Skupovi, relacije, funkcije
|
|
- Γερασιμος Φλέσσας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u kojoj: (i) redosled navodjenja elemenata nije bitan i (ii) elementi se ne ponavljaju. Koristićemo notaciju a A da označimo da element a pripada skupu A. Ako element a ne pripada skupa A pišemo a A. Skupove ćemo označavati velikim slovima, a njihove elemente malim slovima abecede. Uobičajene su i sledeće oznake: N - za skup prirodnih brojeva, Z - za skup celih brojeva, Q - za skup racionalnih brojeva i R - za skup realnih brojeva. Skup se predstavlja: - navodjenjem elemenata u vitičastim zagradama ili - navodjenjem osobina S elemenata skupa, u obliku {x : S(x)}. (Čitamo:,,skup svih elemenata x koji zadovoljavaju S(x)). Primer Skupovi mogu biti zadati na sledeći način: (a) {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 6, 9, 12,...}, 5
2 6 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE Figure 1.1: Vennovi dijagrami za dva,tri i četiri skupa. (b) {x : x N 1 x 5}, {x : x N 3 x}. Primer Za proizvoljne elemente a i b važi {a, b} = {b, a}, i {a, a, b} = {a, b}. Prazan skup je skup koji ne sadrži nijedan element i označavaćemo ga sa ili {}. (Napomena: primetimo da se on razlikuje od skupa { } koji sadrži element.) Partitivni skup skupa A, uoznacip(a), je skup svih podskupova skupa A : P(A) ={X : X A}. Primer Neka je A = {0, 1, 2}. Tada je P(A) ={, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Kažemo da su skupovi A i B jednaki, uoznacia = B, ako važi ( x)(x A x B). Kažemo da je A podskup skupa B, uoznacia B, ako važi ( x)(x A x B). Za proizvoljne skupove A i B definišemo A \ B = {x : x A x B}, razliku skupova A i B, A B = {x : x A x B}, uniju skupova A i B i A B = {x : x A x B}, presek skupova A i B. Ako je A B =, kažemo da su skupovi A i B disjunktni.
3 1.1. SKUP, TORKA, MULTISKUP 7 Neka su X, Y, Z A. Tada važi = A (X ) = X X \ X = X = X X A = A X X = A zakoni idempotencije: X X = A A = X \ = X X A = X X = X X = X X = X zakoni asocijativnosti: (X Y ) Z = X (Y Z) (X Y ) Z = X (Y Z) zakoni komutativnosti: X Y = Y X X Y = Y X zakoni distributivnosti: X (Y Z) =(X Y ) (X Z) X (Y Z) =(X Y ) (X Z) zakoni apsorpcije: X (X Y )=X X (X Y )=X De Morganovi zakoni: (X Y ) = X Y (X Y ) = X Y (gdejex = A \ X) Table 1.1: Neki zakoni koji važe za operacije na skupovima
4 8 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE Uredjena n-torka elemenata Uredjena torka elemenata poseduje sledeće osobine: (i) redosled navodjenja elemenata jeste bitan i (ii) elementi mogu da se ponavljaju. Uredjena n-torka (a 1,...,a n ),n 1, se definiše na sledeći način: n =1: (a 1 )=a 1 n =2: (a 1,a 2 )={{a 1 }, {a 1,a 2 }} (uredjen par) n 3: r (a 1,...,a n 1,a n )=((a 1,...,a n 1 ),a n ). (rekurzivno) Element a i,i {1,...,n}, se zove i-ta komponenta (koordinata) uredjene n- torke (a 1,...,a n ). Primer Za skupove važi dok je za uredjene torke elemenata {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1} (1, 1, 2, 2, 2) (1, 2) i (1, 2) (2, 1). Na osnovu definicije jednakosti skupova, možemo dokazati da su dva uredjena para jednaka ako i samo ako su im jednake odgovarajuće komponente, što je formulisano sledećim tvrdjenjem. Teorema Uredjeni parovi (a, b) i (c, d) su jednaki ako i samo ako je a = c i b = d. Dokaz. (a, b) =(c, d) {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ({a} = {c} {a, b} = {c, d}) ({a} = {c, d} {a, b} = {c}) (a = c b = d) (a = b = c = d). Posledica (a 1,a 2,...,a n )=(b 1,b 2,...,b n ) a 1 = b 1 a 2 = b 2... a n = b n. Dokaz. Indukcijom po n.
5 1.1. SKUP, TORKA, MULTISKUP 9 (1,3) (2,3) (3,3) (1,2) (2,2) (3,2) (1,1) (2,1) (3,1) Figure 1.2: Kvadrat skupa A = {1, 2, 3}. Dekartov proizvod skupova Dekartov (direktan) proizvod n skupova A 1,A 2,...,A n 1 i A n,n 2, se definiše na sledeći način: Ako je n =2, onda važi A 1... A n = {(a 1,...,a n ): a i A i,i=1,...,n}. A 1 A 2 = {(a 1,a 2 ): a 1 A 1 a 2 A 2 }. Za n {0, 1, 2,...}, n-ti Dekartov stepen skupa A, uoznacia n, je { },n=0 A n = A,n =1 {(a 1,...,a n ) a i A, i =1,...,n},n Multiskup Multiskup (kesa), za razliku od skupa, je kolekcija elemenata u kojoj (i) redosled navodjenja elemenata nije bitan i (ii) elementi mogu da se ponavljaju konačno mnogo puta. Broj pojavljivanja nekog elementa u multiskupu je jedinstven pozitivan ceo broj, dok broj različitih elemenata u multisupu može biti beskonačan. Ako se x pojavljuje tačno n puta u skupu M, pišemo x n M. Za multiskup u kojem se x 1 pojavljuje n 1 puta, x 2 se pojavljuje n 2 puta itd, pišemo [x 1,x 2,...] n1,n 2,...
6 10 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE ili u uglastim zagradama navodimo sva pojavljivanja elemenata. Primer {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1}, (1, 1, 2, 2, 2) (1, 2) i (1, 2) (2, 1), dok je [1, 1, 2, 2, 2] [1, 2] i [1, 2] = [2, 1]. 1.2 Relacije Neka su n, m N. m-arna relacija ρ skupa A je bilo koji podskup od A m, ρ A m. Relacija arnosti m sa n elemenata se može predstaviti matricom formata m n u kojoj su kolone elementi relacije ρ. ρ = a 11 a a 1n a m1 a m2... a mn Binarne relacije Ako je n = 2 kažemo da je relacija binarna. Za binarnu relaciju ρ, umesto (a, b) ρ, koristimo i sledeće ekvivalentne zapise: a aρb ρ(a, b) ρ. b Skup svih binarnih relacija na A označavamo sa R (2) A. Kažemo da je binarna relacija ρ R (2) (R) Refleksivna, ako ( a A) (a, a) ρ, (I) Antirefleksivna, ako ( a A) (a, a) ρ, (S) Simetrična: ako ( a, b A) (a, b) ρ (b, a) ρ, (A) Antisimetrična: ako ( a, b A) (a, b) ρ (b, a) ρ a = b, (T) Tranzitivna: ako ( a, b, c A) (a, c) ρ (c, b) ρ (a, b) ρ. Na primer, relacija je refleksivna na skupu realnih brojeva, dok je relacija < irefleksivna. Primer Neka je A = {0, 1}. Tada je = refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.
7 1.2. RELACIJE 11 Relacije poretka Neka je ρ A 2. Relacija ρ je skupu A ako je relacija poretka (ili parcijalnog uredjenja) na (R) refleksivna, (A) antisimetrična i (T) tranzitivna. Relacija ρ je relacija strogog poretka (striktnog uredjenja) ako je antirefleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Ako je ρ relacija poretka na nepraznom skupu A, onda se uredjen par (A, ρ) naziva parcijalno uredjen skup (ili poset). Primer (a) ({0, 1, 2}, ) je parcijalno uredjen skup, gde je = (b) ({0, 1, 2},<) je strogo parcijalno uredjen skup, gde je < = (c) (P(A), ), gde je A = {0, 1}, je parcijalno uredjen skup. (d) (P(A), ), gde je A = {0, 1, 2}, je parcijalno uredjen skup. Relacije poretka se mogu predstaviti uz pomoć Hasevih dijagrama. UHaseovom dijagramu, elementi skupa A su predstavljeni tačkama, tako da je za (x, y) ρ za koje je x y, tačka x je nacrtana niže od tačke y. Ako izmedju njih nema drugih elemenata, onda postoji dužizmedju njih. Ilustracija je data u sledećem primeru. Primer Neka je ({2, 3, 4, 5, 6, 15, 30}, ) parcijalno uredjen skup, gde je ( x, y N) x y ( k N)y = kx. Neka je (A, ρ) parcijalno uredjen skup. a A je najmanji element skupa A ako za sve x A važi (a, x) ρ. a A je najveći element skupa A ako za sve x A važi (x, a) ρ. a A je minimalni element skupa A ako ne postoji element x A za koji je (x, a) ρ i x a.
8 12 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE Figure 1.3: Haseovo dijagram za ({2, 3, 4, 5, 6, 15, 30, 120}, ). a A je maksimalni element skupa A ako ne postoji element x A za koji je (a, x) ρ i x a. Neka je X A. Element a A je donja granica skupa X ako je (a, x) ρ za svako x X. Element a A je najveća donja granica (infinum od X), u oznaci inf X, ako je a najveći element skupa donjih granica. Element a A je gornja granica skupa X ako je (x, a) ρ za svako x X. Element a A je najmanja gornja granica (supremum od X), u oznaci sup X ako je a najmanji element skupa gornjih granica. Neka je (A, ρ) parcijalno uredjen skup. Kažemo da je on totalno uredjen (lanac) ako za sve elemente a, b A važi (a, b) ρ ili (b, a) ρ. antilanac ako za sve elemente a, b A važi (a, b) ρ i(b, a) ρ. dobro uredjen ako za svaki neprazni podskup X A ima najmanji element. Relacije ekvivalencije Neka je ρ A 2. Relacija ρ je relacija ekvivalencije na skupu A ako je (R) refleksivna,
9 1.2. RELACIJE 13 (S) simetrična i (T) tranzitivna. Klasa ekvivalencije elementa x A je skup Koriste se još i oznake C x i x/ρ. Skup svih klasa ekvivalencije je količnički skup (ili faktor skup). [x] ρ = {y A :(x, y) ρ}. [A] ρ = {[x] ρ : x A} Primer (a) Najpoznatija relacija ekvivalencije je svakako relacija = na skupu realnih brojeva. (b) Neka je A = {0, 1, 2}. Za relacije A = A 2 = [A] A = {{0}, {1}, {2}} [A] A 2 = {{0, 1, 2}} kažemo da su trivijalne relacije ekvivalencije na A. Pored toga, postoje još tri relacije ekvivalencije na skupu A : ρ 1 = [A] ρ1 = {{0}, {1, 2}} ρ 2 = [A] ρ2 = {{2}, {0, 1}} ρ 3 = [A] ρ3 = {{1}, {0, 2}} Particija skupa A je skup {A 1,...,A n } za koji važi (i) za svako i {1,...,n} A i, (ii) A = i=n i=1 A i i (iii) za sve i, j {1,...,n} važi i j A i A j =. Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A, količnički skup je jedna particija skupa A.
10 14 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 1.3 Funkcije Funkcija (preslikavanje, transformacija) skupa D u skup B, piše se f : D B, je podskup skupa D B takav da za svako a D postoji tačno jedno b B sa osobinom (a, b) f. U tom slučaju pišemo f(a) =b ili f : a b. Tada se za svako X D definiše skup f(x) (im f) na sledeći način f(x) ={b B postoji a X takvo da je f(a) =b}. Skup svih funkcija skupa D uskupb se označava sa B D. Neke vrste funkcija: Preslikavanje f : A B je 1 1(injekcija) akkoje ( x, y A)(f(x) =f(y) x = y). Preslikavanje f : A B je na (sirjekcija) akkoje ( b B)( a A)(f(a) =b). Preslikavanje f : A B je (bijekcija) akkoje1 1ina. Operacije na skupu funkcija:neka je f : A B i g : B C. Kompozicija funkcija f i g je funkcija g f : A C definisana je sa (g f)(x) =g(f(x)). Dijagonalna relacija A = {(x, x) : x A} je funkcija i zovemo je identična funkcija i obeležavamo sa 1 A. Kažemo da je f : B A inverzna funkcija funkcije f ako važi f f =1 B f f =1 A. Inverznu funkciju, ako postoji, obeležavamo sa f Zadaci 1. Ako skup A ima n elemenata, koliko elemenata ima skup P(A)? 2. Dokazati da važe zakoni dati u Tabeli Dokazati da za sve X, Y, Z A važi (a) X \ Y = X Y, (b) X \ (Y Z) =(X \ Y ) (X \ Z)X \ (Y Z) =(X \ Y ) (X \ Z),
11 1.4. ZADACI 15 (c) X =(X \ Y ) (X Y ), (d) (X \ Y ) (X Y )=. 4. Dokazati da za sve X, Y A važi formula uključenja-isključenja X Y = X + Y X Y. Dokaz. Ako su A i B disjunktni skupovi, onda je A B = A + B. Kako je X =(X \ Y ) (X Y )iskupovix\ Y i X Y su disjunktni, to je X = X \ Y + X Y. Sličnim rezonovanjem je Odatle je Y = Y \ X + X Y. X Y = (X \ Y ) (X Y ) (Y \ X) = X \ Y + X Y + Y \ X = ( X X Y )+ X Y +( Y X Y ) = X + Y X Y 5. Dokazati da za sve X, Y, Z A važi formula uključenja-isključenja X Y Z = X + Y + Z X Y X Z Y Z + X Y Z. 6. Na prvoj godini studija geodezije ima 50 studenata. U januarskom ispitnom roku će njih 24 izaći na ispit iz Algebre, 20 na ispit iz Analize I, a 13 na ispit iz Fizike. Algebru i Analizu I će polagati 6 studenata, Analizu I i Fiziku 5 studenata, a Algebru i Fiziku 4 studenta. Ako jedino Marko polaže sva tri ispita, koliko studenata neće izaći ni na jedan od ta tri ispita. 7. Teorema Svaki dobro uredjen skup je totalno uredjen skup. Dokaz. Pretpostavimo da su a, b A proizvoljno izabrani. Kako je skup A dobro uredjen, to njegov podskup {a, b} A ima najmanji elemenat. Ako je taj najmanji elemenat a onda je (a, b) ρ. Inače, ako je najmanji b, ondaje(b, a) ρ. 8. Teorema Parcijalno uredjen skup ima najviše jedan najmanji (najveći) element. Dokaz. Pretpostavimo da parcijalno uredjeni skup (A, ρ) ima dva najmanja elementa a i b. Tada je (a, b) ρ zato što je a najmanji element i (b, a) ρ zato što je b najmanji element. Kako je relacija ρ antisimetrična, sledi a = b. 9. Dokazati da je presek dve relacije ekvivalencije na A relacija ekvivalencije na skupu A.
12 16 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 10. Dokazati da unija dve relacije ekvivalencije na skupu A ne mora biti relacija ekvivalencije na skupu A. (Konstruisati odgovarajući primer.) 11. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} inekaje ρ = {(x, y) A 2 :4 (x y)}. Ispitati da li je ρ relacija ekvivalencije i, ako jeste, odrediti količničnički skup skupa A po relaciji ρ. 12. Teorema Ako je ρ relacija ekvivalencije na A, onda važi Dokaz. ( ) Nekaje(x, y) ρ. Sledi, ( x, y A)(x, y) ρ [x] ρ =[y] ρ. z [x] ρ (z,x) ρ (x, y) ρ (z,y) ρ z [y] ρ, čime smo dokazali da je [x] ρ [y] ρ. Slično, z [y] ρ (y, z) ρ (x, y) ρ (x, z) ρ z [x] ρ, odakle je [y] ρ [x] ρ. ( ) Nekaje[x] ρ =[y] ρ. Tada je (x, x) ρ x [x] ρ =[y] ρ (x, y) ρ. 13. Teorema Neka su x, y A i ρ relacija ekvivalencije na skupu A. Tada je [x] ρ [y] ρ = ili [x] ρ =[y] ρ. Dokaz. Moguća su dva slučaja: [x] ρ [y] ρ = ili je [x] ρ [y] ρ. Pretpostavimo da važi drugi slučaj, tj. da postoji z [x] ρ [y] ρ. Na osnovu definicije preseka tada z [x] ρ i z [y] ρ. Na osnovu definicije klase ekvivalencije, (x, z) ρ i(z,y) ρ. Kako je ρ tranzitivna relacija, to je (x, y) ρ, odakle na osnovu prethodne teoreme sledi [x] ρ =[y] ρ. 14. Neka je A = {0, 1}. Napisati sve binarne relacije koje su (a) relacije poretka. (b) relacije ekvivalencije. 15. Neka je A = {0, 1, 2}. Napisati sve binarne relacije koje su
13 1.4. ZADACI 17 (a) relacije poretka. (b) relacije ekvivalencije. 16. Dokazati da na svakom konačnom nepraznom skupu A postoji neparan broj relacija poretka. 17. Dokazati da je relacija poretka. 18. Nacrtati Haseove dijagrame parcijalno uredjenih skupova (a) ({1, 3, 5, 15, 30, 45}, ) (b) ({1, 2, 3, 5, 30, 60}, ) i odrediti najmanje, najveće, minimalne i maksimalne elemente.
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραBinarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOn predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραSKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović
SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA
DISKRETNA MATEMATIKA OSNOVE KOMBINATORIKE I TEORIJE GRAFOVA Dragan Stevanović, Miroslav Ćirić Prirodno-matematički fakultet u Nišu Slobodan Simić Matematički institut u Beogradu Vladimir Baltić Ekonomski
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραDimenzija vektorskog prostora
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραKURS IZ MATEMATIKE I
UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα1.1 Iskazni (propozicioni) račun
1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραO SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,
O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTeorema Kantor - Bendiksona i njene primene
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Anika Njamcul Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene Master rad Mentor: dr. Aleksandar Pavlović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 skripta za studente fizike
PDFaid.Com #1 Pdf Solutions MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike Nebojša Č. Dinčić, Departman za Matematiku, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija e-mail: ndincic@hotmail.com Novembar
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα