ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,όπως εικόνες,που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 2 / 210

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο Άνοικτά Ακαδημαικά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται απο την Ευρωπαική Ενωση (Ευρωπαικό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 3 / 210

Περιεχόμενα Ενότητας Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αναδρομικές σχέσεις. Διαμερίσεις. Ολοκλήρωμα Drboux. Ολοκλήρωμα Riemnn. Θεωρήματα Μέσης Τιμής. Γενικευμένο Ολοκλήρωμα. Ομοιόμορφη Σύγκλιση. Υπολογισμός Εμβαδού. Μήκος Καμπύλης. Υπολογισμός Ογκου. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 4 / 210

Σκοποί Ενότητας Εισαγωγή των προπτυχιακών φοιτητών στην μελέτη και στις τεχνικές των ολοκληρωμάτων. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 5 / 210

Ορισμός Αόριστου Ολοκληρώματος Ορισμός f (x) είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα I αόριστο ολοκλήρωμα F (x) = I = [, b] ή (, b] ή [, ) F (x) αντιπαράγωγος ή παράγουσα συνάρτηση f (x) dx df dx = F (x) = f (x) Η παράγουσα συνάρτηση είναι κάποια συνεχής συνάρτηση Παραδείγματα 1 dx = rctn x + c 1 + x 2 { x 2 x dx = 1 dx = ln x + c x 2 + c αν x 0 x2 2 + c αν x < 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 6 / 210

Συμβολικός Λογισμός με διαφορικά ( ) df df = f (x) df = dx = f (x) dx dx dx ( ) df F = df = dx = F (x) dx dx Το ολοκλήρωμα αναιρεί την παραγώγιση ( ) x x 2 3 dx = d = x 3 3 3 ( ) df dx = df = F dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 7 / 210

Θεώρημα Θεώρημα Η παράγουσα συνάρτηση F (x) είναι ορισμένη με προσέγγιση μιας σταθερας: F (x) παράγουσα συνάρτηση της f (x) F (x) + c παράγουσα συνάρτηση της f (x) d (F (x)) = d dx dx (F (x) + c) = f (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 8 / 210

Παρατήρηση 1 Η απεικόνιση: f (x) F (x) ΔΕΝ είναι μονοσήμαντη πχ x 4 dx = ( ) x 5 d 5 = x 5 5 + c όπου c οποιαδήποτε σταθερά cos x dx = d (sin x) = sin x + c dx 1 + x 2 = d (rctn x) = rctn x + c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 9 / 210

Παραδείγματα 1 (Αόριστο Ολοκλήρωμα) 2x 2 3x + 1 x + 1 dx = ( 2x 5 + 6 ) dx = x 2 5x +6 ln x + 1 +C x + 1 1 (x + )(x + b) = 1 b (x + ) (x + b) (x + )(x + b) dx (x + )(x + b) = 1 dx x 2 + 3x + 2 = ( 1 x + b 1 ) x + = 1 b b ln x + b x + + C dx (x + 1)(x + 2) = ln x + 2 x + 3 + C (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 10 / 210

Πίνακας Παραγουσών παράγουσα f (x) = df dx F (x) = f (x) dx x p, p 1 x p+1 p+1 + c 1 x e x ln x + c e x + c cos x sin x 1 cos 2 x 1 sin 2 x sin x + c cos x + c tn x + c cot x + c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 11 / 210

Πίνακας Ολοκληρωμάτων x p dx = x p+1 p + 1 + c p 1 1 dx = ln x + c x e x dx = e x + c cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c dx cos 2 x = tn x + c dx sin 2 x = cot x + c cosh x dx = sinh x + c sinh x dx = cosh x + c dx cosh 2 x = tnh x + c dx sinh 2 x = coth x + c dx = rcsin x + c dx = rccos x + c 1 x 2 1 x 2 1 1 dx = rctn x + c dx = rccot x + c 1 + x 2 1 + x 2 dx x 2 + 1 = rcsinh x + c dx x 2 1 = rccosh x + c 1 1 dx = rctnh x + c 1 x 2 x 2 dx = rccoth x + c 1 για x < 1 για x > 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 12 / 210

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων αf (x) dx = α f (x) dx {f (x) + g(x)} dx = f (x) dx + g(x) dx Ολοκλήρωση με αντικατάσταση μεταβλητής g(u) du }{{} = g(u) du dx dx= u=u(x) g (u(x)) u (x) dx Ολοκλήρωση κατά παράγοντες f (x) g (x) dx = f (x) g(x) f (x) dg(x) = f (x) g(x) g(x) f (x) dx g(x) df (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 13 / 210

Παραδείγματα 2 (Αόριστο Ολοκλήρωμα) x + b cx + d dx = = c = x c bc d dx + c bc d + c 2 P(x)e x dx = P(x)e x dx = bc d (cx + d) + c c cx + d dx cx + d = x c ln cx + d + c P(x)e x dx = P(x)e x dx = bc d d (cx + d) + c 2 cx + d P(x)e x dx ( ) P(x) P (x) + P (x) P (3) (x) + e x + c x 3 e x dx = ( x 3 3x 2 + 6x + 6 ) e x + c ( ) P(x) P (x) P (x) P (3) (x) + e x + c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 14 / 210

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (1) αf (x) dx = α f (x) dx Απόδειξη. d( αf (x) dx) dx = αf (x) d(α f (x) dx) dx = α d( f (x) dx) dx = αf (x) {f (x) + g(x)} dx = f (x) dx + g(x) dx Απόδειξη. d{ (f (x)+g(x)) dx} dx = f (x) + g(x) d{ f (x) dx + g(x) dx} dx = = d( f (x) dx) dx + d( g(x) dx) dx = f (x) + g(x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 15 / 210

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (2) Ολοκλήρωση με αντικατάσταση μεταβλητής g(u) du }{{} = g (u(x)) u (x) dx = u=u(x) = g (u(x)) du(x) dx = dx = g (u(x)) du(x) πχ tn x dx = sin x dx cos x }{{} = u=cos x d (cos x) = = cos x du = ln u + c = u x x 2 + 2 dx = 1 2 1 = ln cos x + c d ( x 2 + 2) x 2 + 2 = 1 du }{{} = = u + c = 2 u u=x 2 + 2 = x 2 + 2 + c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 16 / 210

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (3) Ολοκλήρωση κατά παράγοντες d(fg) = fdg + f (x) g (x) dx = f (x) g(x) gdf g(x) f (x) dx πχ x e x dx ln x dx = x d ( e x) = = x e x + e x dx = x e x e x = x ln x = x ln x x d (ln x) = x dx = x ln x x x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 17 / 210

Ολοκληρώματα με αντικατάσταση μεταβλητής Ολοκληρώματα με αντικατάσταση μεταβλητής f (u(x)) u (x) dx = f (u) du 1 f (αx + β) dx }{{} = α u=αx+β f (e x ) dx = }{{} f (ln x) x u=e x dx = }{{} u=ln x f (u) u f (u) du du f (u) du (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 18 / 210

Αναδρομικές σχέσεις με εκθετικές εξισώσεις I n = x n e αx dx I n = 1 α I 0 = 1 α eαx x n d (e αx ) dx = 1 α x n e αx n α x n 1 e αx dx I n = 1 α x n e αx n α I n 1 κατασκευάζουμε διαδοχικά το I 1, I 2,... I n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 19 / 210

Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών I = P(x) e αx dx P(x) πολυώνυμο βαθμού n P(x) e αx dx = R(x)e αx + c d (R(x)e αx ) dx = P(x)e αx R (x) + αr(x) = P(x) πχ x 2 e 3x dx = ( Ax 2 + Bx + C ) e 3x + c d {( Ax 2 + Bx + C ) e 3x} = x 2 e 3x dx (2Ax + B) + 3 ( Ax 2 + Bx + C ) = x 2 3A = 1 2A + 3B = 0 A = 1 3, B = 2 9, C = 2 27 B + 3C = 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 20 / 210

Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών- Απόδειξη Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών- Απόδειξη I = P(x) e αx dx P(x) πολυώνυμο βαθμού n Κάνοντας μια ολοκλήρωση κατά μέρη: I = P(x) e αx dx = 1 α P(x) de αx = = 1 α P(x)eαx 1 α P (x) e αx dx Το P (x) είναι πολυώνυμο βαθμού n 1. Επαναλαμβάνοντας την ολοκλήρωση κατά μέρη: I = 1 α P(x) }{{} e αx 1 α P (x) e αx dx = = ( πολ. βαθμού n 1 α P(x) 1 ) α 2 P (x) e αx + 1 α }{{} P (x) e αx dx πολ. βαθμού n 1 =... κλπ κλπ = = R(x)e αx + c R(x) πολυώνυμο βαθμού n d (R(x)e αx ) dx = P(x)e αx R (x) + αr(x) = P(x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 21 / 210

Αναδρομικές σχέσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων S n = C n = x n cos (αx + β) sin (αx + β) dx S 0 = α x n cos (αx + β) dx C 0 = sin (αx + β) α S n = 1 α x n d cos (αx + β) = = 1 α x n cos (αx + β) + n α x n 1 cos (αx + β) dx C n = 1 α x n d sin (αx + β) = = 1 α x n sin (αx + β) n α x n 1 sin (αx + β) dx S n = 1 α x n cos (αx + β) + n α C n 1 C n = 1 α x n sin (αx + β) n α S n 1 κατασκευάζουμε διαδοχικά τα S 0, C 0, S 1, C 1, S 2, C 2,... S n, C n, (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 22 / 210

Προσδιοριστέοι συντελεστές (1) S n = x n sin (αx + β) dx S n = P n (x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β) P n (x), Q n (x) πολυώνυμα βαθμού n x n sin (αx + β) = = d dx {P n(x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β)} C n = x n cos (αx + β) dx C n = P n (x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β) P n (x), Qn (x) πολυώνυμα βαθμού n x n cos { (αx + β) = Pn (x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β)} = d dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 23 / 210

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (1) ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ exp (x) = e x x n = exp (x + y) = (exp x) (exp y) n! n=0 cosh x ex + e x 2 sinh x ex e x 2 = = n=0 n=0 x 2n (2n)! x 2n+1 (2n + 1)! (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 24 / 210

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (2) cosh x ex + e x 2 = x 2n sinh x ex e x n=0 (2n)! 2 cosh 2 x sinh 2 x = 1 = n=0 x 2n+1 (2n + 1)! 15 4 10 5 2 4 2 2 4 5 10 15 10 5 5 10 15 2 15 4 10 5 2 4 2 2 4 5 10 15 10 5 5 10 15 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 25 / 210

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (3) tnh x sinh x cosh x 1.5 4 1.0 0.5 2 4 2 2 4 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 26 / 210

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (4) d cosh x dx d cosh 1 x dx d sinh 1 x dx dtnh 1 x dx dcoth 1 x dx = sinh x, d sinh x dx = d rccosh x dx = d rcsinh x dx d tnh x dx = d rctnh x dx d coth x dx = d rccoth x dx = = 1 = cosh 2 x = cosh x 1 x 2 1 1 x 2 + 1 = 1 1 x 2, x < 1 = 1 sinh 2 x = 1 1 x 2, x > (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 27 / 210

Αναδρομικές σχέσεις υπερβολικών συναρτήσεων S n = C n = x n sinh (αx + β) dx S 0 = x n cosh (αx + β) dx C 0 = cosh (αx + β) α sinh (αx + β) α S n = 1 α x n d cosh (αx + β) = = 1 α x n cosh (αx + β) n α x n 1 cosh (αx + β) dx C n = 1 α x n d sinh (αx + β) = = 1 α x n sinh (αx + β) n α x n 1 sinh (αx + β) dx S n = 1 α x n cosh (αx + β) n α C n 1 C n = 1 α x n sinh (αx + β) n α S n 1 κατασκευάζουμε διαδοχικά τα S 0, C 0, S 1, C 1, S 2, C 2,... S n, C n, (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 28 / 210

Προσδιοριστέοι συντελεστές (2) S n = x n sinh (αx + β) dx S n = P n (x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β) P n (x), Q n (x) πολυώνυμα βαθμού n x n sinh (αx + β) = = d dx {P n(x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β)} C n = x n cosh (αx + β) dx C n = P n (x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β) P n (x), Qn (x) πολυώνυμα βαθμού n x n cosh { (αx + β) = Pn (x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β)} = d dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 29 / 210

Προσδιοριστέοι συντελεστές για πολυώνυμα, εκθετικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις Π n (x) e bx sin x dx = P n (x)e bx sin x + Q n (x)e bx cos x Π n (x) e bx sin x = d dx ( ) P n (x)e bx sin x + Q n (x)e bx cos x Σ n (x) e bx cos x dx = R n (x)e bx sin x + S n (x)e bx cos x Σ n (x) e bx cos x = d dx ( ) R n (x)e bx sin x + S n (x)e bx cos x Ολες οι συναρτήσεις είναι πολυώνυμα n-τάξης ως προς x. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 30 / 210

ΣΕΙΡΕΣ MACLAURIN exp (x) = e x = n=0 x n n! cosh x ex + e x exp (x + y) = (exp x) (exp y) 2 sinh x ex e x 2 = = n=0 n=0 x 2n (2n)! x 2n+1 (2n + 1)! exp (i x) = e i x = n=0 i n x n n! exp i (x + y) = (exp i x) (exp i y) cos x = sin x = ( 1) n x 2n (2n)! = eix + e ix 2 n=0 n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! = eix e ix 2i (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 31 / 210

Ιδιότητες τριγωνομετρικών- υπερβολικών συναρτήσεων cosh x ex + e x 2 sinh x ex e x cos x = eix + e ix sin x = eix e ix 2 2i ( e cos 3 ix + e ix ) 3 x = = 2 = e3ix + e 3ix + 3 ( e ix + e ix) = 8 8 cos 3x = + 3 cos x 4 4 sinh 5x sinh x = (ex ) 5 (e x ) 5 e x e x = = (e x ) 4 + (e x ) 3 (e x ) + (e x ) 2 (e x ) 2 + (e x ) (e x ) 3 + (e x ) 4 = = 2 cosh 4x + 2 cosh 2x + 1 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 32 / 210

Προσδιοριστέοι συντελεστές (3) Προσδιοριστέοι συντελεστές x n e bx sin x dx = = P n (x)e bx sin x + Q n (x)e bx cos x x n e bx cos x dx = = R n (x)e bx sin x + S n (x)e bx cos x Υπολογισμός του x 2 e 5x sin 3 (2x) cos 3 x dx 1 0 βήμα: Αναλύω το sin 3 (2x) cos 3 x σε άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων 2 0 βήμα: Υπολογίζω ολοκληρώματα της μορφής P(x)e bx sin x dx και Q(x)e bx cos x dx με προσδιοριστέους συντελεστές (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 33 / 210

Προσδιοριστέοι συντελεστές (4) sin ( + b) = sin cos b + cos sin b cos ( + b) = cos cos b sin sin b = 1 2 = 1 2 = 1 2 sin(x) cos(bx) dx = (sin( + b)x + sin( b)x) dx cos(x) cos(bx) dx = (cos( b)x + cos( + b)x) dx sin(x) sin(bx) dx = (cos( b)x cos( + b)x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 34 / 210

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (1) Αναδρομικές σχέσεις cos 2m x dx = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 2m cos 2m 2 x dx C m (x) = cos 2m x dx, C 0 (x) = x, C m (x) = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 2m C m 1 (x) cos 2m x dx = 1 2 2m ( e cos n i x + e i x x = 2 ( (2m ) m 1 x + m cos 2n+1 x dx = k=0 ) n ( 2m k n ( ) n sin ( 1) k 2k+1 x k 2k + 1 k=0 ) ) sin(2(m k)x) m k (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 35 / 210

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (2) C m (x) = cos 2m x dx, C 0 (x) = x, C m (x) = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 2m C m 1 (x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων dx D n = (x 2 + b 2 ) n D n = 1 (x=b tn t) b 2n 1 cos 2(n 1) t dt ( C n 1 rctn x ) D n = b ( cos rctn x ) = b b 2n 1 b ( x 2 + b, sin rctn x 2 b ) = x x 2 + b 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 36 / 210

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (3) F m (x) = cosh 2m x dx, F 0 (x) = x, F m (x) = cosh2m 1 x sinh x 2m + 2m 1 2m C m 1 (x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων, b > x dx G n = (b 2 x 2 ) n G n = 1 (x=b tnh t) b 2n 1 cosh 2(n 1) t dt ( F n 1 rctnh x ) G n = b ( cosh rctnh x ) = b b 2n 1 b ( b 2 x, sin rchtnh x 2 b ) = x b 2 x 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 37 / 210

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (4) L m (x) = sinh 2m x dx, L 0 (x) = x, L m (x) = sinh2m 1 x cosh x 2m 2m 1 2m L m 1 (x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων, b < x dx M n = (x 2 b 2 ) n M n = 1 (x=b coth t) b 2n 1 sinh 2(n 1) t dt ( L n 1 rccoth x ) M n = b ( sinh rccoth x ) = b b 2n 1 b ( x 2 b, sin rccoth x 2 b ) = x x 2 b 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 38 / 210

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (5) sin 2m x dx = sin2m 1 x cos x 2m + 2m 1 2m sin 2(m 1) x dx S m (x) = sin 2m x dx, S 0 (x) = x, S m (x) = sin2m 1 x cos x 2m + 2m 1 2m S m 1 (x) sin n x = sin 2n+1 x dx = ( e i x e i x k=0 2i ) n n ( ) n cos ( 1) k 2k+1 x k 2k + 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 39 / 210

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (6) 1 cos 2 x = 1 + 1 tn2 x sin 2 x = 1 + cot2 x tn n x dx = tnn 1 x n 1 tn n 2 x dx cot n x dx = cotn 1 x n 1 cot n 2 x dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 40 / 210

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (7) sin 2n+1 x dx = n ( ) n cos ( 1) k 2k+1 x k 2k + 1 k=0 dx cos 2(n+1) x dx = dx sin 2(n+1) x dx = n k=0 n k=0 ( ) n tn 2k+1 x k 2k + 1 ( ) n cot 2k+1 x k 2k + 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 41 / 210

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΆΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ (1) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΆΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ dx x 2 + 2 dx (x 2 + 2 ) n+1 = 1 2n 2 = 1 rctn x + c + 2n 1 2n 2 x (x 2 + 2 ) n + Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού x = tn t dx (x 2 + 2 ) n xdx (x 2 ± 2 ) n = ln x 2 ± 2 + c για n = 1 1 2(n 1) 1 (x 2 ± 2 ) n 1 για n > 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 42 / 210

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΆΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ (2) dx x 2 2 = 1 2 ln dx (x 2 2 ) n+1 = 1 2n 2 2n 1 2n 2 x x + + c x (x 2 2 ) n + dx (x 2 2 ) n Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού x = tnh t dx (x 2 + 2αx + β) n = dx ((x + α) 2 + β α 2 ) n = xdx (x 2 + 2αx + β) n = ((x + α) α) dx ((x + α) 2 + β α 2 ) n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 43 / 210

Ανάλυση πολυωνύμου Κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε απλά πολυώνυμα: p Q(x) = A (x ρ k ) m k k=1 q ( x 2 ) nl + 2α l x + β l l=1 ρ k ρίζες, αl 2 < β l p βαθμός (Q(x)) = n = m k + 2 q k=1 l=1 n l (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 44 / 210

Ανάλυση ρητής συνάρτησης R(x) = P(x) Q(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + + p m x m q 0 + q 1 x + q 2 x 2 + + q n x n Αν βαθμός P(x) < βαθμός Q(x) δηλ. m < n, το R(x) αναλύεται σε απλά κλάσματα R(x) = A 11 x ρ 1 + A 12 (x ρ 1 ) 2 + + A 1m 1 (x ρ 1 ) m 1 + + για όλες τις ρίζες + + B 11x+Γ 11 x 2 +2α 1 x+β 1 + B 12x+Γ 12 (x 2 +2α 1 x+β 1 ) 2 + + + + B 1n 1 x+γ 1n1 (x 2 +2α 1 x+β 1 ) n 1 + + για όλα τα τριώνυμα Από την ταυτότητα Q(x)R(x) = P(x) βρίσκουμε τους άγνωστους συντελεστές A ik, B jl, Γ jl. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 45 / 210

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ I = R(cosh x, sinh x) dx cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x 2 2 ( e x + e x I = R, ex e x ) e x d (e x ) 2 2 t = e x ( t + 1 t ) 1 t R 2, t 1 t 2 }{{} συνάρτηση του t dt (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 46 / 210

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ R(cos 2 x, sin 2 x) dx t = tn x dt = 1 cos 2 x dx, cos2 x = 1 dt, dx = 1 + t2 1 + t 2 ( 1 R R(cos 2 x, sin 2 1 + t x) dx = 2, 1 ) t2 1 + t 2 1 + t 2 dt (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 47 / 210

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ R(cos x, sin x) dx t = tn x 2 cos x = 2 cos 2 x 2 1 1 cos 2 x 2 1 t2 cos x = 1 + t 2 = 1 + tn 2 x 2 = 1 + t2 sin x = 2 cos x 2 sin x 2 = 2 cos 2 x 2 tn x 2 sin x = 2t 1 + t 2 I = dt = dx 2 cos 2 x 2 dx = 2dt 1 + t 2 ( ) R 1 t 2 2t, 1+t R(cos x, sin x) dx = 2 2 1+t 2 1 + t 2 dt (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 48 / 210

Ολοκληρώματα (1) Ολοκλήρωμα R (x, n αx + β γx + δ ) dx t n = αx + β γx + δ Ολοκλήρωμα ) αx + β R (x, n γx + δ, m αx + β dx γx + δ t p = αx + β, p = Ε. Κ. Π. (n, m) γx + δ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 49 / 210

Ολοκληρώματα (2) Ολοκλήρωμα R (x, ) 2 x 2 dx x = sin θ R ( sin θ, cos θ) cos θ dθ Ολοκλήρωμα R (x, ) x 2 2 dx x = cosh u R ( cosh u, sinh u) sinh u du Ολοκλήρωμα R (x, ) 2 + x 2 dx x = sinh u ή x = tn θ R ( sinh u, cosh u) cosh u du (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 50 / 210

c ln x ρ, n = 1 dx (x ρ) n = 1 (n 1)(x ρ) n 1, n > 1 xdx ln x 2 ± 2 + c n = 1 (x 2 ± 2 ) n = 1 1 2(n 1) n > 1 (x 2 ± 2 ) n 1 R(x) = A11 x ρ 1 + A12 (x ρ 1) 2 + + A1m 1 (x ρ 1) m 1 + + για όλες τις ρίζες + + B11x+Γ11 x 2 +2α 1x+β 1 + B12x+Γ12 + + (x 2 +2α 1x+β 1) 2 + + B1n 1 x+γ1n 1 (x 2 +2α 1x+β 1) n 1 + + για όλα τα τριώνυμα dx 1 (x 2 + 2 ) n+1 = cos 2n x=tnt 2n+1 t dt cos 2m x dx, = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 cos 2(m 1) x dx 2m (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 51 / 210

Διαμερίσεις (1) Ορισμός: Διαμέριση Διαμέριση (Prtition) ορισμένη στο διάστημα I = [, b] P = {x 0, x 1, x 2,..., x n }, = x 0 < x 1 <... < x n = b Ορισμός: λεπτότητα διαμέρισης norm (λεπτότητα) διαμέρισης (Prtition norm (mesh)) P = mx { x 1, x 2,..., x n }, x k x k x k 1 Ορισμός: μήκος διαμέρισης διάσταση (μήκος) διαμέρισης (Prt. dimension (length)) d(p) = n d(p) P b (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 52 / 210

Διαμερίσεις (2) {P λεπτότερη P} {P P} { P P, d(p ) > d(p)} P* P (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 53 / 210

Διαμερίσεις (3) P 1 P2 min ( P 1, P 2 ) d (P 1 P2 ) d(p 1 ) + d(p 2 ) P1 P2 P1 P2 P 1 P2 mx ( P 1, P 2 ) d (P 1 P2 ) min (d(p 1 ), d(p 2 )) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 54 / 210

Φραγμένη Συνάρτηση f (x) φραγμένη συνάρτηση f : [, b] R m f (x) M ή f (x) < B m = inf f (x), M = sup f (x) x b x b (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 55 / 210

Κάτω άθροισμα Ορισμός κάτω αθροίσματος κάτω άθροισμα (low sum) της φραγμένης συνάρτησης πάνω σε μια διαμέριση P n L(P, f ) = m k x k k=1 m k = inf {f (x), x k 1 x x k } (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 56 / 210

Άνω άθροισμα Ορισμός άνω αθροίσματος άνω άθροισμα (upper sum) της φραγμένης συνάρτησης πάνω σε μια διαμέριση P n U(P, f ) = M k x k k=1 M k = sup {f (x), x k 1 x x k } (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 57 / 210

Προτάσεις (Φραγμένη συνάρτηση) f (x) φραγμένη συνάρτηση f : [, b] R m f (x) M ή f (x) < B Πρ. 1 L (P, f ) U (P, f ) Πρ. 2 Λεπτότερη διαμέριση μεγαλύτερο κάτω άθροισμα P P L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Πρ. 3 Λεπτότερη διαμέριση μικρότερο άνω άθροισμα P P U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Πρ. 4 L (P 1, f ) U (P 2, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 58 / 210

Πρόταση 1 (Φραγμένη συνάρτηση) f (x) φραγμένη συνάρτηση f : [, b] R m f (x) M ή f (x) < B Πρ. 1 L (P, f ) U (P, f ) Απόδειξη. Από τον ορισμό n L(P, f ) = m k x k k=1 m k = inf {f (x), x k 1 x x k } και n U(P, f ) = M k x k k=1 M k = sup {f (x), x k 1 x x k } έχουμε ότι: m k M k επομένως L (P, f ) U (P, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 59 / 210

Πρ. 2 Λεπτότερη διαμέριση μεγαλύτερο κάτω άθροισμα P P L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Απόδειξη. Εστω P1 μια διαμέριση που προκύπτει από την P αν προσθέσουμε ένα νέο σημείο y, δηλ. P1 = P {y} P = {x0, x1, x2,..., xi 1, xi,..., xn} d(p) = n = x0 < x1 <... < xi 1 < y < xi }{{} <... < xn = b L(P, f ) = L(P1, f ) = P1 = {x0, x1, x2,..., xi 1, i 1 k=1 Επειδή inf xi 1 x xi επομένως mk xk + i 1 mk xk+ k=1 ( ( + inf f (x) xi 1 x y + n mk xk k=i+1 f (x) inf xi 1 x xi ) inf xi 1 x y L(P1, ( f ) L(P, f ) = = + inf ( f (x) xi 1 x y inf y x xi Επειδή f (x) < B τότε inf f (x) xi 1 x y όμοια οπότε inf xi 1 x xi inf y x xi f (x) f (x) f (x) y νέο στοιχ. f (x) ) (y xi 1) + f (x) και inf inf xi 1 x xi inf xi 1 x xi f (x), xi,..., xn} (xi xi 1) + ( xi 1 x xi f (x) ) ) inf y x xi inf f (x) + xi 1 x y inf xi 1 x xi f (x) f (x) n k=i+1 ) (y xi 1) + (xi y) 0 f (x) < 2B inf xi 1 x xi L(P1, f ) L(P, f ) < 2B (xi xi 1) = 2B P mk xk (xi y) + inf y x xi f (x) f (x) < 2B οπότε επαναλαμβάνοντας το αποτέλεσμα για διαφορές στοιχείων περισσότερο από 1, έτσι αν P2 προκύπτει από την διαμέριση P1 με την προσθήκη ενός νέου στοιχείου, η P3 προκύπτει από την διαμέριση P2 με την προσθήκη ενός νέου στοιχείου κ.ο.κ. θα έχουμε: L(P1, f ) L(P, f ) < 2B P L(P2, f ) L(P1, f ) < 2B P1 2B P L(P3, f ) L(P3, f ) < 2B P2 2B P... L(Pm, f ) L(Pm 1, f ) < 2B Pm 1 2B P αλλά m = d(pm) d(p). Οπότε L(P, f ) L(P, f ) < 2B m P L(Pm, f ) L(P1, f ) < 2mB P m = d(p ) d(p) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 60 / 210

Πρόταση 3 και Πρόταση 4 (Φραγμένη συνάρτηση) Πρ. 3 Λεπτότερη διαμέριση μικρότερο άνω άθροισμα P P U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Η απόδειξη είναι ίδια όπως στην πρόταση 2. Πρ. 4 L (P 1, f ) U (P 2, f ) Απόδειξη. L (P 1, f ) L (P 1 P2, f ) U (P 1 P2, f ) U (P 2, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 61 / 210

Drboux ολοκλήρωμα (1) Κάτω ολοκλήρωμα L(f ) sup P L(P, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 62 / 210

Drboux ολοκλήρωμα (2) Ανω ολοκλήρωμα U(f ) inf P U(P, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 63 / 210

Ολοκλήρωμα Drboux L(f ) u(f ) Ολοκλήρωμα Drboux f (x) Drboux ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) b L(f ) = U(f ) I D (f ) f (x) dx Κάτω ολοκλήρωμα Ανω ολοκλήρωμα (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 64 / 210

Προτάση 5-Λήμμα-Πρόταση 6 Πρ. 5 Αν υπάρχει P n είναι κάποια ακολουθία διαμερίσεων τέτοια ώστε lim L(P n, f ) = n τότε η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη Λήμμα lim U(P n, f ) n ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < U(f ) L(f ) + ɛ Πρ.6 f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 65 / 210

Πρόταση 7 Θεώρημα Drboux Πρ.7 Θεώρημα Drboux f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 δ > 0 : P < δ U(P, f ) L(P, f ) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 66 / 210

Απόδειξη Πρότασης 5 Πρ. 5 Αν υπάρχει P n είναι κάποια ακολουθία διαμερίσεων τέτοια ώστε lim L(P n, f ) = n τότε η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη lim U(P n, f ) n Απόδειξη. Εχουμε ότι L(P n, f ) L(f ) U(f ) U(P n, f ) lim L(P n, f ) L(f ) U(f ) lim U(P n, f ) n n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 67 / 210

Απόδειξη Λήμματος Λήμμα ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < U(f ) L(f ) + ɛ Απόδειξη. Επειδή L(f ) = sup P L(P, f ) ɛ > 0 P 1 : L(P 1, f ) > L(f ) ɛ/2 U(f ) = inf P U(P, f ) ɛ > 0 P 2 : U(P 2, f ) < U(f ) + ɛ/2 και για P = P 1 P2 L(P, f ) L(P 1, f ) > L(f ) ɛ/2 U(P, f ) U(P 2, f ) > U(f )+ɛ/2 άρα U(P, f ) L(P, f ) < U(f ) L(f ) + ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 68 / 210

Απόδειξη Πρότασης 6 Πρ.6 f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Απόδειξη. Αν L(f ) = U(f ) τότε από το παραπάνω λήμμα έχουμε ότι: ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Εστω τώρα ότι η παραπάνω σχέση αληθεύει τότε έχουμε επίσης ότι: L(P, f ) L(f ) U(f ) U(P, f ) U(f ) L(F ) U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Αρα ɛ > 0 U(f ) L(F ) < ɛ οπότε L(f ) = U(f ). (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 69 / 210

Απόδειξη Θεωρήματος Drboux Πρ.7 Θεώρημα Drboux f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 δ > 0 : P < δ U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Απόδειξη. Αν ɛ > 0 δ > 0 : P < δ U(P, f ) L(P, f ) < ɛ τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες της πρότασης 6, επειδή ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ L(f ) = U(f ) Εστω τώρα L(f ) = U(f ) τότε σύμφωνα με την πρόταση 6 ɛ > 0 P0 : U(P0, f ) L(P0, f ) < ɛ/2 Από την διαμέριση P0 ορίζουμε ɛ δ = 8d(P0)B f (x) < B Εστω μια διαμέριση P, P < δ. Ορίζουμε Q = P P0 d(q) d(p) d(p0) Από την πρόταση 2 L(Q, f ) L(P, f ) 2 (d(q) d(p)) B P 2d(P0)B P < 2d(P0)Bδ = ɛ 4 από την πρόταση 2 έχουμε L(P0, f ) L(P, f ) L(Q, f ) L(P, f ) < ɛ 4 όμοια αποδεικνύουμε ότι: U(P, f ) U(P0, f ) < ɛ 4 επομένως U(P, f ) L(P, f ) = = U(P, f ) U(P0, f ) + U(P0, f ) L(P0, f ) + L(P0, f ) L(P, f ) < ɛ }{{}}{{}}{{} <ɛ/4 <ɛ/2 <ɛ/4 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 70 / 210

Πρόταση 8 Πρ. 8 f (x) μονότονη και φραγμένη στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη Απόδειξη. Εστω f (x) αύξουσα και P = {x 0, x 1,..., x n } μιά διαμέριση και x k P Αν x k 1 x x k τότε m k = inf {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (x k 1 ) και M k = sup {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (x k ) οπότε U(P, f ) L(P, f ) = P n (M k m k ) x k k=1 n (M k m k ) = P (f (b) f ()) k=1 ɛ Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει μια διαμέριση με P < f (b) f () οπότε U(P, f ) L(P, f ) < ɛ. Από την Πρ. 6 συνεπάγεται ότι υπάρχει το ολοκλήρωμα Drboux. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 71 / 210

Πρόταση 9 Πρ. 9 f (x) συνεχής στο [, b] f (x) ομοιόμορφα συνεχής στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη Απόδειξη. f (x) ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ(ɛ) : x y < δ(ɛ) f (x) f (y) < ɛ b Διαλέγουμε μια διαμέριση με P < δ(ɛ). Επειδή η συνάρτηση είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο διάστημα [x k 1, x k ] θα έχουμε M k = sup {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (ξ k ) m k = inf {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (η k ) με ξ k, η k [x k 1, x k ] οπότε M k m k = f (ξ k ) f (η k ) < ɛ b και U(P, f ) L(P, f ) = n (M k m k ) x k < k=1 ɛ n x k = ɛ b k=1 Από την Πρ. 6 συνεπάγεται ότι υπάρχει το ολοκλήρωμα Drboux. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 72 / 210

Πρόταση 8 και Πρόταση 9 Πρ. 8 f (x) μονότονη και φραγμένη στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη Πρ. 9 f (x) συνεχής στο [, b] f (x) ομοιόμορφα συνεχής στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 73 / 210

Ολοκλήρωμα Riemnn διαμέριση P = {x 0, x 1, x 2,..., x n, } επιλογή σημείων T = {ξ 1, ξ 2,..., ξ n, } όπου x k 1 ξ k x k άθροισμα Riemnn n S (P, T, f ) = f (ξ k ) x k k=1 c1 c2 c3 cn x0= x1 x2 x3... xn 1 xn=b Figure 7.1: (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 74 / 210

Ορισμός Ολοκληρώματος Riemnn Ορισμός: Ολοκλήρωμα Riemnn ολοκλήρωμα Riemnn lim S (P, T, f ) = I R(f ) P 0 ɛ > 0 δ(ɛ) > O : P < δ και T επιλογή σημείων S (P, T, f ) I R (f ) < ɛ Αν υπάρχει το ολοκλήρωμα Riemnn τότε είναι μοναδικό (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 75 / 210

Πρόταση 10 και Πρόταση 11 Πρ. 10 ολοκλήρωμα Riemnn I R (f ) = I D (f ) ολοκλήρωμα Drboux Πρ. 11 (Θεώρημα Drboux) ξ k,n [ + k 1 n (b ), + k ] (b ) n b f (x) dx = lim n b n n f (ξ k,n ) k=1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 76 / 210

Παράδειγμα Παράδειγμα lim n n k=1 1 n + k = lim n 1 n n k=1 1 1 + k n = 1 0 1 dx = ln 2 1 + x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 77 / 210

Πρόταση 12 Ιδιότητες ολοκληρωμάτων (1) Γραμμικότητα b (c 1 f (x) + c 2 g(x)) dx = c 1 b f (x) dx + c 2 b g(x) dx Θετικότητα f 1 (x) f 2 (x) b f 1 (x) dx b f 2 (x) dx Τριγωνική ιδιότητα b f (x) dx b f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 78 / 210

Πρόταση 12 Ιδιότητες ολοκληρωμάτων (2) Χωρισμός διαστήματος c [, b] b f (x) dx = c f (x) dx + b f (x) dx c Επεκτάσεις ολοκληρώματος b f (x) dx ορ b f (x) dx f (x) dx ορ 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 79 / 210

Ανισότητες Βασική Ανισότητα b m f (x) M m (b ) Ανισότητα Cuchy-Schwrtz b f (x)g(x) dx Ανισότητα Minkowski b (f (x) + g(x)) 2 dx b b f 2 (x) dx f 2 (x) dx + f (x) dx M (b ) b b g 2 (x) dx g 2 (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 80 / 210

Λήμμα Λήμμα Αν η συνάρτηση f (x) είναι φραγμένη σε ένα διάστημα I = [c, d] m = inf {f (x), x I } M = sup {f (x), x I } u I v I f (u) f (v) M m και sup { f (u) f (v), u I, v I } = M m (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 81 / 210

Προτάσεις 13,14,15,16 Πρ. 13 Πρ. 14 Πρ. 15 Πρ. 16 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Η f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Αν f (x) και g(x) ολοκληρώσιμες στο [, b] Η f (x) g(x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και inf { f (x), x [, b]} > 0 Η 1 ολοκληρώσιμη στο [, b] f (x) Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] g(x) συνεχής στο f ([, b]) Η h(x) = g (f (x)) ολοκληρώσιμη στο [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 82 / 210

Απόδειξη Βασικής Ανισότητας Βασική Ανισότητα m f (x) M m (b ) b f (x) dx M (b ) Απόδειξη. Από την Πρ. 12 ( Θετικότηττα ) αποδεικνύεται η βασική ανισότητα ολοκληρώνοντας στο διάστημα [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 83 / 210

Απόδειξη Ανισότητας Cuchy-Schwrtz Ανισότητα Cuchy-Schwrtz b f (x)g(x) dx Απόδειξη. Γιά κάθε λ R b f 2 (x) dx b g 2 (x) dx 0 (λf (x) + g(x)) 2 = λ 2 f 2 (x) + 2λf (x)g(x) + g 2 (x) 0 λ 2 b b b f 2 (x) dx + 2λ f (x)g(x) dx + g 2 (x) dx ( ) ( ) ( ) b b b λ f (x)g(x) dx f 2 (x) dx g 2 (x) dx 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 84 / 210

Απόδειξη Ανισότητας Minkowski Ανισότητα Minkowski b (f (x) + g(x)) 2 dx Απόδειξη. b f 2 (x) dx b + g 2 (x) dx b (f (x) + g(x)) 2 dx = b b b = f 2 (x) dx + 2 f (x)g(x) dx + g 2 (x) dx b f 2 b (x) dx + 2 b f (x)g(x) dx + g 2 (x) dx }{{} Ανισότητα Cuchy-Schwrtz ( ) ( ) b b b b f 2 (x) dx + 2 f 2 (x) dx g 2 (x) dx + g 2 (x) dx = ( ) b ( dx) 2 b = f 2 (x) dx + g 2 (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 85 / 210

Απόδειξη Λήμματος Λήμμα Αν η συνάρτηση f (x) είναι φραγμένη σε ένα διάστημα I = [c, d] m = inf {f (x), x I } M = sup {f (x), x I } u I v I f (u) f (v) M m και sup { f (u) f (v), u I, v I } = M m Απόδειξη. u f (u) M v f (v) m f (u) f (v) M m και f (v) f (u) M m f (u) f (v) M m M = sup {f (x), x I } ɛ > 0 u : M ɛ 2 < f (u) M m = inf {f (x), x I } ɛ > 0 v : m f (v) < m+ ɛ 2 m ɛ < f (v) m 2 ɛ > 0 u, v M m ɛ < f (u) f (v) f (u) f (v) Οπότε sup { f (u) f (v), u I, v I } = M m (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 86 / 210

Απόδειξη Πρότασης 13 Πρ. 13 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Η f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Απόδειξη. Εστω P = { = x 0, x 1, x 2,..., x n = b}, Mk = sup { f (x), x I k} και = inf { f (x), x I k}, I k = [x k 1, x k ] τότε m k ( f (u) f (v) ) f (u) f (v) k=1 }{{} Mk m k M k m k Λήμμα n n U (P, f ) L (P, f ) = (M k m k ) x k και U (P, f ) L (P, f ) = (Mk m k ) x k Από την Πρ.6 έχουμε U (P, f ) L (P, f ) U (P, f ) L (P, f ) f ολοκληρώσιμη ɛ > 0 P : U (P, f ) L (P, f ) < ɛ ɛ > 0 P : U (P, f ) L (P, f ) U (P, f ) L (P, f ) < ɛ f ολοκληρώσιμη k=1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 87 / 210

Απόδειξη Πρότασης 14 Πρ. 14 Αν f (x) και g(x) ολοκληρώσιμες στο [, b] Η f (x) g(x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Απόδειξη. Αν f (x) < Bf και g(x) < Bg τότε αν x [xk 1, xk] και y [xk 1, xk]. Εστω P = { = x0, x1, x2,..., xn = b}, (f (x)g(x) f (y)g(y)) f (x) (g(x) g(y)) + (f (x) f (y)) g(y) Bf g(x) g(y) +Bg f (x) f (y) ( }{{} (f (x)g(x) f (y)g(y)) Bf M g k ) ( ) mg k + Bg Mk f mf k Λήμμα όπου άρα Mk f = sup{f (x), xk 1 x xk}, Mg mk f = inf{f (x), xk 1 x xk}, mg k = sup{g(x), xk 1 x xk} k = inf{g(x), xk 1 x xk} M fg k mfg k = sup { (f (x)g(x) f (y)g(y)), x, y [xk 1, xk]} f ολοκληρώσιμη ɛ > 0 P1 : U (P1, f ) L (P1, f ) < ɛ Bg g ολοκληρώσιμη ɛ > 0 P2 : U (P2, f ) L (P2, f ) < ɛ ɛ > 0 P = P1 P2 : U (P, f ) L (P, f ) U (P1, f ) L (P1, f ) < ɛ }{{} Bg Πρ.2 και 3 U (P, g) L (P, g) U (P2, g) L (P2, g) < ɛ }{{} Bf Πρ.2 και 3 ɛ > 0 P : U (P, fg) L (P, fg) < ɛ fg ολοκληρώσιμη Bf (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 88 / 210

Απόδειξη Πρότασης 15 Πρ. 15 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και inf { f (x), x [, b]} > 0 Η 1 ολοκληρώσιμη στο [, b] f (x) Απόδειξη. 0 < γ = inf { f (u), u [, b]} 0 < 1 f (x) 1 γ 1 f (x) 1 f (y) = 1 f (x)f (y) f (x) f (y) 1 f (x) f (y) γ2 M 1/f k m 1/f k 1 ) (M f γ 2 k mf k κλπ κλπ όπως στις προηγούμενες προτάσεις (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 89 / 210

Απόδειξη Πρότασης 16 και Ασκήσεις Πρ. 16 Αν f (x) ολοκληρώσιμη και g(x) συνεχής στο [, b] Η h(x) = g (f (x)) ολοκληρώσιμη στο [, b] (Απόδειξη δυσκολώτερη αλλά στο πνεύμα των προηγουμένων, δεν έγινε στην τάξη) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Αποδείξτε f ολοκληρώσιμη f 2 ολοκληρώσιμη (2) Αποδείξτε f > γ > 0 ολοκληρώσιμη f ολοκληρώσιμη (3) Αποδείξτε f > γ > 0 ολοκληρώσιμη 3 f ολοκληρώσιμη (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 90 / 210

Πρόταση 17 (-b) Πρ. 17 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και F (x) συνεχής και F (x) = f (x) στο (, b) b f (x) dx = F (b) F () Πρ. 17b Θεώρημα Cuchy Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και F (x) = x f (t) dt x [, b] F (x) συνεχής στο [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 91 / 210

Πρόταση 17 (c-d) Πρ. 17c Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και f (x) συνεχής από αριστερά ή από δεξιά στο x 0 [, b] και F (x) = x f (t) dt x [, b] F (x 0 ) = lim f (x 0 + ɛ) ɛ > 0 ɛ 0 ή F +(x 0 ) = lim f (x 0 ɛ) στο [, b] ɛ 0 Πρ. 17d Θεμελιώδες Θεώρημα Απειροστικού Λογισμού Αν f (x) συνεχής στο [, b] τότε G(x) G() = x f (t) dt G (x) = f (x) x [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 92 / 210

Πρόταση 18-Πρόταση 19-Πόρισμα Πρ. 18 Αν f (x) και g (x) ολοκληρώσιμες στο [, b] b f (x) g (x) dx + b f (x) g(x) dx = f (x) g(x)] b Πρ. 19 Αν f (x) συνεχής και g(x) διαφορίσιμη στο [, b] g(x) d f (t) dt = f (g(x)) g (x) dx Πόρισμα d dx g(x) h(x) f (t) dt = f (g(x)) g (x) f (h(x)) h (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 93 / 210

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (1) Πρ. 20 Αν f (x) φραγμένη στο [, b] m f (x) M και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο και f (x)g(x) ολοκληρώσιμη µ [m, M] b b f (x)g(x) dx = µ g(x) dx Πρ. 20b: Πρώτο Θεωρημα Μέσης Τιμής Αν f (x) συνεχής στο [, b] και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο f (x)g(x) ολοκληρώσιμη b b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx Πόρισμα Αν f (x) συνεχής στο [, b] ξ [, b] b f (x) dx = f (ξ) (b ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 94 / 210

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (2) Πρ. 20c Αν f (x) μονότονη και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f () g(x) dx + f (b) g(x) dx ξ ξ b Πρ. 20c : Δεύτερο Θεωρημα Μέσης Τιμής ξ [, b] Αν f (x) μονότονη συνεχήςκαι f (x) και g(x) συνεχής b f (x)g(x) dx = f () ξ g(x) dx + f (b) b ξ g(x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 95 / 210

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (3) Πρ. 20 Αν f (x) φραγμένη στο [, b] m f (x) M και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο και f (x)g(x) ολοκληρώσιμη Απόδειξη. b b µ [m, M] f (x)g(x) dx = µ g(x) dx Εστω g(x) 0 m f (x) M mg(x) f (x)g(x) Mg(x) b b (Σημ: αν g(x) dx = 0 f (x)g(x) dx = 0) b Εστω g(x) dx 0 τότε b f (x)g(x) dx m = µ M b g(x) dx (Αν g(x) 0 g(x) 0 και εργαζόμαστε όπως προηγούμενα) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 96 / 210

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (4) Πρ. 20b: Πρώτο Θεωρημα Μέσης Τιμής Αν f (x) συνεχής στο [, b] και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο Απόδειξη. ξ [, b] b Αφού η f (x) είναι συνεχής, αν f (x)g(x) dx = f (ξ) f (x)g(x) ολοκληρώσιμη b g(x) dx m = inf f (x), M = sup f (x), γιαx [, b] τότε ξ : f (ξ) = µ όπου µ ορίστηκε στην προηγούμενη πρόταση. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 97 / 210

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (5) Πόρισμα Αν f (x) συνεχής στο [, b] ξ [, b] b f (x) dx = f (ξ) (b ) Απόδειξη. θέτουμε g(x) = 1 στην προηγούμενη πρόταση. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 98 / 210

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (6) Πρ. 20c Αν f (x) μονότονη και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο b ξ b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f () g(x) dx + f (b) g(x) dx Απόδειξη. Υποθέτουμε f (x) αύξουσα και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό θετικό πρόσημο b F () = b F (z) = b F (b) = z f (x)g(x) dx f () b f (x)g(x) dx f (b) b f (x)g(x) dx f () g(x) dx = g(x) dx = b g(x) dx f (b) επειδή F (z) συνεχής F ()F (b) 0 ξ : F (ξ) = 0. b b z ξ g(x) dx (f (x) f (b))g(x) dx 0 (f (x) f ())g(x) dx 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 99 / 210

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (7) Πρ. 20c : Δεύτερο Θεωρημα Μέσης Τιμής Αν f (x) μονότονη συνεχήςκαι f (x) και g(x) συνεχής b ξ b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f () g(x) dx + f (b) g(x) dx Απόδειξη. Θεωρούμε f (x) 0. ( b b x ) f (x)g(x) dx = f (x) d g(t)dt = ( ) b ( b x ) = f (b) g(t)dt f (x) g(t)dt dx ( x ) g(t)dt συνεχής f (x) ολοκληρώσιμη ) και διατηρεί πρόσιμο ( ( ) ( b b ξ b f (x)g(x) dx = f (b) g(t)dt g(t)dt ( ) ( ) b ξ = f (b) g(t)dt g(t)dt (f (b) f ()) = ( ) b ξ ξ = f (b) g(t)dt g(t)dt + f () g(t)dt = ξ b = f () g(t)dt + f (b) g(t)dt ξ ξ f (x)dx ) = (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 100 / 210

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισμός f (x) τοπικά ολοκληρώσιμη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f (x) είναι ολοκληρώσιμη. πχ f (x) = e x είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο R f (x) = 1 x(1 x) είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο (0, 1) Ορισμός Το γενικευμένο ολοκλήρωμα για μια τοπικά ολκληρώσιμη συνάρτηση f (x) υπάρχει αν μπορούμε να βρούμε τα όρια για κάθε u (,, b) b f (x) dx ορ u lim c c d f (x) dx + lim d b u f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 101 / 210

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α και Β ΕΙΔΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α ΕΙΔΟΥΣ = ή (και) b = f (x) = e x είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο [0, ) d 0 e x dx = lim d 0 ( e x dx = lim 1 e d) = 1 d ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ στο ένα ή και στα δύο όρια της ολοκλήρωσης η συνάρτηση δεν ορίζεται. 1 f (x) = είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο (0, 1) x(1 x) 1 0 dx 1 = x(1 x) 0 dx 1 4 ( x 1 2 ) 2 x 1 2 = 1 2 sin t {}}{ = = π/2 π/2 1 2 cos t dt = π cos t 1 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 102 / 210

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Α ΕΙΔΟΥΣ Θεωρούμε ολοκληρώματα του είδους: f (x) τοπικά ολοκληρώριμη, F (u) = u ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cuchy f (x) dx και lim u F (u) f (x) dx Υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα η συνάρτηση F (u) ικανοποιεί μια συνθήκη Cuchy για u x 2 ɛ R > 0 : x 2 > x 1 > R F (x 2 ) F (x 1 ) = f (x) dx < ɛ Παράδειγμα: Το ολοκλήρωμα 0 sin x x dx υπάρχει. x 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 103 / 210

Παράδειγμα 1 ( Υπαρξη Ολοκληρώματος) Παράδειγμα Το ολοκλήρωμα Απόδειξη. x 2 x 1 x 2 x 1 sin x x sin x x 0 sin x x dx = x 2 x 1 dx 1 + 1 + x 1 x 2 dx υπάρχει. d cos x x x 2 x 1 ɛ R = 2 ɛ : x 2 > x 1 > R = cos x 1 x 1 cos x 2 x 2 + x 2 x 1 cos x x 2 dx cos x x 2 dx 1 + 1 x 2 1 + x 1 x 2 x 2 dx 2 x 1 x 2 x 1 sin x x x 1 dx 2 < ɛ x 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 104 / 210

Απόλυτη και Απλή σύγκλιση Απόλυτη σύγκλιση Απλή σύγκλιση f (x) dx f (x) dx ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση πχ. το 0 sin x x sin 2 x x dx υπάρχει αλλά δεν υπάρχει το dx = 1 2 1 cos 2x x dx = 1 2 sin x x 0 dx x }{{} dx 1 2 sin x x dx sin 2 x x dx cos 2x dx x } {{ } (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 105 / 210

Συνάρτηση Ολοκληρώσιμη στο Άπειρο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέμε ότι η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη στο αν f (x) dx για κάποιο > 0 f (x) < Cx p e x για μεγάλα x Η f (x) είναι ολοκληρώσιμη πχ η x 2 sin xe x είναι ολοκληρώσιμη στο f (x) < C x q, q > 1 για μεγάλα x Η f (x) είναι ολοκληρώσιμη πχ η sin x5 x 3/2 είναι ολοκληρώσιμη στο (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 106 / 210

Απόδειξη σύγκλισης (1) Απόλυτη σύγκλιση Απλή σύγκλιση f (x) dx f (x) dx Απόδειξη. f (x) dx x2 ɛ R > 0 : x 2 > x 1 > R f (x) dx < ɛ x1 x2 f (x) dx x2 f (x) dx x1 x1 x2 ɛ R > 0 : x 2 > x 1 > R f (x) dx < ɛ x1 f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 107 / 210

Απόδειξη σύγκλισης (2) ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση πχ. το 0 sin x x dx υπάρχει αλλά δεν υπάρχει το 0 sin x x dx sin x x dx sin 2 x x dx = 1 2 1 cos 2x x dx = 1 dx 1 2 x 2 }{{}} cos 2x x {{ dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 108 / 210

Απόδειξη Κριτήριο Σύγκρισης Κριτήριο σύγκρισης 0 f (x) g(x) για x > g(x) dx f (x) dx f (x) dx g(x) dx Απόδειξη. Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cuchy και στο γεγονός ότι x 2 0 x 2 f (x) dx g(x) dx x 1 x 1 πχ το ολοκλήρωμα το 0 1 x+1dx δεν υπάρχει. 0 1 1 dx δεν υπάρχει γιατί (1+x 3 ) 1/3 x+1 1 και (1+x 3 ) 1/3 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 109 / 210

Απόδειξη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέμε ότι η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη στο αν f (x) dx για κάποιο > 0 f (x) < Cx p e x για μεγάλα x Απόδειξη. Αν p 0 τότε για x > > 1 x p e x < p e x }{{} ολοκληρώσιμη στο [, ) οπότε f (x) dx C p e x dx Αν p > 0 τότε η συνάρτηση g(x) = x p e x/2 έχει μέγιστο για x = 2p οπότε f (x) < (2p) p e p e x/2 }{{} ολοκληρώσιμη στο [, ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 110 / 210

Παραδείγματα συναρτήσεων ολοκληρώσιμων στο άπειρο πχ η x 2 sin xe x είναι ολοκληρώσιμη στο f (x) < C x q, q > 1 για μεγάλα x Απόδειξη. Η συνάρτηση C x q είναι ολοκληρώσιμη στο [1, ) 1 dx x q = 1 q 1 πχ η sin x5 x 3/2 είναι ολοκληρώσιμη στο (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 111 / 210

Οριακό κριτήριο σύγκλισης Οριακό κριτήριο σύγκλισης 1 0 < l < 2 l = 0 3 l = 0 f (x) και 0 < g(x) για x > f (x) lim x g(x) = l 0 g(x) dx g(x) dx g(x) dx = f (x) dx f (x) dx f (x) dx = (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 112 / 210

Απόδειξη Οριακού κριτηρίου σύγκλισης x α πχ Αν 0 < α < 2β 1 τότε 1 (1 + x 2 ) β dx Απόδειξη. 1 Για μεγάλα x > R έχουμε l 2 < f (x) g(x) < 3l 2 επομένως l g(x) < f (x) 2 f (x) < 3l g(x) 2 f (x) dx g(x) dx R g(x) dx f (x) dx 2 Για μεγάλα x > R έχουμε f (x) g(x) < 1 2 επομένως R f (x) < 1 2 g(x) R g(x) dx f (x) dx 3 Για μεγάλα x > R έχουμε 1 < f (x) g(x) επομένως g(x) < f (x) g(x) dx = ; f (x) dx = R R R R R (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 113 / 210

Ολοκληρωτικό κριτήριο Cuchy Ολοκληρωτικό κριτήριο Cuchy Αν f (x) > 0 συνεχής και φθίνουσα στο [m, ) τότε πχ. Η k=1 1 k s m f (x) dx k m f (k) < συγκλίνει για s > 1 γιατί το ολοκλήρωμα 1 1 x s dx υπάρχει. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 114 / 210

Απόδειξη Ολοκληρωτικού κριτηρίου Cuchy Ολοκληρωτικό κριτήριο Cuchy Αν f (x) > 0 συνεχής και φθίνουσα στο [m, ) τότε f (x) dx m f (k) < k m Απόδειξη. f (x) > 0 συνεχής και φθίνουσα k < x < k + 1 f (k }{{ + 1 } ) f (x) f (k) =l l=p+1 l=q+1 f (l) p q k=p f (x) dx f (k) k=q Οπότε αν S n = k=n αντίστροφα. k=m x f (k) Cuchy τότε F (x) = m f (t) dt Cuchy και (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 115 / 210

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ Ορισμός f (x) τοπικά ολοκληρώσιμη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f (x) είναι ολοκληρώσιμη. 1 πχ f (x) = είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο (0, 1) x(1 x) Ορισμός Το γενικευμένο ολοκλήρωμα για μια τοπικά ολκληρώσιμη συνάρτηση f (x) υπάρχει αν μπορούμε να βρούμε τα όρια για κάθε u (, b) b f (x) dx ορ lim u c c f (x) dx + lim d d b u f (x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ στο ένα όριο της ολοκλήρωσης Εστω ότι η συνάρτηση f (x) συνάρτηση δεν ορίζεται στο b αλλά είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο [, b) u F (u) = f (x)dx και u f (x)dx = lim u b F (u) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 116 / 210

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Β ΕΙΔΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ στο ένα όριο της ολοκλήρωσης Εστω ότι η συνάρτηση f (x) συνάρτηση δεν ορίζεται στο b αλλά είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο [, b) F (u) = ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cuchy u f (x)dx και u f (x)dx = lim u b F (u) Υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα η συνάρτηση F (u) ικανοποιεί μια συνθήκη Cuchy για u [ b] ɛ δ(ɛ) > 0 : x 2 x 1 < δ(ɛ) F (x 2 ) F (x 1 ) = x 2 x 1 f (x) dx < ɛ Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση b b f (x) dx f (x) dx ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 117 / 210

Κριτήριο σύγκρισης Κριτήριο σύγκρισης 0 f (x) g(x) για x > b b g(x) dx f (x) dx b b f (x) dx g(x) dx f (x) < C (x ) και 0 p < 1 για b x f (x) ολοκληρώσιμη p Οριακό κριτήριο σύγκλισης 1 0 < l < 2 l = 0 0 f (x) και 0 < g(x) για x > b b f (x) lim x g(x) = l 0 g(x) dx g(x) dx b b f (x) dx f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 118 / 210

Απόδειξη Απόλυτη σύγκλιση-σύγκλιση Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση Αποδ.: b b f (x) dx b f (x) dx f (x) dx ɛ δ > 0 : x 2 b < δ και x 1 b < δ; x2 x1 f (x) dx x2 x1 f (x) dx ɛ δ > 0 : x 2 b < δ και x 1 b < δ; b f (x) dx x2 x1 x2 x1 f (x) dx < ɛ f (x) dx < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 119 / 210

Απόδειξη Κριτήριο σύγκρισης Κριτήριο σύγκρισης 0 f (x) g(x) για x > b b g(x) dx b b f (x) dx f (x) dx g(x) dx Αποδ.: Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cuchy και στο γεγονός ότι x 2 x 2 0 f (x) dx g(x) dx x 1 x 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 120 / 210

Παράδειγμα (Κριτήριο Σύγκρισης) πχ το ολοκλήρωμα 1 x < 1 sin x και το 0 1 0 dx x dx sin x δεν υπάρχει γιατί sin x < x για 0 < x < 1 και δεν υπάρχει. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 121 / 210

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ α (1) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέμε ότι η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη για x > > 0 αν b f (x) dx για κάποιο b > f (x) < C (x ) p και 0 p < 1 για b x f (x) ολοκληρώσιμη Αποδ.: Αν 1 > p 0 τότε για u > F (u) = b u dx (x )1 p = (x ) p 1 p b u = (b )1 p (u ) 1 p 1 p (b ) u 1 p (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 122 / 210

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ α (2) C (x ) p γιατί 1 p > 0 οπότε η είναι ολοκληρώσιμη στο οπότε b f (x) dx C (b )1 p 1 1 p πχ η sin x είναι ολοκληρώσιμη στο 0. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 123 / 210

Οριακό κριτήριο σύγκλισης (2) Οριακό κριτήριο σύγκλισης 1 0 < l < 2 l = 0 0 f (x) και 0 < g(x) για x > b b f (x) lim x g(x) = l 0 g(x) dx g(x) dx b b f (x) dx f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 124 / 210

ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n (x), n N} μια ακολουθία συναρτήσεων ορισμένων στο διάστημα I = [, b] (ή (, b] ή [, b) ή (, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σημειακά (point-wise convergence) στην συνάρτηση f (x) αν lim f n(x) = f (x) n ɛ N (ɛ, x) : n > N (ɛ, x) f n (x) f (x) < ɛ Παράδειγμα 1 f n (x) = x n, x < 1 τότε lim n f n(x) = 0 = f (x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 125 / 210

Παράδειγμα 1 (Σύγκλισης) (1) Παράδειγμα 1 f n (x) = x n, x < 1 τότε lim n f n(x) = 0 = f (x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Παρατηρούμε ότι: x n < ɛ 1 ɛ < 1 x n ln ( ) ( ) 1 1 < n ln ɛ x N (ɛ, x) = ln ( ) 1 ( ɛ ) < n ln 1 x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 126 / 210

Παράδειγμα 1 (Σύγκλισης) (2) Παράδειγμα 1 f n (x) = x n, x < 1 τότε lim n f n(x) = 0 = f (x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Οπότε ɛ N (ɛ, x) = ln ( ) 1 ( ɛ ) : n > N (ɛ, x) f n (x) f (x) < ɛ ln 1 x Σημείωση: sup N (ɛ, x) = x I (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 127 / 210

Ορισμός Ομοιόμορφης Σύγκλισης ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει ομοιόμορφα (uniform congergence) στην συνάρτηση f (x) αν lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n ɛ x I N (ɛ) : n > N (ɛ) f n (x) f (x) < ɛ Παράδειγμα 2 x f n (x) = 1 + n 2, 0 x τότε lim x 2 f n(x) = 0 = f (x) n 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 128 / 210

Παράδειγμα 2 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 2 x f n (x) = 1 + n 2, 0 x 0 τότε lim x 2 f n(x) = 0 = f (x) n 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Παρατηρούμε ότι: f n(x) = 1 n2 x 2 ( ) ( ) 1 1 (1 + n 2 x 2 ) 2 f n = 0 mx f n (x) = f n = 1 n x I n 2n N (ɛ, x) = N (ɛ) = 1 2ɛ ɛ N (ɛ) = 1 2ɛ : n > N (ɛ, x) f n(x) f (x) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 129 / 210

Κριτήριο μή ομοιόμορφης σύγκλισης (i) Η ακολουθία συναρτήσεων f n (x) ομοιόμορφα στην συνάρτηση f (x), (ii) η f (x) είναι ομοιόμορφα συνεχής και (iii) x n x. n Τότε f n (x n ) n f (x). Κριτήριο μή ομοιόμορφης σύγκλισης (αʹ) Αν η συνάρτηση f (x) είναι ομοιόμορφα συνεχής (βʹ) x n x 0 n (γʹ) αν f n (x n ) δεν συγκλίνει η ακολουθία {f n (x)} n N δεν συγκλίνει ομοιόμορφα (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 130 / 210

Παράδειγμα 3 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 3: Οι συναρτήσεις f n (x) = nx(1 x) n ενώ συγκλίνουν σημειακά στο μηδέν για x [0, 1]. Για κάθε x (0, 1) έχουμε f n+1 (x) = n + 1 ( (1 x) = 1 + 1 ) (1 x) f n (x) n n Για μεγάλα n θα έχουμε: ( 1 + 1 ) ( (1 x) < 1 x ) n 2 οπότε f n+1 (x) f n (x) < ( 1 x ) < 1 2 άρα lim n 0 f n (x) = 0 = f (x) σε κάθε σημείο x. Αλλά η ακολουθία f n (x) δεν συγκλίνει ομοιόμορφα επειδή για x n = 1/n και για μεγάλα n ( ) 1 f n = n ( 1 1 n ) n n e 1 f n ( ) 1 > 1 n 2e f n ( ) 1 f n ( ) 1 > 1 n 2e (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 131 / 210

Πρόταση 1 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 1 lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n M n = sup f n (x) f (x) 0 x I n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 132 / 210

Παράδειγμα 4 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 4: Για κάθε x f n (x) = sin (n x + x) f n (x) 1 n n = M n lim f n(x) = 0, ομοιόμορφα n 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 133 / 210

Πρόταση 2 (Κριτήριο Cuchy) Πρόταση 2 (Κριτήριο Cuchy) lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n ɛ x I N (ɛ) : n > m > N (ɛ) f n (x) f m (x) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 134 / 210

Πρόταση 3 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 3 lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n f n (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχείς στο ανοικτό διάστημα (, b) f (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (, b) Αυτή η πρόταση σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και lim εναλλάσσονται x x0 n για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: ( ) ( ) lim lim f n(x) = lim f (x) = f (x 0 ) = lim f x x 0 n x x0 n(x 0 ) = lim lim f n (x) n n x x 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 135 / 210

Πρόταση 4 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 4: lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n και f n (x) συνεχείς συναρτήσεις για x [, b] F n (x) = x x f n (t) dt F (x) = n f (t) dt ομοιόμορφα Η Πρόταση 4 σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: lim n b f n (t) dt = b ( ) lim f n(t) dt n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 136 / 210

Πρόταση 5 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 5 f n (x) παραγωγίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους στο διάστημα (, b) f n (x) συγκλίνουν ομοιόμορφα στην συνάρτηση f (x) f n(x) συγκλίνουν ομοιόμορφα ( ) lim n df n (x) dx d = f (x) = lim f n(x) n dx d Το παραπάνω συμπέρασμα σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και dx εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 137 / 210

Απόδειξη Πρότασης 1 (Ομοιόμορφη σύγκλιση) Πρόταση 1 Απόδειξη. lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n M n = sup f n (x) f (x) 0 x I n lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n ( ɛ ( ɛ ɛ x I N : n > N f n (x) f (x) < 2) 2) ɛ 2 M n = sup f n (x) f (x) ɛ < ɛ lim x I 2 M n = 0 n Το αντίστροφο αποδεικνύεται ως εξής: M n = sup f n (x) f (x) 0 x I n ɛ N (ɛ) : n > N (ɛ) M n < ɛ f n (x) f (x) < ɛ lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 138 / 210

Απόδειξη Πρότασης 2 (Κριτήριο Cuchy) Πρόταση 2 (Κριτήριο Cuchy) Απόδειξη. lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα n ɛ x I N (ɛ) : n > m > N (ɛ) fn(x) fm(x) < ɛ lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα fn(x) ικανοποιεί το Κριτήριο Cuchy n Εστω lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα, αυτό σημαίνει ότι n οπότε ɛ x I N ( ( ɛ ɛ ) 2) : n > N fn(x) f (x) < ɛ ( 2 ɛ 2 και m > N fm(x) f (x) < 2) ɛ 2 fn(x) fm(x) = (fn(x) f (x)) + (f (x) fm(x)) επομένως fn(x) f (x) + f (x) fm(x) < ɛ ɛ x I N (ɛ) : n > m > N (ɛ) fn(x) fm(x) < ɛ Επομένως αποδείξαμε ομοιόμορφη σύγκλιση Κριτήριο Cuchy. Για το αντίστροφο έστω ότι ισχύει το παραπάνω, αυτό σημαίνει ότι για κάθε x σταθερό η ακολουθία fn(x) είναι μια ακολουθία Cuchy άρα συγκλίνει σε κάθε σημείο σε μια συνάρτηση f (x), δηλαδή lim fm+k(x) = f (x) k ( ɛ ( ɛ ɛ x I N : m > N και k 0 fm(x) fm+k(x) < 2) 2) ɛ 2 άρα lim k fm(x) fm+k(x) = fm(x) f (x) ɛ 2 < ɛ και η ακολουθία fn(x) συγκλίνει ομοιόμορφα. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 139 / 210

Απόδειξη Πρότασης 3 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(1) Πρόταση 3 lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n f n (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχείς στο ανοικτό διάστημα (, b) f (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (, b) Απόδειξη. lim n f n(x) = f (x), ομοιόμορφα ɛ > 0 h n 0 : f n0 (x) f (x) < ɛ 3 και f n 0 (x + h) f (x + h) < ɛ 3 f n0 (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (, b) δ(ɛ) > 0 : h < δ(ɛ) f n0 (x + h) f n0 (x) < ɛ 3 Οπότε ɛ > 0 δ(ɛ) > 0 : h < δ(ɛ) f (x + h) f (x) f (x+h) f n0 (x+h) + f n0 (x + h) f n0 (x) + f n0 (x) f (x) < ɛ Αρα η συνάρτηση f (x) είναι συνεχής στο (, b) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 140 / 210

Απόδειξη Πρότασης 3 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(2) Αυτή η πρόταση σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και lim εναλλάσσονται x x0 n για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: ( ) lim lim f n(x) x x 0 n ( ) = lim f (x) = f (x 0 ) = lim f x x0 n(x 0 ) = lim lim f n (x) n n x x 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 141 / 210

Απόδειξη Πρότασης 4 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(1) Πρόταση 4: lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα n και f n(x) συνεχείς συναρτήσεις για x [, b] Απόδειξη. x F n(x) = x f n(t) dt F (x) = n lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα n f (t) dt ομοιόμορφα ( ) ɛ ɛ > 0 t I N : ( ) 2(b ) ɛ ɛ n > N f n(t) f (t) < 2(b ) 2(b ) x F n(x) F (x) = (f n(t) f (t))dt x f n(t) f (t) dt ɛ(x ) 2(b ) < ɛ Αρα η ακολουθία F n(x) συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση F (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 142 / 210

Απόδειξη Πρότασης 4 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(2) Η Πρόταση 4 σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: lim n b f n (t) dt = b ( ) lim f n(t) dt n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 143 / 210

Παράδειγμα 5 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 5 : Για κάθε x [0, 1] η ακολουθία f n (x) = nxe nx2 συγκλίνει σημειακά στο 0 αλλά δεν συγκλίνει ομοιόμορφα. Για μεγάλα n και x (0, 1) f n+1 (x) f n (x) Αλλά = ( 1 + 1 ) e x2 n n e x2 < 1 ( ) 1 n f n = 2n 2e n lim f n(x) = 0, σημειακά n η ακολουθία δεν συγκλίνει ομοιόμορφα. Παρατηρούμε ότι: 1 0 f n (x) dx = 1 0 nxe nx2 dx = 1 e n 2 1 n 2 Αλλά 1 0 ( ) lim f n(x) dx = 0 lim n n 1 0 f n (x) dx = 1 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 144 / 210

Παράδειγμα 6 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 6: Αν f n (x) = n + sin x 3n + cos 2, να αποδειχθεί ότι x 1 lim f n (x) dx = 1 n 0 Αποδ. Η ακολουθία f n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στο 1 3 διότι (Πρόταση 1): n + sin x 3n + cos 2 x 1 3 = 3 sin x cos 2 x 9n + 3 cos 2 x 4 9n 0 επομένως από την πρόταση 4 έχουμε: 1 lim f n (x) dx = 1 n 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 145 / 210