Iskazna logika. October 26, Počeci logike i matematičke logike
|
|
- Ê Μοσχοβάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Iskazna logika October 26, Počeci logike i matematičke logike Prvi narod u istoriji koji se bavio problemima ispravnog zaključivanja bili su Stari Grci. Zahvaljujući svom društvenom ured enju, koje je ohrabrivalo slobodne ljude da raspravljaju i dokazuju da su u pravu, oni su postavili temelje logike, pre svega kao dela filozofije. U tom smislu, Grčki filozofinaučnici se mogu smatrati za začetnike logike kao nauke - to su prve svega Tales, Pitagora, Parmenid, Zenon, Protagora, Sokrat, Platon i Aristotel. Jedna posebna grupa filozofa, tzv. sofisti, bavila se podučavanjem veštine raspravljanja, koja je Starim Grcima bila korisna prilikom učešća u upravljanju gradom-polisom, kao i u ličnim sporovima, u kojima su, pred nekom vrstom suda, svoja prava morali sami braniti. Oni, koji su bili veštiji u baratanju sa rečima i zakonima pravilnog zaključivanja, imali su svakako prednost nad onima koji te veštine nisu imali. Sofisti su takod e postali poznati po svojim iščašenim pričama, tzv. sofizmima, u kojima se polazeći od prividno istinitih pretpostavki, po pravilima logičkog zaključivanja, stiže do apsurdnih zaključaka. Aristotel je, verovatno motivisan izmed u ostalog i takvim sofizmima, sakupio i katalogizirao sve tada poznate šeme ispravnog, logičkog zaključivavnja u svom delu Organon. Aristotelova logika, poznata i pod nazivom Aristotelova teorija silogizama, činila je skoro dve hiljada godina obavezan deo svakog ozbiljnog obrazovanja. Prvi značajniji pomak u logici kao nauci, posle stotina i stotina godina mračnog srednjeg veka, možemo otkriti u delima naučnika-filozofa, pre svega kod Dekarta i Leibniza. Dekart je zastupao stanovište, da se matematički način razmišljanja mora primenjivati i u ostalim naukama, ako želimo da 1
2 2 dod emo do pravih istina. Pri tome, ne treba verovati nikakvim autoritetima, nego se jedino treba oslanjati na svoj sopstveni razum i moć logičkog zaključivanja. Leibniz je imao još ambiciozniji projekat: želelo je da stvori jedan univerzalni formalni račun, Characteristica Universalis, nalik na matematiku, u kome bi svi objekti, pojmovi i relacije imale svoje oznake, i u kome bi sve istine mogle biti izražene, a razni sporovi med u filozofima, naučnicima ili političarima mogli biti razrešeni prostim računom. Zbog tih svojih ideja, Leibniz se ponekad smatra za pra-oca matematičke logike. Zvanično, prava matematička logika stiže sa radovima Georgea Boolea, u 19. veku. On je u svojoj teoriji (tzv. račun klasa) razvio dve ideje: prvo, da prilikom rada sa iskazima, treba koristiti oznake, i drugo, da zakoni mišljenja imaju zapanjujuće mnogo sličnosti sa zakonima aritmetike. Korišćenjem tri fundamentalne operacije med u klasama, koje mi danas zovemo unija, presek, komplement, on je zapisao i dokazao osnovne zakone iskaznog računa - danas su ti identiteti poznati pod nazivom aksiome Booleove algebre. Mi ćemo početi izučavanje matematičke logike upravo Booleovim tragom - ispitujući prvo zakone ispravnog mišljenja u logici iskaza. 2 Logika iskaza Pre nego što krenemo da izgrad ujemo iskaznu logiku (kao formalnu, matematičku teoriju), podsetimo se osnovnih pojmova logike iskaza (neformalne teorije koja predstavlja najjednostavniji deo logike). Osnovni pojmovi logike iskaza su: iskaz, istinitosna vrednost iskaza, logički veznici. Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze. Logički veznici koje ćemo ovde razmatrati su: i, ili, ako...onda, ako i samo ako (binarni veznici), i nije (unarni veznik): konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q,
3 3 implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q, negacija iskaza p je iskaz : nije p. Istinitosna vrednost složenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednosti iskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeći način: iskaz p i q je tačan ako i samo ako su i p i q tačni, iskaz p ili q je netačan ako i samo ako su i p i q netačni, iskaz ako p onda q je netačan ako i samo ako je p tačan a q netačan, iskaz p ako i samo ako q je tačan ako i samo ako iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost, iskaz nije p je tačan ako i samo ako je iskaz p netačan. Osnovni pojam koji želimo formalizovati je pojam logičke posledice: Neka je Σ neki skup iskaza. Kažemo da je iskaz p logička posledica od Σ ako je iskaz p nužno tačan svaki put kada su svi iskazi iz skupa Σ tačni. U tom slučaju takod e kažemo da je zaključivanje iz Σ sledi p (logički) ispravno. Primer 1 Posmatrajmo sledeće zaključivanje: Ako poplava uništi vašu kuću ili ako ona izgori u požaru, osiguravajuće društvo će vam platiti. Prema tome, ako vam osiguravajuće društvo nije platilo, onda vam poplava nije uništila kuću i ona nije izgorela u požaru. Ovo zaključivanje je ispravno, jer bez obzira na tačnost iskaza koji su navedeni, zaključak će biti tačan, pod uslovom da je pretpostavka tačna. Primer 2 Posmatrajmo sledeće zaključivanje: Ako je neko talentovan i vredan, postaće slavan. Svi slavni ljudi su bogati. Ja nisam bogat. Dakle, ja nisam talentovan i nisam vredan. Ovo zaključivanje nije ispravno, jer može da se desi da samo recimo nisam vredan, a jesam talentovan, pa da su sve pretpostavke tačne, a zaključak nije tačan.
4 4 3 Sintaksa iskazne logike Iskazna logika nastaje formalizacijom ( matematizacijom ) logike iskaza. Prvo ćemo definisati jezik iskazne logike. U opštem slučaju, azbuka (ili alfabet) je skup simbola - znakova koji su nedeljivi. Ako je A neka azbuka, svaki konačan niz simbola iz A zovemo reč nad A. Svaki podskup skupa svih reči nad A jeste jezik nad A. Dakle, da bismo definisali jezik iskazne logike, potrebno je zadati odgovarajuću azbuku, i izdvojiti skup onih reči nad tom azbukom, koje ćemo smatrati da su dobro formirani izrazi (tzv. iskazne formule). Definicija 1 Standardna azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: prebrojiv skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ). Standardnu azbuku iskazne logike ćemo obeležavati sa L, i u daljem tekstu, ako drugačije ne kažemo, smatraćemo da je S = {p 1, p 2,..., p n,... }. Definicija 2 Skup iskaznih formula je najmanji skup reči nad azbukom L koji zadovoljava sledeće uslove: 1. Sva iskazna slova su iskazne formule; 2. Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A) Ovako definisan skup svih iskaznih formula zovemo i standardan skup iskaznih formula i obeležavamo sa F orm. Umesto ovako definisanih iskaznih formula, ponekad je zgodno iskazne formule definisati na drugi način, korišćenjem tzv. poljske (prefiksne) notacije. U toj notaciji simboli logičkih operacija se pišu ispred (a ne izmed u) iskaznih
5 5 slova na koje utiču, pa je na taj način izbegnuto korišćenje zagrada. No, iako takav način zapisivanja iskaznih formula ponekad ima svoje prednosti, većini ljudi je mnogo lakše čitati i razumeti iskazne formule opisane Definicijom 2. Uobičajeno je da se prilikom rada u iskaznoj logici pridržavamo sledećih dogovora: radi jednostavnosti, možemo brisati spoljne zagrade kod formula; da bismo koristili što manje zagrada, dogovor je da je prioritet logičkih operacija sledeći:, zatim,, i na kraju, ; umesto iskazna formula govorićemo samo formula. Kako su formule reči (izrazi konačne dužine), u svakoj formuli učestvuje samo konačno mnogo iskaznih slova. Po dogovoru, zapis A = A(p 1, p 2,..., p n ) će značiti da su sva iskazna slova formule A u skupu {p 1, p 2,..., p n }. Vrlo često ćemo prilikom dokazivanja raznih osobina formula koristiti tzv. dokaz po složenosti iskaznih formula. Naime, ako treba dokazati da neka osobina O važi za sve iskazne formule, dovoljno je dokazati da tu osobinu imaju sva iskazna slova (baza indukcije), i da iz pretpostavne da formule A i B imaju osobinu O sledi da i formule A B, A B, A B, A B, A imaju tu osobinu (indukcijski korak). Drugim rečima, važi sledeća teorema: Teorema 1 Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula F orm tako da važe sledeći uslovi: S O, Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule pripadaju skupu O. Tada je O = F orm. A B, A B, A B, A B, A
6 6 Dokaz. Primetimo da skup formula O zadovoljava oba uslova iz Definicije 2. Kako je F orm najmanji skup reči koji zadovoljava ta dva uslova, sledi da je F orm O, iz čega sledi O = F orm. 4 Interpretacije Za definiciju semantike Iskazne logike koristićemo jednu veoma jednostavnu, dvoelementnu algebru, čije elemente možemo označiti na primer sa 0 i 1, ili T i F, ili kao što ćemo mi, sa i. Ta algebra će imati četiri binarne operacije i jednu unarnu, koje bismo trebali, u principu, označiti nekim simbolima koji se razlikuju od simbola logičkih operacija. No, mi ćemo ih označiti istim simbolima (jer će, na kraju krajeva, simbol logičke operacije da se interpretira kao njegov odgovarajući par iz kolekcije operacija iskazne algebre), s tim da ćemo imati u vidu da se radi o različitim pojmovima. Definicija 3 Iskazna algebra je algebra I = {, },,,,,, gde su operacije,,, binarne, a unarna operacija, definisane svojim Cayleyevim tablicama na sledeći način: p p Definicija 4 Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S {, }. Ako je p S, za τ(p) kažemo da je vrednost tog iskaznog slova u valuaciji τ. Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jeste preslikavanje v τ : F orm {, } koje je definisano na sledeći način: ako su A i B iskazne formule, onda ako je p S iskazno slovo, onda v τ (p) = τ(p), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B),
7 7 v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ ( A) = v τ (A). Za v τ (A) kažemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili u interpretaciji v τ ). Ukoliko je v τ (A) =, kažemo da je formula A u toj valuaciji (interpretaciji) tačna, a ako je v τ (A) =, da je netačna. Nije teško uvideti da za datu valuaciju τ postoji jedna i samo jedna interpretacija (tj. jedna funkcija koja proširuje preslikavanje τ sa skupa S na ceo skup F orm). Teorema 2 Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A. Dokaz. Neka je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka iskazna formula, i neka su τ i τ dve valuacije, takve da imaju istu vrednost za sva iskazna slova koja figurišu u A. Tada se indukcijom po složenosti iskazne formule A lako dokazuje da je v τ (A) = v τ (A). Definicija 5 Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {, } n {, }, gde n 1. Ako je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka formula, onda istinitosna funkcija indukovana sa A jeste funkcija f A : {, } n {, } takva da za sve a 1, a 2,..., a n {, } važi f A (a 1, a 2,..., a n ) = v τ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(p i ) = a i, za sve i {1, 2,..., n}. Prema tome, imajući u vidu da vrednost formule ne zavisi od vrednosti onih iskaznih slova koje ne učestvuju u formuli, istinitosna funkcija indukovana datom formulom pokazuje koje vrednosti ta formula može imati za sve moguće valuacije. Po dogovoru, umesto da uvodimo novu oznaku (f A ) za tako indukovanu istinitosnu funkciju, umesto f A (a 1,..., a n ) možemo pisati samo A(a 1,..., a n ). Indukovanu istinitosnu funkciju najpreglednije je predstaviti tzv. istinitosnom tablicom, u kojoj ćemo sistematično ispisati sve moguće kombinacije vrednosti za ona iskazna slova, koja učestvuju u formuli. Ako imamo n različitih iskaznih slova, istinitosna tablica će imati 2 n vrsta.
8 8 Primer 3 Neka je A = (p 2 p 5 ) p 3. Tada, radi jednostavnosti, označimo iskazna slova p 2, p 5 i p 3 redom slovima p, q, r. Tako, formulu A zapisujemo kao A = (p q) r. Vrednost formule A zavisi samo od vrednosti iskaznih slova p, q, r, pa će odgovarajuća istinitosna tablica izgledati ovako: p q r p q (p q) r Definicija 6 Kažemo da je iskazna formula A zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule tačna, oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule netačna, tautologija ili valjana formula je tačna za sve valuacije, kontradikcija ako je njena vrednost netačna za sve valuacije. Problem da li je data iskazna formula zadovoljiva označava se sa SAT (Satisfiability Problem). Ispostavilo se da je problem SAT veoma značajan u teoriji složenosti algoritama. Prvo, još uvek nije pronad en algoritam koji bi taj problem rešio u polinomnom vremenu (metod istinitosnih tablica ima eksponencijalnu složenost). Važi i više od toga: SAT problem spada u klasu tzv. NP-kompletnih problema, što intuitivno znači da ako se za taj problem pronad e algoritam polinomne složenosti, tada su klase P i NP jednake, tj. svaki problem složenosti NP se može rešiti u polinomnom vremenu. 5 Tautologije, logička ekvivalencija Tautologije možemo shvatiti kao zakone mišljenja. Neke od njih koristimo (nesvesno) i u svakodnevnom rezonovanju. Naravno, matematičari ih koriste
9 9 češće od ostalih, jer je priroda matematičkih dokaza takva da zahtevaju čistu logičku strukturu. U sledećoj teoremi smo naveli prvih 16 najčešće korišćenih tautologija, od kojih su poneke poznate i po svojim latinskim nazivima: Teorema 3 Sledeće formule su tautologije: 1. p p Zakon dvojne negacije 2. p p Tertium non datur 3. (p p) Zakon neprotivrečnosti 4. (p (p q)) q Modus Ponens 5. ((p q) q) p Modus Tollens 6. (p q) ( q p) Kontrapozicija 7. (p q) p q De Morganov zakon za 8. (p q) p q De Morganov zakon za 9. ((p q) (q r)) (p r) Zakon silogizma 10. ( p (q q)) p Reductio ad absurdum 11. p (p q) Ex falso quolibet 12. p (q p) Verum ex quolibet 13. ((p r) (q r)) ((p q) r) Zakon nabrajanja 14. (p q) ((q r) (p r)) Tranzitivnost za 15. ((p q) (q r)) (p r) Tranzitivnost za 16. ((p q) p) p Pierceov zakon Dokaz. Direktnom proverom. Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema 4 Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takod e tautologija. Dokaz. Lako je uvideti da je vrednost formule A(B 1, B 2,..., B n ) za svaku valuaciju uvek.
10 10 Definicija 7 Za dve formule A i B kažemo da su logički ekvivalentne ako je formula A B tautologija. U tom slučaju pišemo A B. Važno je primetiti sledeće: A B je formula, koja može imati različite istinitosne vrednosti za različite valuacije, dok izraz A B znači da formule A i B imaju istu vrednost za svaku valuaciju. Naravno, na skupu svih iskaznih formula F orm relacija je relacija ekvivalencije, tj. ona je refleksivna, simetrična i tranzitivna: za sve formule A, B, C važi A A, ako A B onda B A, ako A B i B C onda A C. U sledećoj teoremi smo naveli najpoznatije logički ekvivalencije. Teorema 5 Neka su A, B i C proizvoljne formule. Tada važi: 1. A A A Idempotentnost konjunkcije 2. A A A Idempotentnost disjunkcije 3. A B B A Komutativnost konjunkcije 4. A B B A Komutativnost disjunkcije 5. A B B A Komutativnost ekvivalencije 6. (A B) C A (B C) Asocijativnost konjunkcije 7. (A B) C A (B C) Asocijativnost disjunkcije 8. (A B) C A (B C) Asocijativnost ekvivalencije 9. A (A B) A Apsorpcija prema 10. A (A B) A Apsorpcija prema 11. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema 12. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema U sledećoj teoremi su prikazane veze izmed u logičkih operacija, koje ćemo u daljem vrlo često koristiti: Teorema 6 Za proizvoljne iskazne formule A i B važi: A B A B A B (A B) A B A B A B (A B) A B ( A B) A B ( A B) A B (A B) (B A) A B ( A B) ( B A)
11 11 Dokaz. Direktnom proverom. Jedan od veoma često korišćenih tehnika u logici iskaza je tzv. ekvivalencijska transformacija formula. Neformalno rečeno, to je postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula, tako da se u svakom koraku iskoristi Teorema 4 ili se neka potformula zameni njoj ekvivalentnom formulom. Definicija 8 Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F ; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F. Rezultat zamene svih pojavljivanja potformule C u formuli A iskaznom formulom D obeležavamo sa A[C D] (ovaj pojam se može definisati i formalnije, indukcijom po složenosti formula). Sada možemo dokazati sledeću teoremu: Teorema 7 Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formula tako da je C D tada je A A[C D]. Prilikom logičkih transformacija formula pokazalo se korisnim da uvedemo posebnu oznaku za dve logičke konstante - jednu koja će uvek biti interpretirana kao, i druga koja će uvek biti interpretirana sa. Kada bismo se trudili da po svaku cenu izbegnemo moguću konfuziju, te dve logičke konstante bismo trebali označiti potpuno novim simbolima, recimo kao i, ili true i false. No, mi ćemo ih, radi jednostavnosti, označiti kao i njihove interpretacije, tj. kao i. Definicija 9 Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula F orm je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi:
12 12 1. Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule; 2. Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A) Valuacija τ odnosno odgovarajuća interpretacija v τ iskaznih formula na proširenoj azbuci se definiše na isti način kao na standardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ važi da je v τ ( ) = i v τ ( ) =. Ovako dobijen jezik nazivamo prošireni jezik iskazne logike. Na proširenom jeziku iskazne logike možemo navesti još nekoliko važnih logičkih ekvivalencija. Teorema 8 Neka su A, B, C iskazne formule na proširenom jeziku iskazne logike. Tada važi: A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Dokaz. Direktnom proverom. U daljem tekstu, ako ne kažemo drugačije, radićemo na proširenom jeziku iskazne logike.
Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. Madarász Sz. Rozália. Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu
Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu Matematička logika Madarász Sz. Rozália Novi Sad, novembar 2012. Predgovor Ovaj tekst je pomoćni materijal koji
Διαβάστε περισσότεραOsnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.
Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne
ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,
Διαβάστε περισσότερα8 Predikatski račun kao deduktivni sistem
26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka
Διαβάστε περισσότεραTvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.
Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPredikatska logika. January 8, 2012
Predikatska logika January 8, 2012 1 O predikatskoj logici Pre nego što počnemo razmatranje predikatske logike, zadržimo se na nekoliko napomena koje će, nadamo se, pomoći da se rasčiste pre svega terminološke
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραDiskretna Matematika
Diskretna Matematika Iskazni Račun Žarko Mijajlović Zoran Petrović Maja Roslavcev........................... Matematički fakultet Beograd 2011 2 Glava 1 Iskazni račun Matematička logika najčešće se definiše
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα1.1 Iskazni (propozicioni) račun
1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili
Διαβάστε περισσότεραNapravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju.
Predikatske formule rekapitulacija Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Izraz je proizvoljan niz simbola. Naravno, većina izraza nema nikakav
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPredikatska logika - III deo. Jelena Ignjatović
Predikatska logika - III deo Jelena Ignjatović Termi i formule Matematički izrazi i formule Matematičke izraze i formule gradimo od raznorodnih elemenata. Osnovni elementi matematičkih izraza i formula
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα[1] Formalni jezik iskazne logike
[1] Formalni jezik iskazne logike Svaka formalna teorija (formalni sistem) sastoji se iz tri komponente: formalnog jezika, aksioma i pravila izvođenja (zaključivanja) Formalni jezik [4] sastoji se iz osnovnih
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραSintaksa i semantika u logici
Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova
Διαβάστε περισσότεραVremenske i prostorne klase složenosti
Vremenske i prostorne klase složenosti N. Ikodinović ikodinovic@matf.bg.ac.rs 26. 12. 2017. (Matematički fakultet, Beograd) 26. 12. 2017. 1 / 21 Pregled predavanja (Matematički fakultet, Beograd) 26. 12.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραBiblioteka Prirodno - matematičkih nauka
Uvod u logiku Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka Prof. dr Žana Kovijanić Vukićević Prof. dr Slobodan Vujošević UVOD U LOGIKU Drugo izdanje Glavni urednik Prof. dr Ilija Vujošević Recenzenti Prof.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα6 Preneksna forma i skolemizacija
20 6 Preneksna forma i skolemizacija Dve korisne tehnike koje možemo koristiti prilikom rešavanja različitih problema u predikatskoj logici jesu konstrukcija preneksne forme date formule, kao i tzv. skolemizacija.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραPredikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović
Predikatska logika - II deo Jelena Ignjatović Logika i teorija skupva Ugnježdeni kvantifikatori Ugnježdeni kvantifikatori U matematici i informatici se često sreću kvantifikatori koji se javljaju u oblasti
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραKURS IZ MATEMATIKE I
UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRezolucija u predikatskoj logici
Rezolucija u predikatskoj logici April 18, 2012 1 Uvod Kao što smo rekli u Sekciji 13 (Rezolucija u iskaznoj logici), metod rezolucije je postupak za dokazivanje da je neka (iskazna ili predikatska) formula
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραO SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,
O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE
LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE Igor Ž. Milovanović Ružica M. Stanković Emina I. Milovanović Branislav M. Randjelović Sadržaj 1 Elementi matematičke logike 5 1.1 Iskaz i predikat.............................
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016.
Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016. 1. Na jeziku L = { }, gde je binarni relacijski simbol, posmatrajmo teoriju T koju qine sledee dve aksiome teorije skupova: x y (y x); i xy (x
Διαβάστε περισσότεραAutomatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda Filip Marić Milan Banković Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Proletnji semestar 2018. Uvod Pregled 1 Uvod 2 Sintaksa
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραОво дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1.
Ово дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1. This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα