ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής Έλλειψης - Υπερολής : Ανάλογ µε την υπόθεση του προλήµτος θ προσδιορίζουµε γι κάθε κωνική τοµή τη θέση της ως προς τους άξονες κι την τιµή των πιτούµενων πρµέτρων (p γι την προλή, κι γι την έλλειψη κι την υπερολή). Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 99, Άσκηση Α 1, Σελίδ 111, Άσκηση Α 1, Σελίδ 1, Άσκηση Α 1.. Εύρεση Εξίσωσης Εφπτοµένης Προλής Έλλειψης-Υπερολής : ) Εάν ζητείτι νρεθεί εξίσωση εφπτοµένης Προλής Έλλειψης - Υπερολής σε γνωστό σηµείο Α(x 1, y 1 ), τότε (πό θεωρί) η εφπτοµένη θ έχει ντίστοιχ εξίσωση yy 1 =p(x+x 1 ), xx yy 1 1 + = 1, = 1 ή xx 1 =p(y+y 1 ), + = 1, = 1 (Ανάλογ µε τη θέση της κωνικής τοµής ως προς τους άξονες). ) Εάν ζητείτι νρεθεί εξίσωση εφπτοµένης γνωστής Προλής Έλλειψης Υπερολής η οποί ικνοποιεί κάποι συγκεκριµένη ιδιότητ λλά δεν δίνετι το σηµείο επφής, τότε το υποθέτουµε ως Μ(x 1, y 1 ) κι πό την ιδιότητ κθώς κι πό το ότι το σηµείο Μ θ ικνοποιεί την εξίσωση της δοθείσης κωνικής τοµής, κτλήγουµε σε σύστηµ ως προς x 1, y 1. Βρίσκοντς έτσι το σηµείο επφής προσδιορίζουµε κι τη ζητούµενη εξίσωση. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 99, Άσκηση Α 5, Σελίδ 11, Άσκηση Α 6, Σελίδ 13, Άσκηση Α 7. 3. Εάν δίνετι εξίσωση Προλής Έλλειψης Υπερολής κι ζητείτι ν δειχθεί κάποι άλλη σχέση (γεωµετρική ή µη) τότε κάνουµε έν πρόχειρο σχήµ, θέτουµε τ άγνωστ σηµεί µε υποτιθέµεν ζεύγη συντετγµένων, χρησιµοποιούµε τις άγνωστες συντετγµένες ως γνωστές κι νάλογ µε την υπόθεση του προλήµτος θ κτλήγουµε στο ζητούµενο. Εφρµογή : Σχολικό Βιλίο, Σελίδ 100, Άσκηση Β, Σελίδ 11, Άσκηση Β 6, Σελίδ 14, Άσκηση Β 4.

B. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ-ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1. Ν δοθούν οι ορισµοί της προλής της έλλειψης κι της υπερολής.. Ν γρφούν οι εξισώσεις της προλής της έλλειψης κι της υπερολής γι όλες τις περιπτώσεις. 3. Ν σηµειώσετε το σωστό ή λάθος στ πρκάτω : ) Εάν (Μ 1 Μ ) διάµετρος της έλλειψης + = 1 µε > τότε (Μ Μ ). 1 ) Στην προλή y =px η πράµετρος p κι οι τετµηµένες x είνι ετερόσηµες. γ) Έστω η υπερολή = 1. Τότε γι την εκκεντρότητά της ε ισχύει ότι = 1 ε. 4 4 δ) Γι την υπερολή = 1 οι ευθείες y = x κι y = x 16 9 3 3 είνι σύµπτωτες υτής. ε) Στην έλλειψη + = 1 µε > ισχύει ότι στην υπερολή = 1 ισχύει ότι γ = +. = + γ ενώ 4. Στη Στήλη Α δίνοντι εξισώσεις κωνικών τοµών κι στη Στήλη Β εξισώσεις εφπτόµενων κωνικών τοµών στο σηµείο επφής (x 1, y 1 ). Ν γράψετε στο τετράδιό σς το γράµµ της Στήλης Α κι δίπλ σε κάθε γράµµ, τον ριθµό της Στήλης Β που ντιστοιχεί πάντ στη σωστή εξίσωση εφπτοµένης. Στήλη Α Στήλη Β. x +y =ρ 1. yy 1 =p(x + x 1 ). + = 1. xx 1 +yy 1 =ρ γ. y = px 3. + = 1 δ. x y = 1 4. xx 1 +yy 1 =1

5. = ρ 6. = 1 Γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ - ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1. Έστω + = 1 µε > µί έλλειψη. Το εµδόν του δκτυλίου που σχηµτίζετι πό τους κύκλους µε κέντρο το (0, 0) κι διµέτρους κι ντίστοιχ είνι 9π. έλλειψης. Εάν. ίνετι η εξίσωση x + y 4y + 3 = 0. γ 3 = νρεθεί η εξίσωση της 5 ) Ν δειχθεί ότι πριστάνει εξίσωση κύκλου του οποίου νρεθεί το κέντρο κι η κτίν. ) Νρεθεί η εξίσωση της ευθείς y=λx ώστε ν ποτελεί εφπτόµενη του κύκλου. γ) Νρεθεί η εξίσωση της υπερολής = 1 που έχει ως σύµπτωτες τις ευθείες του ερωτήµτος ) κι επιπλέον ισχύει ότι = +. 3. ίνετι η προλή y =4x. Νρεθούν : ) Η εστί κι η διευθετούσ της προλής. ) Οι ευθείες που διέρχοντι πό την εστί της προλής κι πέχουν πό την ρχή των ξόνων πόστση ίση µε. γ) Η εξίσωση της εφπτοµένης της προλής που είνι πράλληλη στην ευθεί y=x 1. 4. ίνετι η προλή y =4x κι έστω Μ(x 0, y 0 ) σηµείο της µε θετική τετγµένη. Εάν Α είνι η προολή του Μ στην διευθετούσ κι το τρίγωνο ΜΑΕ όπου Ε η εστί της έχει εµδό τ.µ., νρεθεί το σηµείο Μ. 5. ίνετι η προλή C : y = px κι δύο χορδές της ΟΒ, ΟΓ τέτοιες ώστε ΒΟΓ=90 0. Ν δειχθεί ότι η ευθεί ΒΓ διέρχετι πό στθερό σηµείο.

6. Η προλή µε εξίσωση y =x διέρχετι πό το σηµείο Α(, 4), όπου ΙR.. ) Ν δειχθεί ότι η εστί της προλής είνι το σηµείο Ε(, 0). ) Έστω Ε το συµµετρικό της εστίς Ε ως προς τον άξον y y. Εάν Μ(x, y) είνι έν οποιοδήποτε σηµείο γι το οποίο ισχύει ΜΕ = ΜΕ'ΜΕ ν δειχθεί ότι το σηµείο Μ(x, y) νήκει στον κύκλο µε κέντρο την ρχή των ξόνων Ο(0, 0) κι κτίν. γ) Νρεθούν οι εξισώσεις των εφπτόµενων του πρπάνω κύκλου που διέρχοντι πό το σηµείο Α. 7. ίνετι η εξίσωση x -y +6x+9=0. ) Ν δειχθεί ότι η πρπάνω εξίσωση πριστάνει δύο ευθείες ε 1 κι ε. ) Ν δειχθεί ότι οι ευθείες ε 1 κι ε είνι κάθετες. γ) Νρεθεί έν σηµείο Μ(κ, λ) µε κ>0 κι λ>0 τέτοιο, ώστε το διάνυσµ =(3, κ) ν είνι πράλληλο προς τη µί πό τις δύο ευθείες ε 1 κι ε κι το διάνυσµ =(-16, 4λ) ν είνι πράλληλο προς την άλλη ευθεί. δ) Ν γρφεί η εξίσωση της προλής που έχει κορυφή την ρχή των ξόνων Ο, άξον συµµετρίς τον άξον x x κι διέρχετι πό το σηµείο Μ. 8. ίνετι η προλή y =4x κι έστω Μ(x 0, y 0 ) σηµείο της µε θετική τετγµένη. Εάν Α είνι η προολή του Μ στην διευθετούσ κι το τρίγωνο ΜΑΕ όπου Ε η εστί της προλής έχει εµδόν, νρεθούν οι συντετγµένες του σηµείου Μ. 9. Νρεθεί το µήκος του ευθύγρµµου τµήµτος µε άκρ στην έλλειψη x y + = 1 το οποίο διέρχετι πό την εστί Ε(γ, 0) κι είνι κάθετο στον µεγάλο ηµιάξονά της. 10. ίνετι η υπερολή x y = 1 κι έν σηµείο της Ρ. Εάν Μ είνι το µέσο του τµήµτος ΟΡ ν δειχθεί ότι κθώς το Ρ κινείτι στην υπερολή το σηµείο Μ κινείτι επίσης σε υπερολή. 11. Εάν γι τους ριθµούς x 1, x, y 1, y ισχύουν ότι 9x 1 +16y 1 =144 κι 9x +16y =144 ν δειχθεί ότι (x 1 -x ) +(y 1 -y ) 64.

1. Έν σηµείο Μ(x, y) κινείτι έτσι ώστε η πόστσή του πό το σηµείο Ε(5, 0) ν είνι ίση µε τ 5/3 της πόστσής του πό την ευθεί (ε) : x=9/5. ) Ν δειχθεί ότι το σηµείο Μ κινείτι σε υπερολή. ) Εάν Κ, Λ είνι τ σηµεί στ οποί η ευθεί (ε) τέµνει τις σύµπτωτες της υπερολής, νρεθεί το εµδόν του τριγώνου ΟΚΛ. 13. ίνετι η έλλειψη x +y =. Ν δειχθεί ότι οι ευθείες που διέρχοντι πό τις εστίες της κι είνι πράλληλες προς την ευθεί x-y+7=0 τέµνουν την έλλειψη σε τέσσερ σηµεί που είνι συµµετρικά νά δύο ως προς το κέντρο της έλλειψης. 14. ίνοντι οι προλές Π 1 : y=x, Π : x=y κι τ σηµεί τους Α, Β ντίστοιχ. Από το Α φέρνουµε κτκόρυφη ευθεί ε κι πό το Β οριζόντι ευθεί ζ οι οποίες τέµνοντι στο σηµείο Γ. ) Ν εκφρσθούν οι συντετγµένες του σηµείου Α συνρτήσει της τετµηµένης x του Α κι οι συντετγµένες του σηµείου Β συνρτήσει της τετγµένης y του Β. ) Εάν τ Α κι Β µετάλλοντι ώστε η ευθεί ΑΒ ν είνι πράλληλη στην ευθεί y=-x νρεθεί η εξίσωση κι το είδος της κµπύλης στην οποί κινείτι η κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ. 15. Από έν σηµείο Μ άγοντι δύο εφπτόµενες της έλλειψης + = 1 16 4 κι η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί επφής έχει εξίσωση x-3y-4=0. Νρεθούν οι συντετγµένες του σηµείου Μ. 16. Έστω η προλή y =px κι το σηµείο της Α(x 1, y 1 ). Ν δειχθεί ότι η p πόστση ΑΕ είνι ίση µε (ΑΕ)= x 1 +. 17. Έστω τ διφορετικά σηµεί Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) της προλής y =px. ίνετι ότι η ευθεί ΑΒ διέρχετι πό την εστί Ε της προλής. ) Ν δειχθεί ότι y 1 y =-p. ) Ν δειχθεί ότι ΟΑ ΟΒ=στθερό. γ) Ν δειχθεί ότι οι εφπτόµενες της προλής στ σηµεί Α κι Β τέµνοντι κάθετ κι µάλιστ πάνω στη διευθετούσ της προλής.

18. ίνετι η έλλειψη + = 1 µε >>0. Μί τυχί εφπτοµένης της τέµνει τις ευθείες x=- κι x= στ σηµεί Κ κι Λ ντίστοιχ. Ν δειχθεί ότι ο κύκλος διµέτρου ΚΛ διέρχετι πό µί εστί της έλλειψης. 19. ίνετι η έλλειψη + = 1 µε >>0 κι η προλή y =px µε p>0. ) Ν δειχθεί ότι η έλλειψη κι προλή τέµνοντι σε δύο σηµεί Α κι Β. ) Εάν οι εφπτόµενες της έλλειψης κι της προλής στο σηµείο Α τέµνοντι κάθετ, ν δειχθεί ότι =. 0. Έστω η έλλειψη + = 1 µε >>0 κι Ε, Ε οι εστίες της. Εάν Μ τυχίο σηµείο της έλλειψης ν δειχθεί ότι ΜΕΜΕ'.