Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
|
|
|
- Χθόνιος Γερμανού
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od f: pr 1 f druga projekcija od f: pr 2 f y (x, y) definišu se na sledeći način: pr 1 f def = {x A (x, y) f za neki y B} pr 2 f def = {y B (x, y) f za neki x A} x pr 1 f A Matematička logika 2 Funkcije - I deo
3 Korespondencije i relacije Primetimo da je korespondencija nije ništa drugo do relacija izmed u elemenata iz različitih skupova. Relacija na skupu A se može tretirati kao korespondencija iz skupa A u sebe samog. B f A B (A B) 2 B B Obratno, i korespondencija se može tretirati kao relacija na skupu (A B), pa se mnogi pojmovi koje smo definisali za relacije mogu preneti i na korespondencije. A A A A B A B Matematička logika 3 Funkcije - I deo
4 Grafičko predstavljanje korespondencija Korespondencija je zapravo ono što se u terminima teorije grafova naziva bipartitan digraf. Radi se o takvom grafu kod koga je skup čvorova podeljen u dve klase A i B, pri čemu svaka grana počinje u klasi A a završava se u klasi B. To je grafički prikazano na sledećoj slici: Matematička logika 4 Funkcije - I deo
5 Primeri korespondencije Primer 1.1. a) Neka je A = {a, b, c, d} i B = { 1, 0, 1}. Korespondencija iz A u B je, na primer, f = {(a, 1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}. Ona je grafički prikazana na sledećoj slici: A B a 1 Ovde je b 0 pr 1 f = {a, c, d} c 1 pr 2 f = { 1, 0, 1}. d Matematička logika 5 Funkcije - I deo
6 Primeri korespondencije b) Neka je g A P(A), gde je A = {a, b, c, d} i g = {(a, {a, b}), (b, {b, c, d}), (c, {c}), (d, {b, c, d})}. Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridružuje neki podskup koji ga sadrži. Lako je odrediti projekcije. c) Svaka relacija ρ A 2 je korespondencija iz A u A. Matematička logika 6 Funkcije - I deo
7 Kompozicija korespondencija Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije f A B i g B C. Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencija f g A C definisana sa f g = {(x, z) A C ( y B)((x, y) f (y, z) g)}. A f y B g C x z f g Matematička logika 7 Funkcije - I deo
8 Primer kompozicije Primer 1.2. Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} i C = {u, v, w}, i neka su korespondencije f A B i g B C date sa f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}. Tada je f g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}. 1 B A a b c d f 2 3 g C u v w A a b c d f g C u v w Matematička logika 8 Funkcije - I deo
9 Funkcije (preslikavanja) Neka su A i B neprazni skupovi. Za korespondenciju f A B kažemo da je preslikavanje ili funkcija iz A u B ako uspunjava sledeće uslove: (i) pr 1 f = A; (ii) ako je (x, y 1 ) f i (x, y 2 ) f, onda mora biti y 1 = y 2. Uslov (i) često formulišemo i sa: f je definisana na celom skupu A, ili oblast definisanosti za f je celi skup A. Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznačnosti. Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeći način: ( ) za svaki x A postoji tačno jedan y B takav da je (x, y) f. Matematička logika 9 Funkcije - I deo
10 Jednoznačnost Dakle, jednoznačnost znači da nije dozvoljena situacija prikazana na sledećoj slici: A B x y 1 y 2 Dakle, da bi korespondencija bila jednoznačna, onda niti iz jedne tačke skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B. Matematička logika 10 Funkcije - I deo
11 Jednoznačnost Dakle, jednoznačnost znači da nije dozvoljena situacija prikazana na sledećoj slici: A B x y 1 y 2 Dakle, da bi korespondencija bila jednoznačna, onda niti iz jedne tačke skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B. Matematička logika 10 Funkcije - I deo
12 Korespondencije koje nisu funkcije Korespondencija prikazana na sledećoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija. A a 1 B b c 0 d 1 Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznačnosti jer je element a u korespondenciji sa dva različita elementa. Matematička logika 11 Funkcije - I deo
13 Korespondencije koje nisu funkcije Korespondencija prikazana na sledećoj slici nije definisana na celom skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznačnosti: A a 1 B b c 0 d 1 Prema tome, f nije funkcija iz A u B. Med utim, kako zadovoljava uslov jednoznačnosti, f je funkcija iz skupa {a, c, d} u skup B. Matematička logika 12 Funkcije - I deo
14 Parcijalna funkcija (preslikavanje) Korespondenciju f A B koja zadovoljava uslov jednoznačnosti nazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B. Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija iz skupa pr 1 f u skup B. Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer parcijalne funkcije: A a 1 B b c 0 d 1 Matematička logika 13 Funkcije - I deo
15 Primer funkcije (preslikavanja) Korespondencija prikazana na sledećoj slici zadovoljava oba uslova (i) i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B. A a b c d B Prema uslovu ( ), da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x A mora da postoji tačno jedan y B takav da je (x, y) f. Med utim, to ne znači da za svaki y B mora da postoji tačno jedan x A takav da je (x, y) f. Matematička logika 14 Funkcije - I deo
16 Primer funkcije (preslikavanja) Na primer, za element 1 ne postoji nijedan element iz A sa takvim svojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svojstvom (a moguće je da ih bude i više). A a 1 B b c 0 d 1 Matematička logika 15 Funkcije - I deo
17 Primer funkcije (preslikavanja) Primer 1.3. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od sledećih korespondencija u A B je funkcija? (a) f 1 = {(p, r), (r, p), (s, t)} (b) f 2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} (c) f 3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} (d) f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} Rešenje: (a) Kod f 1 se element t ne javlja kao prva koordinata u paru, tj. pr 1 f 1 = {p, r, s} A, pa f 1 nije funkcija. Može se uočiti da je f 1 jednoznačna korespondencija, pa je parcijalna funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B. Matematička logika 16 Funkcije - I deo
18 Primer funkcije (preslikavanja) (b) Kod f 2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr 1 f 2 = A. Med utim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f 2 nije jednoznačna korespondencija. Prema tome, ni f 2 nije funkcija. (c) Kod f 3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojavljuje tačno jednom kao prva koordinata, što znači da je pr 1 f 3 = A i da je f 3 jednoznačna korespondencija. Dakle, f 3 je funkcija. (d) Kod f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljuje dvaput. To znači da f 4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije. Dakle, ni f 4 nije funkcija. Matematička logika 17 Funkcije - I deo
19 Funkcije označavanje Neka je f funkcija iz skupa A u skup B. Ako je (x, y) f, onda se to beleži sa f(x) = y. Kažemo da se x slika u y, i x se naziva original, a y njegova slika. Skup A se zove domen ili oblast definisanosti funkcije f, dok se B naziva kodomen. A f(a) B Skup f(a) def = {y B y = f(x), za neki x A} je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A. Matematička logika 18 Funkcije - I deo
20 Funkcije označavanje U primeru na slici je f(a) = {1, 0}. A a b c d B Ako je f funkcija iz A u B, to beležimo sa f : A B, a koristi se i oznaka f : x f(x) (za elemente). Matematička logika 19 Funkcije - I deo
21 Zadavanje funkcija Neka su A i B konačni skupovi, pri čemu je A = {a 1, a 2,..., a n }, i neka je f funkcija iz A u B. Tada se funkcija f može predstaviti na sledeći način: ( ) a1 a 2... a n f = f(a 1 ) f(a 2 )... f(a n ) Najčešće uzimamo da je A = {1, 2,..., n}, i u tom slučaju umesto ( ) n f = f(1) f(2)... f(n) ponekad pišemo samo f = ( f(1) f(2)... f(n) ) Matematička logika 20 Funkcije - I deo
22 Jednakost funkcija Funkciju odred uju domen, kodomen i skup ured enih parova, pa se ona može smatrati ured enom trojkom (A, B, f) gde je f korespondencija iz A u B za koju važe uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije. To znači da su dve funkcije jednake ako imaju (1) iste domene, (2) iste kodomene, i (3) iste parove koji su u korespondenciji. Drugim rečima, funkcije f A B i g C D su jednake ako je A = C, B = D i f = g. Matematička logika 21 Funkcije - I deo
23 Još primera funkcija Primer 1.4. a) Ured eni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obrazuju preslikavanje f : R R + {0} iz skupa svih realnih brojeva u skup svih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f(x) = x 2 ili f : x x 2. Tako je y 4 f f( 2) = 2, f(0) = 0, f( 2) = 4, f(2) = 4, itd x Matematička logika 22 Funkcije - I deo
24 Još primera funkcija b) Neka je A = { 1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruži 1, a iracionalnom 1, onda se dobija funkcija iz R u A. c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H A, onda se karakteristična funkcija podskupa H, u oznaci χ H, koja slika A u B definiše sa: χ H (x) def = { 1 ako x H 0 ako x H. Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristična funkcija i obratno. Matematička logika 23 Funkcije - I deo
25 Restrikcija funkcije Ako je f : A B i X je neprazan podskup skupa A, onda definišemo novo preslikavanje f X : X B na sledeći način: za svaki x X je f X (x) def = f(x). Preslikavanje f X nazivamo restrikcija preslikavanja f na X. A f X f X B f(a) Matematička logika 24 Funkcije - I deo
26 Proširenje funkcije Obratno, neka je f : A B i neka je A X. Za preslikavanje F : X B kažemo da je proširenje ili ekstenzija preslikavanja f na skup X ako za svaki x A važi F(x) = f(x). Drugim rečima, F je proširenje od f na X ako se vrednosti preslikavanja F i f poklapaju na A. Takod e, F je proširenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija od F na A. Matematička logika 25 Funkcije - I deo
27 Kompozicija funkcija Neka su dati skupovi A, B i C, i preslikavanja f : A B i g : B C. Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen preslikavanja f, to se preslikavanje g može nadovezati na preslikavanje f. Drugim rečima, može se definisati kompozicija ili proizvod preslikavanja f i g, u oznaci f g, kao preslikavanje iz A u C, definisano sa f g(x) def = g(f(x)). A x f f(x) f g B g g(f(x)) C Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slučaj kompozicije korespondencija, a time i kompozicije relacija. Matematička logika 26 Funkcije - I deo
28 Primer kompozicije funkcija Primer 1.5. Neka je f : Z N funkcija definisana sa f(x) = x 2, a g : N Q je funkcija definisana sa g(x) = x 2. Tada je f g : Z Q funkcija zadata sa (f g)(x) = x2 2. Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je (f g)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x2 2. Matematička logika 27 Funkcije - I deo
29 Primer kompozicije funkcija Primer 1.6. Neka su date funkcije f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x 2. Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f g)(x). (a) 9x 3 + 4x 2 (b) 27x x + 48 (c) 9x (d) 3x 2 + 3x + 4 (e) nijednim od njih Rešenje: Matematička logika 28 Funkcije - I deo
30 Primer kompozicije funkcija Primer 1.6. Neka su date funkcije f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x 2. Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f g)(x). (a) 9x 3 + 4x 2 (b) 27x x + 48 (c) 9x (d) 3x 2 + 3x + 4 (e) nijednim od njih Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b). Matematička logika 28 Funkcije - I deo
31 Primer kompozicije funkcija Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je (f g)(x) = g(f(x)) = g(3x + 4) = 3 (3x + 4) 2 = 3 (9x x + 16) = 27x x + 48 Dakle, (f g)(x) = 27x x + 48, tj. tačno je (b). Matematička logika 29 Funkcije - I deo
32 Primer kompozicije funkcija Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa: f = g = Matematička logika 30 Funkcije - I deo
33 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
34 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Biramo argument 1 u tabeli funkcije f g Matematička logika 31 Funkcije - I deo
35 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f Matematička logika 31 Funkcije - I deo
36 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Nalazimo vrednost f(1) u tabeli funkcije f Matematička logika 31 Funkcije - I deo
37 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Nalazimo vrednost f(1) med u argumentima u tabeli funkcije g Matematička logika 31 Funkcije - I deo
38 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Nalazimo vrednost g(f(1)) u tabeli funkcije g Matematička logika 31 Funkcije - I deo
39 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Vrednost g(f(1)) zapisujemo na odgovarajuće mesto u tabeli funkcije f g Matematička logika 31 Funkcije - I deo
40 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Ponavljamo isti postupak za argument 2 u tabeli funkcije f g... Matematička logika 31 Funkcije - I deo
41 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
42 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
43 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
44 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
45 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
46 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
47 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
48 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
49 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
50 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
51 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
52 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
53 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
54 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
55 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
56 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
57 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
58 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo
59 Komutativni dijagram Ako je f : A B, g : B C i h : A C, onda se to predstavlja dijagramom kao na slici. f A B h C g Ako je pri tome h = f g, kaže se da dijagram komutira. Matematička logika 32 Funkcije - I deo
60 Asocijativnost kompozicije funkcija Kompozicija funkcija može se tretirati kao poseban slučaj kompozicije korespondencija, a ova se dalje može posmatrati kao poseban slučaj kompozicije relacija. Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zaključujemo da su takve i kompozicije korespondencija i funkcija. Med utim, daćemo i direktan dokaz za to. Matematička logika 33 Funkcije - I deo
61 Asocijativnost kompozicije funkcija Tvrd enje 1: Neka je f : A B, g : B C i h : C D. Tada je f (g h) = (f g) h. Dokaz: Domen obe funkcije, f (g h) i (f g) h, je skup A, a kodomen je D. Dalje, za proizvoljan x A je f (g h)(x) = g h(f(x)) = h(g(f(x))), (f g) h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x))), pa je jednakost dokazana. Matematička logika 34 Funkcije - I deo
62 Asocijativnost kompozicije funkcija Asocijativnost kompozicije funkcija može se objasniti i sledećim dijagramom: A f B (f g) h = f (g h) g h f g g D h C Matematička logika 35 Funkcije - I deo
63 Identička funkcija Identičko preslikavanje ili identička funkciju na skupu A je preslikavanje I A : A A definisano sa: I A (x) def = x, za svaki x A. Tvrd enje 2: Neka je f : A B. Tada je I A f = f I B = f. Dokaz: Domen funkcije I A f je očito A, a kodomen B. Dalje je I A f(x) = f(i A (x)) = f(x), tj. I A f = f. Dokaz druge jednakosti je sličan. Matematička logika 36 Funkcije - I deo
64 Levo i desno označavanje Funkcije se u praksi označavanju na dva načina: postoji levo označavanje i desno označavanje. Kod levog označavanja, znak funkcije se piše levo od argumenta, na primer f(x), kako smo to i do sada činili. Ukoliko funkcije označimo grčkim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na koje one deluju latiničnim slovima x, y, z,..., a, b, c,..., tada ne moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) možemo pisati samo ϕx. Kod desnog označavanja, znak preslikavanja se piše desno od argumenta, na primer xϕ. Takvo označavanje se ponegde zove još i Poljska notacija, jer ju je uveo Poljski matematičar - logičar Lukašijevič. Matematička logika 37 Funkcije - I deo
65 Levo i desno označavanje U slučaju levog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja ϕ : A B i ψ : B C je preslikavanje ϕ ψ : A C definisano sa (ϕ ψ)x def = ψ(ϕx). U slučaju desnog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja ϕ : A B i ψ : B C je preslikavanje ϕ ψ : A C definisano sa x(ϕ ψ) def = (xϕ)ψ. Dakle, ovde nema izvrtanja simbola ϕ i ψ. Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matematičkoj analizi. Prednost je, inače, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na primer, koristi više nego leva notacija. Matematička logika 38 Funkcije - I deo
66 Injektivne ("1-1") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je injektivno, 1 1 (to čitamo jedan-jedan ), ili da je injekcija, ako za sve x 1, x 2 A važi što je ekvivalentno sa x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Drugim rečima, nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A x 1 x 2 f y B Matematička logika 39 Funkcije - I deo
67 Injektivne ("1-1") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je injektivno, 1 1 (to čitamo jedan-jedan ), ili da je injekcija, ako za sve x 1, x 2 A važi što je ekvivalentno sa x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Drugim rečima, nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A x 1 x 2 f y B Matematička logika 39 Funkcije - I deo
68 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Matematička logika 40 Funkcije - I deo
69 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B Matematička logika 40 Funkcije - I deo
70 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo
71 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo
72 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo
73 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A x y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo
74 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A x y za svaki y B tako da je f(x) = y Matematička logika 40 Funkcije - I deo
75 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A f x y za svaki y B tako da je f(x) = y Matematička logika 40 Funkcije - I deo
76 Sirjektivne ("na") funkcije Drugim rečima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A f B f(a) Matematička logika 41 Funkcije - I deo
77 Sirjektivne ("na") funkcije Drugim rečima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A f B f(a) Matematička logika 41 Funkcije - I deo
78 Primeri "1-1" i "na" funkcija Matematička logika 42 Funkcije - I deo
79 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B Matematička logika 42 Funkcije - I deo
80 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B Primer 1-1 funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo
81 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo
82 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo
83 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo
84 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B A Primer 1-1 funkcije f B Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo
85 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B A Primer 1-1 funkcije f B Primer funkcije koja nije 1-1 Primer na funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo
86 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo
87 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Primer funkcije koja nije na Matematička logika 42 Funkcije - I deo
88 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Primer funkcije koja nije na Matematička logika 42 Funkcije - I deo
89 Bijektivne funkcije Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kažemo da je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B. Identička funkcija I A na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A. Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija iz A u A. Bijekcija iz skupa A u sebe samog naziva se permutacija tog skupa. A f B Primer permutacije Matematička logika 43 Funkcije - I deo
90 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije Primer 4: a) Funkcija f : R R, definisana sa f(x) = 2 x, je injektivna, jer iz x 1 x 2 sledi 2 x1 2 x 2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi, kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom. Ako se kodomen R zameni sa R +, onda je ova funkcija takod e i sirjektivna, tj. bijekcija je. b) Funkcija f : R R + {0}, definisana sa f(x) = x 2, je sirjektivna, jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja a. Budući da se u a preslikava i a, ova funkcija nije injektivna. Matematička logika 44 Funkcije - I deo
91 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije Primer 1.8. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od sledećih korespondencija u A B je funkcija koja nije ni injektivna ni sirjektivna? (a) {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)} (b) {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} (c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} (d) nijedna od njih Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b). Matematička logika 45 Funkcije - I deo
92 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije (a) Korespondencija {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslova iz definicije funkcije: svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata, nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata. Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q. Med utim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan element ne javlja dvaput. Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava tražene uslove. Matematička logika 46 Funkcije - I deo
93 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije (b) Korespondencija {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslova iz definicije funkcije: svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata, nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata. Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata. Takod e, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljaju elementi q i r. Dakle, ova funkcija ima tražena svojstva. (c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A, element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznačna. Matematička logika 47 Funkcije - I deo
94 Permutacije Neka je funkcija f : A B, gde je A = {1, 2,..., n}, zadata sa ( ) n f = f(1) f(2)... f(n) Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan način može uočiti da li je f injektivna ili sirjektivna funkcija. Naime: f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj vrsti ove matrice med usobno različite. f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B. Matematička logika 48 Funkcije - I deo
95 Permutacije Zadatak 1.1. Neka je A konačan skup i f : A A. Dokazati da su sledeći uslovi ekvivalentni: (i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija. Rešenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii). Neka je A = {1, 2,..., n}. Posmatrajmo niz vrednosti f(1), f(2),..., f(n) Ako je f injekcija, tada su svi članovi ovog niza med usobno različiti, pa kako niz ima n članova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A, što znači da je f sirjekcija. Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko članova koliko i skup A, to znači da su svi njegovi članovi različiti, odakle sledi da je f injekcija. Matematička logika 49 Funkcije - I deo
96 Svojstva injekcija i sirjekcija Tvrd enje 3: Neka je f : A B i g : B C. (a) Ako su f i g injekcije, onda je i f g injekcija. (b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f g sirjekcija. Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x 1, x 2 A. Tada f g(x 1 ) = f g(x 2 ) g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) (definicija kompozicije) f(x 1 ) = f(x 2 ) (injektivnost za g) x 1 = x 2 što znači da je i f g injekcija. (injektivnost za f), Matematička logika 50 Funkcije - I deo
97 Svojstva injekcija i sirjekcija (b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z C. Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y B tako da je z = g(y), a zbog sirjektivnosti za f, postoji x A tako da je y = f(x). Odatle je z = g(y) = g(f(x)), tj. z = f g(x), pa je i f g sirjekcija. Posledica: Kompozicija bijekcija je takod e bijekcija. Matematička logika 51 Funkcije - I deo
98 Svojstva injekcija i sirjekcija Tvrd enje 4: Neka je f : A B i g : B C. (a) Ako je f g injekcija, onda je i f injekcija. (b) Ako je f g sirjekcija, onda je i g sirjekcija. Dokaz: (a) Neka je f g injekcija neka su x 1, x 2 A elementi takvi da je f(x 1 ) = f(x 2 ). Tada je g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )), zbog jednoznačnosti za g, tj. f g(x 1 ) = f g(x 2 ), odakle je x 1 = x 2, zbog injektivnosti za f g. Ovim smo dokazali injektivnost za f. Matematička logika 52 Funkcije - I deo
99 Svojstva injekcija i sirjekcija (b) Neka je f g sirjekcija i z C. Tada postoji x A, tako da je f g(x) = z, odnosno g(f(x)) = z. S obzirom da je f(x) = y B, to sledi da za z C postoji y B, tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija. Matematička logika 53 Funkcije - I deo
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Funkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Relacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
ELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
ELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
ELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Dimenzija vektorskog prostora
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Binarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović
SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Granične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Algebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
ELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Skupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
KURS IZ MATEMATIKE I
UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
ELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
ELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa