Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1
OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2
1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3
Pojam diskretne matematike Diskretna matematika je deo matematike koji se bavi proučavanjem diskretnih skupova. Sinteza: 1. matematičke logike, 2. teorije skupova, 3. opšte algebre, 4. kombinatorike, 5. diskretne verovatnoće, 6. teorije grafova, 7. teorije kodova, 8. algoritamske strukture 4
Jezik matematike sadrži: Konstante Promenljive Operacije: 1. algebarske 2. logičke 3. skupovne Relacije Specijalne znake 5
Konstante i promenljive KONSTANTE π ( 3,1415926) ''Pi'' je Arhimedova konstanta ili Ludolfov broj e ( 2,7182818) ''E'' je Napijerova konstanta, osnova prirodnog logaritma 2 ( 1,4142135) ''kvadratni koren iz 2'' je... PROMENLJI VE xyzabαβ,,,,,,,... i Pitagorina konstanta 6
Operacijski znaci i i i i i Algebarske operacije Logičke operacije Skupovne operacije Relacijski znaci Specijalni znaci 7
Matematička logika Iskazna logika Predikatska logika 8
Iskazna logika Iskaz Logičke operacije Iskazne formule 9
Matematička logika - iskazne promenljive - U matematičkoj logici iskaze označavamo slovima p, q, r,... Iskazima mogu se pridružiti istinitosne vrednosti T ili 1 tačno ili 0 netačno 10
Osnovne logičke operacije - Konjukcija (i) u oznaci - Disjunkcija (ili) u oznaci - Implikacija (ako-onda) - Ekvivalencija (ako i samo ako) - Negacija (ne) - Istinitosna vrednost 11
Konjukcija i Konjunkcija iskaza p i q je iskaz '' p i q'', u oznaci p q. T T T 12
Disjunkcija i Disjunkcija iskaza p iqje iskaz '' p ili q '', u oznaci p q. T T T T T 13
Implikacija i Implikacija iskaza p i q je iskaz ''ako p onda q'', u oznaci p q T T T T T 14
Ekvivalencija i Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz '' p ako i samo ako q'', u oznaci p q T T T T 15
Negacija Negacija iskaza p je iskaz '' nije p '' u oznaci p, što se izgovara '' ne p''. τ ( p) T τ ( p) T 16
Istinitosna tablica realnih logičkih operacija τ ( p) ( q) τ τ ( p q) τ ( p q) ( p q) τ τ ( p) τ ( p q) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 17
Istinitosna tablica realnih logičkih operacija 18
Iskazne formule Definicija 1: Iskazna slova su simboli: p, q, r, p, q, r,... p, q, r,... 1 1 1 n n n Definicija 2: 1 Iskazna slova su iskazne formule 2 Ako su A i B iskazne formule, onda su ( A B), ( A B), ( A B), ( A B), A iskazne formule 3 Iskazne formule mogu se obrazovati jedino pomoću konačnog broja primena 1 i 2 ove definicije 19
Tautologije Definicija: i Tautologija je iskazna formula koja za sve vrednosti svojih iskaznih slova ima vrednost T i kontradikcija je formula koja uvek ima vrednost 20
Primeri: 1) Formula p p je tautologija. 2) Formula p p je kontrapozicija. 21
Osnovni logički zakoni 1. Zakon idempotencije p p p p p p 2. Zakon dvojne negacije p ( ) p 3. Komutativnost p q q p, p q q p 22
Osnovni logički zakoni 4. Asocijativnost ( ) ( ) ( ) ( ) p q r p q r p q r p q r 5. Distributivnost ( p q) ( p r) p ( q r) ( p q) ( p r) p ( q r) 6. De Morganovi zakoni ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) 23
Predikatska logika Kvantori Predikatske formule 24
Kvantori Definicija 1: i Neodređena zamenica svaki naziva se univerzalni kvantor (kvantifikator, kolikovnik) i označava se sa i Reči: svaki, svi, proizvoljan, ma koji, bilo koji imaju isto značenje 25
Primeri: 1) Ako Px ( ) znači da xima svojstvo P, onda x P x ( ) ( ) 2) Za svaki x je x+ 1 > x kraće zapisujemo sa x x+ 1 > x ( )( ) 26
Kvantori Definicija 2: i Neodređena zamenica neki naziva se egzistencijalni kvantor (kvantifikator, kolikovnik) i označava se sa i Reči: neki, bar jedan, postoji najmanje jedan, makar jedan imaju isto značenje 27
Primeri: 1) Formula x 7x+ 2 = 9 čita se: ( )( ) Neki x zadovoljava uslov 7x+ 2 = 9 ili Postoji x tako da je 7x+ 2 = 9 2) Formula y x x< y čita se: ( )( )( ) Postoji y tako da za svaki x važi uslov x< y 28
Aksiome i Aksiome u matematici su izvesne polazne rečenice (formule) koje su dogovorno tačne. i Obično se uzimaju najprostija tvrđenja. 29
Primer: a) x+ y = y+ x b) x+ 0 = x c) Kroz tačku A van prave p postoji tačno jedna prava paralelna sa pravom p. Ovo je aksioma euklidske geometrije. 30
Pravila izvođenja i Neke rečenice (formule) uzimaju se za pretpostavke i logičkim rasuđivanjem se izvode nove rečenice (formule) i U takvom logičkom zaključivanju se koriste razna pravila zaključ ivanja ili pravila izvođenja 31
Primer: x= y a) (Iz x= y proizlazi y = x) y = x a b b) ( a i b su prave) b a 32
Dokazi i Dokaz (izvođenje ili dedukcija) je konačan niz formula A, A,..., A 1 2 n ako svaka formula A(1 l n) iz gornjeg niza ispunjava uslov: l a) A je aksioma l b) A l je dobijena iz prethodnih formula po izvesnom pavilu zaključivanja 33
Teoreme i Teorema je formula (rečenica) ako postoji bar jedan niz A, A,..., A 1 2 takav da on predstavlja izvođenje. Tada se kaže da je gornji niz izvođenje (dokaz) teoreme m A m 34
Primer: Dokazati formulu : (2 x+ y) = 4x + 4xy+ y 2 2 2 2 (2 x+ y) = (2 x+ y)(2 x+ y) (po definiciji kvadrata) = (2 x+ y) 2 x+ (2 x+ y) y (distributivni zakon) = 2 x (2 x+ y) + y (2 x+ y) (komutativni zakon) = 2x 2x+ 2x y+ y 2 x+ y y (distributivni zakon) = 4x + 2xy+ 2xy+ y 2 2 = 4x + 4xy+ y 2 2 35
OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA 36
Pojam skupa Prazan skup Ø Venovi dijagrami A a a A A je podskup skupa B A B A B= { x x A x B} B A A B 37
Pojam skupa A i B su jednaki A = B= { x x A x B} Partitivni skup P(A) P( A) = { X X A} 38
Operacije sa skupovima Unija skupova A { } AU B= x x A x B B A B Presek skupova A B= { x x A x B } A A B B Disjunktni skupovi A B=, A i B su disjunktni 39
Operacije sa skupovima Razlika skupova { } A \ B= x x A x B A A \ B Simetrična razlika skupova B A Δ B= ( A\ B) U( B\ A) Komplement skupa A u odnosu naskup B C A= B\ A B Dekartovim proizvodom skupova A i B naziva se skup {(, ) } A B = a b a A b B 40
Kardinalni broj ka predstavlja broj elemenata skupa ako skup A ima isti kardinalni broj kao skup prirodnih brojeva N, onda za skup A kažemo da je prebrojiv. Neprebrojiv cardr=c (kontinum) 41