PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

Transcript

1 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - "T" PRESEK Na skici dole su prikazane sve potrene geometrijske veličine, dijagrami dilatacija i napona, spoljašnje i unutrašnje sile i njihovi položaji. B σ f B N u M u y 2 y 1 d h A a2 G h - x x x - d p d p x - a 2 a 2 a2 d D au h - a 2 D u2 z 2 η 2 (x-d p ) z 1 η 1 x D u1 A a1 Z au a1 10 poznato: geometrija preseka (B,, d, d p ) kvalitet materijala (MB, Č f B, σ v ) količina i položaj armature u preseku (A a1, A a2,, a 2 ) normalna sila N u za koju se sračunava M u Na raspolaganju imamo dva uslova ravnoteže, iz kojih možemo odrediti dve nepoznate veličine. To su npr. položaj neutralne linije s i traženi moment M u. Postupak će iti prikazan na preseku olika T, proračunom će iti ouhvaćena ukupna armatura u preseku, a moment loma će iti određen za presek napregnut na složeno savijanje. Iz ovog slučaja se mogu izvesti svi ostali, jednostavniji slučajevi (čisto savijanje, pravougaoni presek, samo zategnuta armatura u preseku ouhvaćena proračunom i sve kominacije). Određivanje položaja neutralne linije Korišćenjem oznaka sa prethodne skice, uslov ravnoteže normalnih sila može se napisati u oliku: ΣN 0: D u1 - D u2 + D au - Z au - N u 0 (1) Pritom su unutrašnje sile pritiska u etonu određene izrazima: D u1 α 1 B x f B α 1 s B h f B ( s x/h ) D u2 α 2 (B - ) (x-d p ) f B α 2 (B - ) (s - δ) h f B ( δ d p /h ) Koeficijenti punoće naponskog dijagrama α 1 i α 2 su funkcije odgovarajućih dilatacija etona, odnosno d i mogu se sračunati iz analitičkih izraza:

2 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 2 α ( 6 ) za 2 ; odnosno 3 2 α za 2 3 Jasno je sa skice da se dilatacija u nivou donje ivice ploče sračunava kao: d x d x p Zavisno od veličine dilatacija, odnosno d, uzima se odgovarajući izraz i sračunava α 1 ( ), odnosno α 2 ( d ). Naravno, ove vrednosti se mogu, za odgovarajuću (ili najpriližniju) dilataciju, očitati i iz taele za dimenzionisanje pravougaonih poprečnih preseka. Unutrašnje sile u armaturi su određene izrazima: Z au A a1 σ a1 ; pri čemu je σ a1 E a a1 σ v D au A a2 σ a2 ; pri čemu je σ a2 E a a2 σ v Jasno je sa skice da se dilatacija u nivou pritisnute armature sračunava kao: a2 x a x 2 Presek je u graničnom stanju ako je ar jedna od dilatacija, odnosno a1 dostigla graničnu vrednost. Kako su dilatacija etona, odnosno dilatacija zategnute armature a1, jednoznačno određene za poznat ezdimenzioni koeficijent položaja neutralne linije s, izrazima: s s /27 a1 10 ; a1 s s /27 ; a1 s s to je izorom veličine s kao parametra potpuno određeno stanje unutrašnjih sila u preseku. Naravno, za nasumice izarano s nije zadovoljen uslov ravnoteže SN 0, pa se postupak određivanja položaja neutralne linije sprovodi iterativno. Za pretpostavljenu vrednost s (ili para dilatacija e /e a1, od kojih ar jedna dostiže graničnu vrednost) se sračunaju sve unutrašnje sile i proveri uslov ravnoteže SN 0. Tom prilikom mogu nastupiti tri slučaja: a. uslov ravnoteže (1) je zadovoljen - potpuno neverovatno u prvom koraku. uslov ravnoteže (1) umesto nule daje pozitivan rezultat (za olik u kome je napisan) - rezultanta unutrašnjih sila je veća od spoljašnje sile pritiska trea pomeriti neutralnu liniju ka pritisnutoj ivici preseka, odnosno smanjiti s c. uslov ravnoteže (1) umesto nule daje negativan rezultat (za olik u kome je napisan) - rezultanta unutrašnjih sila je manja od spoljašnje sile pritiska trea pomeriti neutralnu liniju ka zategnutoj ivici preseka, odnosno povećati s Postupak se u potpunosti ponavlja dok se ne zadovolji uslov ravnoteže (1), odnosno do postizanja željene tačnosti, npr. max. 1% od veće od sila D u1, Z au.

3 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 3 Određivanje traženog momenta loma Tek kada se odredi položaj neutralne linije (stanje dilatacija u preseku) iz uslova ravnoteže (1), određuje se položaj unutrašnjih sila D u1, D u2 u odnosu na težište zategnute armature. Veličine z 1, z 2 se, prema skici, određuju kao: z 1 h - η 1 x h (1 - η 1 s) z 2 h - d p - η 2 (x - d p ) h [(1 - δ - η 2 (s - δ)] pri čemu se vrednosti η 1 ( ), odnosno η 2 ( d ) određuju iz taela za dimenzionisanje ili iz analitičkih izraza za odgovarajuće dilatacije, odnosno d iz poslednje iteracije: 8 η za 2 ; odnosno 4 ( 6 ) ( 3 4) + ( 3 2) 2 η za 2 2 Moment loma preseka M u se određuje iz uslova ravnoteže momenata u odnosu na težište zategnute armature u preseku: ΣM a1 0: D u1 z 1 - D u2 z 2 + D au (h - a 2 ) M au M u + N u y a1 u kome su sve veličine poznate. Napominje se da je traženi rezultat veličina M u, a ne M au. Takođe se skreće pažnja da navedeni izrazi važe i za preseke kod kojih je B<, pri čemu je B uvek širina na krajnjoj pritisnutoj ivici preseka. Za slučaj ekscentričnog zatezanja, normalna sila N u se unosi sa negativnim znakom. Za slučaj da se proračunom ouhvata samo zategnuta armatura u preseku, potreno je u izraze uvrstiti A a2 0. Iz prezentiranih izraza se može sračunati i moment loma za pravougaoni poprečni presek, za B. Numerički primer Odrediti moment loma za presek prikazan na skici, opterećen i graničnom računskom silom pritiska N u 400 kn. Podaci za proračun: MB 30 f B 2.05 kn/cm 2 RA 400/500 σ v 40 kn/cm 2 A a cm 2 (7RØ22) A a cm 2 (2RØ22) cm 7 h cm a cm a 2 d p δ h α h RØ22 UØ8/30 2RØ UØ8/30 2RØ22 5RØ

4 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 4 U prvom koraku najracionalnije je pretpostaviti da se neutralna linija nalazi na donjoj ivici ploče, kada je pritisnuta zona etona pravougaonog olika. Sledi: s < /27 a1 10 ; a < v σ a MPa kn/cm 2 a1 10 > v σ a1 σ v 400 MPa 40 kn/cm 2 Vrednost koeficijenta punoće naponskog dijagrama etona α 1 očitava se iz talica ili sračunava iz analitičkog izraza: α 1 ( ) ; α 2 0 Uvrštavanjem sračunatih vrednosti u izraze za unutrašnje sile sledi: D u D u2 D au Z au Konačno, proverava se uslov ravnoteže normalnih sila: kn 0 kn kn ΣN 0: D u1 D u2 + D au Z au N u 0 ΣN 0: < 0 S ozirom da uslov ravnoteže nije zadovoljen, potreno je korigovati proračun. Kako ukupna unutrašnja sila zatezanja premašuje silu pritiska, potreno je neutralnu liniju pomeriti ka zategnutoj ivici preseka, tako da će pritisnuta površina etona postati olika "T". S ozirom da je u prvom koraku došlo do relativno velikog odstupanja u uslovu ravnoteže normalnih sila, u drugom koraku se pretpostavlja znatno veća vrednost ezdimenzionog koeficijenta položaja neutralne linije s i čitav napred izloženi postupak u potpunosti ponavlja. 2. korak: s > /27 ; α a > v σ a1 σ v 400 MPa 40 kn/cm a > v σ a2 σ v 400 MPa 40 kn/cm d α

5 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 5 D u D u (24-40) (-0.162) D au Z au kn kn kn ΣN 0: (-391.6) > 0 S ozirom da uslov ravnoteže nije zadovoljen, potreno je izvršiti novu korekciju. Kako ukupna unutrašnja sila pritiska sada premašuje silu zatezanja, sledi: 3. korak: 4. korak: < s < 0 s > /27 ; α a > v σ a1 σ v 400 MPa 40 kn/cm a > v σ a2 σ v 400 MPa 40 kn/cm d α 2 ( ) D u D u (24-40) (-0.162) D au Z au ΣN 0: (-196.4) < 0 0 < s < kn kn kn 17 s 17 > /27 ; α a > v σ a1 σ v 400 MPa 40 kn/cm a > v σ a2 σ v 400 MPa 40 kn/cm d α 2 ( )

6 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 6 D u D u (24-40) ( ) D au Z au kn kn kn ΣN 0: (-228.3) s 17 Zadovoljenjem uslova ravnoteže normalnih sila određen je položaj neutralne linije u preseku i veličina unutrašnjih sila. Da i se mogao ispisati uslov ravnoteže momenata savijanja, potreno je iz izraza odrediti i položaj sila D u1, D u2, odnosno veličinu kraka unutrašnjih sila z 1, z 2 : ( 4) + 2 ( 2) η z 1 h - η 1 x ( ) cm d η ( ) z 2 h [( ( )] cm Tražena vrednost momenta loma doija se iz sume momenata oko težišta zategnute armature u preseku: M au (-228.3) ( ) 946 kncm knm 80 Mu knm 2 Traženi moment loma pri graničnoj sili pritiska N u 400 kn iznosi M u knm.