Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 6. Το αόριστο ολοκλήρωµα 6. Το αόριστο ολοκλήρωµα Η έννοια του ολοκληρώµατος προκύπτει από την αντίθετη της παραγώγισης διαδικασία. Στη βασική του διατύπωση, το πρόβληµα είναι το εξής: Αν δοθεί µια εξίσωση της µορφής f (, ποια είναι η y ( ; Η απάντηση εξαρτάται προφανώς από τη µορφή της συνάρτησης f (. Αν η f ( είναι µια σταθερά, έστω, η λύση της εξίσωσης απαιτεί να βρούµε µια συνάρτηση y(, η οποία, όταν την παραγωγίσουµε ως προς, να µας δώσει τη σταθερή ποσότητα. Γνωρίζουµε από τη θεωρία της παραγώγισης, ότι η συνάρτηση y, όπου c µια σταθερά, έχει αυτήν την ιδιότητα. Αυτή είναι εποµένως η λύση της δοθείσας εξίσωσης. Μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι η γενικότερη δυνατή και άρα η µοναδική λύση. Η εύρεση της f ( από την y( επιτυγχάνεται µε παραγώγιση. Η αντίθετη διαδικασία, η οποία οδηγεί στην εύρεση της γράφουµε: y( αν δοθεί η, ονοµάζεται ολοκλήρωση. Συµβολικά Αν f (, τότε y (. (6. f ( Ονοµάζουµε το f ( αόριστο ολοκλήρωµα της f( ως προς. Έτσι, µε λόγια, Αν η f ( είναι η παράγωγος της y( ως προς, τότε η y ( ισούται µε το αόριστο ολοκλήρωµα της f( ως προς. Ο προσδιορισµός αόριστο θα γίνει σαφής όταν εξετάσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα, στο επόµενο κεφάλαιο. d(... Η πράξη την οποία συµβολίζει ο τελεστής παραγώγισης ή (... είναι η εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης που θα τοποθετηθεί στις παρενθέσεις. Ο τελεστής ολοκλήρωσης (... συµβολίζει την αντίθετη διαδικασία, κατά την οποία αποκτάται η συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι η συνάρτηση που βρίσκεται µέσα στις παρενθέσεις. df( Αν f (, η συνάρτηση F ( ονοµάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f (. Η f (t ονοµάζεται παράγωγος της F (. Αν η συνάρτηση F( είναι µια αρχική συνάρτηση της f (, τότε αρχική συνάρτηση της f ( είναι και κάθε συνάρτηση G ( F(, όπου c είναι οποιαδήποτε σταθερά, γνωστή ως σταθερά ολοκλήρωσης. Παραθέτουµε τη διαδικασία λύσης µερικών απλών προβληµάτων ολοκλήρωσης: y ( επειδή ( c y( ( y l d d επειδή c d l ( επειδή (
8 Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής d si y ( επειδή si cos ( cos si d si y ( si cos επειδή cos si d cos y ( επειδή cos si ( si cos d cos y ( cos si επειδή si cos y d επειδή ( ( d y( επειδή Σε όλα τα παραδείγµατα, c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Είναι πάντοτε καλή τακτική να ελέγχουµε ότι παραγωγίζοντας το αποτέλεσµα επανακτούµε την ολοκληρωθείσα συνάρτηση. Θα έχει ήδη γίνει σαφές ότι η ολοκλήρωση µιας συνάρτησης f ( εξαρτάται από την ικανότητά µας να βρούµε µια αρχική της συνάρτηση F( [της οποίας η παράγωγος να είναι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση f (]. Στην παραγώγιση µιας συνάρτησης F(, η διαδικασία είναι πάντοτε δυνατή αν είµαστε σε θέση να εκφράσουµε την F( δ ως άθροισµα όρων lim στη µορφή f ( δ. Η δ 0 αντίθετη διαδικασία, η ολοκλήρωση, δεν είναι δυνατόν να τυποποιηθεί µε κάποιον τέτοιο τρόπο. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι ο µετασχηµατισµός της ολοκληρωτέας συνάρτησης, µε διάφορους τρόπους, σε όρους οι οποίοι να µας είναι αναγνωρίσιµοι ως παράγωγοι γνωστών συναρτήσεων. Είναι λοιπόν απαραίτητο να γνωρίζει κανείς τις παραγώγους τουλάχιστον των πιο κοινών συναρτήσεων. Στο στάδιο αυτό, η αποστήθιση των ολοκληρωµάτων του πίνακα που ακολουθεί είναι απαραίτητη. γνωστών συναρτήσεων και να βρούµε το όριο ( F( δ F( Πίνακας στοιχειωδών αόριστων ολοκληρωµάτων ( l si cos cos si Σε όλες τις σχέσεις, c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Υπάρχουν πολλοί πίνακες ολοκληρωµάτων, από συνοπτικοί έως εξαιρετικά εκτενείς, στους οποίους τα ολοκληρώµατα συναρτήσεων κατατάσσονται µε συστηµατικό τρόπο για να µπορεί κανείς να βρει εύκολα ένα ζητούµενο ολοκλήρωµα. Και πάλι όµως, η αναγωγή τής ολοκληρωτέας συνάρτησης σε κάποιαν όσο το δυνατό πιο απλή µορφή είναι συνήθως το κλειδί για την εύρεση της απάντησης. Η χρήση τέτοιων µεθόδων εξαρτάται σε αποκλειστικό σχεδόν βαθµό από την πείρα που έχει κανείς στη λύση τέτοιων προβληµάτων. Οι δυνατότητες αυτής της διαδικασίας έχουν αυξηθεί σηµαντικά µε τη χρήση ορισµένων προγραµµάτων ηλεκτρονικών υπολογιστών, τα οποία, και έχουν κάνει την εύρεση του ζητούµενου ολοκληρώµατος πολύ γρήγορη, αλλά και έχουν τη δυνατότητα αλγεβρικού µετασχηµατισµού τής ολοκληρωτέας συνάρτησης, αν αυτή δεν υπάρχει αυτούσια στον πίνακα του προγράµµατος.
Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 9 6. Ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώµατος ίνονται, χωρίς απόδειξη, οι κυριότερες ιδιότητες των αόριστων ολοκληρωµάτων. (Τα, b, είναι σταθερά. Ο τόνος υποδηλώνει παραγώγιση µιας συνάρτησης ως προς. ( g( f ( f ( g( (αθροιστικότητα f ( f (, σταθερό f ( b f z dz (, z b (αλλαγή µεταβλητής 4 f ( l f ( f ( 5 u( υ ( u( υ( u ( υ( (ολοκλήρωση κατά παράγοντες dg f (αλλαγή µεταβλητής dg g ( f ( g 6 ( g( f ( g dg g ( f ( z dz, z f ( g( (ολοκλήρωση µε αντικατάσταση 7 ( g Τα παρακάτω Παραδείγµατα επιδεικνύουν την εφαρµογή αυτών των κανόνων. Παράδειγµα Ιδιότητα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα cos( b. Αντικαθιστούµε z b. Τότε είναι επίσης dz, ή dz /. Εποµένως, dz cos. ( b cos z cos z dz si z si( b Βεβαίως, µε την απόκτηση πείρας, και για ολοκληρώµατα τόσο απλά, µπορεί κανείς να γράφει το αποτέλεσµα απευθείας. Παράδειγµα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα. b Ιδιότητα 4. Επειδή d ( b, έχουµε b d( b b l( b. Παράδειγµα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα si cos. Ιδιότητα 7. Επειδή d(si cos, έχουµε si c. 4 4 cos si d(si si
0 Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Με αλλαγή της µεταβλητής (Ιδιότητα, γίνονται πιο γενικά τα ολοκληρώµατα του προηγούµενου πίνακα ολοκληρωµάτων: ( b ( ( b ( l b b si cos b si b ( b cos( b ( ( c Ένας εκτενέστερος πίνακας δίνεται στο τέλος του κεφαλαίου. Προβλήµατα Επαληθεύστε τα ολοκληρώµατα b b l l l παραγωγίζοντας τα αποτελέσµατα για να βρείτε τις ολοκληρωτέες συναρτήσεις. είξτε ότι: l. Υπόδειξη:. l είξτε ότι:. Υπόδειξη: ( l. l l 4 είξτε ότι: c l( c 5 είξτε ότι: si si. 4 Υπόδειξη: 6 είξτε ότι: t l cos Υπόδειξη: 7 είξτε ότι: si ( si cos si t. cos i i Υπόδειξη: ( si. i. Βιβλιογραφία M. R. Spigl, Ανώτερα Μαθηµατικά. Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 98. Κεφ. 5.
Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7.4 Πίνακας στοιχειωδών αόριστων ολοκληρωµάτων. c. (. l 4. b 5. l 6. l b 7. ( 8. ( c l l 9. ( c 0. si cos. cos si. t l cos. cot l si 4. cosc l t l(cosc cot si 5. π sc l t l(sc t cos 4 6. si ( si cos 7. cos ( cos si 8. si si 9. 4 cos si 4 si( m si( m 0. si m si m ( m ( m si( m si( m. cos mcos m ( m ( m cos( m cos( m. si m cos m ( m ( m. cot 4. si t cos 5. rct 6. c l / 7. b ( b 8. b b
Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 9. ( l( 0. rcsi (. l. rcsi. l 4. c rcsi 5. l l 6. rcsi rcsi 7. rccos rccos 8. rct rct l( c 9. rccot rccot l( c Πίνακες Ολοκληρωµάτων. Βιβλιογραφία Σύντοµοι M. Abrmowitz d I. A. Stgu, Hdboo of Mthmticl Fuctios (with formuls, grphs, d mthmticl tbls. (Dovr Publictios, Nw Yor, 965. M. R. Spigl, Mthmticl Hdboo of Formuls d Tbls. (Schum s Outli Sris i Mthmtics, McGrw-Hill Boo Compy, 968 κ.ε.. I. N. Broshti d K. A. Smyv, Hdboo of Mthmtics. (Sprigr, 985. Εκτενείς G. Ptit Bois, Tbls of Idfiit Itgrls. (Dovr, 96 κ.ε.. H. B. Dwight, Tbls of Itgrls. (Mcmill, 974. Πολύ εκτενείς I. S. Grdshty d I. M. Ryzhi, Tbl of Itgrls, Sris d Products. (Acdmic Prss, 980. A. P. Prudiov, Yu. A. Brychov d O. I. Mrichv, Itgrls d Sris. Vol. : Elmtry Fuctios, Vol. : Spcil Fuctios. (Gordo d Brch, 986. Πίνακες ολοκληρωµάτων υπάρχουν επίσης σε µαθηµατικά προγράµµατα ηλεκτρονικών υπολογιστών, όπως το MATHEMATICA και άλλα.