AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija, kao i razni slučajevi složenog naprezanja. Za sve slučajeve naprezanja grednog nosača treba doći do opštih izraza za napone i deformacije da bi se pripremili podaci za analizu grednog nosača, tj. njegovo dimenzionisanje, kontrolu stanja napona, stabilnosti i sl. Ako su poznata rešenja za četri osnovna slučaja naprezanja, primenom principa superpozicije (kada taj princip može da se primeni), mogu se dobiti rešenja za različita kombinovana naprezanja.

AKSIJALNO NAPREZANJE NORMALNI NAPON I DILATACIJA Najosnovniji pojmovi u Otpornosti materijala su napon i dilatacija. Ovi pojmovi se se mogu objasniti u njihovom najelementarnijem obliku analiziranjem prizmatičnog štapa koji je opterećen aksijalnom silom Aksijalna sila duž ose štapa izaziva zatezanje ili pritisak u štapu. Poluga je zategnut prizmatični element

Aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) je naprezanje pri kome se u poprečnim presecima pravog štapa javljaju samo aksijalne unutrašnje sile. Sve druge unutrašnje sile jednake su nuli (transverzalne sile, momenti savijanja, momenti uvijanja), to jest ne postoje. Takvo naprezanje javlja se ne samo u slučaju kada su spoljašnje sile kolinearne sa osom štapa i deluju duž ose štapa, već i u slučaju kada seku osu štapa pod nekim uglom ali se pri tome pravac njihove rezultante poklapa sa osom štapa.

Elementi rešetke telekomunikacionog tornja su prizmatični štapovi napregnuti na zatezanje ili pritisak

Cilindričan štap prikazan na slici zategnut je na krajevima silama F, koje deluju u težištima osnova štapa. Koordinatni sistem x, y, z postavljen je tako da se osa z poklapa sa podužnom osom grede, dok ose x i y leže u ravni poprečnog preseka grede. Površina poprečnog preseka je A. UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Štap pre nanošenja opterećenja je dužine l, dok je posle nanošenja opterećenja dužina štapa uvećana za δ (delta) l. poprečni presek

Unutrašnje sile u štapu će se pojaviti ukoliko se štap preseče na dva dela zamišljenom ravni upravnom na osu štapa. Svaki od ovih delova pod uticajem spoljašnje sile i unutrašnjih sila koje se prenose preko presečne površine mora da bude u ravnoteži. Prema tome, redukciona rezultanta svih unutrašnjih sila na težište poprečnog preseka mora biti jedna sila u pravcu ose štapa suprotnog smera od spoljašnje sile koja deluje na taj deo štapa. Z = 0 F F = 0 F = F Iz ovog statičkog uslova ravnoteže (Osnovna hipoteza otpornosti materijala) još uvek nije moguće odrediti raspored i veličinu unutrašnjih sila po površini A. A A

UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Ako veličinu normalnog napona u tački M,čije su koordinate (x,y) obeležimo sa σ z ( x, y) normalni napon u tački M za presečnu ravan sa normalom z, je rezultanta unutrašnjih sila koje se prenose preko elementa površine da oko te tečke σ z ( x, y) da σ a preko celog porečnog preseka z ( ) A x, y da Uslov ravnoteže levog dela glasi: Z = 0 σ ( x, y) da F 0 A z =

UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI Unutrašnja sila predstavlja rezultantu svih elementarnih unutrašnjih sila koje deluju na svaku elementarnu površinu poprečnog preseka. F = F A = σ A z ( x, y) da

Ni iz ovog uslova se još ne može odrediti veličina napona σ z ( x, y) Pretpostavljajući dalje da je u slučaju cilindrinog štapa σ z x, y = const. normalan napon u svim tačkama poprečnog preseka jednak, ( ) Z σ A F = 0 σ = z = 0 ( x, y) da F 0 Zbog toga se kratko govori o naponu ili naprezanju u štapu pričemu se misli na napon u pojedinim tačkama štapa za presečne ravni upravne na osu štapa. A σ z = z F A

Prema tome, u slučaju aksijalno napregnutog štapa napon je u svim tačkama, dovoljno udaljenim od krajeva, za presečne ravni koje su upravne na njegovu osu, jednak i dat izrazom σ = F A

Bernulijeva pretpostavka o ravnim presecima Štap ostaje prav i posle nanošenja opterećenja, a takođe poprečni presek ostaje ravan i upravan na osu nosača iako u toku vremena štap menja oblik i zapreminu. Zamišljeni ravni preseci upravni na osu nosača, ostaju i posle deformisanja ravni i upravni na osu nosača. Poprečni presek pri deformisanju štapa ostaje ravan ali se pomera paralelno (translatorno) duž ose štapa. Pri eksperimentalom ispitivanju primećeno je da linije nanešene na površinu neopterećenog štapa u ravnima poprečnih preseka ostaju ravne i kad se štap optereti zategne ili pritisne. Pretpostavlja se da se sličan proces dešava i sa odgovarajućim zamišljenim linijama unutar štapa.

Zbog toga se može pretpostaviti da se sve tačke proizvoljnog poprečnog preseka pomeraju paralelno sa osom štapa za istu veličinu i da i dalje leže u zajedničkoj ravni. Ovo nije slučaj kod tankozidnih štapova. Na osnovu Bernulijeve pretpostavke može se smatrati da je normalni napon u svakoj tački poprečnog preseka konstantan. F F = F A = σ A z = FA = σ σ = A F A ( x, y) da da = σa

San Venanov princip Eksperimenti i teorijska ispitivanja su pokazala da je u tačkama tela dovoljno udaljenim od krajeva štapa (područja nanošenja opterećenja na telo) je pravac unutrašnjih sila paralelan sa osom štapa, tj. da u bilo kojoj tački poprečnog preseka postoji samo normalna komponenta napona, a da je tangencijalna komponenta napona jednaka nuli. Greda je od homogenog i izotropnog materijala poznatih mehaničkih svojstava. Pretpostavlja se da je materijal linearno elastičan ukoliko nije posebno naznačeno. Homogen materijal ima iste fizička i mehanička svojstva u svim tačkama, a izotropan materijal ima iste osobine u svim pravcima.

Ako štap nije cilindričan ili ako na nekom mestu ima zarez tada prethodne pretpostavke ne važe. Naponi u tačkama poprečnog preseka koji prolazi kroz sredinu zareza, a koje se nalaze bliže krajevima, mogu biti dva i tri puta veći nego u težištu preseka. Ova pojava se naziva koncentracija napona. Diskontinuitet poprečnih preseka može da izazove veliku koncentraciju napona

DEFORMACIJE Pod uticajem aksijalne sile štap se deformiše menja svoje dimenzije i podužne i poprečne. Razlika krajnje dimenzije (posle deformisanja) i odgovarajuće prvobitne dimenzije (pre deformisanja) je apsolutna deformacija - izduženje ili skraćenje. Odnos apsolutne deformacije i odgovarajuće prvobitne dimenzije štapa je relativna deformacija ili dilatacija.

DEFORMACIJE Dilatacija u pravcu ose štapa ili u pravcu dejstva sile je podužna dilatacija. Dilatacije u poprečnom pravcu su poprečne dilatacije. Dilatacije su bezdimenzionalne veličine Često se izražavaju u procentima.

ZATEZANJE apsolutna deformacija l = l l 1 a = a1 a b = b b 1 podužna DEFORMACIJE poprečna relativna deformacija ε = ε = p ε = p l l a a b b podužna poprečna

PRITISAK apsolutna deformacija 1 DEFORMACIJE l = l l podužna a = a1 a b = b b 1 poprečna relativna deformacija ε = ε = p ε = p l l a a b b podužna poprečna

Kako je dilatacija odnos dve dužine, to je bezdimenzionalna veličina, nema jedinicu. Dilatacija se izražava brojem, nezavisno od bilo kog sistema jedinica. Numerička vrednost dilatacije je obično veoma mala, jer su štapovi obično od materijala koji imaju male promene dužine pod dejstvom opterećenja. Na primer, dilatacija čeličnog štap dužine 2 m koji se pod dejstvom opterećenja izduži za 1,4 mm ima dilataciju: δ l 1, 4 ε = = = = 0,7 10 4 l l 2 10 4 Dilatacije se često izražavaju u procentima, posebno kad su velike. U ovom primeru dilatacija je 0,007%.

Štap se pod dejstvom sile zatezanja izdužuje. Što je veća sila, veća su i izduženja. Pod dejstvom sile pritiska aksijalno napregnut štap se skraćije. Što je veća sila, veća su i skraćenja. Dilatacija direktno zavisi od veličine aksijalnih sila. Zavisnost između spoljašnjih sila aksijalnog naprezanja i odgovarajućih deformacija se određuje ekperimentalno u laboratorijama uz korišćenje odgovarajuće opreme.

MEHANIČKE KARAKTERISTIKE MATERIJALA KONSTITUTIVNE JEDNAČINE VEZE IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE HUKOV ZAKON Jednačine koje opisuju ponašanje svakog materijala pod dejstvom spoljašnjeg opterećenja, tj. na izvestan način opisuju njegov sastav (konstituciju), nazivaju se konstitutivne jednačine. One uspostavljaju vezu između veličina koje određuju stanje napona sa odgovarajućim veličinama koje određuju stanje deformacija u proizvoljnoj tački tela.

Zbog svoje različite strukture različiti materijali se različito ponašaju pod dejstvom spoljašnjeg opterećenja. Ali i jedan isti materijal se u različitim uslovima različito ponaša na primer, pod promenljivim opterećenjem, pod povišenom temperaturom itd, a i pod različitim intenzitetom opterećenja. Za opterećenje ispod određene granice, na primer čelik se ponaša (deformiše) elastično povratno, pa se za taj opseg opterećenja i deformacija formulišu jedne konstitutivne jednačine. Međutim, kada opterećenje pređe određenu granicu, materijal počinje da se deformiše plastično nepovratno, pa u tom opsegu napona i deformacija važi drugi skup jednačina koje povezuju napon i deformaciju. Formulisanje konstitutivnih jednačina koje tačno opisuju ponašanje različitih materijala u različitim uslovima je veoma složen problem. Teorijska analiza koja polazi od osnovnih zakona fizike uključujući molekularnu fiziku, fiziku čvrstih stanja i metalurgiju, nisu do sada dala rešenje ovog problema. Zbog toga se u formulaciji konstitutivnih relacija koriste u velikoj meri rezultati eksperimenata.

Projektovanje konstrukcija tako da one budu trajne i adekvatno funkcionišu zahteva poznavanje ponašanja materijala od koga su napravljene. Jedini način da se odredi kako se materijal ponaša pod dejstvom opterećenja je izvođenje eksperimenta u laboratoriji. Uobičajen postupak je da se mali element od nekog materijala postavi u odgovarajuću mašinu, nanese opterećenje i mere deformacije, kao što je na primer promena dužine i promena prečnika. Najznačajnije je ispitivanje na zatezanje ili pritisak. Mada se mnoge važne mehaničke karakteristike materijala mogu odrediti iz ovakvog ispitivanja, ono se prvenstveno koristi za određivanje veze između normalnog napona i dilatacije kod mnogih materijala kao što su metali, keramika, polimeri i kompoziti.

TEST ISTEZANJA ŠTAPA Eksperiment koji daje osnovne podatke o ponašanju materijala je test istezanja štapa, tj. epruvete specijalnog oblika koja se isteže u mašini za istezanje (kidalici)

Mašina za test zatezanja sa automatskim beleženjem izmerenih podataka

Mašina za ispitivanje čelične epruvete na zatezanje

Eksperiment zatezanja čelične epruvete

Tipična čelična epruveta sa ekstenzometrom koji meri izduženje

Epruveta od kamena za test na pritisak za dobijanje čvrstoće na pritisak, modula elastičnosti i Puasonovog koeficijenta

KONSTITUTIVNE JEDNAČINE Dijagram sila izduženje (deformacija) za meki čelik

KONSTITUTIVNE JEDNAČINE Dijagrami sila izduženje (deformacija) za razne materijale

Neka je l početno rastojanje između dve označene tačke M i N u srednjem delu epruvete, a A početna površina poprečnog preseka u trenutku t 0. Neka je u trenutku t dužina M N = z, a u trenutku t+dt, dužina je z+dz. Tada je priraštaj stvarne deformacije: dε = dz z Stvarna deformacija - dilatacija je t 1 1 dz ε = dε = = z t 0 a stvarni napon je l l ln l l 1 σ = F A Epruveta u trenutku t 0, t, t+dt, t 1 gde je A stvarna (trenutna) površina poprečnog preseka.

Umesto veličina ε i σ mogu se uzeti tzv. nominalna (inženjerska) deformacija - dilatacija: i nominalni (inženjerski) napon: l ε = 1 l = l l l σ = 0 F A gde je A početna površina poprečnog preseka.

VEZE IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE radni dijagram materijala

Dok napon u štapu ne dostigne granicu proporcionalnosti veza napona i deformacije je linearna. Ovakve deformacije se nazivaju elastične deformacije. Na delu OE su elastične deformacije, koje su povratne, tj. ako se epruveta rastereti, ona se vraća u prvobitni oblik. Tačke P i E vrlo bliske, obično se usvaja da se one poklapaju, tj. za granicu elastičnosti se usvaja tačka E gde se završava elastično područje krive. Napon koji odgovara tački E naziva se napon na granici elastičnosti σ E Osobina tela da se po prestanku opterećenja vraća u potpunosti u prvobitni oblik naziva se elastičnost.

Iza granice elastičnosti počinju plastične deformacije. Kod čelika i nekih legura dolazi do naglog pada napona posle tačke T 1 (T G ), a zatim do povećanja deformacija bez povećanja napona (deo T 2 T 3 ) kada telo prestaje da pruža bilo kakav otpor, kao da materijal teče. Tačka T 1 (T G ) naziva se gornja granica plastičnog tečenja, tačka T 2 (T D ) donja granica tečenja ili kratko granica tečenja (σ T ). U slučaju zatezanja granica tečenja se naziva još i granica razvlačenja ili granica velikih izduženja, a u slučaju pritiska granica gnječenja. Od tačke T 3 pa nadalje sve do tačke M, dilatacija nastavlja da raste sa porastom napona. Ova osobina, koju poseduju uglavnom svi metali u normalnim uslovima, zove se ojačanje ili očvršćenje materijala. Ova pojava je posledica unutrašnjih promena u strukturi materijala u toku plastične deformacije. Napon koji odgovara tački M naziva se jačina materijala - σ M.

Zbog daljeg sužavanja (kontrakcije) epruvete, dalja deformacija se može odvijati uz izvesno smanjenje napona (deo MS) do loma. Napon koji odgovara tački S naziva se napon pri lomu σ S.

A Ako se epruveta rastereti u konfiguraciji koja odgovara tački A, što važi za sve iza tačke E, ona se ne vraća u prvobitno stanje, već rasterećenje ide po krivoj AB. Od ukupne deformacije jedan deo se vraća elastična deformacija ε e, dok drugi deo ε p ostaje. Ova trajna ili zaostala deformacija naziva se plastična deformacija. Osobina materijala da se može trajno deformisati naziva se plastičnost. Pri ponovnom opterećenju epruvete deformacija bi se odvijala po krivoj BK, a zatim bi se nastavila po krivoj KS.

Umesto stvarne krive obično se usvaja uprošćena kriva kod koje se smatra da je veza između napona i deformacije u elastičnom području linearna (σ=e ε) i da se AB i B K poklapaju, prave su i paralelne sa OE. Ovo znači da se pretpostavlja da plastična deformacija koja se dogodila do tačke A ne menja znatno elastične osobine materijala, tako da se smatra da je rasterećenje sa istim nagibom tgϕ=e, kao i na početku eksperimenta.

Neki materijali, na primer aluminijum ili beton nemaju izraženu gornju i donju granicu tečenja. Kod tih materijala, napon tečenja σ T se definiše kao napon kome odgovara trajna (plastična) deformacija veličine 0,002 (2% o ). Pri razmatranju veze između napona i deformacija dolazi se do još jedne klasifikacije materijala žilavi i krti materijali. Mnogi metali (čelik, aluminijum) imaju u normalnim okolnostima izraženo plastično deformisanje - žilavi materijali. Krti materijali (beton, kamen, staklo, opeka) lome se naglo, bez izražene prethodne plastične deformacije

Žilavi materijali Nekaljeni čelici, bakar, aluminijum itd. slabo podnose tangentni napon pa se kidaju po kosoj ravni, približno pod uglom 45 0 u odnosu na osu štapa. Krti materijali Sivi liv, kaljeni čelik, kamen, keramika itd. slabo podnose normalni zatežući napon pa se štap kida po poprečnom preseku, gde je ovaj napon najveći.

Krt materijal Žilav materijal

HOOKE-OV ZAKON IDEALNO ELASTIČNO (HOOKE-OVO) TELO VEZA IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE PRI LINEARNOM STANJU NAPONA Posmatrajući ponašanje čeličnih opruga pod opterećenjem Hooke je došao do zakona koji se odnosi na vezu između napona i deformacije pri linearnom stanju napona. Ovaj zakon se može izraziti kao: ε = σ E Robert Hooke (1635-1703) proučava elastična svojstva materijala. Na osnovu eksperimenata na oprugama, žicama i drvenim konzolama postavlja zakon o linearnoj vezi između opterećenja i deformacija pri zatezanju, na čemu se zasniva Teorija elastičnosti.

Tomas Young (1773-1829) E predstavlja koeficijent proporcionalnosti između napona i dilatacije i naziva se modul elastičnosti ili Yuong-ov modul. Ima dimenziju napona (na pr. 1MPa=1 N/mm 2, N/cm 2, 10 MPa=1 kn/cm 2 ) i u dijagramu napona i dilatacije predstavlja tangens ugla između početnog dela linije dijagrama i ose ε.

U poređenju sa naponom, E je obično vrlo veliki broj, na pr. za čelik je E=2,1 10 7 N/cm 2 =2,1 10 4 kn/cm 2 =2,1 10 5 MPa. Ovo znači da bi za izduženje čelične šipke poprečnog preseka 1 cm 2 i dužine 100 cm bila potrebna sila od 21000 N za izduženje od 1mm.

l l l = δ = ε A N A F = = σ ε = σ E E A N E A N E E A N l l l l l l = = = ε = σ = Dilatacija pri aksijalnom naprezanju normalni napon pri aksijalnom naprezanju U području elastičnog ponašanja materijala i primene Hukovog zakona Pa je izduženje aksijalno napregnutog štapa: VEZA IZMEĐU NAPONA I DEFORMACIJE PRI AKSIJALNOM NAPREZANJU HUKOV ZAKON

Proizvod Young-ovog modula i površine poprečnog preseka štapa EA naziva se aksijalna krutost štapa. l = N l E A Izduženje štapa je proporcionalno sa normalnom silom N i dužinom grede l, a obrnuto proporcionalno sa veličinom EA - aksijalnom krutošću štapa. Ovo važi samo ako su površina poprečnog preseka A i normalna sila N konstantni po celoj dužini štapa.

U slučaju da postoji promena normalne sile u štapu ili je štap različitog poprečnog preseka na pojedinim delovima tada je izduženje štapa: l = l i= 1 l i = l i= 1 N i l E A i i

Primer 1 Odrediti napone i ukupno izduženje grede, ako je cela od istog materijala i istog poprečnog preseka. Normalna aksijalna sila u delovima grede: N = F + F + F 1 1 2 3 N = F + F N 2 2 3 = F 3 3 Normalni naponi u delovima grede: Izduženje grede 1. način: N1 F + F + F σ 1 = = A A N2 F2 + F3 σ 2 = = A A N3 F3 σ 3 = = A A 1 2 3 N l N l N l l l l l EA EA EA ( F1 + F2 + F3 ) a ( F2 + F3 ) b F3 c lab = + + EA EA EA 1 I 2 II AB = I + II + III = + + 3 III

Izduženje grede: 2. način primena principa superpozicije: ( F ) ( F ) ( F ) a F ( a + b) F ( a + b + c) l = l + l + l AB 1 2 3 F EA EA EA 1 2 3 lab = + +

Primer 2 Odrediti napone u štapovima ako su od istog materijala i poprečnih preseka površina A 1 i A 2. S 1 Sile u štapovima se određuju iz uslova ravnoteže čvora C: Normalni naponi u štapovima: X = 0 S2 S1 cos α = 0 F F S 1 =, S2 = Y = 0 S sin tg 1 sin α F = 0 α α S 1 σ 1 = = A1 1 S 2 σ 2 = = A2 2 F A sin α F A tg α (zatezanje) (pritisak)

. POASONOV KOEFICIJENT Eksperimenti pokazuju da je za izotropan materijal poprečna dilatacija do granice elastičnosti linearno proporcionalna podužnoj dilataciji: ε p = ν ε Koeficijent proporcionalnosti ν naziva se Poasonov koeficijent ili koeficijent bočne kontrakcije. Siméon Poisson (1781-1840)

HUKOV ZAKON PRI JEDNOOSNOM NAPREZANJU σ ε = E ε p = ν ε Veličine E i ν u ovom jednačinama nazivaju se konstante elastičnosti i karakteristične su za pojedine vrste materijala u određenim uslovima.

Modul elastičnosti ima dimenziju napona i u dijagramu (σ, ε) predstavlja tangens ugla između linije σ-ε i ose ε Ako se u jednačini ε = E=tg α σ E uzme ε=1, tj. l=l, tada je σ=e, pa se E može interpretirati kao napon koji udvostručuje početnu dužinu epruvete. Na primer, za čelik je E=210 GPa, dok je napon na granici tečenja σ T =240 MPa. Poasonov koeficijent je bezdimenzionalni broj i za većinu metala je ν 1/3, dok je za beton ν 1/6. Inače je uvek E 0, a 0 ν 1/2.

POASONOV KOEFICIJENT I MODUO ELASTIČNOSTI MATERIJAL ν E [MPa] Čelik 0,3 2,1 10 5 Aluminijum 0,34 0,7 10 5 Bakar 0,33 1,1 10 5 Mesing 0,37 1,0 10 5 Sivi liv 0,25 1,0 10 5 Beton 1/6 0,3 10 5

UTICAJ PROMENE TEMPERATURE Pod uticajem promene temperature štap menja dužinu. Promena dužine proporcionalna je dužini štapa i promeni temperature: l t = αl t α - koeficijent linearnog širenja jednak je promeni dužine štapa od 1m pri promeni temperature za 1 0 C α - određuje se eksperimentalno i zavisi od vrste materijala m Jedinica ili 0 C -1 0 m C

UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE U granicama temperaturnih promena kakve se obično dešavaju u građevinarstvu može se usvojiti da je dilatacija usled temperature proporcionalna promeni temperature, tj: ε t = α t α - koeficijent linearnog širenja - dilatacije (linearne termičke ekspanzije). t = t t t - promena temperature 2 1 MATERIJAL α 0 C -1 Čelik 12 10-6 Aluminijum 23 10-6 Bakar 17 10-6 Mesing 19 10-6 Sivi liv 9 10-6

UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE Pri zagrevanju se štap izdužuje t 0 lt 0 ε t 0 Pri hlađenju se štap skraćuje t 0 lt 0 ε t 0 Štap oslonjen na jednom kraju, a potpuno slobodan na drugom kraju nesmetano se izdužuje ili skraćuje i pri promeni temperature u tom slučaju ne javljaju se unutrašnje sile i naponi. U statički određenim sistemima nema napona

Porast temperature t 0 l t = αl t l = l + l 1 ε = α t t Pad temperature t 0 ε = α t t l t = αl t l = l l 1

Dilatacije nastale usled temperature obično se superponiraju sa dilatacijama nastalim usled dejstva spoljašnjeg opterećenja (za male elastične deformacije važi princip superpozicije) Ako je štap konstantnog poprečnog preseka i ako je normalna sila konstantna po celoj dužini štapa ukupna promena dužine štapa je: l ε = = σ E N EA + α t l + α t l

UTICAJ PROMENE TEMPERATURE NA DEFORMACIJE I NAPONE Ako je štap učvršćen na oba kraja, promena njegove dužine je onemogućena pa promena temperature utiče na pojavu aksijalne sile i napona. Neravnomeran raspored temperatura u telu, ili promena temperature u telu u kome je deformacija sprečena nekim spoljašnjim vezama, može da izazove nova, dodatna naprezanja u telu, takozvane termičke napone. Termički napon se javlja samo u statički neodređenim štapovima ili sistemima.

Zagrevanjem štap teži da se izduži i pri tome vrši pritisak na oslonce A i B i izaziva reakcije F A i F B Z = 0 FA FB = 0 FA = FB Zadatak je statički neodređen. Potrebno je postaviti novu (dopunsku) jednačinu uslov deformacija. l = 0

Dok se kod statički određenog sistema normalne sile u svim štapovima mogu odrediti samo iz uslova ravnoteže, dotle se kod statički neodređenog sistema moraju koristiti i uslovi kompatibilnosti deformacija. Ovi dodatni uslovi obezbeđuju da prilikom deformacije sistema ne dođe do raskidanja veza između pojedinih delova sistema i nazivaju se geometrijski uslovi ili jednačine pomeranja. Potreban broj ovih jednačina odgovara stepenu statičke neodređenosti sistema, tj. razlici između broja nepoznatih normalnih sila u štapovima i broja uslova ravnoteže.

AKSIJALNO NAPREZANJE NAPONI U KOSOM PRESEKU Uz pretpostavku da je poprečna dimenzija štapa znatno manja od podužne, u tehničkim primenama se može usvojiti da je napon u poprečnom preseku raspoređen ravnomerno, pa je: σ = z N A S obzirom da je od svih komponenti napona samo σz 0 stanje napona pri aksijalnom naprezanju je jednoosno linijsko.

NAPONI U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Poprečni presek Kosi presek σ = z N A napon u poprečnom preseku napon u kosom preseku? U kosom preseku pod proizvoljnim uglom ϕ javlja se totalni napon koji deluje u pravcu ose štapa i koji se može razložiti na komponente u pravcu normale ρ n σ n n u pravcu tagente t ρ n Kao što je napon σ ravnomerno raspoređen po poprečnom preseku, tako je i napon sa svojim komponentama ravnomerno raspoređen po kosom preseku. σ n i τn i τn

NAPONI U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Komponentalni naponi u proizvoljnom kosom preseku štapa sa normalom koja zaklapa ugao ϕ sa osom z biće: n N = 0 σ da σ da cos ϕ cos ϕ = 0 n T = 0 τ da σ da cos ϕ sin ϕ = 0 n z z 1+ cos 2ϕ cos 2 ϕ =, 2 σ 2 σz τ n = σz cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 ( ) 2 z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ sin 2ϕ = 2sin ϕcos ϕ Naponi u kosom preseku normale pod uglom ϕ n

EKSTREMNE VREDNOSTI NAPONA U KOSOM PRESEKU AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA σ 2 ( ) σ τ = σ cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 2 z z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ n z Ekstremne vrednosti normalnog napona u kosom preseku: dσ n dϕ 2ϕ = ϕ = dτ n dϕ 0 = σ 0 = σ z 2ϕ = ± 90 z sin 2ϕ = 2ϕ = 180 ϕ = 90 0 0 cos 2ϕ = 0 0 0 ϕ = ± 45 0 σ σ z z 0 0 sin 2ϕ = 0 Ekstremne vrednosti smičućeg napona u kosom preseku: cos 2ϕ = 0 τ σ σ σ max min max,min ϕ=± 45 0 = σ = σ = τ = ϕ= 0 0 ϕ= 90 σ 2 z 0 ϕ=± 45 = σ 0 0 = = 0 z σ 2 z

U poprečnim i podužnim presecima u kojima deluju ekstremni normalni naponi, tangencijalnih napona nema. τ ϕ= = 0 = τ 0 = 0 ϕ 90 0 Ekstremni tangencijalni naponi međusobno su jednaki po veličini i jednaki su polovini normalnog napona u poprečnom preseku. Deluju u presecima pod uglom +45 0 odnosno -45 0 u odnosu na osu štapa.

Ovi naponi i odgovarajuća klizanja imaju presudnu ulogu u nastajanju prslina na spoljašnjoj površini zategnutog štapa pri prekoračenju granice tečenja. U ravnima u kojima deluju maksimalni smičući naponi, normalni naponi nisu jednaki nuli σ 2 z σ ϕ= ± = 45 0 0

Prsline se obrazuju približno pod uglom ±45 0 u odnosu na osu štapa i na epruveti sečesto mogu videti golim okom. Ravni kidanja zategnutog štapa približno se podudaraju sa ravnima u kojima deluju ekstremni normalni, odnosno tangencijalni naponi. Kidanje zategnutog štapa pri plastičnom lomu Kidanje zategnutog štapa pri krtom lomu

MOROV KRUG NAPONA ZA JEDNOOSNO NAPREZANJE AKSIJALNO NAPREGNUT ŠTAP σ 2 σz τ n = σz cos ϕsin ϕ = sin 2ϕ 2 ( ) 2 z σ n = σz cos ϕ = 1+ cos 2ϕ

DIMENZIONISANJE PRI JEDNOOSNOM NAPREZANJU U slučaju jednoosnog stanja napona može se veličina kritičnog napona σ K kada nastupa lom, odrediti iz testa istezanja. Napon σ K je jednak naponu na granici tečenja σ T kod žilavih materijala, odnosno jačini materijala σ M kod krtih materijala. Dimenzije štapa određuju se tako da stvarni napon u štapu bude znatno manji od σ K, tj: σ σ d gde je σ stvarni napon, a σ d dozvoljeni napon koji se dobija kada se kritičan napon (σ T ili σ M ) podeli sa koeficijentom sigurnosti k s 1

za žilave materijale za krte materijale σ d σ d = = σ k M s σ k T s Koeficijent sigurnosti se uvodi zbog toga što se ne poznaju dovoljno tačno mehaničke karakteristike materijala, niti priroda i veličina opterećenja. Osim toga, pri proračunu se uvode određene pretpostavke kojima se uprošćavaju računski modeli, što dovodi do izvesnog odstupanja računskih napona od stvarnih napona u konstrukciji. Ova odstupanja rezultata se takođe uzimaju u obzir preko koeficijenta sigurnosti. Koeficijemtom sigurnosti su obuhvaćene takođe i greške i odstupanja do kojih dolazi u toku izvođenja konstrukcija. Veličina koeficijenta sigurnosti zavisi od svih navedenih faktora, a određuje se na bazi iskustva. Za različite uslove i vrste materijala koeficijent sigurnosti je propisan zvaničnim tehničkim propisima i obično se kreće od 1 do 10.

Dozvoljeni napon je napon koji je za pojedine vrste materijala, vrste opterećenja i vrste nosača određen tehničkim propisima. U slučaju aksijalno napregnute grede dimenzije poprečnog preseka se određuju tako da je u svim poprečnim presecima grede zadovoljen uslov: σ σ d Kako je normalni napon u aksijalno napregnutom štapu: σ = N A sledi da potrebna površina poprečnog preseka A N σ d σ d

OSNOVNI ZADACI KOD AKSIJALNOG NAPREZANJA 1. Poznato je opterećenje i poprečni presek treba odrediti veličinu napona. σ = F A 2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal treba odrediti dimenzije poprečnog preseka. A F σ d 3. Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon treba odrediti vrednost maksimalne sile F = σd A

DEFINISANJE VELIČINE NAPONA AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Odrediti aksijalnu silu u štapu Izračunati površinu poprečnog preseka štapa Izračunati napon Uporediti vrednost napona sa dozvoljenim naponom σ = F A σ d

DIMENZIONISANJE VELIČINE NAPONA AKSIJALNO NAPREGNUTOG ŠTAPA Odrediti aksijalnu silu u štapu Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal Izračunati potrebnu površinu poprečnog preseka A F σ d

ZA DIMENZIONISAN ŠTAP ODREDITI VREDNOST AKSIJALNE SILE Odrediti površinu poprečnog preseka Odrediti dozvoljeni napon za materijal i definisan koeficijent sigurnosti Izračunati maksimalnu aksijalnu silu F = σ d A