ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα

Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ... 7 ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... ΕΝΟΤΗΤΑ 4η:... 5 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ... 5 ΕΝΟΤΗΤΑ 5η:... ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE... ΕΝΟΤΗΤΑ 6η:... 8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)... 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 7η:... 46 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ... 46 ΕΝΟΤΗΤΑ 8η:... 58 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ... 58 ΕΝΟΤΗΤΑ 9η:... 66 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 66 ΕΝΟΤΗΤΑ η:... 7 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ... 7 ΕΝΟΤΗΤΑ η:... 9 Η ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ... 9 ΕΝΟΤΗΤΑ η:... 7 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ... 7 ΕΝΟΤΗΤΑ η:... 6 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ... 6 ΕΝΟΤΗΤΑ 4η:... 9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: F f ( t) dt... 9 ΕΝΟΤΗΤΑ 5η:... ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ... ΕΝΟΤΗΤΑ 6η:... 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ... 7 Άλκης Τζελέπης

ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Για κάθε Να δείξετε ότι.. Δίδεται συνάρτηση, γνήσια αύξουσα, ώστε. Να δείξετε ότι.. ι) Αν, τότε να βρείτε τη συνάρτηση g. ιι) Αν, τότε να βρείτε τη συνάρτηση f. 4. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει, τότε να βρείτε, αν υπάρχει, τη συνάρτηση. 5. Δίδεται συνάρτηση. ι) να δείξετε ότι η f είναι - ιι) να λύσετε την εξίσωση. 6. Δίδεται συνάρτηση. ι) να βρείτε την ιι) να δείξετε ότι η f είναι - ιιι) να δείξετε ότι ιv) να δείξετε ότι 7. Έστω. ι) να δείξετε ότι ιι) να βρείτε την ιιι) να δείξετε ότι ιv) να δείξετε ότι δεν υπάρχει 8. Δίδεται συνάρτηση. ι) να δείξετε ότι ιι) αν να βρεθεί το g() και να δείξετε ότι η g δεν είναι - 9. Δίδεται συνάρτηση f η οποία αντιστρέφεται και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,4). Να βρεθεί το, αν γνωρίζετε ότι. Έστω Να δείξετε ότι: ι) η f είναι - ιι) ιιι) η συνάρτηση f δεν είναι γνήσια αύξουσα Άλκης Τζελέπης

. Έστω Να δείξετε ότι: ι) ιι) ιιι) αν η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα το (μηδέν), τότε η f είναι - και ισχύει:. Έστω Να δείξετε ότι: ι) ιι) ιιι) ιv) v) αν η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα το (μηδέν), τότε η f είναι αντιστρέψιμη και ισχύει:. Αν για τη συνάρτηση ισχύουν: α) η f είναι αύξουσα β) να δείξετε ότι: ι) f() = ιι) f() =, για κάθε 4. Δίδεται συνάρτηση f γνήσια μονότονη, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(-, ) και Β(, 4). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί, έτσι ώστε: 5. Δίδεται συνάρτηση με τύπο Να βρεθεί το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης και να σχεδιασθεί η γραφική της παράσταση. 6. ι) Δίδονται οι συναρτήσεις. Να δείξετε ότι και η f είναι ιι) Έστω Αν για κάθε άλλη συνάρτηση ισχύει ότι gof = fog, τότε να δείξετε ότι f() = για κάθε. ιιι) Έστω Να δείξετε ότι αν (gof)() = και (hog)() =, τότε h = f 7. Έστω η μη μηδενική συνάρτηση έτσι ώστε: ι) Να δείξετε ότι f() = και ότι η f είναι άρτια ιι) Έστω Να δείξετε ότι και ότι ιιι) Να δείξετε ότι μία περίοδος της f είναι το 8. Έστω συνάρτηση. Να βρεθεί η συνάρτηση 9. Δίδονται οι συναρτήσεις Αν οι f, g είναι, τότε να δείξετε ότι και η gof είναι και ισχύει Άλκης Τζελέπης 4

. Δίδονται οι συναρτήσεις Αν ισχύουν οι σχέσεις, να δείξετε ότι: ι) οι f, g είναι ιι). Δίδεται η συνάρτηση με τύπο ι) να βρείτε το f () ιι) να εξετάσετε αν η f είναι ιιι) να λύσετε την εξίσωση στο R. Έστω συνάρτηση Να λύσετε την εξίσωση. ι) Έστω συνάρτηση με την ιδιότητα Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης. ιι) Έστω. Να βρεθεί ο τύπος της f. 4. Έστω συνάρτηση f με. Να δείξετε ότι 5. Έστω συνάρτηση f με. Να δείξετε ότι f () = 6. Έστω συνάρτηση Αν η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα, τότε ι) να δείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση ιι) να λυθεί η εξίσωση: ιιι) αν επιπλέον ισχύει f () > για >, να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα 7. Έστω συνάρτηση με Επιπλέον η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία ψ = σε ένα το πολύ σημείο. Να δείξετε ότι: ι) αν η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα, τότε η f είναι ιι) η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη 8. Έστω συνάρτηση με. Να δείξετε ότι: ι) υπάρχει η ιι) 9. Δίδεται η συνάρτηση με τύπο ι) να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται ιι) να λυθεί η εξίσωση Άλκης Τζελέπης 5

. Έστω συνάρτηση f γνήσια μονότονη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(5, 9) ι) να λυθεί η εξίσωση ιι) να λυθεί η ανίσωση. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ι) να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι και ότι το σύνολο των τιμών της είναι ολόκληρο το R ιι) να λυθεί η εξίσωση Άλκης Τζελέπης 6

ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ. Αν f( ) lim l,... lim f ( ) f ( ) f ( ). Να βρείτε το lim f( ), ό : ) lim ) lim 5 8 f( ). Αν lim 5 lim g( ), ί lim f ( ) g( ). 4. Αν f( ) lim lim f ( ) l,... lim g( ) g ( ) 5. Βρείτε το lim f( ), όταν: 8 f ( ) ) lim ) lim ) lim f ( ) f ( ) 6. Αν 7. Αν f ( ) lim l,... lim f ( ) l f ( ) l f ( ) f ( ) lim, ί lim f ( ) f ( ) f ( ) 8. Αν lim, ί lim 9. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ότι f () = f ( + ) για κάθε πραγματικό αριθμό και lim f ( ) 5 4, ί lim f ( ). ι) Να βρείτε το lim 4 ιι) Αν ισχύει ότι f ( ),,, ί lim f ( ). Αν. Αν ισχύει ότι ( ), lim ( ) f ί ό f. Για τη συνάρτηση ln f( ) lim ln f : (,) ύ f ( ), ό, (,). Τότε βρείτε το Άλκης Τζελέπης 7

ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ. Να υπολογισθούν τα όρια: ) lim, ) lim i ii, iii) lim, 4. Ομοίως: 5 i) lim 5 7, ii) lim, iii) lim, 5 7 v) lim e, v) lim ln( ) ln( ) *. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 9 ο ). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει σταθερό μήκος c, ενώ το σημείο Γ κινείται απομακρυνόμενο από το Α στην προέκταση της ΑΓ. Να αποδείξετε ότι τα μήκη των ΒΓ και ΑΓ τείνουν να γίνουν ίσα. 4. Κατά τη διάρκεια ενός ποιοτικού ελέγχου σε μία μονάδα παραγωγής, βρέθηκε ότι η ποσότητα των t 7 ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από έναν εργάτη δίνεται από τον τύπο Et (), όπου t t είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένας εργαζόμενος για να κάνει τη συγκεκριμένη εργασία. Να εκτιμήσετε τι θα συμβεί όταν οι εργαζόμενοι πιέζονται για την ελαχιστοποίηση του τυπικού μέσου χρόνου παραγωγής του προϊόντος. 5. Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν f ( ) g ( ) f ( ) g ( ), και οι συναρτήσεις παίρνουν θετικές τιμές για κάθε χ > 4, τότε να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων f ( ) g( ) 6. Για μια συνάρτηση f ισχύει: f ( ) f, ά,, ί lim f ( ). 7. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή και ότι ισχύει lim f ( ). Να βρείτε το lim f( ) 8. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να υπολογίσετε το όριο: P( ) lim, αν το P (λ) είναι πολυώνυμο για το οποίο ισχύει ότι ( ) 5 P() P( ) P( ) 9. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύουν f ( ), f (), τότε το όριο lim f 4 () 4 f( ) είναι ίσο με:.... f () Άλκης Τζελέπης 8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να υπολογίσετε τα όρια:. Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση f με Να υπολογίσετε το αν. Αν 4. Αν 5. i) Αν ii) Αν να βρείτε το 6. i) Αν να βρείτε το α, ώστε ii) Αν 7. Αν 8. Αν να δείξετε ότι: 9. Αν, να δείξετε ότι:. Αν η συνάρτηση f (ε) εκφράζει το βαθμό του πολυωνύμου να εξετάσετε αν υπάρχει το και να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.. Να δείξετε ότι: Άλκης Τζελέπης 9

. Δίνεται συνάρτηση με τύπο. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, ώστε Στη συνέχεια να δείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση g, τέτοια ώστε. Θεωρούμε την εξίσωση με ρίζες. Να δείξετε ότι: 4. Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους. Να βρείτε το 5. Αν, να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση παριστάνει ευθεία, η οποία είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές Α(,-), Β(,) και Γ(,5). 6. Δίνεται συνάρτηση με τύπο. Να ορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, ώστε: 7. Να δείξετε ότι: 8. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού Α = [,] και σύνολο τιμών g(α) = (,6) δεν είναι συνεχής ii) Να αποδείξετε ότι η μη σταθερή συνάρτηση δεν είναι συνεχής 9. Αν σε μια περιοχή του (μηδενός) ισχύει να δείξετε ότι. i) Αν, τότε να αποδείξετε ότι ii) Δίνονται οι συναρτήσεις h, f, g με h() = f() g(). Αν η h είναι συνεχής στο με και η f δεν είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι και η g δεν είναι συνεχής στο Άλκης Τζελέπης

. Δίνεται η συνάρτηση Αν για κάθε, τότε να αποδείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής β) η συνάρτηση με τύπο g() = f() είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [α, β] γ) η εξίσωση f() = έχει μοναδική λύση στο [α, β]. Δίνεται συνάρτηση με Αν το. Αν τότε να βρείτε το 4. i) Αν ii) Έστω κοντά στο (μηδέν) και. Να αποδείξετε ότι iii) Έστω κοντά στο (μηδέν) και. Να αποδείξετε ότι 5. Έστω Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ, ώστε: 6. Έστω. Να βρείτε το 7. Να βρείτε τα όρια: i), ii), iii), iv) v), vi), vii) 8. Έστω. Να βρείτε τα όρια: i) και ii) Άλκης Τζελέπης

9. Να υπολογίσετε τα όρια: i), ii) iii), iv). Να υπολογίσετε το. Για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν:. Να βρείτε τα όρια:. Για τις συναρτήσεις ισχύουν:. Να αποδείξετε ότι. Δίνεται η συνάρτηση με την ιδιότητα Αν το να αποδείξετε ότι ισούται με (μονάδα) 4. Έστω συνάρτηση με Αν να αποδείξετε ότι 5. Αν να αποδείξετε ότι 6. Αν να υπολογίσετε το 7. Αν να υπολογίσετε το 8. Δίνεται η συνάρτηση με. Να βρείτε το 9. Δίνεται η συνάρτηση με. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο =, να αποδείξετε ότι 4. Δίνεται συνάρτηση, συνεχής στο, για την οποία ισχύει. Να αποδείξετε ότι Άλκης Τζελέπης

ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BOLZANO: Συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα [α, β] f ( ) f ( ) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f ( ) Σχόλιο : Τότε η εξίσωση f ( ) έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α, β) Σχόλιο : Τότε η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των χ χ σε ένα τουλάχιστον σημείο. ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Θ. BOLZANO η ΜΟΡΦΗ [ εύρεση ρίζας εξίσωσης σε ανοικτό διάστημα ] Παράδειγμα ο Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) e έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (-, ). ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f ( ) ( ) e, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [-, ], με f ( ) e, f ( ). Επομένως f ( ) f ( ), οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θ. Bolzno. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε f ( ), δηλαδή e e. Παράδειγμα ο Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α, β). ΛΥΣΗ Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει και, οπότε μετασχηματίζεται στην ισοδύναμή της 4 (). 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) διάστημα [α, β], με f ( ) και ( ) 4 f, η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο f. 4 Επομένως f ( ) f ( ) και σύμφωνα με το θ. Bolzno υπάρχει μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης () στο ανοικτό διάστημα (α, β), η οποία είναι επιτρεπτή λύση της αρχικής εξίσωσης. Παράδειγμα ο Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (-π, π) Υπόδειξη: Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) και εφαρμόζουμε δύο φορές το θεώρημα Bolzno στα κλειστά διαστήματα [-π, ] και [, π] αντίστοιχα (βλ. ο παράδειγμα). Άλκης Τζελέπης

Έτσι συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, μία στο (-π, ) και μία στο (, π). Παράδειγμα 4 ο Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση. ΛΥΣΗ «Όταν δεν έχουμε κλειστό διάστημα στο οποίο να ανήκει η ρίζα, μπορούμε να εργασθούμε ως εξής:» Θεωρούμε συνάρτηση f ( ),. Δοκιμάζουμε διάφορα χ με σκοπό να προκύψουν δύο τιμές ετερόσημες. Έτσι παρατηρούμε ότι f ( ) και f ( ). Επομένως αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο [-, ], σύμφωνα με το Θ. Bolzno η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση. Σχόλιο: Το θέμα αυτό αντιμετωπίζεται επίσης με τη βοήθεια του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών (βλ. παρακάτω). η ΜΟΡΦΗ Παράδειγμα [ εύρεση ρίζας εξίσωσης σε κλειστό διάστημα ] Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f : [α, β] [α, β] και g : [α, β] [α, β] με g (α) = α, g (β) = β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f () = g () έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α, β]. ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f () g () η οποία είναι συνεχής στο [α, β] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων, με: h(α) = f (α) g (α) = f (α) α, h (β) = f (β) g (β) = f (β) β f ( ) f ( ) h( ) Επειδή όμως ισχύουν:, έχουμε h ( ) h( ). f ( ) f ( ) h( ) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ι) αν h (α) h (β) <, σύμφωνα με το Θ. Bolzno η εξίσωση h () = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β). ιι) αν h (α) h (β) =, τότε h (α) = ή h (β) =.Δηλαδή η εξίσωση h () = έχει λύση το α ή το β. Επομένως η εξίσωση h () =, άρα και η ισοδύναμή της f () = g () έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο κλειστό διάστημα [α, β]. η ΜΟΡΦΗ [ θεωρητικές ασκήσεις ] Παράδειγμα ο Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f ( ) για κάθε χ στο [α, β], τότε να δείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο. ΛΥΣΗ Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση δεν διατηρεί σταθερό το πρόσημό της στο [α, β]. Τότε θα υπάρχουν, [, ] τέτοια ώστε f ( ), f ( ), δηλαδή f ( ) f ( ). Έστω ότι. Αφού η f Άλκης Τζελέπης 4

είναι συνεχής στο διάστημα,,, σύμφωνα με το Θ. Bolzno υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε f (ξ) =. Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβεί, διότι f ( ) για κάθε στο [α, β]. Επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Παράδειγμα ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] με ( ) f. ώστε f f. ΛΥΣΗ f Να δείξετε ότι υπάρχει, Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) f ( ) f. Η g είναι συνεχής στο διάστημα διαφορά συνεχών συναρτήσεων με:. ( ) ( ) g f f f f και g f f. Επομένως g ( ) g f f Έτσι αν το γινόμενο είναι αρνητικό, σύμφωνα με το Θ. Bolzno υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε g (ξ) =. Αν g (α) = ή g τότε οι αριθμοί που ικανοποιούν την ισότητα είναι αντίστοιχα το α και το. τέτοιο, ως 4 η ΜΟΡΦΗ [ προβλήματα ] Παράδειγμα Ένας ορειβάτης βρίσκεται στους πρόποδες ενός βουνού στις 7 π.μ. και φθάνει στην κορυφή στις μ.μ. Το επόμενο πρωί ξεκινά την κατάβαση στις 7 π.μ. και φθάνει στους πρόποδες μετά από 8 ώρες. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο, στο οποίο ο ορειβάτης βρισκόταν την ίδια ώρα και τις δύο ημέρες. ΛΥΣΗ Έστω f (t) και g (t) οι συναρτήσεις που δίνουν την απόσταση (θέση) του ορειβάτη από το σημείο εκκίνησης, κατά την ανάβαση και κατάβαση αντίστοιχα. Επίσης t[7, 5] και s το συνολικό μήκος της διαδρομής. Έτσι έχουμε: f (7) =, f (5) = s και g (7) = s, g (5) =. Θεωρούμε τη συνάρτηση h (t) = f (t) g (t), t[7, 5]. Η h είναι συνεχής με h (7) = s και h (5) = s. Επομένως h (7) h (5) = t 7,5 s και σύμφωνα με το Θ. Bolzno υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε ht f t g, δηλαδή το ζητούμενο. t Άλκης Τζελέπης 5

5 η ΜΟΡΦΗ [ εύρεση του πρόσημου συναρτήσεων ] Εφαρμογές Να βρεθεί το πρόσημο των παρακάτω συναρτήσεων:. f ( ),,. g( ),. h( ),, Σχόλιο: Η γνώση του πρόσημου μιας συνάρτησης είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη μελέτη μονοτονίας και κυρτότητάς της. Β. ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ: Συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα [α, β] f ( ) f ( ) Τότε για κάθε η που ανήκει μεταξύ των τιμών f () και f ( ), υπάρχει ένα τουλάχιστον, έτσι ώστε f Δηλαδή, η συνάρτηση παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των f ( ), f ( ). Σχόλιο : Το Θ.Ε.Τ. σε συνδυασμό με τη μονοτονία της συνάρτησης, μας επιτρέπει να βρούμε το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης. Έτσι: ι) αν f γνήσια αύξουσα, το Σ.Τ. είναι το διάστημα f ( ), f ( ) ιι) αν f γνήσια φθίνουσα, το Σ.Τ. είναι το διάστημα f ( ), f ( ) Σχόλιο : Μπορούμε να γενικεύσουμε το προηγούμενο σχόλιο και στις περιπτώσεις, στις οποίες κάποιο από τα άκρα του Πεδίου Ορισμού είναι ανοικτό, με τη βοήθεια ορίων. Επίσης και σε ένωση διαστημάτων. Σχόλιο : Με τη βοήθεια του Σ.Τ. μπορούμε να βρούμε αν η συνάρτηση έχει ακρότατα. ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Θ.Ε.Τ. η ΜΟΡΦΗ [ έλεγχος αν υπάρχει κάποια τιμή της συνάρτησης ] Παράδειγμα ο 5 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f ( ) 8, 5,5. Να εξετάσετε αν υπάρχει ώστε f. ΛΥΣΗ 5,5 έτσι Άλκης Τζελέπης 6

Η συνάρτηση είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, με f ( 5) και f ( 5). Επειδή το / περιέχεται μεταξύ των τιμών αυτών, σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ., υπάρχει ένα τουλάχιστον 5,5 έτσι ώστε f ( ). Σχόλιο: Η άσκηση μπορεί επίσης να αντιμετωπισθεί με τη βοήθεια του Θ. Bolzno, για τη συνάρτηση με τύπο g ( ) f ( ) στο ίδιο διάστημα. Παράδειγμα ο Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α, β], γνήσια φθίνουσα και f f f (α, β) έτσι ώστε f. ΛΥΣΗ,, [α, β]. Να δείξετε ότι υπάρχει Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β] και γνήσια φθίνουσα, άρα f ( ) f ( ). Δηλαδή f ( ) f ( ), επομένως ισχύει το Θ.Ε.Τ. και επιπλέον το Σ.Τ. της συνάρτησης είναι το κλειστό διάστημα f ( ), f ( ).. Έτσι έχουμε:, f ( ) f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Αθροίζοντας κατά μέλη: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Δηλαδή η τιμή ανήκει στο Σύνολο Τιμών της συνάρτησης, επομένως σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει ένα (α, β) έτσι ώστε f ( ). Παράδειγμα ο 5 5 Δίνεται η συνάρτηση f : [,] Q ( σύνολο των Ρητών ), συνεχής με f. Να δείξετε ότι 8 8 για κάθε [,]. ΛΥΣΗ 5 f ( ) 8 Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι σταθερή, επομένως θα υπάρχουν δύο τουλάχιστον διαφορετικές τιμές, [,] με f ( ) f ( ). Έτσι αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο, [,], σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( ), f ( ). Άρα f ( ), f ( ) Q ( ή f ( ), f ( ) Q ), κάτι που είναι άτοπο, διότι σε κάθε διάστημα με άκρα πραγματικούς αριθμούς, περιέχεται άρρητος αριθμός. 5 Επομένως η συνάρτηση είναι σταθερή και επειδή μία τιμή της είναι το 5/8, θα είναι f ( ) για κάθε 8 [,]. Άλκης Τζελέπης 7

η ΜΟΡΦΗ [ εύρεση ρίζας εξίσωσης με τη βοήθεια του Συνόλου Τιμών ] Παράδειγμα Να δείξετε ότι η εξίσωση ln +α =, με α > έχει μία τουλάχιστον ρίζα. ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f () = ln + α, > η οποία είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Αρχικά ελέγχουμε τη μονοτονία της συνάρτησης (*). Έστω,, με. Τότε επειδή η συνάρτηση g () = ln είναι γνήσια αύξουσα, έχουμε: ln ln (). Επίσης επειδή α >, έχουμε: (). Αθροίζοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () : ln ln f ( ) f ( ). Επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Πεδίο Ορισμού της. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις οριακές τιμές της συνάρτησης, στα άκρα του Πεδίου Ορισμού της. Έτσι έχουμε: lim f ( ) lim ln και lim f ( ). Επομένως βρέθηκε το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης, που είναι το διάστημα,, δηλαδή το σύνολο R. Επειδή ο αριθμός ανήκει στο Σ.Τ. της συνάρτησης, σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον, έτσι ώστε f ( ), δηλαδή η εξίσωση ln + α = έχει μία τουλάχιστον ρίζα το. (*) Σχόλιο: Στη συνέχεια η μονοτονία θα ελέγχεται με τη βοήθεια της παραγώγου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με τη βοήθεια της μονοτονίας εξασφαλίζουμε επίσης, τη μοναδικότητα των ριζών μιας εξίσωσης, στα αντίστοιχα διαστήματα. Έτσι αν μια συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη σε ένα διάστημα, τότε εκεί θα έχει μία το πολύ ρίζα. Όσον αφορά στη προηγούμενη άσκηση, η ρίζα που βρήκαμε είναι μοναδική, διότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο,. Γ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], τότε υπάρχουν, [α, β], έτσι ώστε αν m f ( ) και M f ( ) να ισχύει: m f ( ) M για κάθε [α, β] Δηλαδή, η συνάρτηση παίρνει στο [α, β] μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη τιμή m. Παράδειγμα ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δίδεται συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα f ( ) f f ( ) f ( ) 6 ΛΥΣΗ (α, β), έτσι ώστε Άλκης Τζελέπης 8

Άλκης Τζελέπης 9 «Το παράδειγμα αυτό δε λύνεται με το Θ.Ε.Τ., διότι δε μπορούμε να δείξουμε ότι η τιμή που μας δίδεται, ανήκει μεταξύ των f (α ) και f (β ). Επίσης δε ξέρουμε τίποτα για τη μονοτονία της συνάρτησης.» Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής, ικανοποιείται το θεώρημα Μέγιστης (M) και Ελάχιστης (m) τιμής, άρα για κάθε [α, β] ισχύει:. ) ( M f m Οπότε: Επειδή M f m M f m M f m M f m M f m ) ( ) (,, ) (, Αθροίζοντας κατά μέλη τις τρεις σχέσεις προκύπτει ότι: M f f f m M f f f m 6 ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 6. Έτσι σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. όπως αυτό διαμορφώνεται με τη βοήθεια του Θ. Μέγιστης Ελάχιστης τιμής, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β): 6 ) ( ) ( ) ( f f f f. Εφαρμογή: Αν f συνάρτηση συνεχής στο [α, β] με ) ( ) ( f f, να δείξετε ότι υπάρχει (α, β):. 5 ) ( ) ( ) ( f f f ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνάρτηση f, με 4 4 5 5 ) ( f, με, 4 5 και. 4 5 4 5 Να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (, ). ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι f () =, δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης f () =. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, έχουμε: 5 5 4 5 4 5 4 4 5 ) ( f ) ( ) ( g f, όπου g () η πολυωνυμική συνάρτηση που εμφανίζεται μέσα στην αγκύλη. Η g είναι συνεχής στο διάστημα [, ] ως πολυωνυμική με g και. 4 5 4 5 g Επομένως σύμφωνα με το Θ. Bolzno, υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της συνάρτησης g (), άρα και της f (), στο διάστημα (, ).. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [α, β] R και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + β i, ), ( if z ). ( if z Αν ισχύει η σχέση, τότε να αποδείξετε ότι η, έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τον. ΛΥΣΗ

Ισχύουν: z i, z i, z z, z z f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), οπότε η ισότητα της υπόθεσης γίνεται: i 4 i 4i 4i f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) διότι α < β. Επομένως η συνάρτηση f ικανοποιεί το Θ. Bolzno, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο ώστε f ( ), που είναι το ζητούμενο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ = συν έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (, π/).. Αν η συνάρτηση f: [, ] (, ) είναι συνεχής, να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει ρίζα στο διάστημα (, ).. Να δείξετε ότι υπάρχει, : συν ξ = ημ ξ. 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο διάστημα 4,. 4 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 έχει μία τουλάχιστον αρνητική ρίζα. 6. Να δείξετε ότι η εξίσωση με β > και α + β + <, έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ). 7. Αν α < β < γ να δείξετε ότι η εξίσωση,, τέτοιες ώστε. έχει δύο μόνο ρίζες 8. Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α, η εξίσωση ημ ημ α = π/ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, π/). 9. Να δείξετε ότι η εξίσωση, έχει ρίζα στο διάστημα (,) ομόσημη του α.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( ) ( ) 7, 4,4. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση 6 παίρνει την τιμή 7/.. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f: [,] [,]. Να δείξετε ότι υπάρχει [,] τέτοιο ώστε f (. ). Δίνεται η εξίσωση. Να δείξετε ότι έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα (, ).. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί με α < β. Να δείξετε ότι για κάθε γ(α, β), υπάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε γ = ξ β + ( ξ )α. Άλκης Τζελέπης

4. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [α, β] και λ, μ >. Να δείξετε ότι υπάρχει γ[α, β] τέτοιο ώστε λ f (α ) + μ f (β ) = ( λ + μ )f (γ ), όταν f (α ) f (β ). 5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f (α ), να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον f ( ) f ( ) f ( ) ξ(α, β) τέτοιο ώστε 6. Να δείξετε ότι η εξίσωση με α < β και κ, λ N * έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β). 7. Αν f, g δύο συναρτήσεις ορισμένες και συνεχείς στο [, ], τέτοιες ώστε f () = g (), f () = g () και g () g (), να δείξετε ότι υπάρχει (, ): f ) g( ). ( 8. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [ α, α ] [ α, α ] με α >. Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε f, και ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε f. 9. Δίνεται η συνάρτηση με f () = ημ +,,. Να δείξετε ότι παίρνει τιμές μη αρνητικές.. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f: [, π ] με f () = f (π ). Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, π ): f ( ξ ) = f ( ξ + π ), f ( ) f (π ).. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α, η εξίσωση έχει ρίζα στο διάστημα (, );. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και για κάθε ισχύει ότι f ( + ) = f ( ), να δείξετε ότι για κάθε, τέτοιο ώστε: f ( ξ + ) = f ( ξ ). υπάρχει ξ. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και g( ), με f (α ) = g (β ) =. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον γ[α, β] έτσι ώστε: f (γ) + g (γ) =. 4. (*) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] με f () > για κάθε,. Αν < f () <, να δείξετε ότι: ι) η ευθεία ψ = + τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη,. ιι) υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ στο διάστημα (, ), τέτοιος ώστε να ισχύει: 5 f f f f ( ). 5. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] με f ( ) 6. Αν f () + f () = 8, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ): f ). ( 6. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [, ]. Αν < f () < f (), να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ): f ( ) f () f () f () f (). Άλκης Τζελέπης

7. Έστω f συνεχής στο διάστημα [α, β]. ι) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β). 4 4 5 ιι) Να δείξετε ότι η εξίσωση e έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). 8. Έστω f: [α, β] συνεχής συνάρτηση. Αν α, β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 4, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ[α, β]: f f f f ( ). 9. Δίδεται η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα [ π, π], έτσι ώστε να ισχύει: f ( ),,. e Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα ( π, π).. (*) Δίνεται η εξίσωση 9, 5, 4. Να αποδείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (, ).. Δίδεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β]. Αν,, [α, β] και κ, λ, μ θετικοί ακέραιοι με κ + λ + μ = 4, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα [α, β]: f ) f ( ) f ( ) 4f ( ). (. Αν η συνεχής στο R συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη με f () = και f (7) =, τότε η εξίσωση f έχει: Α. μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) Β. καμία ρίζα στο διάστημα (, ) Γ. καμία ρίζα στο R. Να επιλέξετε τη ΣΩΣΤΗ απάντηση.. (*) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β], με f () > για κάθε (α, β). Να δείξετε ότι f ( ) f ( ) f υπάρχει (α, β): f ( ). 4. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [α, β] και οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε κ + λ =. Να δείξετε ότι υπάρχει [α, β]: f ( ) f ( ) f ( ). 5. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο διάστημα [, ] με f () < g () < g () < f (), να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα (, ), τέτοιο ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f και g να έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (, ) 6. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και ότι ισχύει f ( ) για κάθε [, ]. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει την ευθεία της διχοτόμου της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη [, ]. Άλκης Τζελέπης

7. Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: h e lim, f ( ) h h με α, β αρνητικούς αριθμούς, συνεχής στο. e, Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ]. 8. (*) Δίνονται οι συναρτήσεις f με f () = συν και g με g () = (4 Arg (z)), όπου z μιγαδικός με z i. Να δείξετε ότι η εξίσωση f g( ) έχει μία τουλάχιστον 4 4 9 αρνητική ρίζα μεγαλύτερη του. 9. Έστω η συνάρτηση f :, με f ( ) ln 5. ι) Να βρεθεί το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης ιι) Να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, ιιι) Αν για τη συνάρτηση h : (,) ισχύει ότι 5 h ( ) h( ) 5 f ( ) για κάθε,, να δείξετε ότι η συνάρτηση h είναι. 4. Α). Έστω συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α, β] με f (α ) = g (β ) και f (β ) = g (α ). Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [α, β]: f ) g( ). ( Β). Να αποδείξετε ότι κάθε χρονική στιγμή, υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος αντιδιαμετρικών σημείων του ισημερινού της γης με την ίδια θερμοκρασία. ( Θεωρούμε τη συνάρτηση της θερμοκρασίας κατά μήκος του ισημερινού της γης συνεχή ). 4. Αν f είναι μία συνάρτηση, τότε λέγοντας χορδή της f εννοούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, του οποίου τα άκρα ανήκουν στη γραφική παράστασή της. Έστω ότι η f είναι μία συνεχής συνάρτηση με Πεδίο Ορισμού το [, ] και με f () = f () =. ι) Να δείξετε ότι υπάρχει οριζόντια χορδή της f με μήκος /. ιι) Να δείξετε ότι υπάρχει οριζόντια χορδή της f με μήκος /ν, όπου ν =,,, 4, 4. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ της πλευράς ΑΒ, τέτοιο ώστε: (ΜΑ) (ΜΔ) = (ΜΒ) (ΜΓ). ( Να θεωρήσετε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων, με αρχή αξόνων το σημείο Α και Β (α, ) με α > ). 4. (*) Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f στο R και τον μιγαδικό z = +i f (),. Αν ισχύει f, f και για, έχουμε ότι z, z & z, να δείξετε ότι f (α ) =. 44. (*) Δίνεται μιγαδικός z της μορφής z = λ +i, λ >. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός της παραπάνω μορφής, τέτοιος ώστε ο z να είναι πραγματικός αριθμός. z 45. (*) Α. Να αποδείξετε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση περιττού βαθμού έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. 5 Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Άλκης Τζελέπης

46. Έστω f συνεχής και f ( ) f ( ) για κάθε με f () =. ι) Να δείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της στο R. ιι) Να βρεθεί ο τύπος της f (). 47. Αν f συνεχής με f ( ) 4 f ( ) για κάθε, τότε: ι) Να δείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της στο R. ιι) Να βρεθεί ο τύπος της f (), αν f (4) <. 48. Έστω η συνάρτηση g με Πεδίο Ορισμού το σύνολο Α = [, ] και g (Α) = (, 6). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής. 49. Να αποδείξετε ότι η μη σταθερή συνάρτηση g : Q δεν είναι συνεχής. 5. (*) Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[,] (, ) για την οποία ισχύει f ( ) d 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( t) dt έχει μοναδική λύση στο διάστημα (, ). 5. (*) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μοναδική πραγματική ρίζα. 5. (*) Έστω ο μιγαδικός αριθμός z i,, τέτοιος, ώστε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού i, να ανήκει στην ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z και z i. α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. β) Αν για τη συνεχή συνάρτηση f : ί f () f (), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α(,) τέτοιο, ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει κοινό σημείο με το γεωμετρικό τόπο του (α) ερωτήματος, το Α (α, f(α)). 5. (*) Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[, ] τέτοια ώστε να ισχύει f ( t) dt και η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι: g :[, ] ύ g( ) f ( t) dt f ( t) dt. α) g ( ) ( ) 4 f t dt β) Η συνάρτηση g έχει μέγιστη τιμή την οποία και να βρείτε. 54. (*) Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και f ( t) dt. Να αποδείξετε ότι για κάθε (,), υπάρχει ένας αριθμός c (, ), έ ώ : f ( t) dt c f ( t) dt. 55. (*) Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, π], με f συνεχή και f () > στο [, π], έτσι ώστε ) f ( ) f ( d. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης G, με G() = (π ) f ( + π) + f (π ), τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο Άλκης Τζελέπης 4

ΕΝΟΤΗΤΑ 4η: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δίνεται η συνάρτηση και η ευθεία. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της από ένα τυχαίο σημείο της ευθείας είναι κάθετες μεταξύ τους.. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ξ.. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, με Αν είναι α), τότε να αποδείξετε ότι: β) γ) αν επιπλέον ισχύει ότι να αποδείξετε ότι 4. Δίνεται συνάρτηση g συνεχής στο πεδίο ορισμού της και συνάρτηση f με Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο =. 5. Αν, τότε να βρεθεί η τιμή 6. α) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με, να βρεθεί η τιμή β) Δίνεται η συνάρτηση με Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο γ) Δίνεται η συνάρτηση με i) να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια ii) να υπολογίσετε τα όρια: και 7. Δίνεται συνάρτηση με τύπο Να βρεθεί το α, έτσι ώστε να υπάρχουν εφαπτόμενες της οι οποίες να διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες σε ένα σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, με ) Αν για τη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι 9. Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης είναι Άλκης Τζελέπης 5

. α) Αν η f είναι συνεχής στο και να αποδείξετε ότι και ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και να αποδείξετε ότι. Έστω συνάρτηση f με, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάθε. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της στα κοινά τους σημεία με την ευθεία είναι κάθετες.. Να αποδείξετε ότι αν, τότε από το σημείο Ρ(α, β) διέρχονται δύο εφαπτόμενες της παραβολής. Αν το σημείο Ρ ανήκει στην ευθεία, τότε οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες. 4. Να υπολογίσετε το άθροισμα 5. Δίνεται συνάρτηση με τύπο Επιπλέον ισχύουν Να βρεθεί το 6. Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει: Να αποδείξετε ότι: α) β) Αν γ) Αν, τότε η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε, με 7. Αν η f είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε να υπολογίσετε το 8. Αν, τότε να μελετηθεί η ως προς τη συνέχεια 9. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο, έτσι ώστε Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασής της στο σημείο Α(, f()).. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο, έτσι ώστε να ισχύει Να αποδείξετε ότι Άλκης Τζελέπης 6

. Δίνεται η συνάρτηση και η συνάρτηση g με Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύουν: i) ii) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε και ισχύει ότι. Για τις παραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις f, g ισχύει ότι. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των f και g στα σημεία αντίστοιχα, τέμνονται σε σημείο Μ του άξονα ψ ψ 4. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ότι. Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g, με τέμνει τον άξονα, τότε τον τέμνει με γωνία 45 ο 5. Να αποδείξετε ότι: α), όπου η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη β) 6. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με και για κάθε ισχύει ότι Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε τον τύπο της. 7. Έστω. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο 8. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο και το σημείο της. Έστω Ρ η προβολή του Μ στον άξονα χ χ και Τ το σημείο τομής της εφαπτομένης της στο Μ με τον άξονα ψ ψ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου ΟΤΜΡ είναι ανεξάρτητο του λ. 9. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Α(μ, ν) είναι μια ισοσκελής υπερβολή.. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ() τέτοιο ώστε. Έστω f, g παραγωγίσιμες στο Να αποδείξετε ότι Άλκης Τζελέπης 7

. Έστω f παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο, όπου η f είναι συνάρτηση ορισμένη στο R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις α) να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο = β) να υπολογίσετε το 4. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις συνθήκες: i) ii) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 5. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, με. α) Αν, να βρείτε την β) Να υπολογίσετε το 6. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες στο διάστημα Δ = (,) και παραγωγίσιμες στο = με f () =. Αν για κάθε, τότε να αποδείξετε ότι 7. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο = και ισχύει: Να βρείτε το 8. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και συνεχής στο. Αν, να υπολογίσετε το 9. Να βρεθεί η παράγωγος, η οποία ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις: α) β) 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: α), β), γ) 4. α) Αν f () είναι πολυώνυμο βαθμού, να αποδείξετε ότι: β) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β έτσι ώστε το να είναι παράγοντας του πολυωνύμου Άλκης Τζελέπης 8

4. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύει Να βρείτε την 4. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα και ισχύει ότι. Να αποδείξετε ότι 44. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή στο R. Να βρείτε την αν γνωρίζετε ότι 45. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις, παραγωγίσιμες στο, οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις: 46. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f () =. Αν ισχύει τότε να αποδείξετε ότι: α) β) γ) δ) 47. Να βρείτε πολυώνυμο 48. Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους. Αν Α είναι το σημείο τομής της με τον άξονα ψ ψ και Β το σημείο τομής της με τον άξονα, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κοινή εφαπτομένη των, 49. Έστω κοινό σημείο των,, με. Να αποδείξετε ότι οι, έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο 5. Δίνονται οι συναρτήσεις και τα σημεία. Η εφαπτομένη της στο Α τέμνει τον στο σημείο Γ και η εφαπτομένη της στο Β τέμνει τον στο σημείο Δ. Να αποδείξετε ότι: α) β) το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές γ) το Β είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΔΓ 5. Έστω f, g, φ συναρτήσεις, ορισμένες στο R, για τις οποίες ισχύουν: i) η f είναι παραγωγίσιμη, με ii) η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με Αν το είναι κοινό σημείο των,, να αποδείξετε ότι οι, έχουν στο Α κοινή εφαπτομένη. 5. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α) Έστω Η το σημείο της, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο στον οποίο κινείται το Η, όταν β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο Άλκης Τζελέπης 9

5. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με και η γραφική παράσταση της συνάρτησης g με τέμνει τον άξονα στο σημείο Α(α,). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της στο σημείο Α είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση 54. Δίνονται οι συναρτήσεις, οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο R και τα σημεία Α. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τέμνουν τον άξονα ψ ψ στο ίδιο σημείο. 55. Αν, να αποδείξετε ότι σε κάποιο από τα κοινά σημεία των, αυτές έχουν κοινή εφαπτομένη. 56. Δίνεται η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο R, με. Επιπλέον η συνάρτηση g, με ένα κοινό σημείο των, Να αποδείξετε ότι οι, δέχονται στο σημείο Α κοινή εφαπτομένη. 57. Δίνεται η συνάρτηση f, με η γραφική της παράσταση. α) Να βρείτε για ποια τιμή του k, η δέχεται εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των στα σημεία με την ίδια τετμημένη διέρχονται από σταθερό σημείο. 58. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο σημεία Α και Β της, στα οποία οι εφαπτόμενές της διέρχονται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Α και Β 59. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α) Να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της στο β) Να ελέγξετε αν υπάρχει άλλο σημείο της, στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη προς την (ε) γ) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ, έτσι ώστε οι ευθείες να τέμνουν τη σε δύο σημεία Μ και Ν. Στη συνέχεια να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ 6. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α) Αν, τότε να δείξετε ότι από το σημείο Α διέρχονται τρείς διαφορετικές εφαπτόμενες της συνάρτησης β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτόμενων, έχει εμβαδόν ανεξάρτητο του k. 6. Δίνεται η συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι μόνο σε ένα σημείο της, ο ρυθμός μεταβολής της ισούται με την τιμή της στο σημείο αυτό. Άλκης Τζελέπης

6. Μια κυκλική πισίνα έχει ακτίνα r = m.ένας άνθρωπος βαδίζει γύρω από αυτήν με ταχύτητα. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του μήκους της χορδής ΑΒ, όταν το αντίστοιχο τόξο ΑΒ που έχει διανύσει ο άνθρωπος έχει μέτρο 6 ο 6. Μία ευθεία (ε) με θετική κλίση στρέφεται γύρω από το σημείο Μ(,), έτσι ώστε ο ρυθμός μεταβολής της κλίσης της να είναι Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Α, Β είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες και Ο η αρχή των αξόνων, τη χρονική στιγμή κατά την οποία η (ε) διέρχεται από το σημείο 64. Οι ακμές ενός κύβου διαστέλλονται, έτσι ώστε ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας του κύβου να είναι 4. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ακμή του κύβου είναι cm, να υπολογίσετε: α) το ρυθμό μεταβολής του όγκου του κύβου β) το ρυθμό μεταβολής των ακμών του κύβου 65. Σώμα μάζας εκτοξεύεται από ένα σημείο στο έδαφος. Η κίνησή του κατά την οριζόντια διεύθυνση περιγράφεται από την εξίσωση, ενώ κατά την κατακόρυφη από την εξίσωση, όπου,ψ σε m και t σε sec. Να βρεθεί η ορμή του μετά από sec (Ορμή ) 66. Ένα υλικό σημείο Μ, κινείται στο θετικό ημιάξονα Ο ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων, από την αρχή Ο(,) προς το σημείο Α(α,), α >. Η θέση του σημείου Μ κάθε χρονική στιγμή t, δίνεται από τη συνάρτηση και προβάλλεται σε ευθεία (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τον άξονα γωνία ίση με ο. Αν Λ είναι η προβολή του σημείου Μ πάνω στην (ε), τότε να βρείτε: α) το εμβαδόν του τριγώνου ΜΟΛ ως συνάρτηση του χρόνου β) το ρυθμό μεταβολής του προηγούμενου εμβαδού E(t), τη χρονική στιγμή που το σημείο Μ θα βρεθεί στο σημείο Α 67. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση για την οποία ισχύει. Α) Να αποδείξετε ότι:, Β) Έστω (ε) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο σημείο της α) Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση β) Ένα σημείο Σ, με τετμημένη μεγαλύτερη του, κινείται πάνω στην ευθεία (ε). Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι m/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΜΣ. Άλκης Τζελέπης

68. Η εικόνα Μ ενός μιγαδικού z κινείται διαγράφοντας την καμπύλη: α) Να βρείτε το σημείο της καμπύλης C, στο οποίο οι ρυθμοί μεταβολής των συντεταγμένων του Α είναι ίσοι με β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας μιγαδικός z, ώστε ο μιγαδικός να είναι φανταστικός αριθμός 69. Α) Σημείο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο, έτσι ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται κατά 5 μον/sec. Θεωρούμε το ορθογώνιο με διαγώνιο ΟΜ και πλευρές πάνω στους άξονες Ο, Οψ. Βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται το εμβαδόν του ορθογωνίου, όταν = 9. Β) Δίνεται συνάρτηση f, έτσι ώστε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(,f()), (α > ) Άλκης Τζελέπης

ΕΝΟΤΗΤΑ 5η: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle: Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν οι ακόλουθες προϋποθέσεις: Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) f (α) = f ( β) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) έ ώ f ( ). Σχόλιο: Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα. ψ M A B Ο α ξ ξ β Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle: Αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε η ευθεία που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο, f ( ) στον άξονα χ χ. είναι παράλληλη Παρατηρήσεις:. Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα [α,β], τότε δεν ισχύει το Θ. Rolle.. Δεν μπορεί να ισχύουν ταυτόχρονα, στο ίδιο διάστημα, τα θεωρήματα Bolzno και Rolle. Άλκης Τζελέπης

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΡΟΣ ο Εφαρμογές του Θ. Rolle. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle και στη περίπτωση που ισχύουν να υπολογίσετε το ξ για το οποίο είναι f. α) β), f( ), f ( ) στο διάστημα [-,] στο διάστημα [-,] α) Η f ορίζεται για κάθε, ά D f. Η f είναι συνεχής στο * και θα εξετάσουμε τη συνέχεια στο. lim f ( ) lim, lim f ( ) lim, f () Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής στο R, οπότε και στο διάστημα [-,]., f ( ), f ( ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο Θα εξετάσουμε τι συμβαίνει στο. lim lim, lim lim Επομένως η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα f (), οπότε και στο [-,]. Επιπλέον έχουμε ότι: Έχουμε ότι f( ) f(), f ( ),, Επομένως για τη συνάρτηση f εφαρμόζεται το Θ. Rolle στο διάστημα [-,], οπότε υπάρχει ένα, : f. τουλάχιστον β) Η f ορίζεται για κάθε, ά D f. Η συνάρτηση όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο, διότι: f ( ) f () lim lim lim lim Επομένως για τη συνάρτηση δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύει το Θ. Rolle. Άλκης Τζελέπης 4

,. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( ) 4 4, α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ, ώστε να εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle στη συνάρτηση f στο διάστημα [,]. β) Στη συνέχεια βρείτε (,), στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. α) Αφού ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο διάστημα [,], έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [-,], άρα και στο. Οπότε Έχουμε ότι: lim f ( ) lim f ( ) f () (). lim, lim 4 4 4, f () Από την () λοιπόν ισχύει: β = 4 Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-,), άρα και στο. f ( ) f () f ( ) f () Οπότε lim lim (). Έχουμε ότι: 4 ( ) 4 4 ( 4) lim lim, lim lim 4 Από τη () λοιπόν ισχύει: α = 4 Επίσης έχουμε ότι f( ) f() 8 7 4 4 7 γ = -7 Έτσι οι ζητούμενες τιμές είναι: α = 4, β = 4 και γ = 7. 4, β) Η f είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο συνάρτηση: f( ) 4 4, Αφού ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) : f., ί : 4, η οποία δεν είναι αποδεκτή. Για Για, ί : 4 4, η οποία είναι αποδεκτή ως λύση. 7 Επομένως στο σημείο, f 7 7, η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. Άλκης Τζελέπης 5

ΜΕΡΟΣ ο Όταν ζητάμε να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα, εφαρμόζουμε το Θ. Rolle και τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 8 έχει το πολύ μία ρίζα. Θεωρούμε συνάρτηση f με f ( ) 8. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση έχει δύο ρίζες, έστω, f( ) f( ) () Επειδή η f είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο, f ( ), τότε λόγω της (), ισχύει το Θ. Rolle., : f. Η εξίσωση όμως είναι αδύνατη, Έτσι υπάρχει ένα τουλάχιστον επομένως καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ. Άρα η ζητούμενη εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, όπου ν θετικός ακέραιος, έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Θεωρούμε συνάρτηση f με f ( ). Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση έχει τρεις ρίζες, έστω,, f ( ) f ( ) f ( ) () Ως πολυωνυμική η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το R, άρα και στα επιμέρους διαστήματα,,. Επομένως, λόγω της () ισχύει το Θ. Rolle σε κάθε ένα από τα δύο διαστήματα, οπότε υπάρχουν, : f (),, : f () Από τις σχέσεις () και () έχουμε: Αυτό όμως είναι ΑΤΟΠΟ, γιατί ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα και επομένως. Άρα η ζητούμενη εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες. 4. Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) 8. Να δείξετε ότι η εξίσωση f () = δε μπορεί να έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες. Υποθέτουμε ότι η ζητούμενη εξίσωση έχει και τις τέσσερις ρίζες της πραγματικές και άνισες. Δηλαδή υπάρχουν πραγματικοί,,, 4 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( 4). Η συνάρτηση f, ως πολυωνυμική, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το R, άρα και σε κάθε επιμέρους διάστημα, με f ( ) 4,. Επομένως ισχύει το Θ. Rolle σε κάθε ένα από τα διαστήματα,,,,, 4 υπάρχουν, : f,, : f,, : f. 4, με αποτέλεσμα να, άρα Η παράγωγος συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με f ( ) 6 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στα διαστήματα,,,. Άλκης Τζελέπης 6

Επομένως υπάρχουν f f Δηλαδή η εξίσωση έχουμε ότι, :, : ( ) 6 έχει δύο λύσεις. Υπολογίζοντας όμως τη διακρίνουσα, f 8, άρα η δευτεροβάθμια εξίσωση είναι αδύνατη. Με αυτόν τον τρόπο καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ. Έτσι η δοθείσα εξίσωση δε μπορεί να έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες. ΜΕΡΟΣ ο Όταν ζητάμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα, εφαρμόζουμε το ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE για μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει ότι: F () = f () (μία παράγουσα αρχική συνάρτηση της f ). Να δείξετε ότι η εξίσωση διάστημα (,). Θεωρούμε τη συνάρτηση F με 4 9 9 παραγωγίσιμη με F( ) 4 9 9. Για τη συνάρτηση F ισχύουν: Η F είναι συνεχής στο διάστημα [,] Η F είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (,) F() = 6, F() = 6. Δηλαδή F() = F(). () έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο 4 F( ) 9 D R. Η συνάρτηση είναι συνεχής και Επομένως βάσει του Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον Δηλαδή η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,). F, : F 4 9 9.. Έστω συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη και οι συναρτήσεις: F( ) f ( ) e G( ) f ( ) e, για τις οποίες ισχύει ότι F G G F. R έ ώ f f Να δείξετε ότι υπάρχει. Αρχικά εργαζόμαστε με σκοπό να δημιουργήσουμε μία χρησιμότερη σχέση, η οποία θα μας βοηθήσει στην επίλυση της εξίσωσης f ( ) f ( ). Επειδή οι συναρτήσεις F και G έχουν κοινό πεδίο ορισμού το R, έχουμε: F G G F F G( ) G F( ), ά R f ( ) f ( ) e e f ( ) f ( ) e e f ( ) f ( ) f ( ) e e f ( ) f ( ) f ( ) e e Η τελευταία ισότητα ισχύει πάντα, αν και μόνο αν: f ( ) e e f ( ) e e () Για να δημιουργήσουμε τις προϋποθέσεις εφαρμογής του Θ. Rolle, απομονώνουμε το α από το β στα δύο μέλη της ισότητας. Αυτό θα μας βοηθήσει επιπλέον να ανακαλύψουμε τη συνάρτηση για την οποία θα εφαρμόσουμε το θεώρημα. Άλκης Τζελέπης 7

Η () γίνεται λοιπόν: f( ) f( ) f ( ) e e f ( ) e e e f ( ) e f ( ) () e e Θεωρούμε τη συνάρτηση h h( ) f( ), e, η οποία είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και λόγω της () ισχύει h (α) = h ( β)., για το οποίο ισχύει: Τότε βάσει του Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον f e e f h f f f f. e. Δίδεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο διάστημα (α,β) και οι μιγαδικοί αριθμοί z e f ( ) i w f ( ) i. Αν ισχύει ότι Re( z w) f ( ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα (α,β) τέτοιο ώστε να είναι f( ) f( ). Είναι: w f ( ) i, ό z w e f ( ) f ( ) i e Έχουμε: Re( z w) f ( ) e f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) e f ( ) () e Η τελευταία σχέση μας δίνει το ερέθισμα να εφαρμόσουμε το Θ. Rolle για τη συνάρτηση g με τύπο g( ) e f ( ). Η g είναι συνεχής στο [α,β] ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με g( ) e f ( ) f ( ) Λόγω της () g (α ) = g (β ). Επομένως για τη g στο διάστημα [α,β] ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, (, ) : g f f. οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ΕΝΟΤΗΤΑ 6η: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) Άλκης Τζελέπης 8

Θεώρημα Μέσης Τιμής: Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν οι ακόλουθες προϋποθέσεις: Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) έ ώ f f( ) f( ) Σχόλιο : Είναι προφανές ότι το Θ. Rolle είναι ειδική περίπτωση του Θ.Μ.Τ. Αυτό σημαίνει ότι η αντιμετώπιση πολλών ασκήσεων θεωρητικής κυρίως μορφής, είναι κοινή με τη βοήθεια των δύο θεωρημάτων. ψ Β A Μ Ο ξ Γεωμετρική ερμηνεία του Θ.Μ.Τ. : Αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε η ευθεία που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο Μ (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου Α (α, f (α )) και Β (β, f (β)). ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΡΟΣ ο Άλκης Τζελέπης 9

Εφαρμογές του Θ.Μ.Τ.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε να εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f με, f( ), Στη συνέχεια να υπολογίσετε το ξ του θεωρήματος. Η f είναι συνεχής στο [,] άρα και στο. Έτσι έχουμε: lim lim () Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,) άρα και στο. Έτσι έχουμε: () ( ) lim lim lim lim ( ) ( )( ) lim lim ( ) Από την () προκύπτει ότι. Επιπλέον η παράγωγος συνάρτηση είναι:, f( ), Αφού ισχύει το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα (,) τέτοιο ώστε: έ : έ : Επομένως υπάρχουν δύο λύσεις του προβλήματος. f ΜΕΡΟΣ ο Άλκης Τζελέπης 4

Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. μπορούμε να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσεις (βλ. ειδικό κεφάλαιο: Ανισότητες στην ).. Να αποδείξετε ότι e e e e, Θεωρούμε συνάρτηση g με g( ) e. Για τη g ισχύουν: Η g είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] Η g είναι παραγωγίσιμη στο (α,β), με g( ) e. Επομένως από το Θεώρημα Μέσης Τιμής έπεται ότι υπάρχει (, ) : g g g Δηλαδή e e e () g () e e Αλλά e e e e e e e e e. Δίδονται οι συναρτήσεις f,g ορισμένες και συνεχείς στο κλειστό διάστημα [,], παραγωγίσιμες στο (,). Αν ισχύει ότι f () g() f ( ), g( ) να αποδείξετε ότι: f() g() 4 Για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,], επομένως υπάρχουν f () f () g,, : () () g f f g () g() Από την υπόθεση όμως έχουμε: f f () f () () g g() g() () Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις (), () προκύπτει: f() g() 4 ΜΕΡΟΣ ο Άλκης Τζελέπης 4

Το Θ.Μ.Τ. όπως είναι γνωστό είναι γενίκευση του Θ. Rolle. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν ασκήσεις που αντιμετωπίζονται με την ίδια λογική, όπως αυτές στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί η ύπαρξη μιας ή περισσοτέρων τιμών που επαληθεύουν μία ισότητα.. Δίδεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν f () > για κάθε στο [α,β], να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε να ισχύει: f f e ( ) f f Αρχικά εργαζόμαστε πάνω στην τελική ισότητα, με σκοπό να καταλήξει σε μορφή που να είναι ευκολότερη η αναγνώριση της συνάρτησης για την οποία θα εφαρμόσουμε Θ.Μ.Τ. Έτσι έχουμε: f ( ) f f ( ) f ln ln e ln f ( ) ln f ( ) ( ) () f( ) f Η () μας δίνει το ερέθισμα να θεωρήσουμε συνάρτηση g με g( ) ln f ( ), για την οποία ισχύουν: Η g είναι συνεχής στο [α,β] ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f () και ln. f( ) H g είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με g( ). f( ) Επομένως από το Θ.Μ.Τ. έπεται ότι υπάρχει ξ στο (α,β), τέτοιο ώστε: f ln g g f ln f f g ln f ln f f f. Δίδεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f (α ) = f (β). Έστω γ στο (α,β) έτσι ώστε οι αριθμοί α,γ,β με τη σειρά που δίδονται να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν f f, (, ) :. Όταν προσπαθούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη δύο αριθμών ξ, πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα που μας δίδεται σε δύο τμήματα. Τα δεδομένα της άσκησης ή πιθανόν προηγούμενο ερώτημα, μας δίνουν μία νύξη για τον τρόπο με τον οποίο θα χωρίσουμε το διάστημα. Στην παρούσα άσκηση είναι λογικό να εργασθούμε στα διαστήματα [α,γ] και [γ,β]. Για τους α,γ,β ισχύει επιπλέον ότι Είναι προφανές ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f σε κάθε ένα από τα διαστήματα [α,γ] και [γ,β]. Άλκης Τζελέπης 4