Sintaksa i semantika u logici
|
|
|
- Ξάνθη Βαρνακιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51
2 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova 1.3. Sintaksa račun sudova 2. Logika prvog reda 2.1. Sintaksa jezik 2.2. Semantika logike prvog reda 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda 3. Modalna logika 3.1. Modalni sistem K 3.2. Kripkeova semantika Sintaksa i semantika u logici 2 / 51
3 1.1. Sintaksa jezik 1. L O G I K A S U D O V A Intuitivni pojam suda Sintaksa logike sudova Osnovni pojmovi: alfabet, riječ, konkatenacija, podriječ Sintaksa i semantika u logici 3 / 51
4 1.1. Sintaksa jezik Definicija 1 Alfabet logike sudova je unija skupova A 1, A 2 i A 3, pri čemu je: A 1 = {P 0, P 1, P 2,...} prebrojiv skup čije elemente nazivamo propozicionalne varijable A 2 = {,,,, } skup logičkih veznika A 3 = {( ), } skup pomoćnih simbola (zagrade i zarez). Sintaksa i semantika u logici 4 / 51
5 1.1. Sintaksa jezik Logičke veznike redom nazivamo: negacija konjunkcija disjunkcija kondicional bikondicional Sintaksa i semantika u logici 5 / 51
6 1.1. Sintaksa jezik Definicija 2 Atomarna formula logike sudova je svaka propozicionalna varijabla. Pojam formule logike sudova definiramo rekurzivno: a) svaka atomarna formula je formula; b) ako su A i B formule tada su i riječi ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; c) riječ alfabeta logike sudova je formula ako je nastala primjenom konačno mnogo koraka uvjeta a) i b). Sintaksa i semantika u logici 6 / 51
7 1.2. Semantika logike sudova 1.2. Semantika logike sudova Neka je A formula logike sudova te neka je {P 1,..., P n } skup svih propozicionalnih varijabli koje se pojavljuju u A. To kratko označavamo sa A(P 1,... P n ). Definicija 3 Svako preslikavanje sa skupa svih propozicionalnih varijabli u skup {0, 1}, tj. I : {P 0, P 1,...} {0, 1} nazivamo totalna interpretacija ili kratko interpretacija. Sintaksa i semantika u logici 7 / 51
8 1.2. Semantika logike sudova Ako je preslikavanje definirano na podskupu skupa propozicionalnih varijabli tada kažemo da je to parcijalna interpretacija. Kažemo da je parcijalna interpretacija I adekvatna za formulu A(P 1,..., P n ) ako je funkcija I definirana na P i za sve i = 1,..., n. Sintaksa i semantika u logici 8 / 51
9 1.2. Semantika logike sudova Definicija 4 Neka je I interpretacija (totalna ili parcijalna). Ako se radi o parcijalnoj interpretaciji I smatramo da je I adekvatna za formule na kojima se definira njena vrijednost. Tada vrijednost interpretacije I na proizvoljnoj formuli A, u oznaci I (A), definiramo rekurzivno: I ( A) = 1 ako i samo ako I (A) = 0; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = 1 i I (B) = 1; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = 1 ili I (B) = 1; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = 0 ili I (B) = 1; I (A B) = 1 ako i samo ako I (A) = I (B). Sintaksa i semantika u logici 9 / 51
10 1.2. Semantika logike sudova Preglednije je vrijednost interpretacije na formulama definirati pomoću tablica koje se nazivaju semantičke tablice. Tada se vrijednosti interpretacije za složenije formule mogu definirati i ovako: P Q P P Q P Q P Q P Q Sintaksa i semantika u logici 10 / 51
11 1.2. Semantika logike sudova Definicija 5 Ako je vrijednost interpretacije I na formuli jednaka 1, tj. I (F ) = 1, tada kažemo da je formula F logike sudova istinita za interpretaciju I. Ako je I (F ) = 0 tada kažemo da je formula F logike sudova neistinita za interpretaciju I. Sintaksa i semantika u logici 11 / 51
12 1.2. Semantika logike sudova Definicija 6 Za formulu F logike sudova kažemo da je ispunjiva, odnosno oboriva, ako postoji interpretacija I tako da vrijedi I (F ) = 1, odnosno I (F ) = 0. Za formulu F logike sudova kažemo da je valjana ili tautologija ako je istinita za svaku interpretaciju. Za formulu F logike sudova kažemo da je antitautologija ako je neistinita za svaku interpretaciju. Sintaksa i semantika u logici 12 / 51
13 1.2. Semantika logike sudova Napomena 1 Normalne forme u logici sudova: konjunktivna i disjunktivna dobra tema za nastavu logike u srednjoj školi. Sintaksa i semantika u logici 13 / 51
14 1.3. Sintaksa račun sudova 1.3. Sintaksa račun sudova Definicija 7 Sistem RS zadan je svojim shemama aksioma i jednim pravilom izvoda. Sheme aksioma sistema RS su: (A1) A (B A) (A2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (A3) ( B A) (A B) Jedino pravilo izvoda je modus ponens ili kratko mod pon tj. A A B. B Svaku instancu neke od shema (A1) (A3) nazivamo aksiom. Sintaksa i semantika u logici 14 / 51
15 1.3. Sintaksa račun sudova Definicija 8 Kažemo da je niz formula F 1,..., F n dokaz za formulu F u sistemu RS ako vrijedi: a) formula F n je upravo F, tj. vrijedi F n F ; b) za sve k {1,..., n} formula F k je ili aksiom ili je nastala primjenom pravila modus ponens na neke formule F i i F j, gdje su i, j < k. Kažemo da je formula F teorem sistema RS ako u RS postoji dokaz za F. Sintaksa i semantika u logici 15 / 51
16 1.3. Sintaksa račun sudova Teorem 1 (Teorem adekvatnosti za sistem RS) Svaki teorem sistema RS je valjana formula. Sintaksa i semantika u logici 16 / 51
17 1.3. Sintaksa račun sudova Teorem 2 (Teorem potpunosti za sistem RS) Svaka valjana formula logike sudova je teorem sistema RS. Sintaksa i semantika u logici 17 / 51
18 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51
19 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51
20 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51
21 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51
22 1.3. Sintaksa račun sudova Rezime o logici sudova Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem tautologija teorem potpunosti testovi valjanosti JEZIK normalne forme relacija logičke posljedice formula, potformula,... istinitost formula alfabet logike sudova interpretacije Sintaksa i semantika u logici 18 / 51
23 1.3. Sintaksa račun sudova Napomena 2 Sistem prirodne dedukcije... Sintaksa i semantika u logici 19 / 51
24 2.1. Sintaksa jezik 2. LOGIKA PRVOG REDA 2.1 Sintaksa logike prvog reda Definicija 9 Alfabet A logike prvog reda je unija skupova A 1,..., A 6 gdje su redom skupovi A i definirani s: A 1 = {v 0, v 1,...}, prebrojiv skup čije elemente nazivamo individualne varijable. A 2 = {,,,,,, }, skup logičkih simbola, koje redom nazivamo: negacija, konjunkcija, disjunkcija, kondicional, bikondicional, univerzalni i egzistencijalni kvantifikator. Sintaksa i semantika u logici 20 / 51
25 2.1. Sintaksa jezik A 3 = {R n k k : k N}, skup čije elemente nazivamo relacijski simboli. Prirodan broj n k naziva se mjesnost relacijskog simbola. Pretpostavljamo da za svaki j N ovaj skup sadrži prebrojivo mnogo relacijskih simbola mjesnosti j. A 4 = {f m k k : k J}, skup čije elemente nazivamo funkcijski simboli. Prirodan broj m k naziva se mjesnost funkcijskog simbola. Pretpostavljamo da za svaki j N ovaj skup sadrži prebrojivo mnogo funkcijskih simbola mjesnosti j. Sintaksa i semantika u logici 21 / 51
26 2.1. Sintaksa jezik A 5 = {c k : k N}, skup čije elemente nazivamo konstantski simboli. A 6 = {( ), }, skup pomoćnih simbola (lijeva i desna zagrada, te zarez). Uniju skupova relacijskih, funkcijskih i konstantskih simbola nazivamo još skup nelogičkih simbola. Sintaksa i semantika u logici 22 / 51
27 2.1. Sintaksa jezik Definicija 10 Term je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka individualna varijabla i konstantski simbol su termi; ako je f n neki n mjesni funkcijski simbol i t 1,..., t n su termi, tada je riječ f n (t 1,..., t n ) term; riječ je term ako i samo ako je nastala pomoću konačno mnogo primjena prethodno dva navedena pravila. Sintaksa i semantika u logici 23 / 51
28 2.1. Sintaksa jezik Definicija 10 Term je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka individualna varijabla i konstantski simbol su termi; ako je f n neki n mjesni funkcijski simbol i t 1,..., t n su termi, tada je riječ f n (t 1,..., t n ) term; riječ je term ako i samo ako je nastala pomoću konačno mnogo primjena prethodno dva navedena pravila. Sintaksa i semantika u logici 23 / 51
29 2.1. Sintaksa jezik Definicija 10 Term je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka individualna varijabla i konstantski simbol su termi; ako je f n neki n mjesni funkcijski simbol i t 1,..., t n su termi, tada je riječ f n (t 1,..., t n ) term; riječ je term ako i samo ako je nastala pomoću konačno mnogo primjena prethodno dva navedena pravila. Sintaksa i semantika u logici 23 / 51
30 2.1. Sintaksa jezik Definicija 11 Ako je R n neki n mjesni relacijski simbol, i t 1,..., t n su termi, tada riječ R n (t 1,..., t n ) nazivamo atomarna formula. Sintaksa i semantika u logici 24 / 51
31 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51
32 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51
33 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51
34 2.1. Sintaksa jezik Definicija 12 Formula je riječ pripadnog alfabeta A definirana sljedećom rekurzivnom definicijom: svaka atomarna formula je formula; ako su A i B formule tada su ( A), (A B), (A B), (A B) i (A B) također formule; ako je A formula, a x varijabla, tada su riječi ( xa) i ( xa) također formule; riječ alfabeta A je formula ako i samo ako je nastala primjenom konačno mnogo puta prethodno navedena tri pravila. Sintaksa i semantika u logici 25 / 51
35 2.1. Sintaksa jezik Definicija 13 Složenost formule; potformula; slobodni i vezani nastup varijable u formuli; otvorena i zatvorena formula; supstitucije varijable u formuli s termom; term slobodan za varijablu u formuli;... Sintaksa i semantika u logici 26 / 51
36 2.2. Semantika logike prvog reda 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 14 Struktura je uređeni par M = (M, ϕ), gdje je M neprazni skup koji nazivamo nosač, a ϕ je preslikavanje sa skupa nelogičkih simbola koje ima sljedeća svojstva: a) svakom relacijskom simbolu R n k k ϕ(r n k k ) na M; b) svakom funkcijskom simbolu f m k k ϕ(f m k k ) sa M m k u M; pridružuje se n k mjesna relacija pridružuje se m k mjesna funkcija c) svakom konstantskom simbolu c k pridružuje se neki element ϕ(c k ) iz M. Sintaksa i semantika u logici 27 / 51
37 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 15 Za danu strukturu M = (M, ϕ) svaku funkciju sa skupa individualnih varijabli u nosač strukture nazivamo valuacija. Svaki uređeni par neke strukture M = (M, ϕ) i proizvoljne valuacije v na M nazivamo interpretacija. Za danu valuaciju v i varijablu x sa v x označavamo svaku valuaciju koja se podudara sa v na svim varijablama osim možda na varijabli x. Sintaksa i semantika u logici 28 / 51
38 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 15 Za danu strukturu M = (M, ϕ) svaku funkciju sa skupa individualnih varijabli u nosač strukture nazivamo valuacija. Svaki uređeni par neke strukture M = (M, ϕ) i proizvoljne valuacije v na M nazivamo interpretacija. Za danu valuaciju v i varijablu x sa v x označavamo svaku valuaciju koja se podudara sa v na svim varijablama osim možda na varijabli x. Sintaksa i semantika u logici 28 / 51
39 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 15 Za danu strukturu M = (M, ϕ) svaku funkciju sa skupa individualnih varijabli u nosač strukture nazivamo valuacija. Svaki uređeni par neke strukture M = (M, ϕ) i proizvoljne valuacije v na M nazivamo interpretacija. Za danu valuaciju v i varijablu x sa v x označavamo svaku valuaciju koja se podudara sa v na svim varijablama osim možda na varijabli x. Sintaksa i semantika u logici 28 / 51
40 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 16 Neka je (M, v) neka interpretacija, gdje je M = (M, ϕ). Istinitost formule F za danu interpretaciju, u oznaci M = v F, definiramo rekurzivno po složenosti formule F : ako je F atomarna formula, tj. F je oblika R(t 1,..., t n ), tada definiramo: M = v F ako i samo ako (v(t 1 ),..., v(t n )) ϕ(r); Sintaksa i semantika u logici 29 / 51
41 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika G tada definiramo: M = v F ako i samo ako nije M = v G; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A i M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A ili M = v B; Sintaksa i semantika u logici 30 / 51
42 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika G tada definiramo: M = v F ako i samo ako nije M = v G; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A i M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A ili M = v B; Sintaksa i semantika u logici 30 / 51
43 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika G tada definiramo: M = v F ako i samo ako nije M = v G; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A i M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = v A ili M = v B; Sintaksa i semantika u logici 30 / 51
44 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako ne vrijedi M = v A ili vrijedi M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako vrijedi da je M = v A ekvivalentno s M = v B; Sintaksa i semantika u logici 31 / 51
45 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako ne vrijedi M = v A ili vrijedi M = v B; ako je F formula oblika A B tada definiramo: M = v F ako i samo ako vrijedi da je M = v A ekvivalentno s M = v B; Sintaksa i semantika u logici 31 / 51
46 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za sve valuacije v x ; ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za neku valuaciju v x. Sintaksa i semantika u logici 32 / 51
47 2.2. Semantika logike prvog reda ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za sve valuacije v x ; ako je F formula oblika xg tada definiramo: M = v F ako i samo ako M = vx G za neku valuaciju v x. Sintaksa i semantika u logici 32 / 51
48 2.2. Semantika logike prvog reda Definicija 17 Kažemo da je formula F logike prvog reda ispunjiva (oboriva) ako postoji interpretacija (M, v) tako da vrijedi M = v F (M = v F ). Kažemo da je struktura M model za formulu F ako vrijedi M = v F za sve valuacije v. Tu činjenicu označavamo sa M = F. Kažemo da je formula valjana ako je istinita za svaku interpretaciju. Sintaksa i semantika u logici 33 / 51
49 2.2. Semantika logike prvog reda Napomena 3 Preneksna normalna forma dobra tema za nastavu logike u srednjoj školi. Sintaksa i semantika u logici 34 / 51
50 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Definicija 18 Račun logike prvog reda zadan je s pet shema aksioma i dva pravila izvoda. Sheme aksioma su sljedeće: (A1) (A2) (A3) (A4) (A5) A (B A); (A (B C)) ((A B) (A C)); ( B A) (A B); xa(x) A(t/x), gdje je term t slobodan za varijablu x u formuli A; x(a B) (A xb), gdje formula A ne sadrži slobodnih nastupa varijable x. Sintaksa i semantika u logici 35 / 51
51 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Pravila izvoda su modus ponens i generalizacija, tj. A A B B i A xa. Ovako definirani sistem kratko ćemo označavati s RP. Sintaksa i semantika u logici 36 / 51
52 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Definicija 19 Neka su A 1,..., A n i A formule logike prvog reda. Kažemo da je niz formula A 1,..., A n dokaz za formulu A u sistemu RP ako vrijedi: a) formula A n je upravo A; b) za sve i {1,..., n} vrijedi jedno od: formula Ai je aksiom sistema RP; formula Ai je nastala primjenom pravila izvoda modus ponens ili generalizacije na neke formule A j i A k, pri čemu je j, k < i. Kažemo da je formula A logike prvog reda teorem sistema RP ako u RP postoji dokaz za A. Sintaksa i semantika u logici 37 / 51
53 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Teorem 3 (Teorem adekvatnosti za sistem RP) Svaki teorem sistema RP je valjana formula. Sintaksa i semantika u logici 38 / 51
54 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Teorem 4 (Gödelov teorem potpunosti) Svaka valjana formula F logike prvog reda je teorem sistema RP. Sintaksa i semantika u logici 39 / 51
55 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51
56 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51
57 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51
58 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51
59 2.3. Sintaksa račun logike prvog reda Rezime o logici prvog reda Sintaksa Semantika RAČUN aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK struktura, interpretacija formula, potformula,... alfabet (signatura) Sintaksa i semantika u logici 40 / 51
60 3. Modalna logika Uvod: kritika materijalne implikacije... Jezik (propozicionalne) modalne logike: logika sudova + modalni operator Pojam formule, supstitucije,... Sintaksa i semantika u logici 41 / 51
61 3. Modalna logika Uvod: kritika materijalne implikacije... Jezik (propozicionalne) modalne logike: logika sudova + modalni operator Pojam formule, supstitucije,... Sintaksa i semantika u logici 41 / 51
62 3. Modalna logika Uvod: kritika materijalne implikacije... Jezik (propozicionalne) modalne logike: logika sudova + modalni operator Pojam formule, supstitucije,... Sintaksa i semantika u logici 41 / 51
63 3.1. Modalni sistem K Definicija 20 Modalni sistem K (S. Kripke) sadrži sljedeće aksiome: A0) sve tautologije (u novom jeziku!) A1) (A B) ( A B) Pravila izvoda sistema K su: A A B B (mod pon) i A A (nužnost) Sasvim analogno kao za sistem RS definiraju se pojmovi dokaza i teorema. Sintaksa i semantika u logici 42 / 51
64 3.2. Kripkeova semantika Definicija 21 Neka je W neki neprazan skup, te R W W proizvoljna binarna relacija. Tada uređeni par (W, R) nazivamo Kripkeov okvir ili kratko okvir. Elemente skupa W nazivamo svijetovi, a relaciju R nazivamo relacija dostiživosti. Sintaksa i semantika u logici 43 / 51
65 3.2. Kripkeova semantika Definicija 22 Kripkeov model M je uređena trojka (W, R, ), gdje je (W, R) okvir, a je binarna relacija između svijetova i formula koja ima sljedeća svojstva: w A ako i samo ako w A w A B ako i samo ako w A i w B w A B ako i samo ako w A ili w B w A B ako i samo ako w A ili w B w A B ako i samo ako w A je ekvivalentno sa w B w A ako i samo ako v(wrv povlači v A) Sintaksa i semantika u logici 44 / 51
66 3.2. Kripkeova semantika Definicija 23 Neka je M = (W, R, ) Kripkeov model. Kažemo da je neka formula A istinita na modelu M ako za sve svijetove w W vrijedi M, w A. To kratko označavamo sa M = A. Kažemo da je formula A valjana ako za sve Kripkeove modele M vrijedi M = A. Sintaksa i semantika u logici 45 / 51
67 3.2. Kripkeova semantika Teorem 5 (Teorem adekvatnosti za sistem K) Ako je modalna formula F teorem sistema K tada je formula F valjana. Sintaksa i semantika u logici 46 / 51
68 3.2. Kripkeova semantika Teorem 6 (Teorem potpunosti za sistem K) Ako je F valjana modalna formula tada je F teorem sistema K. Sintaksa i semantika u logici 47 / 51
69 3.2. Kripkeova semantika Napomena 4 Za razliku od klasične logike sudova za modalnu logiku ne postoji samo jedan istaknuti sistem (kojemu su drugi sistemi ekvivalentni). Ovdje navodimo još nekoliko najčešće razmatranih proširenja sistema K. T = K + A A S4 = T + A A S5 = T + A A Sintaksa i semantika u logici 48 / 51
70 3.2. Kripkeova semantika Napomena 5 Postoje i druge semantike za modalne logike: okolinska, topološka, algebarska, opći okviri,... Napomena 6 Neki modalni sistemi su nepotpuni u odnosu na Kripkeovu semantiku. Sintaksa i semantika u logici 49 / 51
71 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51
72 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51
73 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51
74 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51
75 3.2. Kripkeova semantika Rezime priče o modalnoj logici Sintaksa formula, potformula,... alfabet modalne logike RAČUN sistem K aksiomi, dokazi,... teorem adekvatnosti teorem valjana modalna formula teorem potpunosti istinitost formula JEZIK Kripkeov okvir i model Semantika Sintaksa i semantika u logici 50 / 51
76 vukovic Knjiga: M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, Sintaksa i semantika u logici 51 / 51
77 vukovic Knjiga: M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, Sintaksa i semantika u logici 51 / 51
78 vukovic Knjiga: M. Vuković, Matematička logika, Element, Zagreb, Sintaksa i semantika u logici 51 / 51
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
SEMANTIKE LOGIKA DOKAZIVOSTI I INTERPRETABILNOSTI predavanja
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Tin Perkov, Mladen Vuković SEMANTIKE LOGIKA DOKAZIVOSTI I INTERPRETABILNOSTI predavanja Zagreb, 2017. Sadržaj 1 Uvod 1 1.1 Potpunost logike sudova.........................
Matematička logika i izračunljivost
Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Mladen Vuković Matematička logika i izračunljivost predavanja i vježbe Zagreb, rujan, 2016. Sadržaj Predgovor v 1 Prvo predavanje Uvod i logika sudova 1 1.1
Matematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
MODALNA POTPUNOST LOGIKA INTERPRETABILNOSTI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Sebastijan Horvat MODALNA POTPUNOST LOGIKA INTERPRETABILNOSTI Diplomski rad Voditelji rada: izv. prof. dr. sc. Mladen Vuković
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Matematička logika i izračunljivost
Matematička logika i izračunljivost Predavanje br. 8 na FER u akad. god. 2009/2010 vukovic@math.hr PMF Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu 06. studeni 2009. Matematička logika i izračunljivost 1 /
MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Mladen Vuković MATEMATIČKA LOGIKA 1 skripta Četvrto, izmijenjeno i dopunjeno izdanje Zagreb, svibanj 2007. doc.dr. sc. Mladen Vuković: Matematička logika 1 Recenzenti:
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
8 Predikatski račun kao deduktivni sistem
26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel. Mladen Vuković PRIMIJENJENA LOGIKA. predavanja poslijediplomskog kolegija. Zagreb, 2011.
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odjel Mladen Vuković PRIMIJENJENA LOGIKA predavanja poslijediplomskog kolegija Zagreb, 2011. Sadržaj 1 Teorija modela 3 1.1 Osnovni pojmovi i oznake.....................
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Sveučilište u Zagrebu. PMF - Matematički odjel. Radan Skorić. Temporalna logika. Diplomski rad. Zagreb, 7. listopada 2009.
Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Radan Skorić Temporalna logika Diplomski rad Zagreb, 7. listopada 2009. Zahvaljujem se svojem mentoru na strpljenju i iznimnom trudu te mojim roditeljima i
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Sveučilište u Zagrebu. PMF - Matematički odjel. Grgur Petric Maretić. Fuzzy logika. Diplomski rad. 22. siječnja 2010.
Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Grgur Petric Maretić Fuzzy logika Diplomski rad 22. siječnja 2010. Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Grgur Petric Maretić Fuzzy logika Diplomski
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Složenost algoritama
Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Mladen Vuković Složenost algoritama skripta Zagreb, lipanj, 2015. Sadržaj Predgovor iii 1 Uvod 1 1.1 Motivacija................................. 1 1.2 Izračunljivost
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Predikatska logika. January 8, 2012
Predikatska logika January 8, 2012 1 O predikatskoj logici Pre nego što počnemo razmatranje predikatske logike, zadržimo se na nekoliko napomena koje će, nadamo se, pomoći da se rasčiste pre svega terminološke
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju.
Predikatske formule rekapitulacija Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Izraz je proizvoljan niz simbola. Naravno, većina izraza nema nikakav
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
[1] Formalni jezik iskazne logike
![[1] Formalni jezik iskazne logike](/thumbs/75/71587214.jpg "[1] Formalni jezik iskazne logike")
[1] Formalni jezik iskazne logike Svaka formalna teorija (formalni sistem) sastoji se iz tri komponente: formalnog jezika, aksioma i pravila izvođenja (zaključivanja) Formalni jezik [4] sastoji se iz osnovnih
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Normalne forme i svojstvo konačnih modela za logiku interpretabilnosti
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Vedran Čačić Normalne forme i svojstvo konačnih modela za logiku interpretabilnosti Doktorska disertacija Zagreb, lipanj 2011.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka
Uvod u logiku Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka Prof. dr Žana Kovijanić Vukićević Prof. dr Slobodan Vujošević UVOD U LOGIKU Drugo izdanje Glavni urednik Prof. dr Ilija Vujošević Recenzenti Prof.
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Predikatska logika - III deo. Jelena Ignjatović
Predikatska logika - III deo Jelena Ignjatović Termi i formule Matematički izrazi i formule Matematičke izraze i formule gradimo od raznorodnih elemenata. Osnovni elementi matematičkih izraza i formula
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
TOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Luka Mikec TOPOLOŠKA POTPUNOST LOGIKA DOKAZIVOSTI Diplomski rad Voditelji rada: izv. prof. dr. sc. Mladen Vuković doc. dr. sc.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
6 Preneksna forma i skolemizacija
20 6 Preneksna forma i skolemizacija Dve korisne tehnike koje možemo koristiti prilikom rešavanja različitih problema u predikatskoj logici jesu konstrukcija preneksne forme date formule, kao i tzv. skolemizacija.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )