PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

Transcript

1 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada je presek opterećen na čisto savijanje, i to: - uzimajući u ozir samo površinu zategnute armature u preseku, - uzimajući u ozir i uticaj armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka;. kada je, pored momenta savijanja, presek opterećen i: - graničnom računskom silom pritiska N u, odnosno - graničnom računskom silom zatezanja Z u. MB 40 RA 400/500 N u 800 kn A a 39.7 cm (8RØ5) A a 9.8 cm (RØ5) Z u 400 kn Uslovi ravnoteže se u opštem slučaju (dvostruko armirani pravougaoni presek, napregnut na složeno savijanje), mogu napisati u sledećem oliku: RØ5 RØ UØ8/5 RØ 3RØ5 5RØ5 ΣN 0: D u + D au - Z au N u ΣM a 0: D u z - D u z + D au (h - a ) M au M u + N u y a Dijagrami dilatacija i napona, položaj spoljašnjih i unutrašnjih sila i karakteristične geometrijske veličine potrene za proračun su prikazane na slici. 3.5 σc f B M u y A a a - a a D au η D u N u y d h G A a h - h - a z a a a 0 Z au

2 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Koristeći oznake sa slike, izrazi za sile pritiska u etonu D u i armaturi D au i silu zatezanja u armaturi Z au mogu se napisati u oliku: D u f B s h f B D au A a σ a ; σ a E a a σ v Z au A a σ a ; σ a E a a σ v Položaj neutralne linije i dilataciju pritisnute armature moguće je izraziti preko dilatacija etona i zategnute armature. Sa skice, s ozirom na važenje Bernoulli-jeve hipoteze ravnih preseka, sledi: a h s h + a + a a h a a a s s Krak unutrašnjih sila z može se izraziti u oliku: z h η h ( η s) ζ h Pri tome se, za važeći radni dijagram etona (paraola+praovugaonik), mogu koristiti analitički izrazi za sračunavanje koeficijenta punoće naponskog dijagrama i koeficijenta položaja sile pritiska u etonu η u odnosu na gornju ivicu preseka: ( 6 ) ; 3 ; η za ( 6 ) ( 3 4) + ( 3 ) η za 3.5 ili se njihove vrednosti mogu očitati iz odgovarajućih talica za dimenzionisanje pravougaonih preseka opterećenih u olasti velikog ekscentriciteta. Na ovaj način je prolem sveden na rešavanje sistema dve jednačine sa dve nepoznate (M u i jedna od dilatacija e, e a ili položaj neutralne linije s), pri čemu ar jedna od dilatacija mora dostići graničnu vrednost ( 3.5, odnosno a 0 ). Zog glomaznosti rešenja u zatvorenom oliku, postupak određivanja momenta loma je iterativan. Najpre se iz uslova ravnoteže normalnih sila, variranjem dilatacija i a odredi položaj neutralne linije. Zatim se sa svim poznatim veličinama iz uslova ravnoteže momenata savijanja sračunava i nepoznata vrednost momenta loma M u. Presek opterećen na čisto savijanje MB 40 f B.55 kn/cm RA 400/500 σ v 40 kn/cm U prvom koraku može se pretpostaviti da će do iscrpljenja nosivosti preseka doći istovremenim dostizanjem graničnih dilatacija etona i zategnute armature. Koeficijent položaja neutralne linije i dilatacija pritisnute armature sračunavaju se iz izraza:

3 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 3 / a 3.5/0 s a > v Dakle, dilatacije i pritisnute i zategnute armature su veće od granice tečenja, pa je: σ a σ a σ v 400 MPa 40 kn/cm Vrednost koeficijenta punoće naponskog dijagrama etona očitava se iz talica ili sračunava iz izraza: Pritom nije neophodno sračunavati i koeficijent položaja sile pritiska u etonu η sve dok se ne proveri da li je uslov ravnoteže normalnih sila zadovoljen. Uvrštavanjem sračunatih vrednosti u izraze za unutrašnje sile sledi: D u D au Z au kn 39.8 kn kn Konačno, proverava se uslov ravnoteže normalnih sila: ΣN 0: D u + D au Z au N u 0 ΣN 0: > 0 S ozirom da uslov ravnoteže nije zadovoljen, potreno je korigovati proračun. Kako ukupna unutrašnja sila pritiska premašuje silu zatezanja, potreno je smanjiti dilataciju krajnje pritisnute ivice etona. Dakle, < 3.5 ; a 0. Kako je a 0 > v, sila zatezanja je konstantna i iznosi Z au kn. S ozirom da je u prvom koraku došlo do relativno velikog odstupanja u uslovu ravnoteže normalnih sila, u drugom koraku se pretpostavlja znatno manja vrednost i čitav napred izloženi postupak u potpunosti ponavlja. / a.0/0 s a.0.65 < v σ a MPa 6.56 kn/cm D u kn

4 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 4 D au Z au Konačno, uslov ravnoteže normalnih sila daje: 60.8 kn kn ΣN 0: < 0 U ovom slučaju kao rezultat se pojavljuje sila zatezanja (prema oznakama na slici i ranije usvojenoj konvenciji o znacima), što znači da trea povećati dilataciju etona u odnosu na pretpostavljenu vrednost iz drugog koraka, odnosno:.0 < < 3.5 ; a 0 Sukcesivnim sužavanjem intervala se dilatacija etona, odnosno položaj neutralne linije može odrediti sa željenom tačnošću. Posle nekoliko iteracija doija se konačno: / a.664/0 s a < v σ a MPa kn/cm D u kn D au Z au ΣN 0: kn kn Zadovoljenjem uslova ravnoteže normalnih sila određen je položaj neutralne linije u preseku i veličina unutrašnjih sila. Da i se mogao ispisati uslov ravnoteže momenata savijanja, potreno je iz izraza odrediti i položaj sile D u, odnosno veličinu kraka unutrašnjih sila z : (.664 4) + (.664 ).664 η z ( ) cm Tražena vrednost momenta loma doija se iz sume momenata oko težišta zategnute armature u preseku: M au M u ( ) kncm knm Presek opterećen na složeno savijanje Kako je postupak u ovom slučaju isti kao i u slučaju čistog savijanja, rezultati proračuna položaja neutralne linije će iti prikazani taelarno. U slučaju delovanja normalne sile pritiska, potreno je zadovoljiti uslov ravnoteže:

5 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 5 ΣN 0: D u + D au Z au a s D u a σ a D au Z au ΣN [ ] [ ] [ ] [ ] [kn] [ ] [kn/cm ] [kn] [kn] [kn] Tražena vrednost momenta loma pri istovremenom dejstvu sile N u 800 kn određuje se iz uslova ravnoteže momenata savijanja u odnosu na težište zategnute armature: D d z +Dau a Nu a ( h- )- - Mu u Zamenom numeričkih vrednosti sledi: 3.5 ( 3.5 4) + ( 3.5 ) 3.5 η z ( ) cm Mu ( ) kncm 58.8 knm Postupak proračuna je potpuno isti i u slučaju delovanja sile zatezanja Z u 400 kn, kada je potreno zadovoljiti uslov ravnoteže: ΣN 0: D u + D au Z au a s D u a σ a D au Z au ΣN [ ] [ ] [ ] [ ] [kn] [ ] [kn/cm ] [kn] [kn] [kn] z ( ) cm Mu ( ) + ( 3.04 ).04 η ( ) kncm knm

6 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 6 Jednostruko armiran pravougaoni presek opterećen na složeno savijanje U slučaju da se zanemari nosivost armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka, proračun se sprovodi po istom postupku, izostavljajući sve članove koji se odnose na ovu armaturu. U tom slučaju, moment loma je moguće odrediti i u samo jednom koraku, pomoću taela za dimenzionisanje pravougaonih preseka. Poznati izrazi za određivanje statičke visine i površine armature za pravougaoni presek napregnut na složeno savijanje u olasti velikog ekscentriciteta mogu se napisati u oliku: µ Aa v + s σ N h f B h f k u Mau B Mu B h f k d - Nu - a Kako su poznate geometrijske veličine preseka, količina i položaj armature i mehaničke karakteristike materijala, može se sračunati mehanički koeficijent armiranja zategnutom armaturom µ iz izraza. Iz talica se pročita odgovarajuća vrednost koeficijenta k i iz izraza odredi nepoznati moment loma M u pri odgovarajućoj sili N u. Zamenom numeričkih vrednosti doija se za slučaj čistog savijanja: µ % k Mu kncm 030. knm.3 U narednoj taeli su prikazane uporedne vrednosti dilatacija etona i armature i odgovarajuće vrednosti momenata loma doijene uvodeći u proračun samo zategnutu, odnosno ukupnu armaturu u preseku. A a 0 A a > 0 N u a M u a M u [kn] [ ] [ ] [knm] [ ] [ ] [knm]