Funkcije. Predstavljanje funkcija
|
|
- Διόνυσος Μπουκουβαλαίοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu da je (,, f) funkcija obično iskazujemo sa f :, a ponekad i sa Neka f :. Skup je domen funkcije: = dom(f). Skup je kodomen 2 funkcije. Skup f je graf funkcijea a često se funkcija (,, f) poistovećuje sa samim skupom f i kaže se da je f funkcija, ili preslikavanje skupa u skup. (a, b) f zapisujemo i sa f(a) = b i kažemo da se element a preslikava funkcijom f u element b, ili da je b f-slika elementa a. Definicija = {f f : }. Primetimo da je P( ). Predstavljanje funkcija Funkcije predstavljamo grafički kao binarne relacije. Uslov funkcionalnosti ( ) je: iz svakog elementa skupa polazi tačno jedna strelica ka skupu.; tom strelicom se element a preslikava u element f(a). Sledeća dva primera ne predstavljaju funkciju: Iz a 2 polaze dve strelice: 1 engleski: function, mapping 2 engleski: range 1
2 a 4 a 3 b 2 a 2 a 1 Iz a 4 ne polazi ni jedna strelica. a 4 a 3 b 2 a 2 a 1 Funkciju f : {a 1, a 2, a 3, a 4 } {, b 2, } f = {(a 1, ), (a 2, ), (a 3, b 2 ), (a 4, b 2 )} (t.j. definisanu sa predstavljamo grafički: f(a 1 ) = f(a 2 ) =, f(a 3 ) = f(a 4 ) = b 2 a 4 a 3 b 2 a 2 a 1 2
3 Ukoliko je relacija f predstavljena grafikom, uslov funkcionalnosti znači: svaka vertikalna prava sadrži tačno jednu tačku grafika. Relacija zadata sledećim grafikom ne zadovoljava uslov funkcionalnosti iz dva razloga: 1) Vertikalna prava koja sadrži a 2 sadrži dve tačke grafika; 2) Vertikalna prava koja sadrži a 5 ne sadrži ni jednu tačku grafika. b 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 Funkcija f : {a 1, a 2, a 3, a 4 } {, b 2, } definisana sa f = {(a 1, ), (a 2, ), (a 3, b 2 ), (a 4, b 2 ), (a 5, )} (ili f(a 1 ) = f(a 5 ) =, f(a 2 ) = f(a 4 ) =, f(a 3 ) = b 2 ) ima grafik b 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3
4 Kompozicija funkcija Kompozicija funkcija, definisana kao kompozicija relacija, je funkcija: Stav Neka su f : i g : C funkcije. Tada važi: (a) (, C, g f) je funkcija.; (b) Za svaki a važi g f(a) = g(f(a)). Dokaz (a) Treba dokazati da za svaki element a postoji tačno jedan c C takav da (a, c) g f. Fiksirajmo a i neka je f(a) = b, g(b) = c. Drugim rečima, (a, b) f i b, c g. Prema definiciji kompozicije, važi (a, c) g f, pa preostaje da dokažemo da je c jedinstven element skupa C koji zadovoljava taj uslov. Pretpostavimo sada da za neki c C važi (a, c ) g f. Prema definiciji kompozicije, postoji b takav da (a, b ) f i (b, c ) g. Iz (a, b) f i činjenice da je f funkcija sledi da je b = f(a), pa je b = b. Slično, iz (b, c ) g (i b = b ) sledi c = g(b), pa je c = c. Time smo dokazali da za svaki element a postoji jedinstven c C takav da (a.c) g f. (b) Iz dokaza dela (a) sledi da za svaki a važi g f(a) = c, gde je c = g(b) i b = f(a). Prema tome: g f(a) = g(b) = g(f(a). Oznaka f za funkciju f : je zgodna za predstavljanje više funkcija dijagramima. Na primer, kompoziciju funkcija f : i g : C predstavljamo na dijagramu: g f f C g Verzija stava 1.15 [MP] Za f sledeći uslovi su ekvivalentni: (1) f : (t.j. (,, f) je funkcija). (2) f 1 f i f f 1. Direktna slika Neka je f : funkcija, X i Y. Definišemo: Direktna slika skupa X funkcijom f je: ko je f(a) = b tada je f[{a}] = {b}. f[x] = {b postoji x X tako da je f(x) = b} Grafički, direktnu sliku skupa X čine svi elementi skupa u koji ulazi neka strelica iz elementa skupa X. 4
5 a 4 X f[x] a 3 b 2 a 2 a 1 Ili: projektujemo tačke grafika čija prva koordinata pripada skupu X na vertikalnu osu. b 2 f[x] a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 X Zadatak (a) ko je f : i X, tada f[ X] f[] f[x]. Dokazati. (b) Naći primer skupova,, X i funkcije f : tako da važi f[ X] f[] f[x]. Inverzna slika Neka je f :, X i Y. Inverzna slika skupa Y funkcijom f je: f 1 [Y ] = {a postoji y Y tako da je f(a) = y} Grafički, skup f 1 [Y ] se sastoji od svih elemenata skupa iz kojih f-strelica vodi do elementa skupa Y. 5
6 a 4 Y a 3 b 2 f 1 [Y ] a 2 a 1 Primetimo da je u ovom primeru f 1 [{b 2 }] = ; znači: inverzna slika nepraznog skupa može biti prazan skup. Ili: projektujemo tačke grafika čija druga koordinata pripada skupu Y na horizontalnu osu. b 2 Y a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 f 1 [Y ] Stav 1.16 u [MP] sadrži osnovne osobine direktne i inverzne slike. Zadatak (a) Dokazati da za svaku funkciju f : i za svaki skup X važi: f 1 [f[x]] X. (b) Naći primer skupova,, X i funkcije f : tako da važi f 1 [f[x]] X. Zadatak ((a) Za svaku funkciju f : i za svaki skup Y važi: f[f 1 [Y ]] Y. (b) Naći primer skupova,, Y i funkcije f : tako da važi f[f 1 [Y ]] Y. Dirihleov princip 3 i funkcije Dirihleov princip glasi: ako mn + 1 zeca rasporedimo u m kaveza, tada se u bar jednom kavezu nalazi bar n + 1 zec. 3 Engleski: Pigeonhole principle 6
7 Dirihleov princip ko r : Z K, skup Z ima mn + 1 elementi i skup K ima m elemenata, tada postoji k K tako da r 1 [{k}] ima bar n + 1 element. Sužavanje domena: restrikcija funkcije Neka je f : funkcija i X. Definišemo f X = {(x, y) f x X}. Grafički, relacija f X X se dobija iz relacije f brisanjem svih elemenata skupa X, kao i svih f-strelica koje vode iz njih. Lako se vidi da tako dobijena relacija zadovoljava uslov funkcionalnosti ( ), pa je funkcija, koja je restrikcija funkcije f na skup X. f X : X Sužavanje i širenje kodomena ko je f : funkcija i f[] C, tada je i f : C funkcija; Primetimo da može važiti f[] C ili f[] C. U matematici, f je realna funkcija na skupu X, označava da se radi o funkciji čiji je domen skup X, a kodomen je podskup skupa realnih brojeva: f : X C gde je C R. Kaže se i da je f realno-vrednosna funkcija. f je funkcija realne promenljive znači da je domen funkcije f podkup skupa realnih brojeva. Slično i za kompeksne i celobrojne funkcije. Često se funkcije realne promenljive zadaju eksplicitno, izrazom 4. Na primer Izraz f(x) = x 2 zadaje funkciju f : R R gde je {(a, a 2 ) a R}. Ukoliko se posebno naglasi, izraz može zadavati i neku varijantu ove funkcije dobijenu sužavanjem domena i/ili kodomena. f(x) = x zadaje f : [0, + ) R, gde je f = {(a, a) a [0, )}. f(x) = 1 x 2 zadaje f : [ 1, 1] R; f = {(a, 1 a 2 ) a [ 1, 1]} 1-1 funkcije Definicija Funkcija f : je 1-1, ili injekcija 5, akko različite elemente skupa preslikava u različite elemente skupa. U tom slučaju kažemo i da je f injektivna funkcija (preslikavanje). Simbolički: Za sve x 1, x 2 iz x 1 x 2 sledi f(x 1 ) f(x 2 ); ili 4 Pojam izraza ćemo kasnije precizirati 5 engleski: injection, injective function 7
8 Za sve x 1, x 2 iz f(x 1 ) = f(x 2 ) sledi x 1 = x 2 ; ili Za svaki element b skup f 1 [{b}] ima najviše jedan element. Grafički: f-strelice iz različitih elemenata skupa idu ka različitim elementima skupa ; ili: U svaki element skupa ulazi najviše jedna f-strelica; ili: Svaka horizontalna prava grafika sadrži najviše jednu tačku grafika. Stav Neka je f : funkcija. Sledeći iskazi su ekvivalentni: (1) f je 1-1 funkcija. (2) Za svaki skup X važi f 1 [f[x]] = X. N funkcije Definicija Funkcija f : je N, ili sirjekcija 6 akko je svaki element skupa f-slika nekog elementa skupa. Simbolički: Za sve b postoji a tako da je f(a) = b; ili f[] =. Grafički: U svaki element skupa ulazi bar jedna f-strelica; ili: Svaka horizontalna prava grafika sadrži bar jednu tačku grafika. Stav Neka je f : funkcija. Sledeći uslovi su ekvivalentni: (1) f je N funkcija. (2) Za svaki skup Y važi f[f 1 [Y ]] = Y. Dokaz. Neka je f : funkcija. (1) povlači (2) Pretpostavimo da je f N funkcija i dokažimo da za svaki skup Y važi f[f 1 [Y ]] = Y. Fiksirajmo Y. Prema prethodnom zadatku važi f[f 1 [Y ]] Y, pa preostaje da dokažemo obrnutu inkluziju. Neka y Y. Kako je f na funkcija, postoji a tako da je f(a) = y. Tada iz definicije inverzne slike sledi da a f 1 [Y ], pa iz definicije direktne slike (skupa f 1 [Y ]) imamo y = f(a) f[f 1 [Y ]]. Time smo dokazali da za svaki y Y važi y f 1 [Y ], odnosno Y f[f 1 [Y ]]. (1) povlači (2) Pretpostavimo da f nije N funkcija; tada postoji b f[]. Važi f 1 [{b}] =. Kako je f[ ] =, imamo f[f 1 [{b}] = {b}, pa uslov (2) nije ispunjen. 6 engleski: surjection, onto 8
9 ijekcije Definicija Funkcija f : je bijekcija ako je i 1-1 i N. Grafički, to znači da iz svakog elementa skupa ide jedna f-strelica i da u svaki element skupa ulazi tačno jedna f-strelica. Fakt Za funkciju f : sledeći uslovi su ekvivalentni: (1) f je bijekcija. (2) (,, f 1 ) je funkcija (f 1 je inverz relacije f ). (3) f 1 : je bijekcija. ijekciju f : shvatamo kao uspostavljanje jednoznačne veze izmedju elemenata skupa i elemenata skupa : svakom elementu a odgovara tačno jedan element f(a) skupa i svakom elementu b odgovara tačno jedan element f 1 (b) skupa. U tom smislu je kopija skupa i je kopija skupa. Identičko preslikavanje id : je definisano sa id (x) = x Definicija Neka je f : bijekcija. Tada je f 1 : inverzna funkcija funkcije f. Stav Neka su f : i g : C bijekcije. (1) (f 1 ) 1 = id. (2) g f : C je bijekcija i važi: (g f) 1 = f 1 g 1. Projekcije Za funkciju f : C, radi jednostavnije notacije, umesto f((a, b)) pišemo f(a, b) za (a, b). Slično i za funkcije čiji je domen Dekartov proizvod više skupova. Funkcija π 1 : definisana sa π 1 (x, y) = x za sve x, y je prva projekcija skupa ; π 2 (x, y) = y definiše drugu projekciju π 2 :. i-ta projekcija skupa 1... n (za 1 i n) je preslikavanje definisano sa π i (x 1,..., x i,..., x n ) = x i. π i : 1... i... n i Familije i nizovi skupova {X i i I} označava familiju skupova indeksiranih skupom I. Ova oznaka se vrlo često koristi u matematici. Formalno familiju skupova definišemo na sledeći način: Neka je I neki skup (čije elemente zovemo indeksima) i X : I W funkcija. Označimo X i = X(i). Skup X[I] = {x W x = X i ) za neki i I} označavamo sa {X i i I} 9
10 i njegovi jedini elementi su skupovi oblika X i. Familije skupova koristimo kada Obično se radi o nekoj familiji podskupova nekog skupa (t.j W = P()), ili o nekoj familiji funkcija (W = ),... {X i i I} označavamo sa i I X i, ili sa {X i i I} označavamo sa i I X i, ili sa {x postoji indeks i I takav da x X i }. {x za svaki indeks i I važi x X i }. Ukoliko je (I, <) (striktno) linearno uredjenje i X : I W, tada (X i i I) možemo shvatiti i kao niz elemenata skupa W dobijen iz uredjenja I zamenom svakog elementa uredjenja I skupom X i. Zato kažemo i da je (X i i I) I-niz elemenata skupa W. Niz realnih brojeva (a n n N) je odredjen funkcijom a : N ω. Karakteristične funkcije podskupova Notacija 1 = def {0}, 2 = def {0, 1}, 3 = def {0, 1, 2} (su različiti skupovi). Fiksirajmo skup U i posmatrajmo njegove podskupove,,...; c označava komplement skupa, odnosno skup U. Karakteristična funkcija podskupa je funkcija χ : U 2 definisana sa { 1 x χ (x) = 0 x c (formalno: χ = ( {1}) ( c {0})). Stav 1.19 [MP] Funkcija Φ : P(U) 2 U definisana sa Φ(X) = χ X (za X U) je bijekcija. Kantorova teorema (Stav 1.21 [MP]) Za proizvoljan skup X postoji injekcija skupa X u skup P(X), ali ne i sirjekcija. Ne postoji bijekcija izmedju tih skupova Zadatak Odrediti bijekciju izmedju skupova 2 i, 3 i ( ),... (ovde je 2 skup svih f : 2 ) 10
11 Količničko (faktor) preslikavanje Neka je E relacija ekvivalencije na skupu i /E = {[a] E a } količnički skup. Količničko preslikavanje, ili faktor preslikavanje je funkcija π : /E definisana sa π(x) = [x] E. Ovo preslikavanje je uvek N i za njega važi π 1 [{[x] E }] = [x] E ; ovo tumačimo kao imenovanje klasa ekvivalencije. Sam faktor skup je skup imena klasa ekvivalencije. Kako iz svih elemenata iste E-klase idu π-strelice u istu tačku faktor skupa, možemo prikazati samo jednu strelicu: [a 1 ] E [a 2 ] E [a 5 ] E a 1 a 1 a 5 a 1 a 2 a 5 π π π /E [a 1 ] E [a 2 ] E [a 5 ] E Funkcije, particije skupa i relacije ekvivalencije Svakoj funkciji f : prirodno odgovara jedna particija skupa (i odgovarajuća relacija ekvivalencije). Fakt Za svaku funkciju f : skup je particija skupa. {f 1 [{b}] b } Za f : definišimo binarnu relaciju na skupu : x E f y akko f(x) = f(y). Klasu ekvivalencije elementa a čine svi a za koje je f(a) = f(a ). Da pojednostavimo sliku funkcije sa f-strelicama, skup prikazujemo kao pravougaonik, a klase kao njegove trake. Stav (1) E f je relacija ekvivalencije na skupu čije su klase skupovi oblika f 1 [{y}] za y f[]. 11
12 (2) ko je π : /E f faktor preslikavanje i φ = f π 1 kompozicija relacija, tada je (/E f,, φ) funkcija. (3) φ : /E f f[] je bijekcija. (3) φ : /E f je bijekcija ako i samo ako je f N. f[] b 2 b 5 f f f f f a 1 f a 1 a 5 a 1 a 2 a 5 Da pojednostavimo sliku, crtamo samo po jednu strelicu iz svake trake: f[] b 2 b 5 b 6 f f f a 1 a 1 a 5 a 1 a 2 a 5 12
13 ZDCI 1. Koristeći prethodnu ilustraciju utvrdi koja od sledećih tvrdjenja su tačna za sve skupove, i f :. (a) Za svaki X je f 1 [f[x]] X. (b) Postoji X takav da je f 1 [f[x]] X. (c) Za sve Y, Z je f 1 [Y Z] = f 1 [Y ] f 1 [Z]. (d) Za sve Y, Z je f 1 [Y Z] = f 1 [Y ] f 1 [Z]. (e) Za sve Y, Z je f 1 [Y Z] = f 1 [Y ] f 1 [Z]. (f) Za sve X, X je f[x X ] = f[x] f[x ]. (g) Za sve X, X je f[x X ] = f[x] f[x ]. (h) Za sve X, X je f[x X ] = f[x] f[x ]. 2. Koja od sledećih tvrdjenja su tačna za sve skupove, i f :. (a) Za svaki X je f 1 [f[x]] X. (b) Postoji X takav da je f 1 [f[x]] X. (c) Za svaki Y je f[f 1 [Y ]] Y. (d) Postoji Y takav da je f[f 1 [Y ]] = Y. 3. Dokazati ili opovrgnuti: (a) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. (b) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. (c) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. (d) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. 4. Dokazati da je f : 1-1 funkcija ako i samo ako za sve jednočlane skupove X važi f 1 [f[x]] = X. 5. Neka je f : 1-1 funkcija i X. Dokazati da važi f[f 1 [f[x]]] = f[x]. 6. Dokazati da je funkcija f : injekcija ako i samo ako za sve X, Y važi f[x Y ] = f[x] F [Y ]. 7. Date su funkcije f, g :. Dokazati da je f = g ako i samo ako za sve skupove X i Y važi f[x g 1 [Y ]] = g[x] Y 8. Date su funkcije f, g :. Dokazati da je f = g ako i samo ako za sve skupove X važi g 1 [f[x]] X, tada je f = g. 9. Date su funkcije f, g :. Dokazati da ako za sve skupove X i Y važi f[x g 1 [Y ]] = f[x] Y, tada je f = g. 10. Date su funkcije f, g :. Dokazati da je f = g ako i samo ako za sve skupove X važi g 1 [f[x]] X, tada je f = g. 13
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραBinarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραSKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović
SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA
DISKRETNA MATEMATIKA OSNOVE KOMBINATORIKE I TEORIJE GRAFOVA Dragan Stevanović, Miroslav Ćirić Prirodno-matematički fakultet u Nišu Slobodan Simić Matematički institut u Beogradu Vladimir Baltić Ekonomski
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραOn predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραKardinalni brojevi i Lebegova mera
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacyu/mii Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), 41-50 Kardinalni brojevi i Lebegova mera Dragan S Dor dević U ovom radu prikazujemo
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραDimenzija vektorskog prostora
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότερα