Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ), Α 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των σε ένα σημείο με τετμημένη ξ (α,β), τότε: Εξασφαλίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο [α,β]. Δείχνουμε ότι f(α) f(β). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [α,β]. Μέθοδος Β Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Β. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ [α,β], Β. Υπάρχει ξ [α,β] έτσι ώστε f(ξ), Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], τότε: Εξασφαλίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο [α,β]. Δείχνουμε ότι f(α) f(β). Διακρίνουμε περιπτώσεις, εργαζόμενοι ως εξής: Αν f(α), τότε ξ α, Αν f(β), τότε ξ β, Αν f(α) f(β), τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [α,β], οπότε ξ (α,β). Τελικά ξ [α,β]. Μέθοδος Γ Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι : Γ. Η εξίσωση f() g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β) ή ξ [α,β], Γ. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε να ισχύει f(ξ) g(ξ) ή ξ [α,β], Γ 3. Οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη ξ (α,β) ή ξ [α,β], τότε: Θέτουμε h() f() g(), Εργαζόμαστε για την συνάρτηση h όπως υποδεικνύουμε για την f στο Α ή στο Β. Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου - -
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Μέθοδος Δ Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε επί πλέον η ζητούμενη ρίζα ξ (α,β) ή ξ [α,β] είναι μοναδική, τότε: Αρκεί (όχι και πρέπει) να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι είτε γνησίως μονότονη είτε «-» στο [α,β]. Αν δεν είναι - ή γνήσια μονότονη στο [α,β], τότε: ή δείχνουμε ότι, είτε υπάρχει [α, β] με f( ) ymin και f() για κάθε, είτε ότι υπάρχει [α, β] με f( ) yma και f() για κάθε, ή δείχνουμε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για μια αρχική συνάρτηση της f (θα το διδαχθούμε στο κεφάλαιο των παραγώγων), ή κάνουμε μελέτη της συνάρτησης f στο [α, β]. Μέθοδος Ε Σε πολλές περιπτώσεις δεν μας καθορίζεται το διάστημα στο οποίο ζητάμε τη ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής f(), (f συνεχής), οπότε το θεώρημα του Βolzano δεν μπορεί να εφαρμοστεί άμεσα. Στην περίπτωση αυτή προσπαθούμε με δοκιμές να βρούμε τους αριθμούς α, β, για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Βolzano στο [α, β]. Αν αυτό δεν είναι δυνατόν, εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε το σύνολο τιμών f[α,β] της f (αν είναι εφικτό), δείχνουμε ότι το f [α,β] και εφαρμόζουμε το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών. Αν δεν μπορούμε να βρούμε το σύνολο τιμών, τότε: βρίσκουμε τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της, τα οποία θα είναι ετερόσημα, οπότε μιας και η συνάρτηση είναι συνεχής συμπεραίνουμε ότι το f(a) και εφαρμόζουμε το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών ή εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano, σε κατάλληλο διάστημα. (Μελέτησε το επόμενο) Μέθοδος ΣΤ Αν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() g() έχει μια ρίζα ξ (α,β), όπου f, g συνεχείς συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται στο (α,β), τότε: ή θα μετασχηματίζουμε την εξίσωση σε άλλη μορφή, οπότε θα προκύψει μια νέα συνάρτηση h για την οποία θα εφαρμόζονται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano στο [α,β]. ή θα βρίσκουμε τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της, τα οποία θα είναι ετερόσημα και θα ισχύει ένα από τα εξής: - - Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ είτε Lim f() ή α Lim f() και α Lim f() ή β Lim f(), οπότε θα υπάρχουν, (α, β) με α πολύ κοντά στο α, και β πολύ κοντά στο β, τέτοια ώστε f( ) και f( ), οπότε στο διάστημα [, ] εξασφαλίζουμε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano, οπότε και την ύπαρξη ρίζας στο ξ (, ) (α,β). είτε Lim f() ή Lim f() και Lim f() ή Lim f(), οπότε θα υπάρχουν α α β, (α, β) με α πολύ κοντά στο α, και β πολύ κοντά στο β, τέτοια ώστε f( ) και f( ), οπότε στο διάστημα [, ] εξασφαλίζουμε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano, οπότε και την ύπαρξη ρίζας στο ξ (, ) (α,β). 3 Σχόλιο: Η εξίσωση, έχει μια ρίζα ξ (,) ή ύπαρξη της οποίας δεν μας 3 εξασφαλίζεται με θεώρημα Bolzano στο [,] από τη συνάρτηση f με f(), διότι δεν ορίζεται για και. Αν όμως κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano στο [,] για τη συνάρτηση h() ( ) 3( ), μας εξασφαλίζεται η ρίζα ξ (,), για την h, άρα και για την f. β β Μέθοδος Ζ Αν ζητείται η ύπαρξη περισσότερων σημείων ξ,ξ,...,ξ ν που επαληθεύουν κάποια ιδιότητα ή είναι ρίζες κάποιας εξίσωσης τότε εφαρμόζουμε ν φορές το Θ.Βolzano για κατάλληλη συνεχή συνάρτηση σε ν διαστήματα που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία. Τα ν αυτά διαστήματα είτε δίνονται, είτε προσδιορίζονται μετά από προσεκτική εξέταση των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος. Μέθοδος Η Αν για μια πολυωνυμική συνάρτηση ν-ιοστού βαθμού μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι έχει ακριβώς ν ρίζες, ξ,ξ,...,ξ ν, τότε αφού δείξουμε ότι έχει τουλάχιστον ν ρίζες, και γνωρίζοντας ότι μια πολυωνυμική εξίσωση έχει τόσες το πολύ ρίζες όσες και ο βαθμός της, συμπεραίνουμε τελικά ότι έχει ακριβώς ν ρίζες. Μέθοδος Θ Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και ισχύει f() για κάθε (α,β), τότε οι τιμές τις f έχουν σταθερό πρόσημο στο (α,β), δηλαδή είναι: ή f() για κάθε (α,β) ή f() για κάθε (α,β). Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου - 3 -
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Μέθοδος Ι Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και ρ, ρ δυο διαδοχικές ρίζες της, με ρ ρ, τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ρ, ρ, δηλαδή είναι: ή f() για κάθε ρ, ρ ή f() για κάθε ρ, ρ. Μέθοδος Ια Αν μας ζητείται το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η οποία ταυτόχρονα είναι γνήσια μονότονη στο Δ, αρκεί να βρούμε τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της, οπότε: Aν Δ (α, β), τότε: i. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα θα έχουμε ii. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα θα έχουμε ή Αν Δ (, + ), τότε: Σχόλιο : f(δ) Limf(), Limf() α β, f(δ) Limf(), Limf() β α. iii. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα θα έχουμε f(δ) Limf(), Limf(), iv. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα θα έχουμε f(δ) Limf(), Limf(). Αν μας ζητείται το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, το οποίο είναι ένα ανοικτό διάστημα έστω Δ (α, β), και είναι: Lim f() και α Lim f() ή β Lim f() και α β μονοτονία της, το σύνολο τιμών της είναι το f(δ), +. Σχόλιο : Lim f(), τότε ανεξάρτητα από τη Γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, το οποίο είναι ένα κλειστό διάστημα έστω Δ [α, β], είναι το f(δ) [m, M], όπου m ymin και M y ma, καθόσον πάντα υπάρχουν, [α, β], τέτοια ώστε f( ) m ymin και f( ) M yma. - 4 - Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Ασκήσεις Α! Ομάδα Bolzano στο [,e] για την f() ln ln Bolzano στα [,] και [,] για την 3 f() 4 3 8 6. Δείξτε τη συνέχεια στο και Bolzano στα [,] και [,] και μονοτονία. Κάντε απαλοιφή παρονομαστών και για τη συνάρτηση που θα προκύψει εφαρμόστε Bolzano στα [,] και [,] και μέθοδος ΣΤ καθώς και το σχόλιο της μεθόδου Ζ. Bolzano στο [α,β] για την h() f() και μέθοδος Γ. Bolzano στο [α,β] για την h() f() και μέθοδος Γ. Bolzano στο [α,β] για την h() f() g() και μέθοδος Γ. Κάντε απαλοιφή παρονομαστών και για τη συνάρτηση που θα προκύψει εφαρμόστε Bolzano στο [α,β] και μέθοδος Γ. Θέμα ον Έστω η εξίσωση ρίζα στο (,e). ln ln. Να δείξετε ότι έχει μια τουλάχιστον Θέμα ον 3 Έστω η εξίσωση 4 3 8 6. Να δείξετε ότι έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο (, ). Θέμα 3 ον, Έστω η συνάρτηση f(). Να δείξετε ότι έχει 3 6, ακριβώς δυο ρίζες στο (, ). Θέμα 4 ον ημα ημβ ημγ Έστω η εξίσωση έχει δυο ακριβώς ρίζες στο (, )., με α, β, γ (, π). Να δείξετε ότι Θέμα 5 ον Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει α f() β για κάθε [α, β]. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β]. Θέμα 6 ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο [α, β] και για την οποία ισχύει ότι f(α) f(β) α β. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα [α, β] τέτοιο ώστε f( ). o Θέμα 7 ον Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g οι οποίες ορίζονται στο [α, β] και για τις οποίες ισχύει ότι f(α) f(β) g(α) g(β). Να δείξετε ότι η εξίσωση f() g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β]. Θέμα 8 ον Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α, β] με α, και ισχύει f(α) f (β) α β για κάθε [α, β]. Να δείξετε ότι υπάρχει αf( ) [α, β] τέτοιο ώστε να ισχύει. β f( ) Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου - 5 -
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Κάντε απαλοιφή παρονομαστών και για τη συνάρτηση που θα προκύψει εφαρμόστε Bolzano στο [α,β]. Διαβάστε τη Μέθοδο Γ Θέμα 9 ον Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει f(α) f(β) α β για κάθε [α, β]. Να δείξετε ότι υπάρχει (α, β) f( ) β f( ) α τέτοιο ώστε να ισχύει. α β Θέμα ον Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g οι οποίες ορίζονται στο [α, β] και για τις οποίες ισχύει ότι f(α) α, f(β) β και α g() β για κάθε (α, β). Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο. Είναι f(α) f(β) και Bolzano στο [α, β]. Εφαρμόστε μέθοδο Γ. Θέμα ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [α, β] για την οποία ισχύει ότι f(α) f(β). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα [α, β] τέτοιο ώστε f( ). Αν για κάθε (α,β) είναι f(),τότε θα καταλήξετε σε άτοπο, οπότε. Η σχέση μετασχηματίζεται στη f( ) f( ) 3 f( ) και f( ) 3, οπότε δείξτε ότι οι αριθμοί,3 είναι τιμές της συνάρτησης Ισχύει ότι m f() M, οπότε και m f( ) M 3m 3f( ) 3M 4m 4f( 3 ) 4M Όπως το θέμα 4 Θέμα ον Έστω η συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα Δ [α, β]. Αν,, 3 (α, β) και ισχύει ότι f() f() f(3), να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) ώστε να ισχύει f(ξ). Θέμα 3 ον Έστω η συνάρτηση f με υπάρχουν, [, 8] ώστε f() 3 3. Εξετάστε αν f() f() 4f() 6f() 3 Θέμα 4 ον Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Να δείξετε ότι για κάθε,, 3 [α,β], υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ [α, β] ώστε να ισχύει 9f(ξ) f( ) 3f( ) 4f( ). 3 Θέμα 5 ον Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Να δείξετε ότι για κάθε,,..., ν f(ξ) [α,β], υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ [α, β] ώστε να ισχύει f( ) f( )... f( ) ν ν. Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση ν ν f() α α... α α. ν ν Βρείτε τα Lim f() εφαρμόστε μέθοδο ΣΤ. και Lim f() και Θέμα 6 ον Δείξτε ότι κάθε πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα. - 6 - Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Μέθοδος Θ Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών. Μέθοδος Ζ Μέθοδος Ε Μέθοδος Ια Θέμα 7 ον Δίνεται η συνάρτηση ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ f() (ln ) (e ) ( ). Να βρεθεί το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης. Θέμα 8 ον Δίνεται η συνάρτηση f() ( 3)ln. Να εξετασθεί αν οι αριθμοί και είναι τιμές της συνάρτησης. 5 Θέμα 9 ον (α ) β, Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() βα,., Να προσδιορισθούν οι παράμετροι α, β ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [, ]. Θέμα ον Δείξτε ότι η εξίσωση συν5ημ έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο π, π. Θέμα ον * Δείξτε ότι η εξίσωση ln e έχει ακριβώς μια ρίζα στο. Θέμα ον Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f() ln. Θέμα 3 ον Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και «-» σε ένα διάστημα Δ [α,β], να αποδειχθεί ότι είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Θέμα 4 ον Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λάθος (Λ) και να δώσετε μια σύντομη εξήγηση της όποιας απάντησή σας: Α. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε η f() συνάρτηση g με g() e έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο στο [α,β]. Σ Λ Β. Αν για μια συνεχή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, είναι Lim f() και Lim f(), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε f( ) 5. Σ Λ Γ. Αν f μια συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, τότε για κάθε έχουμε Limf() f( ). Σ Λ Δ. Αν για μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ισχύει για κάθε η σχέση f(), τότε η f είναι συνεχής. Σ Λ Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου - 7 -
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Β! Ομάδα Θέμα 5 ον Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και για την οποία ισχύει για κάθε [α, β] ότι f() δείξετε ότι για κάθε,,..., ν f(ξ) ν f( ) f( )... f( ν ). - 8 - Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου. Να [α,β], υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ [α, β] ώστε να ισχύει Θέμα 6 ον Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το για τις οποίες ισχύει για κάθε. Θέμα 7 ον Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f() f(), για κάθε. f() f(), f με πεδίο ορισμού το για τις οποίες ισχύει Θέμα 8 ον Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το για τις οποίες ισχύει κάθε. Θέμα 9ον (*) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι ημ( ) ( )f() ( ) για κάθε. i. Να βρεθούν οι τιμές f( ) και f(). f(), για f() Lim ii. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε ένα τουλάχιστον σημείο (, ). Θέμα 3ον (*) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι i. Να βρεθεί ο τύπος της f. ii. Να βρεθεί το Lim f(). + 4 f() ημ για κάθε. iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει τουλάχιστον μια θετική ρίζα. Θέμα 3ον (*) Δίνεται η γνήσια αύξουσα (αποδεικνύεται με παραγώγους) συνάρτηση f με f() ln ln( ημ). i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. iii. Να αποδείξετε ότι: α. Η εξίσωση f() έχει μόνο μια θετική λύση. β. Το είναι λύση της εξίσωσης Σχόλιο: Θεωρήστε γνωστό ότι ημ εφ 3 ημ. Θέμα 3 ον Δίνεται η συνάρτηση g με g() ln, με. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() έχει μοναδική ρίζα η οποία και να βρεθεί. ii. 3 (q), Αν η συνάρτηση f με τύπο f() είναι συνεχής, να βρεθεί ο q. (lnq), Θέμα 33 ον f() ln ln. Δίνεται η συνάρτηση f με και
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της, μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και βρείτε το σύνολο τιμών της. Β. Δείξτε ότι η εξίσωση ln ln 5 έχει μοναδική ρίζα στο. Θέμα 34ον (*) ημ (α) ημ (5), Έστω η συνάρτηση f() με α. α 5, Α. Να βρεθούν τα Lim f() και Lim f(). Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο. Γ. Αν επί πλέον για κάθε, ισχύει f() α, τότε: i. Αποδείξετε ότι α 5. ii. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα. iii. Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f και αποδείξτε ότι η εξίσωση f() 49 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο π (, ). Θέμα 35ον (**) Α. Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση f η οποία είναι «-» και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, είναι γνήσια μονότονη στο Δ. Β. Έστω α,β με α β καθώς και οι συνεχείς συναρτήσεις f, g οι οποίες έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Δ [α, β] και σύνολα τιμών, η μεν f το f(δ) [ 5, 5] ή δε g το g(δ) [ ν, ν], * ν Õ. Β. Δείξτε ότι η εξίσωση f(), έχει τουλάχιστον μια ρίζα (α, β). Β. Δείξτε ότι υπάρχουν δυο τουλάχιστον αριθμοί, Δ με την εξίσωση f() 6f() f() f() 6. Β 3. Δείξτε ότι η εξίσωση νf() g(), έχει τουλάχιστον μια ρίζα ξ [α, β]., οι οποίοι επαληθεύουν Β 4. Αν η συνάρτηση f είναι επιπλέον «-» να βρεθούν εκείνα τα [α, β], για τα οποία ισχύει f() 5f() 5. Θέμα 36ον (**) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [, 3] και έχει σύνολο τιμών το [, 4]. Δείξτε ότι f( ) υπάρχει τουλάχιστον ένα [, 3] τέτοιο ώστε να ισχύει e e. Θέμα 37ον (**) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο. Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε f( ). Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε f( ). Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε f(). Θέμα 38ον (**) Έστω ο μιγαδικός z α βi, α,β και η συνάρτηση f() z i, της οποίας η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(, ). Α. Να αποδείξετε ότι z 3. Για ποιες τιμές του z ισχύουν οι ισότητες; Β. Να αποδείξετε ότι Η εξίσωση f() z, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (, ). Θεωρήματα: Bolzano, ενδιαμέσων τιμών, μέγιστου και ελάχιστου - 9 -