Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί στην ακολουθία x( τη συνάρτηση: X ( ) x( O X() είναιµιγαδική συνάρτηση, της µιγαδικής µεταβλητής r e jω καιονοµάζεται αµφίπλευρος µετασχηµατισµός ή απλά µετασχηµατισµός. Im r Ω r e jω Re Η περιοχή τιµών του, για τις οποίες ο µετασχηµατισµός έχει πεπερασµένη τιµή καλείταιπεριοχήσύγκλισης (ΠΣ) (regio of covergece ROC) Το µιγαδικό επίπεδο - Μετασχηµατισµός 7-

Παρατηρήσεις Ανοµετασχηµατισµός υπάρχεικαιγια τιµές r, δηλαδήγια τασηµείατουµοναδιαίου κύκλου e jω τότε X ( ) X ( e j ) x( e j F[ x( ] e j Ω Ω Ω Im Μοναδιαίος κύκλος Ω e jω Re Ο µετασχηµατισµός µετατρέπεται σε µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου για τις τιµές του που βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο. Μετασχηµατισµός 7-

Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του ορθογώνιου παραθύρου πλάτους Ν. αλλιώς,, ) ( N x Η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από το µηδέν. ( ),,, ) ( N X N N N N Απάντηση Παράδειγµα (σήµα πεπερασµένης έκτασης) Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-

Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου: όπου α πραγµατικός αριθµός. Απάντηση Παράδειγµα (το εκθετικό αιτιατό σήµα) X ( ), a a x ( a u ( µε περιοχή σύγκλισης: > a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού εκτείνεται έξω από κύκλο µε τη µικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τον πόλο του X(). Im{ } x( Μοναδιαίος κύκλος a Re{ } 4 6 Το εκθετικό σήµα x( a u( όταν a είναι πραγµατικός αριθµός <. Η περιοχή σύγκλισης, ο πόλος και το µηδενικό του µετασχηµατισµού του σήµατος x(. Μετασχηµατισµός 7-4

Ο µετασχηµατισµός για τη µοναδιαία βηµατική ακολουθία είναι U ( ), µε περιοχή σύγκλισης: > Οµετασχηµατισµός γιατηνακολουθία x( a u(είναι x( a u( Z µε περιοχή σύγκλισης: > a ( a) Ο µετασχηµατισµός για το µοναδιαίο δείγµα x( δ( είναι [ ( ], Z δ µε περιοχή σύγκλισης: και του ολισθηµένου κατά k βήµατα µοναδιαίου δείγµατος δ( - k) είναι Z [ δ ( k) ], k, k < k η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από την αρχή C {}. Μετασχηµατισµός 7-5

Παράδειγµα (αυστηρά µη αιτιατό εκθετικό σήµα) Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του αυστηρά µη αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου: όπου α πραγµατικός αριθµός. Απάντηση x ( a u( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς X ( ), a a µε περιοχή σύγκλισης: < a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού είναι το εσωτερικό κύκλου µε τη µικρότερη ακτίναοοποίοςδενπεριέχειτονπόλοτου X(). x( Im{ } 6 4 4 Μοναδιαίος κύκλος a Re{ } Το αυστηρά µη εκθετικό σήµα x( a όταν a είναι πραγµατικός αριθµός >. u( Η περιοχή σύγκλισης, ο πόλος και το µηδενικό του µετασχηµατισµού του σήµατος x(. Μετασχηµατισµός 7-6

Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του σήµατος: Απάντηση Παράδειγµα (δεξιόπλευρη ακολουθία) X ( ) x( ( 5 6) ( )( ) ( ) ( ) x ( u ( u ( > Με περιοχή σύγκλισης Im{ } Σεραφείµ Καραµπογιάς Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού εκτείνεται έξω από κύκλο µε τη µικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τους πόλους του X(). 4 6 Re{ } Τοσήµα ( ) ( ) x ( u ( u ( Η περιοχή σύγκλισης, οι πόλοι και τα µηδενικά του µετασχηµατισµού του σήµατος x(. Μετασχηµατισµός 7-7

Παράδειγµα (αµφίπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός του σήµατος x( a, < <, a < Απάντηση X ( ) a a a Με περιοχή σύγκλισης a < < a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού έχει την µορφή δακτυλίου. x( Im{ } 8 6 4 4 6 8 a a Re{ } Η ακολουθία x( a αριθµός <. όταν a είναι πραγµατικός Η περιοχή σύγκλισης, οι πόλοι και το µηδενικό του µετασχηµατισµού της ακολουθίας x(. Μετασχηµατισµός 7-8

Παράδειγµα (αµφίπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός του σήµατος Λύση Το σήµα x( γράφεται ως x ( a, < < x( a a u( a u( ) Για το αιτιατό τµήµα έχουµε Γιατοµηαιτιατότµήµαέχουµε a Im{ } Z u( a a u( ) Im{ } Z a a Re{ } a Re{ } Επειδήητοµήτωνεπιµέρουςµετασχηµατισµών είναιτοκένοσύνολοηακολουθία x( a δεν έχει αµφίπλευρο µετασχηµατισµό. Μετασχηµατισµός 7-9

Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Z Γραµµικότητα Αν X () Z[x (] µεπεδίοσύγκλισης P και X () Z[x (] µεπεδίοσύγκλισης P τότε Z ax ( bx( ax( bx ( µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P I P Ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης µε την ίδια περιοχή σύγκλισης. x Z ( ) X ( ) Για έχουµε Z[x( )] - X(). Τοσύστηµαδιακριτούχρόνουτοοποίοπροκαλεί χρονικήκαθυστέρησηενόςδείγµατοςσυµβολίζεταιµε -. x ( x ( ) Μετασχηµατισµός 7-

Ιδιότητα της συνέλιξης ή συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου x( x ( x( X( ) X ( ) µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P I P Z Ιδιότητα της διαµόρφωσης ή ολίσθηση συχνότητας κλιµάκωση στο πεδίο του Αν X() Z[x(] µεπεδίοσύγκλισης P {єc: R < < R τότε y( µεπεριοχήσύγκλισης c R < < c R c x( Y ( ) Z X c Μετασχηµατισµός 7-

Ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο του dx ( x( d Με την ίδια περιοχή σύγκλισης Z ) Ιδιότητα της συζυγίας (συζυγής ακολουθία) Z * x * ( X *( * ) R < < R Κατοπτρισµός στο χρόνο µε περιοχή σύγκλισης Z Re[ x( ] [ X ( ) X *( *)] Z Im[ x( ] [ X ( ) X *( *)] R < < Z j x( X ( ) R Μετασχηµατισµός 7-

Συσχέτιση Αν θεωρήσουµε δύο σήµατα ως διανύσµατα, ένας αριθµός που µετράει την οµοιότητά τους είναι το εσωτερικό τους γινόµενο, τούτο γίνεται µέγιστο για διανύσµατα (σήµατα) που συµπίπτουν ενώ µηδενίζεται για διανύσµατα που είναι κάθετα. Η συνάρτηση - ακολουθία συσχέτισης ή ετεροσυσχέτιση των σήµατων διακριτού χρόνου - ακολουθιών x( και y( συµβολίζεταιως r xy καιορίζεται r xy ( l) x( y ( x( y ( l), < l < Η ανεξάρτητη µεταβλητή l εκφράζει την µετατόπιση µεταξύ των δύο σηµάτων x( και y( και ονοµάζεται καθυστέρηση (lag). Αν X () Z[x(] µεπεδίοσύγκλισης P και Y() Z[y(] µεπεδίοσύγκλισης P τότε r xy Z ( l) X ( ) Y ( ) µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Μετασχηµατισµός 7-

Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς ίνεταιηακολουθία x( [,, 7, -5, -, 4, ] καιηχρονικάολισθηµένηκατά χρονικές µονάδες ακολουθία στην οποία έχει προστεθεί Gaussia θόρυβος µε µέση τιµή και διακύµανσηίσηµε, δηλαδή, y( x( ) (. Ναυπολογιστείησυσχέτισηµεταξύτων δύο σηµάτων. r xy ( l) x( y( x( y( l), < l < x( x [ 7-5 - 4 ]; x [-6:6]; subplot(,,); stem(x,x) axis([- - ]) [y,y]sigshift(x,x,); subplot(,,); stem(y,y) axis([- - ]) oise rad(,legth(y)); oise y; [y,y]sigadd(y,y, oise,oise); [x,x]sigfold(x,x); [rxy,rxy]cov_m(y,y,x,x); subplot(,,); stem(rxy,rxy) axis([-,,-5,5]); xlabel('lag variable l') ylabel('rxy(l)') title('crosscorrelatio of x( ad y(') y( r xy (l ) 8 8 8 6 4 4 6 8 6 4 4 6 8 6 4 4 6 8 l Μετασχηµατισµός 7-4

Οσυντελεστήςσυσχέτισηςσηµάτωνδιακριτούχρόνουσυµβολίζεταιωςρ xy (l) καιορίζεταιαπό την rxy ( l) ρxy ( l), < l< E E x όπου E x καιε y είναιηενέργειατωνσηµάτων x( και y( αντίστοιχα. Ηρ xy (l) είναισυνάρτηση µόνο της καθυστέρησης των δύο σηµάτων και όχι των ενεργειών τους y Μετασχηµατισµός 7-5

Η συνάρτησηαυτοσυσχέτισηςτουσήµατοςδιακριτούχρόνου x( ως r xx (l) καιορίζεται r xx ( l) x( x( x( x( l), < l < και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Η ενέργεια του σήµατος x( είναι ίση µε τη τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του για l r ( xx ( ) x E x Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήµατος ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ενέργειας του σήµατος. r xx * F ( ( ) ( l) x( x X Ω και από το θεώρηµα του Parseval έχουµε E x r xx ( ) x( X ( Ω) dω π π Μετασχηµατισµός 7-6

Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός ορίζεται από τη σχέση: X ( ) X ( ) x( Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός του σήµατος x( ταυτίζεται µε τον αµφίπλευρο µετασχηµατισµό του σήµατος x( u(. Η περιοχή σύγκλισης του µονόπλευρου µετασχηµατισµού είναι πάντα το εξωτερικό µέρος κύκλουµετηµικρότερηακτίνα R x πουπεριλαµβάνειτουςπόλουτουσήµατος. Επειδή το κάτω όριο του αθροίσµατος ορισµού του µονόπλευρου µετασχηµατισµού είναι το µηδέν ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός έχει την ιδιότητα της δεξιάς και της αριστερής ολίσθησης. Οι ιδιότητες αυτές και η ιδιότητα της συνέλιξης παρέχει στο µονόπλευρο µετασχηµατισµό τη δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων διαφορών, οι οποίες έχουν µη µηδενικές αρχικές συνθήκες. Μετασχηµατισµός 7-7

Ιδιότητες του µονόπλευρου µετασχηµατισµού Z Ιδιότητα της δεξιάς ολίσθησης - Καθυστέρηση Z i ( ) x X( ) x( i) i, γιακάθε Παρατηρούµε ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση νέα δείγµατα εισέρχονται στο διάστηµα [, ) θα πρέπειναλάβουνκαιαυτάµέροςστουςυπολογισµούς. Τανέαδείγµαταείναιτα x(-), x(-),..., x(- ). Για έχουµε Z [ x( )] X ( ) ( ) x Μετασχηµατισµός 7-8

Ιδιότητα της αριστερής ολίσθησης - Προήγηση [ x( )] i Z X( ) x( i) i, γιακάθε Παρατηρούµε ότι κατά την αριστερή ολίσθηση κάποια από τα υπάρχοντα δείγµατα βρίσκονται εκτός διαστήµατος [, ) και συνεπώς θα πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικό άθροισµα. Τα νέαδείγµαταείναιτα x(), x(),..., x( -). Για έχουµε Z [ x( )] X ( ) x () Θεώρηµα της Αρχικής Τιµής Αντοσήµα x( έχειμμ X() µεακτίνασύγκλισης R x, τότε x( ) lim X ( ) Θεώρηµα της Τελικής Τιµής Αντοσήµα x( έχειμμ X () µεακτίνασύγκλισης R x, τότε lim x( lim ( ) X ( ) Μετασχηµατισµός 7-9

Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µονόπλευρος και ο αµφίπλευρος µετασχηµατισµό του σήµατος y ( a u( ) Απάντηση Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός είναι Z a a [ y( ] > a Ο αµφίπλευρος µετασχηµατισµός είναι Z[ y( ] > a a Μετασχηµατισµός 7-

Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Αν είναι γνωστός ο µετασχηµατισµός ενός σήµατος τότε η ανασύνθεση του σήµατος γίνεται µετηβοήθειατης π j x( X ( ) C όπου C είναι µια αριστερόστροφη κλειστή καµπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων η οποία βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής σύγκλισης του µετασχηµατισµού, η δε ολοκλήρωση γίνεται αντίστροφα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. d Ο απευθείας υπολογισµός του αντίστροφου µετασχηµατισµού µέσω του παραπάνω ολοκληρώµατος είναι επίπονη διαδικασία και γι' αυτό συνήθως ακολουθούνται έµµεσοι τρόποι εύρεσηςτουαντίστροφουµετασχηµατισµού. Μετασχηµατισµός 7-

Υπολογισµός του αντίστροφου Μ για ρητές συναρτήσεις Αν η συνάρτηση X() είναι ρητή συνάρτηση τότε την αναπτύσσουµε σε απλά κλάσµατα και τότε εύκολα υπολογίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό, µε τη χρήση γνωστών µετασχηµατισµών. Μετασχηµατισµός 7-

Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση: Λύση Παράδειγµα Ο µετασχηµατισµός αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως X ( ) 4 5 6 X ( ) Το σήµα x( είναι ίσο µε το άθροισµα των αντιστόφων M των απλών κλασµάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα µε τη βοήθεια του ζεύγους 4 του Πίνακα 7.. 4 x( u( u ( 4 Σεραφείµ Καραµπογιάς > b [, -5/6]; a poly([/4, /]); [R,p,C] residue(b,a) R.. p..5 C [] Μετασχηµατισµός 7-

Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση: Σεραφείµ Καραµπογιάς Απάντηση X ( ) 5 6 4 4 < < Ο µετασχηµατισµός αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως X ( ) 4 Τοσήµα x(είναιίσοµετοάθροισµατωναντιστρόφων Mτωναπλώνκλασµάτωνοιοποίοι βρίσκονται εύκολα µε τη βοήθεια των ζευγών 4 και 5 του Πίνακα 7.. x 4 ( u( u( ) Μετασχηµατισµός 7-4

Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση Λύση Παράδειγµα X ( ) Αναλύουµε σε απλά κλάσµατα τη συνάρτηση X()/ και έχουµε X ( ) Οι πιθανές περιοχές σύγκλισης του M του σήµατος είναι X ( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς < Im{ } < < Im{ } < < Im{ } Re{ } Re{ } Re{ } x ( ) u( ) u( ) ( x( ( ) u( ) u( ) x( ( ) u( u( ) Μετασχηµατισµός 7-5

Παράδειγµα ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z Στοπαράδειγµαπουακολουθείπροσδιορίζεται, µετηβοήθειατουαθροίσµατοςτηςσυνέλιξης, η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου, αν η κρουστική απόκριση και η είσοδός του είναι ακολουθίες πεπερασµένης έκτασης. ίνεται ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οποίο όταν διεγείρεται από την κρουστική ακολουθία, δίνει έξοδο την ακολουθία {,, }. Να προσδιοριστεί η ακολουθία εξόδου του ΓΧΑσυστήµατοςότανδιεγείρεταιαπότηνακολουθία x( {, 4, 5, }. Σεραφείµ Καραµπογιάς δ L ( L k Γ. Χ. Α. σύστηµα L 4 h( 4 6 L, δ (, αλλιώς δ ( {,,,, } h( {,,, } Μετασχηµατισµός 7-6

L x(k) L k ( x( k) h( k) y () x( k) h( k) y k L L 4 4 h(k) 4 6 4 6 h( k) k L k L y () y ( ) k L L k k k k L x( ) h() x( ) h() x( ) h() x ( ) h( ) x( ) h( ) L 4 5 L 4 4 5 6 7 L k 4 5 L x(k) 5 L h(k) 4 4 6 k L L h( k) k ( k) h( k) y () x y () k L L k k k k L x( ) h() x( ) h() x( ) h() x( ) h() x( ) h( ) 4 5 y ( ) 4 4 5 6 7 L k 4 5 L x(k) 5 L L L L h(k) L h( k) Μετασχηµατισµός 7-7

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z Στο παράδειγµα που ακολουθεί προσδιορίζεται, χωρίς να καταφύγουµε στο άθροισµα της συνέλιξης, η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου, αν η κρουστική απόκριση και η είσοδός του είναι ακολουθίες πεπερασµένης έκτασης. Παράδειγµα Απάντηση y ( {,,, 4,9, 6} Σεραφείµ Καραµπογιάς ίνεται ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου, το οποίο όταν διεγείρεται από την κρουστική ακολουθία, δίνει έξοδο την ακολουθία {,, }. Να προσδιοριστεί η ακολουθία εξόδου του ΓΧΑσυστήµατοςότανδιεγείρεταιαπότηνακολουθία x( {, 4, 5, }. x[,4,5,]; h[,,]; ycov(h,x) h[,,]; y[,,,4,9,6]; xdecov(y,h) fuctio[y,y]cov_m(x,x,h,h) % Modified covolutio routie for sigal processig %-------------------------------- %[x,x] first sigal %[h,h] secod sigal %[y,y] covolutio result %-------------------------------- ybx()h(); yex(legth(x))h(legth(h)); y[yb:ye]; ycov(x,h); {, 5, 7,,, 4, } x ( h ( {, 4,, 5, } x [, 5, 7,, -, 4, ]; x [-:]; h [, 4,, 5]; h [-:]; [x,] cov_m(x,x,h,h); Μετασχηµατισµός 7-8

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x ( h ( y ( Το σήµα εισόδου x( και το σήµα εξόδου y( ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου ικανοποιούν µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής N k a k H ( ) y( a Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης k ) Y ( ) X ( ) M k k k b k Το σήµα εισόδου, x(, και το σήµα εξόδου, y(, ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το άθροισµα της συνέλιξης. H x( Η συνάρτηση µεταφοράς του ΓΧΑ συστήµατος είναι k) M µε y ( x ( k ) h ( k) k ( ) N k b a k k k k Μετασχηµατισµός 7-9

Παράδειγµα (Σύστηµα διακριτού χρόνου πρώτης τάξης) Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a και b θετικοί πραγµατικοί αριθµοί. y ( a y( ) b x( Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H ( ) b a b [,]; a [, -.9]; plae(b,a); title(' ιάγραµµαπόλων Μηδενικών '); text(.85,-.,'.9'); text(.,-.,''); b[,]; a[, -.9]; [H,W]freq(b,a,); subplot(,,); plot(w/pi,abs(h)); title(' Μέτρο της απόκρισης ') subplot(,,); plot(w/pi,agle(h)); title(' Φάση της απόκρισης ') Επειδή το σύστηµα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > a. ιάγραµµα Πόλων Μηδενικών Μέτρο της απόκρισης.5 Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι -.5. 9..4.6.8 Φάση της απόκρισης h( Z [ H ( )] b a u( - - -..4.6.8 Μετασχηµατισµός 7-

Το σύστηµα πρώτης τάξης διακριτού χρόνου όπως αυτό έχει υλοποιηθεί µε τη βοήθεια µιας µονάδας καθυστέρησης ενός δείγµατος, ενός αθροιστή και δύο πολλαπλασιαστών και η κρουστική του απόκριση, δηλαδή, η ακολουθία εξόδου του όταν η είσοδός του είναι η κρουστική ακολουθία. x( δ ( x ( y ( b Σεραφείµ Καραµπογιάς y ( h( -a b [b,]; a [, -a]; subplot(,,); plae(b,a); title(' ιάγραµµα πόλων-µηδενικών'); [x,] impseq(, -, ); h filter(b,a,x); subplot(,,); stem(,h); xlabel(' ') ylabel(' h( ') title(' Κρουστική απόκριση ') fuctio[x,]impseq(,,) %Geerates x( delta(-); < < %[x,] impeq(,,) [:]; x[(-)]; fuctio[x,]stepseq(,,) % Geerates x( u(-); < < % [x,] stepseq(,,) [:]; xx[(-)>]; xxx; Μετασχηµατισµός 7-

Παράδειγµα (Σύστηµα διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης) Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a καια πραγµατικοίαριθµοί. Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H ( ) a a Επειδή το σύστηµα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > R. y ( a y( ) a y( ) x( b[]; a[, -a, a ]; [H,W] freq(b,a,); subplot(,,); plot(w/pi,abs(h)); xlabel(' Συχνότητα σε µονάδες π ') ylabel(' Μέτροσε Volts ') title(' Απόκριση πλάτους ') subplot(,,6); plot(w/pi,agle(h)); xlabel(' Συχνότητα σε µονάδες π ') ylabel(' Φάση σε µονάδες π ') title(' Απόκριση φάσης ') Μετασχηµατισµός 7-

Αν a,78 και a,8 το σύστηµα έχει δύο συζυγείς πόλους τους,9 e ± jπ/4. Η συνάρτηση µεταφοράς H() αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως H ( ) e π j 4,9e π j 4 e π j 4,9e π j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι π (,9) cos[ ( ) ] u( ) h( 4 Στο Σχήµα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς µιγαδικοί πόλοι, το µηδενικό µε πολλαπλότητα του συστήµατος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι µία φθίνουσα ηµιτονοειδής ακολουθία. Το σύστηµα είναι ευσταθές. Μοναδιαίος κύκλος { } Im,9 π j e 4 h(,9 π j e 4 Re{ } Μετασχηµατισµός 7-

Αν a,5556 και a, το σύστηµα έχει δύο συζυγείς πόλους τους, e ± jπ/4. Η συνάρτηση µεταφοράc H() αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως H ( ) e π j 4, e π j 4 e π j 4, e π j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι π (,) cos[ ( ) ] u( ) h( 4 Στο Σχήµα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς µιγαδικοί πόλοι του, το µηδενικό µε πολλαπλότητα του συστήµατος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι µία αύξουσα ηµιτονοειδής ακολουθία. Το σύστηµα τώρα είναι µη ευσταθές. Im{ } Μοναδιαίος κύκλος, π j e 4 h(, π j e 4 Re{ } Μετασχηµατισµός 7-4

Παράδειγµα Έστω το αιτιατό σύστηµα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν τη γραµµική εξίσωση διαφορών y( y( ) x( x Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H ( ) ( ) Επειδήτοσύστηµαείναιαιτιατόηπεριοχήσύγκλισηςείναι >. b [, /]; a poly([/]); [R,p,C] residue(b,a) R.6667 p.5 C -.6667 Επειδή ο βαθµός του πολυωνύµου του αριθµητή είναι ίσος µε το βαθµό του πολυωνύµου του παρονοµαστή πρέπει να γίνει διαίρεση πριν την ανάλυση σε απλά κλάσµατα. 'Έτσι έχουµε για την κρουστική απόκριση του συστήµατος h( 5 [ H ( ) ] Z Z δ ( 5 u( Μετασχηµατισµός 7-5

Παράδειγµα (προσδιορισµός συνάρτησης µεταφοράς κρουστικής απόκρισης) ίνεται το αιτιατό ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίοιυ η είσοδος και η έξοδος συνδέονται από την εξίσωση διαφορών y (,5 y( ) x( Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Απάντηση Η συνάρτηση µεταφοράς µεταφοράς του συστήµατος είναι H,5 ( ) µε περιοχή σύγκλισης >,5 αφού το σύστηµα είναι αιτιατό. Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h( (,5) u( Μετασχηµατισµός 7-6

Παράδειγµα (προσδιορισµός εξόδου χωρίς αρχικές συνθήκες) Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος αν το σήµα εισόδου είναι x( u( και το σύστηµα βρίσκεται σε ηρεµία Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς µεταφοράς είναι H ( ) µε ΠΣ >,5,5 Ο M της ακολουθίας εισόδου είναι X ( ) µε ΠΣ > Ο M της ακολουθίας εξόδου είναι Y ( ) H ( ) X ( ),5,5 µε περιοχή σύγκλισης την τοµή των δύο επιµέρους περιοχών σύγκλισης, δηλαδή, >. Η ακολουθία εξόδου το συστήµατος είναι y( (,5) u( u( Μετασχηµατισµός 7-7

x ( u( x ( y ( h ( y( 4 8 4 8 µεταβατική κατάσταση µόνιµη κατάσταση Αν δεν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε η έξοδος του συστήµατος προσδιορίζεται µε τη βοήθεια του θεωρήµατος της συνέλιξης Y() H() X() γνωρίζοντας τη συνάρτηση µεταφοράς και το µετασχηµατισµό του σήµατος εισόδου. Αν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε στην εξίσωση διαφορών λόγω της ιδιότητας της αριστερής ολίσθησηςτουµετασχηµατισµού Z [ x( )] X ( ) ( ) x συµπεριλαµβάνουµε τις αρχικές συνθήκες. Μετασχηµατισµός 7-8

Z [ x( )] X ( ) ( ) x Παράδειγµα (προσδιορισµός εξόδου µε αρχικές συνθήκες) Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος αν το σήµα εισόδου είναι x( u( µε αρχική συνθήκη y( ). Λύση: Εφαρµόζουµε µονόπλευρο µετασχηµατισµό και στα δύο µέρη της εξίσωσης διαφορών y(,5 y( ) x( έχουµε [ Y ( ) y( ) ] X ( ) Y ( ),5 Y,5,5,5 ( ) X ( ),5,5 ( ) X ( ) H Y ( ) Y ( ) o i Μετασχηµατισµός 7-9

όπου Y o ( ) H ( ) X ( ),5 η οποία ονοµάζεται απόκριση µηδενικής κατάστασης (ero stage respose) και Y i ( ),5 είναι ο µετασχηµατισµός της εξόδου του συστήµατος ο οποίος προέρχεται από τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Η συνεισφορά του όρου στην έξοδο του συστήµατος βρίσκεται µε αντίστροφο µετασχηµατισµό και είναι η οποία ονοµάζεται απόκριση µηδενικής εισόδου (ero iput respose). Η έξοδος του συστήµατος είναι y( yo ( yi ( (,5) u( u( (,5) u(,5 u( u( ( ) ),5 Σεραφείµ Καραµπογιάς είναι ο µετασχηµατισµός της εξόδου του συστήµατος για µηδενικές αρχικές συνθήκες. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός δίνει y (,5) u( u( ) ( o y ( i (,5) u( ) Μετασχηµατισµός 7-4

b[]; a[, -.5]; y (,5 y( ) x( subplot(,,); plae(b,a); title(' ιάγραµµα πόλων µηδενικών'); Imagiary Part.5 -.5 Σεραφείµ Καραµπογιάς ιάγραµµα πόλων µηδενικών [x,] impseq(, -5, 5); h filter(b,a,x); subplot(,,); stem(,h); xlabel(' ') ylabel(' h( ') title(' Κρουστικήαπόκριση') Y[]; % Αρχικέςσυνθήκεςεξόδου X[]; % Αρχικέςσυνθήκεςεισόδου xicfiltic(b,a,y,x); [u,] stepseq(,, ); y filter(b,a,u,xic); subplot(,,4); stem(,y); xlabel(' ') ylabel(' y( ') title(' Απόκριση στη βηµατική ακολουθία µε αρχικήσυνθήκη y(-) ') h( y( - - - - Real Part.8.6.4. Κρουστική απόκριση -5 5 5.5.5 Απόκριση στη βηµατική ακολουθία µε αρχική συνθήκη y(-) -5 5 5 Μετασχηµατισµός 7-4

Μελέτη γραµµικού χρονικά αναλλοίωτου συστήµατος µε τη βοήθεια M Από την περιοχή σύγκλισης και τη θέση των πόλων και των µηδενικών µπορούµε να εξάγουµε συµπεράσµατα για την ευστάθεια και την αιτιατότητα του συστήµατος Για να είναι ένα αιτιατό σύστηµα διακριτού χρόνου πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το εξωτερικό κύκλου µε τη µικρότερη ακτίνα που περιέχει τους πόλους. Για να είναι το σύστηµα ευσταθές πρέπει η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης µεταφοράς του H() να περιέχει το µοναδιαίο κύκλο. Η θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του H() στο επίπεδο προσδιορίζει τη συµπεριφορά της κρουστικής απόκρισης του συστήµατος. Μετασχηµατισµός 7-4

Η συµπεριφορά της κρουστικής του απόκρισης ενός συστήµατος διακριτού χρόνου ανάλογα µε τη θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του στο µιγαδικό επίπεδο. Μοναδιαίος κύκλος Im Re Μετασχηµατισµός 7-4

Παράδειγµα Θεωρούµε το σύστηµα διακριτού χρόνου, µε είσοδο x( και έξοδο y(, που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y( 7 y( ) y( ) x( ) Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Απάντηση Για να είναι το σύστηµα αιτιατό πρέπει 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h u u > Για να είναι το σύστηµα ευσταθές πρέπει 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h u u < < Η παραπάνω εξίσωση διαφορών δεν µπορεί να περιγράφει σύστηµα που να είναι συγχρόνως ευσταθές και αιτιατό. Μετασχηµατισµός 7-44