Xt = E Q (X F t ) που είναι Q-martingale Το Θ. αναπαράστασης martingalesτις συνδέει με προβλέψιμη Άρα από το Θ. αναπαράστασης martingalesυπάρχει προβλέψιμη φ t έτσι ώστε dxt = φ t dst. Θεωρώ επίσης την ψ t = Xt φ t St Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 49 /

Το μοντέλο Black Scholes Το αντισταθμιστικό αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο Θεωρώ το χαρτοφυλάκιο (φ t, ψ t ) που την t αποτελείται από φ t μονάδες του αβέβαιου τίτλου και ψ t μονάδες του βέβαιου τίτλου. Ισχυρισμός: Το (φ t, ψ t ) είναι αυτοχρηματοδοτούμενο και αναπαράγει την απαίτηση X Η αξία του (φ t, ψ t ) δίνεται από: V t = φ t S t + ψ t B t = φ t S t + (X t φ t S t )B t = φ t S t + X t B t φ t S t B t = X t B t [Προσέξτε ότι: V T = X T B T = X B T B T = X, δηλ. αναπαράγει την X ] Άρα V t = X t B t dv t = X t db t + B t dx t = (φ t St + ψ t ) db t + }{{} B t φ t dst }{{} = από ορισμό ψ από Θ. αναπαράστασης φ t (B t dst + St db t ) +ψ t db t = φ t ds t + ψ t db t }{{} =d(b tst )=dst και άρα το χαρτοφυλάκιο είναι αυτοχρηματοδοτούμενο Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 50 /

Το μοντέλο Black Scholes Συμπέρασμα Εστω μοντέλο Black-Scholes συνεχούς διαπραγμάτευσης με δύο τίτλους, ένα βέβαιο τίτλο B t = B 0 exp(rt) και ένα αβέβαιο τίτλο S t = S 0 exp(µt + σw t ). Τότε κάθε απαίτηση X κατά τη χρονική στιγμή T αναπαράγεται από ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο (φ t, ψ t ). Επιπλέον η τιμή της απαίτησης X κατά τη χρονική στιγμή t η οποία δεν επιτρέπει arbitrage είναι V t = B t E Q (B 1 T X F t) = exp( r(t t))e Q (X F t ) όπου το Q είναι το ισοδύναμο μέτρο martingale για την προεξοφλημένη τιμή (Bt 1 S t ) του αβέβαιου τίτλου Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 51 /

Η εξίσωση Black Scholes Η δυναμική του παραγώγου Δύο τίτλοι στην αγορά: Βέβαιος τίτλος: db t = rb t dt Αβέβαιος τίτλος: ds t = µs t dt + σs t dw t Εστω παράγωγο f που ωριμάζει την T και η αξία του είναι συνάρτηση του χρόνου και της αξίας του αβέβαιου τίτλου, δηλ. f t = f (t, S t ). Από το λήμμα του Itô έχουμε για τη δυναμική του πραγώγου: df t = f t t dt + f t ds t + 1 2 f t S t 2 St 2 dst 2 df t = f t t dt + f t µs t dt + f t S t df t = [ ft t + f t S t µs t + 1 2 S t σs t dw t + 1 2 2 f t St 2 σ 2 St 2 2 f t St 2 σ 2 St 2 dt ] dt + f t S t σs t dw t Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 52 /

Η εξίσωση Black Scholes Ενα ακίνδυνο χαρτοφυλάκιο Θεωρώ ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο τη χρονική στιγμή t αποτελείται από Μια short θέση σε μια μονάδα του παραγώγου f Μια long θέση σε ft μονάδες του αβέβαιου τίτλου S S t Επομένως η αξία αυτού του χαρτοφυλακίου τη χρονική στιγμή t θα είναι: Άρα από το λήμμα του Itô Π t = f t + ft S t S t dπ t = df t + ft ds t S t [ ft dπ t = t + ft µs t + 1 2 ] f t S t 2 St 2 σ 2 St 2 dt ft σs tdw t + ft µs tdt + ft σs tdw t S t S t S t [ ft dπ t = t + 1 2 ] f t 2 St 2 σ 2 St 2 dt και η τελευταία εξίσωση δεν εμφανίζει στοχαστικό όρο (δηλαδή δεν έχει αβεβαιότητα), άρα για να μην έχω arbitrage θα πρέπει να αποδίσει όσο και ο βέβαιος τίτλος, δηλαδή dπ t = rπ tdt Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των δύο τελευταίων σχέσεων προκύπτει η εξίσωση των Black-Scholes Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 53 /

Η εξίσωση Black Scholes Η εξίσωση Black-Scholes Από τις δύο τελευταίες σχέσεις της προηγούμενης διαφάνειας έχουμε: rπ t = f t t 1 2 f t 2 St 2 σ 2 St 2 [f t f t S t ]r = f t S t t + 1 2 f t 2 St 2 σ 2 St 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 54 /

Η εξίσωση Black Scholes Αποτίμηση Call-option ds t = µs t dt + σs t dw t Σε ένα risk-neutralκόσμο (δηλαδή κάτω από το risk-neutral μέτρο Q) όλοι οι τίτλοι της αγοράς έχουν την ίδια αναμενόμενη απόδοση, ίση με το risk-freeεπιτόκιο (προκειμένου να μην υπάρχει arbitrage). Χρειάζομαι λοιπόν ένα μέτρο Q που να μετατρέπει το µ σε r. Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 55 /

Η εξίσωση Black Scholes Αποτίμηση Call-option Εστω γ t = γ = µ r σ Η γ t ως σταθερή είναι προβλέψιμη και ικανοποιεί επίσης E P exp( 1 T 2 0 γ2 t dt) < Επομένως, από το Θεώρημα Cameron-Martin-Girsanov υπάρχει μέτρο Q P: είναι Q-Brown. Δηλαδή: ( µ r Wt = W t + σ t Wt = W t + γ s ds 0 ) t dw t Άρα κάτω από το μέτρο Q έχουμε: ( ( µ r ds t = µs t dt + σs t dwt σ ( µ r σ ) dt = dw t ) ) dt ds t = rs t dt + σs t dwt Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 56 /

Η εξίσωση Black Scholes Αποτίμηση Call-option Εφαρμόζοντας το λήμμα του Itô στο ln S t έχουμε: ) d ln S t = (r σ2 dt + σdwt 2 ( ) ST ln = S 0 (r σ2 S T = S 0 exp ((r σ2 2 S T = S 0 exp(rt ) exp ( σ2 2 ) T + σw T ) ) T + σwt ) 2 T + σw T }{{} X N( σ2 2 T,σ2 T ) S T = S 0 exp(x + rt ) (1) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 57 /

Η εξίσωση Black Scholes Αποτίμηση Call-option Εστω Call-optionμε strike Kπου λήγει την T. Γνωρίζουμε ότι την t 0 = 0 η non-arbitrageτιμή του είναι: C 0 = exp( rt )E Q [max (S T K, 0)] (2) Επίσης έχουμε ότι: ( S T K 0 (1) K S 0 exp(x + rt ) K X ln S 0 ) rt (3) Άρα η σχέση (2) με τη βοήθεια των (1) και (3) συνεπάγεται ότι: ( ) 2 C 0 = e rt 1 X + σ2 T 2 ( ) (S 0 exp(x + rt ) K) exp 2πσ2 T ln KS0 rt 2σ 2 dx T 1 ( ) C 0 = ( ) S 0e X Ke rt exp 2πσ2 T ln KS0 rt ( X + σ2 2 T ) 2 2σ 2 T dx (4) Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 58 /

Η εξίσωση Black Scholes Αποτίμηση Call-option Θέτω οπότε u = x + σ2 2 T s T x = uσ T σ2 2 T dx = σ T du ( ) ln K rt + σ2 S0 2 T u s T Βάσει αυτού του μετασχηματισμού η εξίσωση (4) γίνεται: Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 59 /

Η εξίσωση Black Scholes Αποτίμηση Call-option Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 /