ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Παραγωγίσιμες συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτηση Έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή απλά παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο Α. Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( αβ, ) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( αβ, ). Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( αβ, ) και επιπλέον ισχύει () ( α) lim α + α και () ( β) lim. β β Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε Α στο (), ορίζουμε τη συνάρτηση: : Α () η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της. H πρώτη παράγωγος της συμβολίζεται και με d d που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι. Σχόλιο: Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y με y = ( () ). = () θα τη συμβολίζουμε και Αν υποθέσουμε ότι το Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με. Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της, με ν 3, και συμβολίζεται με =, ν 3. ( ν ) ( ν ) ν. Δηλαδή
Παράγωγος βασικών συναρτήσεων Εστω η σταθερή συνάρτηση () = c, c. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει () =, δηλαδή ( c) = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) c c = =. Επομένως, () lim =, δηλαδή ( c) =. Έστω η συνάρτηση () =, D =. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει () =, δηλαδή = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: () = =. Επομένως, () lim = lim =, δηλαδή =. Έστω η συνάρτηση () στο και ισχύει = ν, () = ν ν, δηλαδή D = με ν {,}. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ν ( ν ) = ν Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει:
ν ( ν ν + +... + ) () οπότε ν ν ν ν ν = = = + +... + () = + + + = + + + =ν ν ν ν ν ν ν ν lim lim...... = ν. ν ν δηλαδή, Έστω η συνάρτηση () και ισχύει () =, δηλαδή = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του =, D = [, + ). Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) ( )( + ) () + = = =, +, τότε για ισχύει: = = ( )( + ) οπότε +, () ( ) lim = lim = +, δηλαδή =. Η () = δεν είναι παραγωγίσιμη στο αφού () () lim = lim = lim = +. Έστω η συνάρτηση () = ηµ, D =. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει () = συν, δηλαδή ( ηµ ) = συν 3
Πράγματι, για κάθε και h ισχύει: ( + h) () ηµ + h ηµ ηµ συν h + συν ηµ h ηµ = = = h h h συνh ηµ h = ηµ + συν. h h Επειδή ηµ h συνh lim = και lim =, h h h h έχουμε ( + h) () lim = ηµ + συν = συν. h h Δηλαδή ( ηµ ) = συν. Έστω η συνάρτηση () = συν, D =. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει () = ηµ, δηλαδή ( συν ) = ηµ Πράγματι, για κάθε και h ισχύει: ( + h) () συν + h συν συν συνh ηµ ηµ h συν = = = h h h συνh ηµ h = συν ηµ, h h οπότε ( + h) () συνh ηµ h lim = lim συν lim ηµ = h h h h h h = συν ηµ = ηµ. Δηλαδή ( συν ) = ηµ. ηµ συν Σχόλιο: Τα όρια lim = και lim =, τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την παράγωγο των συναρτήσεων () = ηµ, g() = συν είναι η παράγωγος στο = των συναρτήσεων, g αντιστοίχως, αφού 4
ηµ ηµ ηµ lim = lim = συν συν συν lim = lim = g. Έστω η συνάρτηση () = e, D =. Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει () = e, δηλαδή: ( e ) = e Έστω η συνάρτηση () ln D =, +. Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει () =, δηλαδή: ( ln ) = =, 5
Κανόνες Παραγώγισης Παράγωγος αθροίσματος ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση + g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( + g) ( ) = ( ) + g ( ) Απόδειξη Για, ισχύει: ( + g) ( + g)( ) + g ( ) g( ) = = g g = +. Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: ( + g) ( + g)( ) ( ) g g( ) lim = lim + lim = = + g δηλαδή + = +. ( g) ( ) ( ) g ( ) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει: + = +. ( g) g Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν,,..., κ, είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε + + + = + + +. (... ) ( )... κ κ 6
Παράδειγμα 3 3 ( ) + συν + = + συν + = 3 ηµ, Παράγωγος γινομένου ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( g) ( ) = ( ) g( ) + ( ) g ( ) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε ισχύει: Παράδειγμα = +. ( g) g g e = e + e = e + e, >. Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: = = + = ( g h ) ( g ) h ( g ) h ( g ) h = g + g h + g h = = g h + g h + g h. Παράδειγμα ( ln ) ln ( ) ln ( ln ) ηµ = ηµ + ηµ + ηµ = συν + ηµ + ηµ = συν + ηµ + ηµ > ln ln ln ln, 7
Αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c, επειδή ( c) =, σύμφωνα με το θεώρημα () έχουμε: ( c ()) = c () Παράδειγμα 4 4 3 3 7 = 7 = 7 4 = 8,. Παράγωγος πηλίκου ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και g( ), τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g g ( ) = g g( ) Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε ισχύει g(), τότε για κάθε έχουμε: g g = g g. Παράδειγμα 6 6 6 6 6 6 = = =, ± Με την χρήση των προηγούμενων προτάσεων μπορούμε πλέον να βρούμε τις παραγώγους μερικών ακόμη βασικών συναρτήσεων. 8
Έστω η συνάρτηση () * και ισχύει ν ( ν ) = ν Πράγματι, για κάθε ν ( ) = ν, () = ν ν, δηλαδή * έχουμε: ν ( ) * D = με ν ν ν ν = ν = = ν = ν Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι τότε κ κ ( ) = κ. ν * ν. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ν = ν ν, για κάθε φυσικό. ν>. Επομένως, αν κ {,}, Έστω η συνάρτηση () = εφ, D = { / συν = }. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο = { / συν = } και ισχύει () =, δηλαδή συν ( εφ ) = συν Πράγματι, για κάθε έχουμε: ηµ ηµ συν ηµ συν συν συν + ηµ ηµ εφ = = = = συν συν συν συν + ηµ = =. συν συν Έστω η συνάρτηση () = σφ, D = { / ηµ = }. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο = { / ηµ = } και ισχύει () =, δηλαδή ηµ σφ = ηµ 9
Πίνακας παραγώγων βασικών συναρτήσεων Συνάρτηση Παράγωγος () = c () = ( c) = () = () = = () () = = ν = ν ν ν () = () = = () = ηµ () = ( ηµ ) = συν () = συν () = ( συν ) = ηµ () () = e = e = e () = ln () = ( ln ) = () = εϕ () = ( εφ ) = συν () = σϕ () = ( σφ ) = ηµ
Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει και η είναι παραγωγίσιμη στο g( ) ( g) = ( g ) g, τότε η Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι g, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: παραγωγίσιμη στο ( ( g )) ( g ) g =. Δηλαδή, αν u g ( ) u = u u. =, τότε Παράδειγμα ( ( ) ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ηµ = συν συν = συν,. Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y= ( u) και u g dy dy du = d du d που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. =, έχουμε τον τύπο Παρατήρηση Το σύμβολο dy δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεται ως πηλίκο, d πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα.
Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι τα εξής: Η συνάρτηση () δηλαδή α ( α ) = α = α, α είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει () = α α, Πράγματι, αν y e α αln = = και θέσουμε u ln = α, τότε έχουμε y u = e. Επομένως, y e e u α e u u α ln α α = = = α = =α. Αποδεικνύεται ότι, για α> η είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο = και η παράγωγός της είναι ίση με, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο. Η συνάρτηση δηλαδή () = α, α> είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει () =α ln α, α =α ln α ln α Πράγματι, αν y=α = e και θέσουμε u = ln α, τότε έχουμε = = = α=α α. u u ln α y e e u e ln ln y u = e. Επομένως, Η συνάρτηση () ( ln ) Πράγματι = αν = ln, >, τότε ( ln ) ( ln ) αν y = ln u. Επομένως, * είναι παραγωγίσιμη στο = =, ενώ * και ισχύει <, τότε ln = ln ( ), οπότε, αν θέσουμε y ln = = = = u ( y) ( ln u) u και άρα ( ln ) =. = και u =, έχουμε
Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u Συνάρτηση α α = [ ] = [ ] g() () u g() = () = u = () είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε: Παράγωγος α α g () =α () () =αu u g () = () = u () u g() = ηµ () = ηµ u g () = συν() () = συνu u g() = συν () = συν u g () = ηµ () () = ηµ u u g() = εϕ () = εϕ u g () = () = u συν () συν u g() = σϕ () = σϕ u g () = () = u ηµ () ηµ u () u g() = e = e () u g () = e () = e u () u g() =α =α g() = ln () = ln u () u g () =α ln α () =α ln α u g () = () = u () u 3
Σημαντικές παρατηρήσεις ) Οι κανόνες παραγώγισης ισχύουν για τις τιμές του στις οποίες όλες οι συναρτήσεις που εμφανίζονται παραγωγίζονται. Σχόλιο: Οι κανόνες παραγώγισης εφαρμόζονται μόνο σε ανοικτά διαστήματα. ) Αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του αθροίσματος (ή του γινομένου ή του πηλίκου ή της σύνθεσης) δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων,gστο, τότε γράφουμε ( + g) = + g και όχι + g γιατί παράγωγος της σταθερής συνάρτησης ( ) g( ) +. g + = ως Αντίστοιχη προσοχή δίνουμε αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του γινομένου ή του πηλίκου ή της σύνθεσης δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. 3) Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, δεν σημαίνει ότι και η g ή + g ή g δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Η εξέταση της παραγωγισιμότητας στο σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω συναρτήσεις γίνεται με την βοήθεια του ορισμού. (Βλέπε άσκηση 5) 4) Μπορεί δύο συναρτήσεις,g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού τους και η συνάρτηση + g ή g ή g να είναι παραγωγίσιμη στο. Παράδειγμα,, Οι συναρτήσεις () =, g() = δεν είναι παραγωγίσιμες στο, <, < σημείο =, ενώ η συνάρτηση + g έχει τύπο ( + g )() = και είναι παραγωγίσιμη στο =. 5) Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο συνάρτηση μιας συνάρτησης ορισμένης στο Α, θα δουλεύουμε ως εξής: i) Με κανόνες παραγώγισης θα υπολογίζουμε την, στα ανοικτά διαστήματα του πεδίου ορισμού της. 4
ii) Εκεί που κλείνει το πεδίο ορισμού Α της ή στα σημεία που αλλάζει ο τύπος της, θα δουλεύουμε πάντα με τον ορισμό της παράγωγου σε σημείο, για να βλέπουμε αν ορίζεται στη θέση αυτή παράγωγος, οπότε το σημείο αυτό του Α της, θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης, στην αντίθετη περίπτωση δεν θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης. Σχόλιο: Δεν βρίσκουμε ποτέ το πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης από τον τύπο της. Αλλά ακολουθούμε τα παραπάνω βήματα. 6) Η παράγωγος μίας συνάρτησης, δεν είναι κατά ανάγκη μία συνεχής συνάρτηση. 7) Αν μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ, αντιστρέφεται και η παραγωγίσιμη στο ( ) με () για κάθε τότε: () =, ( ). () Πράγματι, για κάθε ισχύει () () = () = ( ) () =, ( ). () () = επομένως: ( ν) 8) Αν υπάρχει η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης στο D ( ( ) ), σημαίνει ότι η ν είναι συνεχής στο και ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( θ, +θ ) ή,β, με θ>. ( α, ] ή [ ) Προσοχή ως προς την διαφορά που έχει ο συμβολισμός ν συμβολισμό () (νιοστή δύναμη), αφού: ν () = ν () ενώ ν ν () = () (). ( ν) () (νιοστή παράγωγος) με το 9) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι περιττή. (Βλέπε άσκηση 8) ) Αν μία συνάρτηση είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι άρτια. (Απόδειξη: Ομοίως όπως στην άσκηση 8) Παράδειγμα H συνάρτηση () = ηµ είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο, ενώ η () = συν είναι άρτια. 5
) Αν για τις συναρτήσεις,g ισχύει ότι () = g() τότε () = g (). Ενώ αν () = g () δεν σημαίνει απαραίτητα ότι () = g(). Παράδειγμα Οι συναρτήσεις () =, g() = 3 είναι παραγωγίσιμες στο ως πολυωνυμικές με () = g () =. Παρατηρούμε ότι ενώ () = g (), οι (),g() δεν είναι ίσες. Ημερομηνία τροποποίησης: 3/8/ 6