Να συµπηρωθεί ο παρακάτω πίνακας µονοτονίας και χαρακτηρισµός των τοπικών ακροτάτων. 3 f () f Μονάδες ΘΕΜΑ ο Α. Το σηµείο Α κινείται όπως δείχνει το δ

ΤΡΙΩΡΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ : ΑΝΑΛΥΣΗ:.4,.,.6,.7(Σχοικού βιβίου) ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, τότε δείξτε ότι f ( ). Μονάδες Β. Στις ακόουθες προτάσεις, να σηµειώσετε Σ για τις σωστές και Λ για τις ανθασµένες.. Αν f άρτια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιµη στο R τότε η f έχει ρίζα στο (, ) για κάθε >. Σ Λ. Αν f, g συνεχείς στο R και οι C f, C g τέµνονται στο σηµείο µε τετµηµένη και ισχύει f ()g (), (, ) (,+ ) τότε f()g(), R. Σ Λ 3. Αν F αρχική της f στο (α, β) και η F παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε η f έχει ρίζα. Σ Λ 4. Αν f ( ) τότε η f δεν παρουσιάζει εσωτερική θέση ακροτάτου. Σ Λ. Έστω F αρχική της f σ ένα διάστηµα. Αν η f έχει το πού 3 ρίζες διαφορετικές στο τότε η F έχει το πού 4 διαφορετικές ρίζες στο. Σ Λ Μονάδες Γ. Στο παρακάτω διάγραµµα δίνεται η γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου µιας συνάρτης f η οποία είναι συνεχής στο [,]. y C f 3

Να συµπηρωθεί ο παρακάτω πίνακας µονοτονίας και χαρακτηρισµός των τοπικών ακροτάτων. 3 f () f Μονάδες ΘΕΜΑ ο Α. Το σηµείο Α κινείται όπως δείχνει το διπανό σχήµα πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(), > και ο ρυθµός µεταβοής της τετµηµένης του έιναι 3cm/sec. Να βρείτε το ρυθµό µεταβοής της τεταγµένης του τη χρονική στιγµή κατά την οποία το Α διέρχεται από το Μ. y A(a, ) a M y Μονάδες 8 Β. ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f()a k +β µ +γ v a, β, γ R, κ,µ,ν Ν * α β γ Αν + + να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουάχιστον ξ (,) κ + µ + ν + ώστε f(ξ). Μονάδες 7 Γ. i) ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R ώστε να ισχύει f () για κάθε R. είξτε ότι η εξίσωση f() έχει το πού ρίζες. ii) Να υθεί η εξίσωση: (7) 6 +. Μονάδες ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να βρείτε συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f()ln και f () + +,, >. Μονάδες 8 Β. ίνεται f ορισµένη και παραγωγίσιµη στο (,), µε f()>, για <, ώστε να ισχύουν f()e και f ()()f(), <. Να βρείτε τη συνάρτηση f. Μονάδες 9

Γ. e Έστω συνάρτηση f(), >, > i) Να µεετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδειχθεί ότι: e +ln, >. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Έστω f παραγωγίσιµη στο R ώστε να ισχύει f ()6f( ) 9 για κάθε R. i) Να βρείτε τα f(), f() Μονάδες 4 ii) Να δείξετε ότι η C f έχει δυο τουάχιστον οριζόντιες εφαπτόµενες. Μονάδες 6 B. Έστω µια συνεχής συνάρτηση f:[α,β] R µε f () για κάθε (α,β). Να δείξετε ότι i) f(a) f(β) Μονάδες 3 ii) Υπάρχει (α,β) ώστε f( )f(α)+3f(β) Μονάδες 6 iii) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ (α,β) ώστε να ισχύει 3 +. Μονάδες 6 f'(ξ ) f'(ξ ) f'(ξ) ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία σχοικού βιβίου, σε. 6 Β.. Σ Η f είναι παραγωγίσιµη στο [,], > και f()f(). Άρα από Θ.Rlle f ( ), (,). Σ f ()g (), (, ) (,+ ). Από ΣΘΜΤ ισχύει f()g()+c, < lim f() lim g() + c f()g()+c, > lim f() lim g() + c + + f( )g( )+c c f( )g( )+c c f() g(), Άρα f() g(), R. f( ) g( ) 3. Σ 3

Γ. Η F είναι παραγωγίσιµη στο (α,β) και έστω θέση τοπικού ακροτάτου. Από θ.fermat F ( ) f( ). 4. Λ π.χ f() f () f ()4 H f όµως έχει οικό εάχιστο στο. Σ Αν η F είχε διαφορετικές ρίζες στο τότε από Θ.Rlle η F f θα είχε τουάχιστον 4 διαφορετικές ρίζες στο. (Άτοπο) 3 f () + + + f ΘΕΜΑ ο a(t)a'(t) a'(t) Α. Είναι y A (t) και y A (t). 4 3 a (t) a (t) a (t) Έστω t η χρονική στιγµή κατά την οποία το σηµείο Α διέρχεται από το Μ, οπότε θα 3 ισχύει a(t ) a (t ) a(t ) a (t ) a'(t ) 3 Ο ζητούµενος ρυθµός µεταβοής είναι: y A (t ο ) 6 cm/sec. 3 a (t ) Β. Έστω F() k+ a k+ β µ + γ ν+ + µ + + ν+, R τότε F ()f() H F παραγωγίσιµη στο [,] άρα και συνεχής. F() a β γ F() + + (Υποθ.) άρα από Θ.Rlle θα υπάρχει ξ (,) ώστε k+ µ + ν+ F (ξ) f(ξ). TE TM TE TM Γ. i) Έστω ότι η εξίσωση f() έχει τρεις τουάχιστον ρίζες τις ρ <ρ <ρ 3 τότε f(ρ )f(ρ )f(ρ 3 ). Από Θ.Rlle για την f και τα διαστήµατα [ρ, ρ ],[ρ,ρ 3 ] θα υπάρχουν (ρ,ρ ), (ρ,ρ 3 ) ώστε f ( ) και f ( ). Από Θ.Rlle για την f και το [, ] θα υπάρχει ξ (, ) ώστε f (ξ) άτοπο αφού f (), R άρα η εξίσωση f() έχει το πού ρίζες. ii) Προφανείς ρίζες της εξίσωσης 7 6 (Ι) οι αριθµοί και. Έστω f()7 6, R. f ()7 ln76 4

f ()7 ln 7 για κάθε R άρα η εξίσωση f() έχει το πού δύο ρίζες. Τεικά η εξίσωση f() δηαδή η εξίσωση (Ι) έχει για ρίζες µόνο τους αριθµούς και. ΘΕΜΑ 3 ο A. Για < ισχύει f ()+ οπότε f() ++c () Για > ισχύει f () οπότε + f()ln(+)+c () Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο µε f () άρα και συνεχής στο δηαδή lim f() lim f() f(). + () lim f() lim ( + + c) f() c () lim f() lim (ln(+ ) + c) f() c + + Είναι f()ln ( ) lnln+f() f(). +, Άρα f() ln(+ ), > B. Είναι f ()()f() f'()f()f() f ()+f()f() (f()) f(), < () Θεωρούµε g()f(), < οπότε θα ισχύει g ()g() και από γνωστή εφαρµογή ότι: g()ce f()ce, <. Για έχουµε: f()ce ece ce. Άρα f()e + e + f(), <. e e e ( ) Γ. i) Είναι f () f () / + f () + f

f ()> > > f ()< < < Η f είναι στο (, ] και f στο [,+ ] και παρουσιάζει οικό εάχιστο στη θέση e που είναι το f( ) e ii) Από το (i) ερώτηµα ισχύει f() f( ) e e e e ΘΕΜΑ 4 ο Για e ισχύει e e e lne e ln(e ) e lne +ln e +ln >. Α. i) Έχουµε: f ()6f( )+9 για κάθε R (I) Από (Ι) και για : f ()6f()+9 (f()3) (f()3) f()3 () Από (Ι) και για : f ()6f()+9 (f()3) (f()3) f()3 () ii) Έστω h()f ()6f( )+9, R τότε από (I) έχουµε h() h() για κάθε R καθώς και h() h() για κάθε R δη η h παρουσιάζει στις θέσεις και οικό µέγιστο και επειδή είναι παραγωγίσιµη µε h ()f()f ()6f ( ) από Θ.Fermat θα ισχύουν h'() f()f'() 6f'() 3f'() και f()f'() 6f'( ) h'() 3f'() 6f'() 6f'() f'() και και 6f'() f'() Άρα η C f δέχεται στα σηµεία (,3), (,3) οριζόντιες εφαπτόµενες. Β. i) Έστω f(a)f(β) τότε από Θ.Rlle για την f και το [α,β] θα υπάρχει (α,β) ώστεf ( ) άτοπο. (Αφού f () για κάθε (α,β)), άρα τεικά f(a) f(β). ii) Έστω h()f()f(α)3f(β), [α,β]. Η h συνεχής στο [α,β] ως πράξεις συνεχών 6

h(a)f(a)f(a)3f(β)3[f(a)f(β)] h(β)f(β)f(a)3f(β)[f(a)f(β)] άρα h(a)h(β)6[f(a)f(β)] < οπότε από Θ.Blzan θα υπάρχει (α,β) ώστε h( ) f( )f(a)+3f(β). f(β) iii) Από Θ.Μ.Τ. για την f και το [α,β] θα υπάρχει ξ (α,β) ώστε f (ξ) β β α (β α) () f'(ξ) f(β) f(a) f'(ξ) f(β) f(a) f(a) α Από Θ.Μ.Τ για την f και τα [α, ], [,β] θα υπάρχουν ξ (α, ), ξ (, β) ώστε f(a) + 3f(β) f(a) f( ) f(a) ii) f (ξ ) f'(ξ ) a a 3f(β) 3f(a) f'(ξ ) a 3 ( a) () f'(ξ ) f(β) f(a) f(β) f (ξ ) β f( ) f'(ξ ) 3[f(β) f(α)] ( a) f(a) + 3f(β) f(β) 6 (β ) f'(ξ ) (f(β) f(α)) f'(ξ ) (β ) (3) f(β) f(a) (f(β) f(a)) (β ) ( a) f'(ξ ) 3[f(β) f(α)] ο 3 a β (β α) () + Από ()+(3): +. f'(ξ ) f (ξ ) f(β) f(a) f(β) f(a) f'(ξ) 7