ii Κάθ γνήσιο ντίτυπο φέρι τη σφργίδ του κδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙ ΗΣ Γννήθηκ το 947 στο Νέο Πτρίτσι του Ν. Σρρών. Το 965 ποφοίτησ πό το ξτάξιο Γυµνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σρρών κι γγράφηκ στο Τµήµ Μθηµτικών του Πνπιστηµίου Θσσλονίκης. Πήρ το πτυχίο των Μθηµτικών το 969. Ανγορύτηκ διδάκτορς στο τµήµ Μθηµτικών του Πνπιστηµίου Θσσλονίκης το 979 κι πό το 97 µέχρι σήµρ ργάζτι σ υτό. ISBN 96439639 Copyright 5 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ, Eκδόσις ZHTH Aπγορύτι η μ κάθ τρόπο ντιγρφή ή νπργωγή μέρους ή όλου του ιλίου χωρίς την έγγρφη άδι του συγγρφέ κι του κδότη. www.ziti.gr Φωτοστοιχιοθσί Eκτύπωση Bιλιοπωλίο Π. ZHTH & Σι OE 8ο χλμ Θσ/νίκηςΠρίς T.Θ. 47 Πρί Θσσλονίκης T.K. 57 9 Tηλ.: 39 7 (5 γρμ.) Fax: 39 79 email: ifo@ziti.gr EKΔOΣEIΣ ZHTH Aρμνοπούλου 7 546 35 Θσσλονίκη Tηλ. 3 37, Fax 3 35 email: sales@ziti.gr
iii «Ἀλλά μήν κὶ κόσμοι ἄπιροί ἰσὶν, οἵ θ ὅμοιοι τούτῳ κί ἀνόμοιοι, ἵ τ γάρ ἄτομοι ἄπιροι οὖσι, ὡς ἅρτι ἀπδίχθη, φέροντι κί πορρωτάτω, οὐ γάρ κτνήλωντι ἱ τοιῦτι ἅτομοι, ἐξ ὧν ἄν γένοιτο κόσμος ἤ ὑφ ὧν ἄν ποιηθίη, οὔτ ἰς ἕν οὔτ ἰς ππρσμένους, οὔθ ὅσοι τοιοῡτοι οὔθ ὅσοι διάφοροι τούτοις ὥστ οὐδὲν τὸ ἐμποδοσττῆσόν ἐστί πρὸς τὴν ἀπιρίν τῶν κόσμων.» [Μ κι οι κόσµοι ίνι άπιροι, κι οι όµοιοι µ τον δικό µς κι οι νόµοιοι. Κθώς τ άτοµ ίνι άπιρ, όπως δίξµ πριν, δινύουν τις πιο µκρινές ποστάσις. Κι τ άτοµ π τ οποί θ µπορούσ ν δηµιουργηθί ένς κόσµος, δν ξντλούντι σ έν κόσµο ούτ σ ορισµένο ριθµό κόσµων, ίτ µοιάζουν υτοί οι κόσµοι µ το δικό µς, ίτ ίνι λλιώτικοι. Τίποτ, λοιπόν, δν ποκλίι το ν ίνι άπιροι οι κόσµοι.] ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ (347 π.χ.) Επιστολή προς Ηρόδοτο, 45
Αφιρώντι σ όσους γωνίσθηκν κι σ όσους γωνίζοντι γι την λυθρί.
v Πρόλογος Η σική θωρί του ολοκληρώµτος Riema συνρτήσων µις πργµτικής µτλητής νπτύσστι σ υτό το ιλίο, µ τρόπο ώστ ν γίντι κτνοητή µέσ πό τη γρφική πράστση κι την πλή προυσίση του κιµένου. Τ θωρήµτ προυσιάζοντι έτσι ώστ ν µπορούν ν ίνι χρήσιµ στις φρµογές κι δν φήνοντι κρυµµένς δυσκολίς. Γι υτό, όπου µφνίζοντι, ντιµτωπίζοντι άµσ κι νλύοντι όσο το δυντόν πιο πλά, χωρίς ν θυσιάζτι η µθηµτική υστηρότητ. Έχι γίνι ιδιίτρη προσπάθι, ώστ η προυσίση του κιµένου ν ίνι υστηρά µθηµτικά διτυπωµένη, κι πράλληλ ν µην δηµιουργούντι κνά στον νγνώστη. Στο Κφάλιο δίνοντι η έννοι του ορισµένου ολοκληρώµτος, θωρήµτ ύπρξης, ιδιότητς των ολοκληρωµάτων, τ θωρήµτ της µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού κι η έννοι της ρχικής. Στο Κφάλιο δίνοντι η έννοι του ορίστου ολοκληρώµτος κι οι σικές ιδιότητές του. Στο Κφάλιο 3 νπτύσσοντι οι σικές µέθοδοι της ντικτάστσης κι της ολοκλήρωσης κτά πράγοντς. Στο Κφάλιο 4 προυσιάζοντι, µ συστηµτικό τρόπο, οι τχνικές της ολοκλήρωσης, δηλδή οι τρόποι υπολογισµού ορίστων ολοκληρωµάτων, κθώς κι ιδικές τχνικές. Στο Κφάλιο 5 δίνοντι η έννοι της οµοιόµορφης σύγκλισης, η πργώγιση κι ολοκλήρωση όρο προς όρο κολουθιών κι σιρών (ιδιίτρ δυνµοσιρών). Στο Κφάλιο 6 νπτύσσοντι τ γνικυµέν ολοκληρώµτ σ άπιρο διάστηµ κι µη φργµένων συνρτήσων, κριτήρι ύπρξής τους κι τ ολοκληρώ µτ που ξρτώντι πό πράµτρο. Στο Κφάλιο 7 δίνοντι φρµογές των ολοκληρωµάτων στη γωµτρί (µδόν χωρίου, µήκος τόξου, όγκοι κι πιφάνι πό πριστροφή), στη µθηµτική νάλυση κι στ φυσικά προλήµτ. Στο Κφάλιο 8 πριγράφοντι οι κνόνς προσέγγισης (ορθογωνίων, τρπζίων, Simpso, Tchebychev, νπτύγµτος του Τaylor) ορισµένων ολοκληρωµάτων. Σ όλ τ κφάλι πριέχοντι πρδίγµτ κι σκήσις των οποίων οι νλυτικές πντήσις δίνοντι στο τέλος του ιλίου. Θσσλονίκη, 4 Θ. ΚΥΒΕΝΤΙ ΗΣ
Πριχόμν ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Η έννοι του ορισµένου ολοκληρώµτος... 5. Θωρήµτ ύπρξης ορισµένου ολοκληρώµτος... 7 3. Ιδιότητς των ολοκληρώσιµων συνρτήσων... 44 4. Ιδιότητς των ορισµένων ολοκληρωµάτων... 54 5. Θωρήµτ της µέσης τιµής του ολοκληρωτικού λογισµού... 64 6. Το ορισµένο ολοκλήρωµ σν συνάρτηση των ορίων του Αρχικές συνρτήσις... 7 7. Ασκήσις... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Απιροστά ιφορικό συνάρτησης... 99. Η έννοι του ορίστου ολοκληρώµτος... 3. Βσικές ιδιότητς κι τύποι ολοκλήρωσης... 4 4. Ασκήσις... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 BAΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Η µέθοδος της ντικτάστσης... 8. Η µέθοδος της ολοκλήρωσης κτά πράγοντς... 43 3. Ασκήσις... 48
viii Ολοκληρωτικός Λογισµός Συνρτήσων Μις Πργµτικής Μτλητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Βσικά ολοκληρώµτ... 53. Ολοκλήρωση ρητών συνρτήσων... 7 3. Ολοκλήρωση άρρητων συνρτήσων... 87 4. Ολοκλήρωση τριγωνοµτρικών συνρτήσων... 7 5. Ολοκλήρωση κθτικών κι υπρολικών συνρτήσων... 9 6. Ελλιπτικά ολοκληρώµτ... 3 7. Ειδικές τχνικές... 4 8. Ασκήσις... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΚΑΙ ΣΕΙΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Η οµοιόµορφη σύγκλιση... 7. Πργώγιση κι ολοκλήρωση κολουθιών κι σιρών συνρτήσων... 77 3. Πργώγιση κι ολοκλήρωση δυνµοσιρών... 85 4. Εφρµογές των σιρών στον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων... 9 5. Ασκήσις... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΤΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Ολοκληρώµτ σ άπιρ διστήµτ... 36. Ολοκληρώµτ µη φργµένων συνρτήσων... 35 3. Κριτήρι ύπρξης του γνικυµένου ολοκληρώµτος... 34 4. Μέθοδοι της ντικτάστσης κι της πργοντικής ολοκλήρωσης σ γνικυµέν ολοκληρώµτ... 37 5. Ολοκληρώµτ ξρτώµν πό πράµτρο Πργώγιση υπό το ολοκλήρωµ... 377 5.. Γνικυµέν ολοκληρώµτ ξρτώµν πό πράµτρο... 386 6. Ασκήσις... 395
Πριχόµν ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ. Εµδόν πιπέδου χωρίου... 4. Εµδόν πιπέδου χωρίου που ορίζτι πό κµπύλη σ πρµτρικές ξισώσις... 4 3. Μήκος τόξου κµπύλης... 4 4. Εµδόν πιφάνις πό πριστροφή... 44 5. Όγκος σωµάτων. Όγκος σωµάτων πό πριστροφή... 456 6. Επικµπύλι ολοκληρώµτ... 47 7. Τύπος του Wallis Tύπος του Stirlig... 485 8. Tύπος του Taylor µ υπόλοιπο σ µορφή ολοκληρώµτος... 489 9. Το ολοκλήρωµ στ φυσικά προλήµτ... 49. Ασκήσις... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ. Κνόνς των ορθογωνίων... 5. Κνόνς των τρπζίων... 55 3. Κνόνς του Simpso (Κνόνς των προλών)... 53 4. Προσέγγιση µ τη χρήση του νπτύγµτος του Τaylor... 54 5. Kνόνς του Τchebychev... 546 6. Προσέγγιση γνικυµένου ολοκληρώµτος... 557 7. Ασκήσις... 56 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ... 565 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 69 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ... 6
Εισγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο υπολογισµός µδών πιπέδων σχηµάτων κι όγκων σωµάτων ίνι µι νάγκη στη ζωή των νθρώπων. Η στοιχιώδης γωµτρί «µ τη οήθι κνόν κι διήτη» υπολογίζι τ µδά των πιπέδων χωρίων που ίνι τρίγων, ορθογώνι, κύκλοι, τοµίς κύκλων κ.τ.λ. κθώς κι όγκους σωµάτων που ίνι κύοι, κώνοι, κύλινδροι, σφίρς, κ.τ.λ. Σν µδόν Ε νός πιπέδου χωρίου θωρούµ τον ριθµό που προκύπτι ότν συγκρίνουµ το Ε µ έν ττράγωνο πλυράς. υ Α 3 Β Δ Γ Ε = 3 = 6 Ε = (ΒΔ) U + (ΔΓ) U = (ΒΓ) U Σ τυχίο ορθογώνιο προσγγίζουµ τις πλυρές του µ ρητούς ριθµούς π.χ. µ µι ππρσµένη δκδική πράστσή τους. Μ πλή τχνική ρίσκουµ πίσης τον τύπο γι το µδόν του τριγώνου ΑΒΓ (λέπ σχήµ). Βέι, δν ίνι πρκτικά φρµόσιµο ν πινοί κνίς κάθ φορά µι ιδική µέθοδο γι κάθ σχήµ. Η έννοι του ολοκληρώµτος κάνι δυντό τον υπολογισµό του µδού κι του όγκου τυχίων σχηµάτων, µ νλυτικές µθόδους. Οι ρχές της ολοκλήρωσης νάγοντι στη λγόµνη «µέθοδο της ξάντλησης» που χρησιµοποιούσν οι ρχίοι Έλληνς γι την ύρση µδών κι όγκων. Γι πράδιγµ ο Αρχιµήδης (3 ος ιώνς π.χ.) στον «ττργωνισµό της προλής» νπτύσσι τις σικές έννοις της ολοκλήρωσης.
Ολοκληρωτικός Λογισµός Συνρτήσων Μις Πργµτικής Μτλητής y «Το µδόν του χωρίου ΟΑΒ µτξύ της προλής y = x, του άξον των x κι της υθίς x=, ισούτι µ το του µδού του ορθογωνίου 3 ΟΑΒΓ.» O Γ y=x Β Α x Στους Newto (64677) κι Leibiz (64476) οφίλουµ τη σύνδση µτξύ πργώγισης κι ολοκλήρωσης, νώ ο γρµνός µθηµτικός Riema (86866) διτύπωσ τη θωρί ολοκλήρωσης µ την οποί, κυρίως θ σχοληθούµ. Το ολοκλήρωµ µις συνάρτησης σ έν διάστηµ ορίσθηκ ως το όριο (ν υπάρχι) των λγόµνων θροισµάτων Riema, ότν η λπτότητ της διµέρισης του διστήµτος τίνι στο µηδέν. Στον Cauchy (789857) oφίλτι η πέκτση του ορισµού του ολοκληρώµτος, στην πρίπτωση µη φργµένων συνρτήσων. Τον πρσµένο ιών ο Stiltjes (856894) έδωσ µι γνίκυση του ολοκληρώµτος Riema γνωστή ως ολοκλήρωµ Riema Stiltjes. M την ισγωγή της έννοις του µέτρου πό τους Borel (87938) κι Lebesgue (87594), η θωρί της ολοκλήρωσης του Riema γνικύθηκ πό τον Lebesgue µ τη οήθι του µέτρου. Αυτή η γνίκυση ίνι γνωστή ως ολοκλήρωµ του Lebesgue.
5 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. Η έννοι του ορισµένου ολοκληρώµτος Θ µλτήσουµ ρχικά, χρησιµοποιώντς τη σηµρινή τχνική των µθη µτικών, «το πρόληµ του ττργωνισµού της προλής» το οποίο πσχόλησ τον Αρχιµήδη τον 3 ο ιών π.χ. Θ δίξουµ ότι το µδόν του χωρίου ΟΑΒ µτξύ της προλής y = x, του άξον των x κι της υθίς x= ισούτι µ το 3 του µδού του ορθογωνίου ΟΑΒΓ. ιιρούµ το διάστηµ [, ] µ τ σηµί x,x,,x τέτοι ώστ x = < x < x < < x < x < < x < x =. k k+ Σ κάθ διάστηµ [ x,x k k+ ],k=,,,, y ισχύι Γ xk x x k +, γι κάθ xœ [ x,x + ], k k Β οπότ το ντίστοιχο κοµµάτι του µδού που ζητάµ θ ίνι µγλύτρο του µδού του ορθογωνίου µ άση το διάστηµ [ x,x k k + ] κι ύψος το Α x k κι µικρότρο πό το µδόν του ορθογωνίου O x k x k+ x µ άση πάλι το διάστηµ [ x,x k k + ] κι ύψος το x k + (λέπ το σχήµ). Αν λοιπόν συµολίσουµ µ Ε το ζητούµνο µδόν, θ έχουµ =  k+ k k< < =  k+ k k+ k= k= K(x, ) (x x )x E A(x, ) (x x )x όπου το ντιστοιχί στη διµέριση { x,x,x,,x} του διστήµτος [, ] που πήρµ. Το σύνολο { Κ( x, ): διµέριση του [, ]} ίνι προφνώς µη κνό κι
6 Κφάλιο φργµένο προς τ πάνω π.χ. πό το Ε, οπότ υπάρχι το supremum του ([6], Εισγωγή, 3). Γράφουµ sup{ K( x, ) : διµέρισητου [,]} x dx = κι ονοµάζουµ το x dx κάτω ολοκλήρωµ Darboux της συνάρτησης y = x στο διάστηµ [, ]. Ο Darboux (8497) ήτν Γάλλος γωµέτρης. Ανάλογ, ορίζουµ το πάνω ολοκλήρωµ Darboux xdx = if{ A(x, ): διµέριση του [,]} κι προφνώς ισχύι Θ δίξουµ ότι x dx E x dx. x dx = x dx κι υτήν την κοινή τιµή την γράφουµ x dx κι θ την ονοµάσουµ ολο κλήρωµ Riema της συνάρτησης y = x στο διάστηµ [, ]. Γι οποιδήποτ διµέριση του [, ] έχουµ x dx x dx A(x, )Κ(x, ). Αρκί λοιπόν ν δίξουµ ότι: γι οποιοδήποτ > µπορούµ ν ρούµ διµέριση του [, ] τέτοι ώστ A(x, ) Κ(x, ) <. Εκλέγουµ τη διµέριση του διστήµτος [, ] κι έχουµ { } =,,,,, =, ŒÍ
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 7 Êk + kˆ k = Á = Ë 3 k= k=  Â, Κ( x, ) k Êk + k ˆ(k + ) = Á = + = Ë 3 3 k= k= k=   Â. A( x, ) ( k ) k Εποµένως, ισχύι A(x, ) K(x, ) = = 3 οπότ, ρκί ν κλέξουµ > γι ν έχουµ A(x, ) K(x, ) = <. Επιδή ισχύι ο τύπος προκύπτουν οι νισότητς  k= k ( + )( + = 6 (+ )(+ ) (+ )(+ ) < E < 3 3 3 6 6 fi Á Ê + ˆÊ + ˆ < E < Ê + ˆÊ + ˆ 3Ë Á Ë Á Á 3Ë Ë. Oι κολουθίς ριστρά κι δξιά του Ε, ότν το Æ+, συγκλίνουν στο 3, άρ ίνι E =. 3 Ο ορισµός του Darboux Θωρούµ το κλιστό διάστηµ [ a, ],, ŒÑ. Έν ππρσµένο σύνολο = { x,x,x,,x} τέτοιο ώστ a = x < x < x < < x < x = λέγτι διµέριση του [, ]. Ο ριθµός d = max{ x x, k =,,,,} k+ k
8 Κφάλιο λέγτι λπτότητ της διµέρισης. Λέµ µι διµέριση διδοχική της διµέρισης, ότν η διµέριση πριέχι όλ τ σηµί της διµέρισης κι πιπλέον µρικά κόµη σηµί. Προφνώς, γι τις ντίστοιχς λπτότητς των διµρίσων κι, ισχύι η νισότητ d d. Έχουµ λοιπόν τη χρήσιµη ιδιότητ: Aν, ίνι δύο διµρίσις του διστήµτος [,], a,œñ τότ το σύνολο των σηµίων» ίνι µι διδοχική διµέριση κι της κι της διµέρισης. Το σύνολο των διµρίσων του διστήµτος [, ],, ŒÑ θ το συµολίζουµ µ D( [ a, ]). Μς νδιφέρουν κολουθίς διµρίσων ( ), ŒD( [ a, ]), ŒÍ διδοχικές τέτοις ώστ η κολουθί των ντίστοιχων λπτοτήτων τους (d ), ŒÍ ν ίνι µηδνική κολουθί, δηλδή d = max{ x x ;k =,,,,} Æ, ότν Æ+ k+ k fi lim d =. Æ+ Θωρούµ τη φργµένη συνάρτηση f που ορίζτι στο κλιστό κι φργµένο διάστηµ [a,],,œñ. Αν = { x,x,x,,x} ίνι διµέριση του [, ], τότ σ κθέν πό τ υποδιστήµτ [ x,x ], [ x,x ],,x [,x] η συνάρτηση f ίνι φργµένη κι προς τ κάτω κι προς τ πάνω, δηλδή υπάρχουν λ,µ k k ŒÑ τέτοι ώστ γι k =,,,,. Συµολίζουµ µ λ f(x) µ, " xœ [ x,x + ] k k k k m = if { f(x):xœ [ x,x + ]} k k k M = sup{ f(x):xœ [ x,x ]}, k =,,,, k k k+
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 9 το ifimum κι το supremum των τιµών f (x) στ διστήµτ [ x,x k k + ] ([6], Εισγωγή, 3). Γι κάθ διµέριση του [, ] ορίζουµ το κάτω κι το πάνω άθροισµ Darboux της f µ τους τύπους: κάτω άθροισµ Darboux πάνω άθροισµ Darboux  k+ k k, k= Κ( f, ) = ( x x )m k  k+ k k. k= A( f, ) = ( x x )M Προφνώς ισχύι η σχέση K(f, ) Α(f, ), " Œ D( [ a, ]). Σηµίωση Όλ τ θροίσµτ Darboux Κ( f, ) κι Α( f, ) που ντιστοιχούν στις διµρίσις του διστήµτος [, ] ρίσκοντι µτξύ των ριθµών m( ) κι Μ( ), όπου ηλδή ισχύι M = sup{ f(x), xœ [ a,]}, m = if { f ( x ), x Œ [ a, ]}. m( ) Κ(f, ) Α(f, ) Μ( ), γι κάθ διµέριση του διστήµτος [, ]. É ΠΡΟΤΑΣΗ : Aν, ŒD(,) [ ] τότ ισχύι Κ(f, ) Α(f, ). Απόδιξη Αρκί ν δίξουµ ότι: ν η ίνι διδοχική διµέριση της τότ συνπάγτι Κ( f, ) Κ( f, ) κι Α( f, ) Α( f, ) Πράγµτι, τότ έχουµ
Κφάλιο Κ(f, ) Κ(f,» ) Α(f,» ) Α(f, ). Αφού υποθέσµ ότι η ίνι διδοχική της διµέρισης σ κάθ διάστηµ [ x,x k k + ], η διµέριση έχι τ πιπλέον σηµί x = y < y < < y = x + k j j jλ k σ πλήθος λ+ (που ξρτάτι πό k). Άρ, στον τύπο του K( f, ), κί όπου το τύπος του K( f, ) ίχ τον (x x )m, τώρ έχουµ το άθροισµ όρο k+ k k λ  [ yj y ] i j m + i j, i i= όπου mj = if { f(x):xœ [ y ]} i j,y i ji +. Επιδή ίνι [ y,y ] à [ x,x ] ισχύι ji ji+ k k+ m m κι έχουµ k j i λ  Â. (x x )m = (y y )m (y y )m k+ k k ji+ ji k ji+ ji ji i= i= Αν υτές οι νισότητς πνληφθούν γι κάθ k =,,,, κι θροιστούν θ προκύψι η πρώτη νισότητ. Γι τη δύτρη νισότητ ργζόµστ νάλογ. λ É Γωµτρική ρµηνί Η γωµτρική ρµηνί όσων ίπµ γίντι άµσ κτνοητή ν θωρήσουµ πιπλέον ότι ισχύι f(x), " xœ [ a,] κι δούµ το πρόληµ του µδού κάτω πό το γράφηµ της συνάρτησης f. y Μ Μ Μ 3 m m m 3 = x x x x 3 = x
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ Το K( f, ) = (x x )m + (x x )m + (x3 x )m3 ίνι το µδόν µις ένωσης ορθογωνίων που «προσγγίζι πό κάτω» το ζητούµνο µδό κι το A( f, ) = (x x )M + (x x )M + (x3 x )M3 ίνι το µδόν µις ένωσης ορθογωνίων που «προσγγίζι πό πάνω» το ζητούµνο µδό κάτω πό το γράφηµ της συνάρτησης f. É To σύνολο { K( f, ), Œ D( [ a, ])} ίνι προφνώς µη κνό κι φργµένο προς τ πάνω (τ A( f, ), Œ D( [, ]) ίνι πάνω φράγµτά του), οπότ υπάρχι το supremum του ([6], Εισγωγή 3). Γράφουµ f(x)dx= sup{ K( f, ), ŒD( [ a, ])} a κι το λέµ κάτω ολοκλήρωµ Darboux της συνάρτησης f στο [a, ]. To σύνολο { Α( f, ), Œ D( [ a, ])} ίνι προφνώς µη κνό κι φργµένο προς τ κάτω (τ Κ( f, ), Œ D( [ a, ]) ίνι κάτω φράγµτά του), οπότ υπάρχι το ifimum του ([6], Εισγωγή, 3). Γράφουµ f(x)dx= if{ A( f, ), ŒD( [ a, ])} a κι το λέµ πάνω ολοκλήρωµ Darboux της συνάρτησης f στο [a, ]. ΟΡΙΣΜΟΣ (Darboux): Mι φργµένη συνάρτηση f, ορισµένη σ έν κλιστό κι φργµένο διάστηµ [a, ], λέγτι Riema ολοκληρώσιµη στο [a, ] ότν ισχύι f (x)dx= f(x)dx. a a H κοινή τιµή λέγτι ολοκλήρωµ Riema της f κι συµολίζτι µ f (x)dx ή f. a O ορισµός που δώσµ κι όλ όσ νφέρµ προηγουµένως δίνουν άµσ µι ικνή κι νγκί συνθήκη γι την Riema ολοκληρωσιµότητ µις a
Κφάλιο φργµένης συνάρτησης f. ΘEΩPHMA : Mι φργµένη συνάρτηση f ορισµένη στο κλιστό κι φργµένο διάστηµ [, ] ίνι Riema ολοκληρώσιµη: ) ν κι µόνον ν, γι κάθ > υπάρχι διµέριση του [, ] τέτοι ώστ Α(f, ) Κ(f, ) <. ή ) γι κάθ >, υπάρχι δ> τέτοιο ώστ " Œ D( [ a, ]), µ d< δ fi Α(f, ) Κ(f, ) <, όπου d η λπτότητ της διµέρισης του [, ]. Απόδιξη ) Υποθέτουµ ότι η f ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ]. Θ έχουµ λοιπόν f (x)dx= f(x)dx κι πό τους ορισµούς του κάτω κι του πάνω ολοκληρώµτος Darboux προκύπτι η σχέση: γι > ισχύι A( f, ) < f(x)dx= f(x)dx< K( f, ) + γι κάποις, διµρίσις του [, ] (γιτί;). Θωρούµ τη διµέριση =» του [, ] η οποί ίνι διδοχική κι της κι της. Σύµφων λοιπόν µ την προηγούµνη Πρότση ισχύουν οι νισότητς Α( f, ) Α( f, ), Κ( f, ) Κ( f, ). Εποµένως, η πρπάνω νισότητ γίντι Α(f, ) < Κ(f, ) + fi Α(f, ) Κ(f, ) <.
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 3 Αντίστροφ, ν γι κάθ > υπάρχι διµέριση Œ D( [, ]) τέτοι ώστ Α(f, ) Κ(f, ) < τότ οι προφνίς νισότητς Κ( f, ) f(x)dx f(x)dx A( f, ) συνπάγοντι f(x)dx f(x)dx A( f, ) Κ( f, ) < π όπου προκύπτι η ισότητ, f (x)dx= f(x)dx. Άρ, η f ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ]. ) Υποθέτουµ ότι η f ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ]. Εποµένως, υπάρχι διµέριση του [, ] τέτοι ώστ Α( f, ) < Ι +, 4 κι υπάρχι διµέριση του [, ] τέτοι ώστ όπου Ι = f(x)dx. Κ( f, ) > Ι 4 Έστω τυχί διµέριση του [, ] κι κοινή διδοχική διµέριση των κι. Υπάρχουν διστήµτ [ x,x k k + ] της διµέρισης που έχουν στο σωτρικό τους σηµί της π.χ. τ δύο σηµί y, y. x k y y x k+ Θωρούµ τ µήκη των διστηµάτων λ = x x, λ = y x, λ = y y, λ = x y κι τ supremum σ υτά k+ k k 3 k+
4 Κφάλιο M = sup{ f(x):xœ [ x,x + ]}, k k k M = sup{ f(x):xœ [ x,y ]}, k M = sup{ f(x):xœ [ y,y ]}, M = sup{ f(x):xœ [ y,x + ]}. 3 k ίξτ ότι το M k συµπίπτι µ έν πό τ M,M,M 3. Έστω ότι Mk = M κι θέτουµ M = mi{ M,M3}. Επιδή ισχύι λ λ = λ + λ3 έχουµ Μkλ (Μλ + Μλ + Μ3λ 3 ) = Μ k(λ λ )(Μλ + Μ3λ 3 ) Μ k(λ λ ) Μ (λ + λ 3 ) = (λ + λ 3 )(Μk Μ ) d (Μk Μ ). Στο σχηµτισµό του Α( f, ) υπάρχι ο όρος Μ k λ κι στο σχηµτισµό Α( f, ), ντί του Μ k λ, υπάρχι το άθροισµ Σχηµτίζουµ τη διφορά Μλ + Μλ + Μλ 3 3. Α(f, ) Α(f, ). Γι κάθ διάστηµ της διµέρισης, που δν έχι σηµί της διµέρισης, ο προσθτέος Μ k λ υπάρχι κι στ δύο θροίσµτ Α( f, ), Α( f, ) κι κτά την φίρση πλίφτι. Εχουµ λοιπόν Κ Â i i i= Ο Α( f, ) Α( f, ) d (Μ M ) Κ Â d [ sup f(x) if f(x),xœ[,] ], i= όπου Κ o ριθµός των διστηµάτων της διµέρισης που πριέχουν στο σωτρικό τους σηµί της. Ότν η λπτότητ d της διµέρισης του [, ] µικρίνι, ο ριθµός Κ πλησιάζι το πλήθος των σηµίων της διµέρισης, πρµένοντς έι ένς θτικός ριθµός. Εποµένως, προκύπτι ότι Κ Âd [ sup f ( x ) if( f ( x ), x Œ [, ] ] = [ Μ max M mi]  d, i= i= Κ
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 5 όπου M = sup{ f ( x ), x Œ [, ]}, M = if { f ( x ), x Œ[, ]}, max mi οπότ Α( f, ) Α( f, ) Æ, ότν d Æ. ή ισοδύνµ, ν πάρουµ τη λπτότητ d < δ, δ > κτάλληλο, θ έχουµ A( f, ) Α( f, ) <. () 4 Επιδή η ίνι διδοχική διµέριση της ισχύι κι πιδή προκύπτι ότι Κ(f, ) Κ(f, ) Α(f, ) Α(f, ) Α( f, ) < Ι +, 4 Α( f, ) < Ι +. () 4 Από τις () κι () συνπάγτι ότι Α( f, ) Ι <. Ανάλογ, ποδικνύτι ότι Κ( f, ) > Ι. Από τις τλυτίς νισότητς πίρνουµ Α( f, ) Κ(f, ) < Ι+ Ι+ = που ίνι η ζητούµνη νισότητ. Αντίστροφ, υποθέτουµ πως ισχύι η συνθήκη ). Εποµένως, γι > ορίζτι ριθµός δ> τέτοιος ώστ, ν η διµέριση του [, ] έχι λπτότητ d < δ, ν ισχύι Α( f, ) Κ( f, ) <. Αρκί λοιπόν ν κτσκυάσουµ µι τέτοι διµέριση. Πίρνουµ ŒÍ φυσικό ριθµό τέτοιο ώστ (Αρχιµήδι ιδιότητ) δ > (λέπ [6], Εισγωγή, 3) κι ορίζουµ τ σηµί της διµέρισης ισπέχοντ νά δύο διδοχικά. Μ υτόν τον τρόπο το διάστηµ [, ] διιρίτι σ υποδιστήµτ µ κοινό µήκος
6 Κφάλιο d = < δ, οπότ ισχύι Α( f, ) Κ( f, ) <. Αλλά, όπως ίδµ στην προηγούµνη πρίπτωση ), πό την τλυτί νισότητ συνπάγτι η Riema ολοκληρωσιµότητ της f στο [, ]. É Στη συνέχι θ δώσουµ έν πράδιγµ µις φργµένης συνάρτησης η οποί δν ίνι Riema ολοκληρώσιµη. Πράδιγµ H συνάρτηση του Dirichlet Ï, ν x ρητός ριθµός, f(x) = Ì Ó, ν x άρρητος ριθµός, πριορισµένη στο διάστηµ [, ],, ŒÑ δν ίνι Riema ολοκληρώσι µη. Πράγµτι, γι τυχί διµέριση = { x,x,,x}, µ του διστήµτος [ a, ], ίνι a = x < x < x < < x < x = Μ = sup{ f(x), xœ [ x,x ]} =, k k k+ m = if { f(x), xœ [ x,x ]} =, k =,,,, k k k+ πιδή σ κάθ διάστηµ [ x,x k k + ] υπάρχουν ρητοί κι άρρητοι ριθµοί ([6], Εισγωγή 5). Έχουµ λοιπόν K( f, ) =  ( xk+ x k) = ( ) =, k=  Α( f, ) = (x x ) = ( )= k= γι κάθ διµέριση του [, ]. Εποµένως θ ίνι k+ k
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 7 κι f(x)dx= sup{ K( f, ), Œ D( [, ])} = f(x)dx= if{ A( f, ), Œ D( [, ])} =. Άρ, γι < έχουµ f ( x )dx = < = f ( x )dx, δηλδή η συνάρτηση Dirichlet f δν ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο διάστη µ [, ],, ŒÑ. ΠΡΟΤΑΣΗ : Γι τη φργµένη συνάρτηση f στο [, ] υπάρχι µι κολουθί διµρίσων ( ), ŒÍ του [, ], µ λπτότητς d που τίνουν στο µηδέν ότν Æ+, τέτοι ώστ ) lim A( f, ) = f(x)dx, ) Æ+ lim Κ( f, ) = f ( x )dx. Æ+ Απόδιξη Σύµφων µ την πόδιξη του Θωρήµτος (πρίπτωση )), γι κάθ φυσικό ριθµό θέτουµ = κι πιλέγουµ µι κτάλληλη διµέριση τέτοι ώστ f(x)dx K( f, ) < κι Α( f, ) f(x)dx<. Εποµένως, ότν το Æ+ προκύπτουν οι ζητούµνς σχέσις ) κι ). ΘΕΩΡΗΜΑ : Η ικνή κι νγκί συνθήκη γι ν ίνι η φργµένη συνάρτηση f στο [, ] Riema ολοκληρώσιµη ίνι ν υπάρχι κολουθί διµρίσων,œí του διστήµτος [, ], µ λπτότητς (d ) που τίνουν στο µηδέν, ότν Æ+, τέτοι ώστ lim K( f, ) = lim A( f, ). Æ+ Æ+
8 Κφάλιο Απόδιξη Υποθέτουµ ότι η f ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ]. Τότ προφνώς ισχύι (Ορισµός ) f (x)dx= f(x)dx= f(x)dx κι σύµφων µ την Πρότση ισχύι η ζητούµνη ισότητ. Αντίστροφ, ότν υπάρχι µι κολουθί διµρίσων ( ), ŒÍ τέτοι ώστ lim A( f, ) = lim K( f, ), τότ ισχύι Æ+ Æ+ lim[ A(f, ) K(f, )] =. Æ+ Το τλυτίο όµως όριο σηµίνι: ότν δοθί > υπάρχι φυσικός ριθ µός () > τέτοιος ώστ, γι όλς τις διµρίσις του [, ], µ ν ισχύι A( f, ) K( f, ) < (λέπ [6], Κφ., ). Εποµένως, σύµφων µ το Θώρηµ (πρίπτωση )), συνπάγτι ότι η φργµένη συνάρτηση f στο [, ] ίνι Riema ολοκληρώσιµη. Ο ορισµός του Riema Θωρούµ τη διµέριση = { x,x,x,,x} του [, ] κι κάνουµ µι τυχί πιλογή σηµίων Ξ = { ξ,ξ,,ξ } τέτοιων ώστ ξ Œ [ x,x ], k =,,,,. k k k+ Σχηµτίζουµ το άθροισµ  S( f,,ξ ) = ( x x )f (ξ ) k= k+ k k το οποίο λέγτι άθροισµ του Riema της φργµένης συνάρτησης f στο διάστηµ [, ]. Το άθροισµ υτό ξρτάτι πό τη διµέριση κι τ πιλγµέν σηµί
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 9 ξ,ξ,ξ,,ξ. Πρκτικά, ν θωρήσουµ πιπλέον ότι ίνι f(x), " x Œ [,], πριµένουµ ότι: ν η λπτότητ d = max{ x x, k =,,, } k+ της διµέρισης τίνι προς το µηδέν, ότν Æ+, τότ το άθροισµ k S( f,,ξ ) θ τίνι στο µδόν του χωρίου που πρικλίτι πό το γράφηµ της f, τις υθίς x=, x= κι τον άξον των x. Aπό τον ορισµό τους τ τρί θροίσµτ ικνοποιούν τη σχέση Κ(f, ) S(f,,Ξ) Α(f, ) γι κάθ διµέριση Œ D( [, ]). Βέι, ν το άθροισµ S( f,,ξ ) ήτν µι συνάρτηση της λπτότητς d της διµέρισης θ µπορούσµ ν ορίσουµ έν όριο της µορφής lim S( f,, Ξ ), dæ λλά το S( f,,ξ ) δν ίνι τέτοι συνάρτηση. Σύµφων µ τον πρπάνω ορισµό το άθροισµ S( f,,ξ ) ξρτάτι πό τη διµέριση = { x,x,x,,x} κι πό τους πιλγµένους ριθµούς Ξ = { ξ,ξ,,ξ }, δηλδή ξρτάτι πό τις δύο άδς x,x,x,,x κι ξ,ξ,,ξ, νώ τ ξ Œ [ x,x + ]. k k k ΟΡΙΣΜΟΣ (Riema): Mι φργµένη συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµ [, ],, ŒÑ λέγτι ολοκληρώσιµη σ υτό, ν υπάρχι ριθµός Ι, που τον γράφουµ Ι = f(x)dx, τέτοιος ώστ: " >, υπάρχι δ> έτσι ώστ, γι κάθ διµέριση κι γι κάθ πιλογή σηµίων Ξ, ν ισχύι d < δ fi S( f,,ξ ) f(x)dx < όπου d η λπτότητ της διµέρισης Œ D( [, ]).
Κφάλιο Τον ριθµό Ι = f(x)dx τον ονοµάζουµ Riema ολοκλήρωµ της συ νάρτησης f στο διάστηµ [, ]. Ο ορισµός του Riema υπήρξ ο πρώτος µθηµτικά κριής ορισµός του ολοκληρώµτος. Ο ορισµός του Riema κι ο ορισµός του Darboux, που ίνι ννοιολογικά πλούστρος, ίνι ισοδύνµοι ορισµοί. Aυτή η ισοδυνµί των ορισµών ποδικνύτι στο Θώρηµ: ΘEΩPHMA 3: Μι φργµένη συνάρτηση f στο [, ] ίνι Riema ολοκληρώσιµη ν κι µόνον ν ισχύι f (x)dx= f(x)dx. Απόδιξη Υποθέτουµ ότι η συνάρτηση f ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ] µ ολοκλήρωµ I = f(x)dx. Σύµφων µ τον ορισµό του Riema θ ισχύι: " >, $ δ > : " Œ D([,]), µ d < δ fi S( f,,ξ ) Ι < π όπου προκύπτι Ι < S( f,,ξ ) < Ι +. Τ θροίσµτ S( f,,ξ ), κθώς ξρτώντι πό τ πιλγµέν σηµί ξ i, που µπορούν ν λλάζουν, σχηµτίζουν έν σύνολο S (τη διµέριση την κρτάµ στθρή) το οποίο ίνι φργµένο. Έχουµ λοιπόν το σύνολο S = { S( f,,ξ ):Ξ πιλγµέν σηµί στη διµέριση} κι θ δίξουµ ότι ισχύι
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ K( f, ) = if S, Α( f, ) = sups. Γι δοσµένο >, πό τον ορισµό του K( f, ) προκύπτι ότι σ κάθ διάστηµ [ x,x k k + ] µπορί ν ρθί ξ k τέτοιο ώστ Αλλά τότ θ ίνι f(ξ ) m < k k.  S( f,,ξ ) Κ( f, ) = (x x )( f(ξ )m ) k= k+ k k k  (xk+ x k). k= < = Ανάλογ ποδικνύτι η δύτρη σχέση. Εποµένως, έχουµ (λέπ ορισµό του ifimum) Ι < S( f,,ξ ) < Ι + fi Ι K( f, ) fi Ι Κ( f, ). Όπως στην πόδιξη του Θωρήµτος (πρίπτωση )) ρίσκουµ ότι, ότν η λπτότητ d της διµέρισης ίνι µικρότρη πό κτάλληλο δ >, τότ ισχύι f(x)dx Κ( f, ) <. Άρ, ν η λπτότητ d της διµέρισης ίνι µικρότρη του mi{δ, δ } θ ισχύι. Ι f( x)dx I K( f, ) + K( f, ) f( x)dx < Επιδή οι ριθµοί Ι = f(x)dx κι f(x)dx
Κφάλιο ίνι δοσµένοι κι η πόστση µτξύ τους ίνι µικρότρη πό οποιοδήποτ θτικό ριθµό >, υτοί θ πρέπι ν συµπίπτουν. Μ νάλογο τρόπο ποδικνύτι ότι ισχύι Ι = f ( x )dx = f ( x )dx. Αντίστροφ, υποθέτουµ ότι ισχύι Ι = f ( x )dx = f ( x )dx. Θ δίξουµ ότι ο ριθµός Ι ίνι το Riema ολοκλήρωµ της συνάρτησης f στο διάστηµ [, ]. Από τους ορισµούς που δώσµ στ προηγούµν προκύπτι ότι K( f, ) f(x)dx κι f(x)dx Α( f, ) νώ συγχρόνως ισχύι η νισότητ, K(f, ) S(f,,Ξ) Α(f, ). Από τις τρις τλυτίς σχέσις, φόσον υποθέσµ ότι I = f ( x )dx = f ( x )dx πίρνουµ, a a S(f,,Ξ) Ι Α(f, ) Κ(f, ). Αλλά, ύκολ ποδικνύτι ότι, γι κάθ >, υπάρχι δ > τέτοιο ώστ γι κάθ διµέριση, µ λπτότητ d <δ, ν ίνι f(x)dx f(x)dx Α( f, ) K( f, ) < f(x)dx f(x)dx+. Θ έχουµ λοιπόν δώ A(f, ) Κ(f, ) < κι άρ, ν η λπτότητ d της διµέρισης ίνι µικρότρη του δ, τότ θ ισχύι
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 3 S( f,,ξ ) Ι <, πράγµ που σηµίνι πως η φργµένη συνάρτηση f στο [, ] ίνι Riema ολοκληρώσιµη µ ΟΡΙΣΜΟΣ 3 Ι = f(x)dx. É è Αν = κι η συνάρτηση f ίνι ορισµένη στο, θέτουµ a f (x)dx=. è Αν > κι η συνάρτηση f ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ], θέτουµ f (x)dx= f(x)dx. Η διδικσί ύρσης του ολοκληρώµτος Riema δίχντι γρφικά στο πρκάτω σχήµ. S(f, Δ, Ξ) y f(x)dx y(δ) Ο δ λπτότητ διμέρισης d Πρτηρούµ στο σχήµ ότι, ότν το ολοκλήρωµ Riema υπάρχι, γι δοσµένο δ> τ θροίσµτ Riema S( f,, Ξ), µ Ξ = { ξ,ξ,,ξ } σηµί στ διστήµτ [ x,x k k + ] της διµέρισης µ λπτότητ d=δ, ρίσκοντι στο ορισµένο διάστηµ y(δ). Ότν η λπτότητ d=δ της διµέρισης τίνι στο µηδέν τότ τ διστή µτ y(δ) τίνουν πίσης στο µηδέν. Γωµτρική ρµηνί Έστω µι φργµένη συνάρτηση f στο διάστηµ [, ] που ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ] κι έχι την πρκάτω γρφική πράστση.
4 Κφάλιο y y = f(x) Ε Ο Ε Ε 3 x Το Riema ολοκλήρωµ της f στο [, ] ίνι το άθροισµ των µδών E,E, E3, όπου E >,E >,E3 >, δηλδή = + f (x)dx E E E 3. Σηµιώνουµ ότι τ µδά που σχηµτίζοντι πάνω πό τον άξον των x (προς τ θτικά y) ίνι µ θτικό πρόσηµο κι τ µδά που σχηµτίζοντι κάτω πό τον άξον των x (προς τ ρνητικά y) ίνι µ ρνητικό πρόσηµο. Εύκολ διπιστώντι πως ισχύι f (x)dx= E + E + E3. Πράδιγµ Αν η συνάρτηση f ίνι Riema ολοκληρώσιµη στο [, ], >, τότ ισχύι È a Êaˆ Êaˆ Êaˆ lim f f f f ( x )dx Æ+ Í Á + Á + + Á = Î Ë Ë Ë a. Θωρούµ τη διµέριση του διστήµτος [, ] a a a a : = < < < < = a κι σχηµτίζουµ το άθροισµ Riema της f a Êaˆ a Êaˆ a Êaˆ f Á + f Á + + f Á = S( f,,ξ ), Ë Ë Ë όπου ως σηµί ξ k πήρµ τ άκρ της διµέρισης.
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 5 Ότν το Æ+ η λπτότητ d = της διµέρισης τίνι στο µηδέν, οπότ έχουµ (Θώρηµ 3): γι κάθ > υπάρχι ŒÍ τέτοιο ώστ d = < δ, " ν ισχύι a a a f Ê Á ˆ + + f(a) f(x)dx < Ë πράγµ που ποδικνύι το ζητούµνο. ΘEΩPHMA 4: Aν µι συνάρτηση f ίνι Riema oλοκληρώσιµη στο διάστηµ [, ] τότ ίνι φργµένη σ υτό το διάστηµ. Απόδιξη Υποθέτουµ πως η f δν ίνι φργµένη στο διάστηµ [, ]. Θωρούµ µι διµέριση του [, ] = x < x < < x < x = κι σχηµτίζουµ το ντίστοιχο άθροισµ Riema µ κλογή των σηµίων  S( f,,ξ ) = ( x x )f (ξ ) k= k+ k k Ξ = { ξ,ξ,,ξ }, µ ξ Œ[ x,x ]. k k k+ Αφού η συνάρτηση f δν ίνι φργµένη στο [, ] δν θ ίνι φργµένη τουλάχιστον σ έν πό τ διστήµτ [ x,x + ], k=,,,, k k π.χ. στο διάστηµ [ x k,x ] k +. Τότ έχουµ  S( f,,ξ) = (x x )f(ξ ) + (x x )f(ξ ) όπου = k+ k k A (x x )f(ξ ) k = k, δηλδή k+ k k k+ k k = (x x )f(ξ ) + A, k+ k k  κι το άθροισµ  δν πριέχι τον όρο γι
6 Κφάλιο  =, k π k, k. k= Υπνθυµίζουµ πως τ σηµί ξ k, k =,,,, κλέγοντι υθίρτ µέσ στ διστήµτ [ x,x k k + ], ντίστοιχ. Από την πρπάνω σχέση προκύπτι S( f,,ξ ) f (ξ ) ( x x ) A. k k+ k Επιδή όµως η συνάρτηση f δν ίνι φργµένη στο διάστηµ [ x,x + ], k k γι οποιονδήποτ µγάλο θτικό ριθµό Μ υπάρχι ξk Œ [ x k,x k + ] τέτοιο ώστ ν ισχύι k k k+ k xk + xk A + M f(ξ ) > fi f(ξ )(x x ) A > M >. Βλέπουµ λοιπόν ότι, γι οποιονδήποτ µγάλο ριθµό Μ> κι δοσµένη διµέριση του [, ], υπάρχι κάποιο άθροισµ Riema, µ κτάλληλη πιλογή των σηµίων Ξ = { ξ,ξ,,ξ } κι ιδικά του ξk Œ [ x k,x k + ], του οποίου η πόλυτη τιµή ίνι µγλύτρη του Μ. Αυτό όµως σηµίνι ότι η συνάρτηση f δν ίνι ολοκληρώσιµη στο διάστηµ [, ]. Συµπέρσµ Γι ν µπορί ν ίνι Riema ολοκληρώσιµη µι συνάρτηση f στο διάστηµ [, ] πρέπι ν ίνι φργµένη στο [, ]. Αλλ όµως όλς οι φργµένς συνρτήσις δν ίνι Riema ολοκληρώσιµς π.χ. η συνάρτηση Dirichlet (Πράδιγµ ) Ï, ν x Œ[, ] κι x ρητός ριθµός, f(x) = Ì Ó, ν x Œ[, ] κι x άρρητος ριθµός. Oι συνρτήσις f που δν ίνι φργµένς στο διάστηµ [, ] δν ίνι Riema ολοκληρώσιµς σ υτό.
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 7. Θωρήµτ ύπρξης ορισµένου ολοκληρώµτος Τ κριτήρι που νφέροντι στην προηγούµνη πράγρφο θ µς οηθήσουν ν δίξουµ την Riema ολοκληρωσιµότητ των µονότονων συνρτήσων (υξουσών ή φθινουσών) κι των συνχών συνρτήσων στο διάστηµ [, ], a, ŒÑ. Στη συνέχι γι πλότητ της έκφρσης, ντί Riema ολοκληρωσιµότητ κι Riema ολοκλήρωµ, θ γράφουµ ολοκληρωσιµότητ κι ολοκλήρωµ, ντίστοιχ. Ι. Μονότονς συνρτήσις Υποθέτουµ ότι η συνάρτηση f ίνι φργµένη κι ύξουσ στο [, ], οπότ ίνι φνρό ότι ισχύουν (λέπ σχήµ) m = f(x ), M = f(x ), k=,,,,. k k k k+ y f(x k+ ) f(x k ) O a = x x k x k+ = x x Επιλέγουµ ως διµέριση του διστήµτος [, ] υτήν που χωρίζι το [, ] σ ίσ τµήµτ, δηλδή τη διµέριση { =, +,,+ k,,+ = }. Μ υτήν την διµέριση του [, ] έχουµ  Α( f, ) Κ(f, ) = (x x )(M m ) = k=  k= k+ k k k = (x x )( f(x ) f(x )) = k+ k k+ k
8 Κφάλιο  () = ( f (x k+ ) f(x k) ) = k= () = ( f() f() ). Εποµένως, γι οποιοδήποτ > υπάρχι φυσικός τέτοιος ώστ > ()( f() f() ) (λέπ [6], Εισγωγή, 3). Άρ, γι κάθ > πιλέγω () > ( f() f() ) κι τη διµέριση, που χωρίζι το [, ] σ ίσ διστήµτ µήκους (), γι την οποί ισχύι: A( f, ) Κ( f, ) <. Σύµφων λοιπόν µ το Θώρηµ (πρίπτωση )) η φργµένη κι µονότονη συνάρτηση f ίνι ολοκληρώσιµη στο [, ]. Πράδιγµ Στο διάστηµ [, ] θωρούµ τους όρους της κολουθίς =, =, = +,, = + + + +, που ίνι τ µρικά θροίσµτ της γωµτρικής προόδου  = = lim. Æ+ = Ορίζουµ µι συνάρτηση f στο διάστηµ [, ] κλιµκωτή ως ξής: Ï, ν xœ[,] Ô f(x) = Ì Ô ν ( ], x Œ, +, =,, Ó Προφνώς, η συνάρτηση f ίνι φθίνουσ στο [, ], µ σηµί συνέχις τ,a,,a, δηλδή σ ριθµήσιµο πλήθος. Θωρούµ τις διµρίσις του [, ] που πριέχουν τ σηµί
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 9,a,,a κι άλλ νδιάµσ σηµί (όχι όµως δξιά του ) έτσι ώστ οι λπτότητές τους d ν ίνι d = a. Αλλά ίνι lim =, οπότ lim d = lim =. Æ+ Æ+ Τ διστήµτ [ k, k + ] µήκους k κι έχουµ άθροισµ µηκών  xi = k+ k =, k i µ λάχιστη τιµή της f σ όλ υτά το k. Στο τλυτίο διάστηµ [,] θέτουµ την τιµή Έχουµ λοιπόν κι πιδή ίνι Æ+ = max{ f(x), xœ [,]}.   k k k k k= k= διµρίζοντι κι µ άλλ σηµί x i K( f, ) + ( ) 4  = (γωµτρική σιρά λόγου k ( ) 3 k= λ = ), 4 συνπάγτι ότι σύµφων µ το Θώρηµ της. 4 3 lim Κ( f, ) = f ( x )dx =, Æ+ Πράδιγµ Έστω f µι συνάρτηση συνχής κι γνήσι ύξουσ στο διάστηµ [, ]. Αν f ίνι η ντίστροφη συνάρτηση της f, ν υπολογιστί η πράστση f( ). f() I = f ( x )dx + f ( x )dx
3 Κφάλιο Ν γίνι γωµτρική προυσίση του ποτλέσµτος. Αφού η συνάρτηση f ίνι γνήσι ύξουσ (ίνι κι συνχής) στο διάστη µ [, ] ίνι ολοκληρώσιµη σ υτό. Η f ίνι πίσης συνχής κι γνήσι ύξουσ στο [ f(), f( )], άρ ολοκληρώσιµη σ υτό (λέπ [6], Κφ. 5, 5). Θωρούµ µι τυχί διµρίσιµη του [, ] := x < x < < x < x =, κι σχηµτίζουµ το κάτω άθροισµ Darboux   Κ( f, ) = (x x )m = (x x )f(x ) k+ k k k+ k k k= k= πιδή η f ίνι γνήσι ύξουσ στο [, ] ισχύι m = mi{ f ( x ), x Œ [ x, x ]} = f ( x ) k k k+ k Ανάλογ, έχουµ το πάνω άθροισµ Darboux γι τη διµέριση του διστήµτος [ f(), f() ], που προκλίτι πό την διµέριση, : f() < f(x ) < < f(x ) < f(x ) = f() το οποίο ίνι Α( f, ) =  ( f(x ) f(x )) x, k+ k k+ k= πιδή η f ίνι γνήσι ύξουσ στο [ f(), f() ] ισχύι k k k+ k+ M = max{ f ( y), yœ [ f(x ), f(x )]} = x. Άρ, γι τυχί διµέριση του [, ], η οποί προκλί µι πίσης τυχί διµέριση του [ f(), f() ], έχουµ  K( f, ) + Α( f, ) = (x x )f(x ) + ( f(x ) f(x )) x =  k+ k k k+ k k+ k= k= = f() f(). Ότν η λπτότητ d της διµέρισης τίνι στο µηδέν, τότ κι η λπτότητ d της διµέρισης τίνι στο µηδέν, λόγω της συνέχις της f στο [, ] (µάλιστ οµοιόµορφης συνέχις).
Το Ορισµένο Ολοκλήρωµ 3 Αφού οι f κι f ίνι ολοκληρώσιµς θ έχουµ f( ) = = dæ d Æ f() οπότ προκύπτι lim K( f, ) f ( x )dx, lim A( f, ) f ( x )dx f( ) f() I = f(x)dx+ f (x)dx= = lim [ Κ( f, ) + Α( f, )] = dæ = f() f(). Η γωµτρική ρµηνί ίνι ότι το Ι ίνι το άθροισµ των µδών Ε κι Ε, Ι = Ε + Ε. y f() f(x k+ ) f(x k ) f(a) Ε Ε a Ο x k x k+ x II. Συνχίς συνρτήσις Μι συνάρτηση f συνχής στο διάστηµ [, ],, ŒÑ ίνι ολοκληρώσιµη στο [, ]. Είνι γνωστό ότι µι συνχής συνάρτηση f στο διάστηµ [, ] : i) ίνι φργµένη σ υτό ([6], Κφ. 5, 4), ii) ίνι οµοιόµορφ συνχής σ υτό ([6], Κφ. 5, 3). Υπνθυµίζουµ τον ορισµό της οµοιόµορφης συνέχις: Γι κάθ > υπάρχι δ( ) > τέτοιο ώστ " x,yœ[, ], µ x y < δ fi f(x) f(y) <. Σηµιώνουµ ότι οι ρητές, οι ττργωνικές, οι υπρολικές, οι λογριθµικές, οι κθτικές συνρτήσις, κθώς κι οι συνδυσµοί τους µ πλές πράξις ή συνθέσις υτών ίνι πργωγίσιµς στο σύνολο ορισµού τους κι οι πράγωγοί τους ίνι συνχίς συνρτήσις. Άρ, οι συνχίς συνρτήσις που ορίζοντι στο διάστηµ [, ] ίνι φργ µένς κι οµοιόµορφ συνχίς σ υτό, κι όπως θ δίξουµ ίνι ολοκληρώσιµς στο [, ],, ŒÑ. Γι ν δίξουµ την ολοκληρωσιµότητ πρέπι, γι κάθ > ν ρούµ µι διµέριση του [, ] τέτοι ώστ
3 Κφάλιο  k+ k k k, k= Α( f, ) Κ(f, ) = (x x )(M m ) < σύµφων µ το Θώρηµ (πρίπτωση )) της. Επίσης ίνι γνωστό ότι, πιδή η f ίνι συνχής στο [ x k,x k + ] υπάρχουν σηµί ξ,η Œ[ x,x ] τέτοι ώστ k k k k+ Έχουµ λοιπόν mk = f(ξ k ), Mk = f(η k ) ([6], Κφ. 5, 4).  A(f, ) Κ(f, ) = (x x )( f(η ) f(ξ )) k= k+ k k k κι πιδή η f ίνι οµοιόµορφ συνχής σ κάθ διάστηµ [ x,x k k + ], k =,,,,, γι κάθ > υπάρχι δ( ) > τέτοιο ώστ ν ξ η < δ τότ f(ξ ) f(η ) < k k k k. Επιλέγοντς λοιπόν τη διµέριση µ λπτότητ d < δ θ έχουµ:  A(f, ) Κ(f, ) = f(η ) f(ξ )x x < k= k k k+ k < (x x ) = x+ k Â. É k= Γι πράδιγµ στο ολοκλήρωµ συνx dx x η συνάρτηση f δν προσδιορίζτι στο σηµίο x=, νώ ίνι συνχής γι x π. Aν όµως ορίσουµ την τιµή της συνx ηµx f() = lim = = lim = = xæ x xæ x συνx = lim =, x Æ υτή γίντι συνχής στο διάστηµ [,] κι άρ ολοκληρώσιµη σ υτό.