01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό Θέμα Β Β1. Α τρόπος Η αθροιστική σχετική συχνότητα τοις εκατό που αντιστοιχεί στην κλάση 15,5 είναι F % 50, άρα το 50% των παρατηρήσεων (χρόνων) είναι μικρότερες ή ίσες των 5 λεπτών και το 50% των παρατηρήσεων (χρόνων) είναι μεγαλύτερες ή ίσες των 5 λεπτών. Επομένως η διάμεσος είναι 5 λεπτά. Β τρόπος Στο ιστόγραμμα F % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό και προκύπτει: Επομένως, 5 λεπτά ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 Χρόνοι (λεπτά) Β. Επειδή η διάμεσος είναι 5 λεπτά, θα πρέπει οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις να είναι μικρότερες ή ίσες των 5 λεπτών και οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις να είναι μεγαλύτερες ή ίσες των 5 λεπτών. Επομένως, οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις ανήκουν στις πρώτες δύο κλάσεις 5,15 και 15, 5, άρα είναι σε πλήθος v1 v 3 6 και οι μισές σε πλήθος παρατηρήσεις ανήκουν στις τελευταίες δύο κλάσεις πλήθος v3 v 8 3 6. Επομένως, 3 6 8 Τότε, ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων είναι: v % f N % F v 5,35 και 35,5, άρα είναι σε v 5,15 10 1 0 1 0 10-1 196 35 15,5 0 18 30 30 50 360-16 88 5,35 30 0 5 90 70 6 36 86 35,5 0 6 10 60 100 0 16 56 1536 Σύνολο 60 100 10 500 Β3. Από τον παραπάνω πίνακα, έχουμε: v 1 10 v 60 λεπτά. v 1 500 s 8, άρα v 60 s 8 9,17 λεπτά Β. Οι ζητούμενες παρατηρήσεις (μαθητές) ανήκουν σε μέρος της ης κλάσης. Θεωρούμε την υποθετική κλάση: ~ /9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 37,5, με σχετική συχνότητα f % και πλάτος c 5 37 8 Η οποία είναι μέρος της 35,5, με σχετική συχνότητα f % 10 και πλάτος c 5 35 10 Επειδή δεχόμαστε ότι οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα μέσα στις κλάσεις, θα ισχύει: f % c 8 8 f % c 10 10 Άρα οι ζητούμενες παρατηρήσεις είναι σε ποσοστό 8%. Θέμα Γ Αναφέρεται η έκφραση «επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή», επομένως ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει Γαλλικά» Β: «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει Ιταλικά» Τότε: P 3v v 1 v P v 1 και Το ενδεχόμενο «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει και τις δύο γλώσσες» είναι το. v 1 P v 1. Άρα Το ενδεχόμενο «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες» είναι το. Άρα P Γ1. Έχουμε: m 1 3. 0 0 1 3 3 3 3 P m m 1 1 ~ 3/9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 3 3 m m 1 1 1 3 1 3 1 1 1 m m 1 1 1 3 1 3 1 11 m 1 1 3 1 1 3 Άρα P 1 και επειδή ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα θα είναι, δηλαδή το είναι βέβαιο ενδεχόμενο. Γ. Από τον προσθετικό νόμο παίρνουμε: P P P P v v 3v v v 1 1 v 1 v 1 v 1 3v v v 1 1 v 1 3v 1 1 v 1 1 3v 1 3v 0 v v3 0 v 0 ή v 3 Επειδή v 3, θα είναι v 3 (η λύση v 0 απορρίπτεται) ~ /9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 Γ3. Για v 3, έχουμε: P 33 9 3 1 10 3 5 P 3 1 10, 31 P 3 1 10 και Το ενδεχόμενο «ο μαθητής που επιλέγεται μαθαίνει μόνο μια από τις δύο γλώσσες» είναι το. Επειδή (δηλαδή τα δύο ενδεχόμενα και είναι ξένα), θα ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος: P P P P P P P 9 5 6 P P P 10 10 10 10 Γ. Επειδή ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα θα χρησιμοποιήσουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας: 3 10 N N P N 30 N 80 N μαθητές. Θέμα Δ Δ1. Η συνάρτηση f 1 n, 0 είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 n 1 n n 1 n 1 n n 1 f n 1 0 για κάθε 0. n 1 f 0 0 n 1 0 n 1 e Άρα, ο πίνακας μονοτονίας της f είναι: ~ 5/9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 0 e f f Επομένως, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. Δ. Κάνουμε το σχήμα: 0 0 0 0 0 Επειδή 0, θα είναι 0 0 0 0 f 0 f f Επειδή f 1 n 0 για κάθε 0, θα είναι f. Το εμβαδόν του ορθογωνίου θα δίνεται από τη συνάρτηση: 1 n ά ύ f 1 n, 0 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με : 1 n 1 n n, 0 ~ 6/9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 n 0 0 n 0 n n1 1 n 0 0 n 0 n n1 1 n 0 0 n 0 n n1 1 Άρα, ο πίνακας μονοτονίας της είναι: 0 1 1 Επομένως, η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,1, ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο 1, Ακόμα η συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 1, το ελάχιστο τετραγωνική μονάδα. 1 1 Άρα, το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο όταν: ά 1 και 1,0 ύ 1 n 1, ενώ f 1 1 και 1,0 Τότε όμως το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 1 ~ 7/9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 Δ3. η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης Έστω : f στο σημείο της 1, f 1. Έχουμε: f 1 n άρα f 1 n 1 1 1 και 1 n 1, άρα n1 1 f f Είναι f 1 1, άρα : 1 Έχουμε / / 1. Άρα : Τα σημεία 1 1, :, άρα:, 1,,...,10 Σύμφωνα με την εφαρμογή 3, σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου, οι τεταγμένες σημείων θα έχουν: των Μέση τιμή: 1 110 10 Τυπική απόκλιση: s 1 s 1 Συντελεστή μεταβλητότητας: CV s 10 Για να είναι το δείγμα των παρατηρήσεων ομοιογενές, θα πρέπει: CV 1 10% 10 0 10 10 10 0 ή 10 0 30 ή 10 ~ 8/9 ~ Πέτρος Μάρκου
01 Δ. Επειδή και και επειδή ο δειγματικός χώρος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα θα είναι P και P 0 1 Έχουμε: 0 1 f 0, P P f P f P 1 f 0, P P f P f P Προσθέτοντας τις ανισότητες 1 και κατά μέλη προκύπτει: f P f P f P ~ 9/9 ~ Πέτρος Μάρκου