Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων. Η γνώση των βασικών ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων είναι απολύτως απαραίτητη για την ανάλυση προβληµάτων σε συνεχή χρόνο στη δυναµική µακροοικονοµική. 1 Ξεκινούµε µε κάποιους ορισµούς, και κατόπιν εξετάζουµε µεθόδους επίλυσης γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθµού, τόσο µε σταθερούς, όσο και µε µεταβλητούς συντελεστές, καθώς και συστηµάτων n αλληλεξαρτώµενων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων. Π1.1 Ορισµοί Μία διαφορική εξίσωση, είναι µία µαθηµατική εξίσωση προερχόµενη από µία άγνωστη συνάρτηση, µίας ή περισσοτέρων µεταβλητών, η οποία συνδέει την ίδια τη συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφόρων βαθµών. Ενώ η λύση µίας απλής εξίσωσης, ή ενός συστήµατος εξισώσεων, συνίσταται στην εξεύρεση ενός συνόλου σταθερών που ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις, η λύση µίας διαφορικής εξίσωσης, ή ενός συστήµατος διαφορικών εξισώσεων, συνίσταται στην εξεύρεση συναρτήσεων, οι οποίες, µαζί µε τις παραγώγους τους, ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση ή το σύστηµα διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγµα, η λύση στη διαφορική εξίσωση, y (t) = dy (Π1.1) dt = a είναι µία συνάρτηση y(t), της οποίας η πρώτη παράγωγος ισούται µε a. Η λύση αυτή είναι η εξίσωση, y(t) = at + c (Π1.2) όπου c είναι µία οποιαδήποτε σταθερά. Ένα άλλο παράδειγµα είναι διαφορική εξίσωση, Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών 1 για οικονοµολόγους. Βλ. Chiang (1974) και Simon and Blume (1994) για δύο από τα πιο πλήρη εγχειρίδια. Για µια πιο προχωρηµένη προσέγγιση βλ. Boyce and DiPrima (1977).
d 2 y y (t) = dt = a 2 (Π1.3) η οποία έχει λύση, y(t) = a (Π1.4) 2 t 2 + bt + c όπου b και c είναι δύο οποιεσδήποτε σταθερές. Μία λύση σε µία διαφορική εξίσωση είναι µία συνάρτηση y(t), η οποία µαζί µε τις παραγώγους της, ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση. Μία γενική λύση είναι το σύνολο όλων των λύσεων µίας διαφορικής εξίσωσης. Μία ειδική λύση απαιτεί τον προσδιορισµό της σταθεράς ή των σταθερών της ολοκλήρωσης. Οι διαφορικές εξισώσεις ταξινοµούνται από το βαθµό τους, που δεν είναι άλλος από το βαθµό της υψηλότερης παραγώγου που εµφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγµα, η (Π1.1) είναι διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού, ενώ η (Π1.3) είναι διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθµού. Μία διαφορική εξίσωση είναι γραµµική, αν η άγνωστη συνάρτηση y(t) και οι παράγωγοί της είναι γραµµικές, ενώ αλλοιώς είναι µη γραµµική. Μία διαφορική εξίσωση µπορεί να επιλυθεί µε µία µέθοδο η οποία είναι γνωστή ως διαχωρισµός µεταβλητών, εάν µπορεί να γραφεί ως η εξίσωση ενός όρου ο οποίος περιέχει µόνο το y, µε έναν όρο ο οποίος περιέχει µόνο το t. Για παράδειγµα, η εξίσωση, g(y) y = f (t) (Π1.5) µπορεί να γραφεί ως, g(y)dy = f (t)dt (Π1.6) Οι µεταβλητές είναι διαχωρισµένες και η λύση της είναι, g(y)dy = f (t)dt + c (Π1.7) όπου c είναι µία αυθαίρετη σταθερά. Τέλος, µία διαφορική εξίσωση, f (t, y) + g(t, y) dy (Π1.8) dt = 0 που ισοδυναµεί µε, f (t, y)dt + g(t, y)dy = 0 (Π1.9) 2
ονοµάζεται ακριβής, εάν υπάρχει µία συνάρτηση U(t,y) ούτως ώστε, du U t dt + U y dy fdt + gdy (Π1.10) Μία διαφορική εξίσωση είναι ακριβής αν αποτελεί ακριβώς τη συνολική διαφοροποίηση µίας συνάρτησης. Π1.2 Γραµµικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτου Βαθµού Διακρίνουµε τις γραµµικές διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθµού σε εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές, και εξισώσεις µε µεταβλητούς συντελεστές. Π1.2.1 Σταθεροί Συντελεστές Μία γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές έχει τη µορφή, y (t) + ay(t) = b (Π1.11) όπου a και b είναι δεδοµένες σταθερές. Για να βρεθεί η συνάρτηση y(t) η οποία ικανοποιεί την (Π1.11), παρατηρείστε ότι, d(e at y(t)) = ae at y(t) + e at y (t) = e at y (t) + ay(t) (Π1.12) dt Δηλαδή, αν η διαφορική εξίσωση (Π1.11) πολλαπλασιαστεί µε e at, η αριστερή της πλευρά θα είναι µία ακριβής διαφορική εξίσωση, δηλαδή η συνολική παράγωγος κάποιας συνάρτησης σε σχέση µε το t. Η e at καλείται συντελεστής ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µε dt, έχουµε, d( e at y(t) ) = be at dt της οποίας το ολοκλήρωµα είναι, e at y(t) = e at b a + c όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζοντας µε @ e at και τις δύο πλευρές έχουµε, y(t) = b (Π1.13) a + ce at 3
ως την οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση (Π1.11). Η οικογένεια αυτή καλείται η γενική λύση της (Π1.11). Προκειµένου να προσδιορίσουµε τη σταθερά της ολοκλήρωσης c χρειαζόµαστε την αξία της συνάρτησης σε κάποιο σηµείο. Για παράδειγµα αν στο σηµείο t=0, γνωρίζουµε ότι, y(0) = y 0 τότε γνωρίζουµε ότι, y 0 = b, δηλαδή ότι. a + c c = y b 0 a H ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) η οποία ικανοποιεί y(0) = y 0 είναι, y(t) = y 0 e at + (1 e at ) b (Π1.14) a = b a + (y b 0 a )e at Συµπερασµατικά, για να επιλύσουµε µία γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές, πολλαπλασιάζουµε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και λαµβάνουµε το ολοκλήρωµα. Για να υπολογίσουµε τη σταθερά της ολοκλήρωσης χρησιµοποιούµε την αξία της συνάρτησης σε κάποιο σηµείο. Το σηµείο που χρησιµοποιούµε λέγεται αρχική συνθήκη ή οριακή συνθήκη. Π1.2.2 Μεταβλητή Δεξιά Πλευρά Εάν η δεξιά πλευρά της (Π1.11) δεν ήταν σταθερή, αλλά µία γνωστή συνάρτηση του χρόνου, η διαδικασία επίλυσης είναι παρόµοια. Πολλαπλασιάζουµε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και λαµβάνουµε το ολοκλήρωµα. Για παράδειγµα, στη διαφορική εξίσωση, y (t) + ay(t) = be λt (Π1.15) πολλαπλασιάζοντας µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και διαχωρίζοντας τις µεταβλητές έχουµε, ( ) = be (a+λ)t dt d e at y (Π1.16) Λαµβάνοντας τα ολοκληρώµατα και των δύο πλευρών της (Π1.16), b e at y(t) = (Π1.17) a + λ e(a+λ)t + c Διαιρώντας και τις δύο πλευρές µε το συντελεστή ολοκλήρωσης, 4
b y(t) = (Π1.18) a + λ eλt + ce at Η (Π1.18) είναι η οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιεί την (Π1.15). Και πάλι η άγνωστη σταθερά c µπορεί να προσδιοριστεί από µία οριακή συνθήκη. Π1.2.3 Μεταβλητοί Συντελεστές Η γενική µορφή µιας γραµµικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθµού είναι, y (t) + a(t)y(t) = b(t) (Π1.19) όπου οι a(t) και b(t) είναι γνωστές συναρτήσεις, και αναζητείται η συνάρτηση y(t). Ο συντελεστής ολοκλήρωσης είναι, e a(t ) dt καθώς, d(y(t)e a(t ) dt ) = e a(t ) dt y (t) + a(t)y(t) (Π1.20) dt Έτσι, πολλαπλασιάζοντας τη (Π1.19) µε το συντελεστή ολοκλήρωσης αυτόν και λαµβάνοντας το ολοκλήρωµα, έχουµε, y(t)e a(t ) dt = b(t)e a(t ) dt dt + c (Π1.21) Διαιρώντας την (Π1.21) µε το συντελεστή ολοκλήρωσης έχουµε τελικά, y(t) = e a(t ) dt b(t)e a(t ) dt dt + e a(t ) dt c (Π1.22) όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Η (Π1.22) είναι η γενική λύση της (Π1.19). Μια ειδική λύση απαιτεί µία οριακή συνθήκη που θα προσδιορίσει τη σταθερά c. Προσοχή: Μην εφαρµόζετε µηχανιστικά τη λύση (Π1.22) σε οποιαδήποτε εξίσωση. Είναι απλούστερο πολλές φορές να πολλαπλασιάζετε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και να λαµβάνετε το ολοκλήρωµα. Π1.2.4 Οµογενείς και Μη Οµογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Εάν b(t)=0 στη (Π1.19), η διαφορική εξίσωση που προκύπτει ονοµάζεται οµογενής. Αλλοιώς είναι µη οµογενής. Η γενική λύση µιας διαφορικής εξίσωσης συνίσταται από το άθροισµα της γενικής λύσης στη σχετική οµογενή διαφορική εξίσωση (θέτοντας b(t)=0 και επιλύοντας) και µίας ειδικής λύσης στη συνολική εξίσωση. Για παράδειγµα, η γενική λύση στην οµογενή εξίσωση, 5
@ y (t) + ay(t) = 0 (Π1.23) που προέρχεται από την (Π1.11) είναι, y(t) = ce at (Π1.24) Μία ειδική λύση, θέτοντας y (t) = 0 για παράδειγµα, είναι, y _ = b a (Π1.25) Κατά συνέπεια, η γενική λύση της µη οµογενούς διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) είναι το άθροισµα των (Π1.24) και (Π1.25), δηλαδή της γενικής λύσης της σχετικής οµογενούς διαφορικής εξίσωσης και της ειδικής λύσης για σταθερό y. Η µεθοδολογία αυτή δεν είναι τόσο απαραίτητη για την επίλυση γραµµικών εξισώσεων πρώτου βαθµού, αλλά καθίσταται πολύ χρήσιµη για διαφορικές εξισώσεις βαθµού ανώτερου του πρώτου. Σε πολλές οικονοµικές εφαρµογές, ενδιαφερόµαστε για τη συµπεριφορά της λύσης µιας διαφορικής εξίσωσης καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή, συνήθως ο χρόνος, τείνει στο άπειρο. Η τιµή την οποία προσεγγίζει η λύση, αν προσεγγίζει κάποια τιµή, αναφέρεται ως σταθερά κατάσταση, ή στάσιµη κατάσταση, ή κατάσταση ισορροπίας. Για παράδειγµα, από την (Π1.13), που είναι η γενική λύση της (Π1.11), έχουµε για a > 0, b lim y(t) = lim t t a + ce at = b a Η ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) µπορεί κατά συνέπεια να ερµηνευτεί οικονοµικά και ως η κατάσταση ισορροπίας, ή η στάσιµη κατάσταση. Π1.3 Γραµµικές Διαφορικές Εξισώσεις Δευτέρου Βαθµού Μία γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθµού έχει τη µορφή, y (t) + a(t) y (t) + b(t)y(t) = h(t) (Π1.26) όπου a(t), b(t), h(t) είναι γνωστές συναρτήσεις, και αναζητείται η συνάρτηση y(t). Η (Π1.26) αποκαλείται η πλήρης εξίσωση. Σχετική µε την (Π1.26) είναι µία οµογενής διαφορική εξίσωση στην οποία το h(t)=0. y (t) + a(t) y (t) + b(t)y(t) = 0 (Π1.27) 6
η οποία ονοµάζεται η ανηγµένη εξίσωση. Η πλήρης εξίσωση είναι µη οµογενής, ενώ η ανηγµένη είναι οµογενής. Η ανηγµένη εξίσωση έχει ενδιαφέρον λόγω των ακολούθων δύο θεωρηµάτων. Θεώρηµα 1: Η γενική λύση της πλήρους εξίσωσης (Π1.26) είναι το άθροισµα οποιασδήποτε ειδικής λύσης της πλήρους εξίσωσης και της γενικής λύσης της ανηγµένης εξίσωσης (Π1.27). Θεώρηµα 2: Οποιαδήποτε λύση y(t) της ανηγµένης εξίσωσης (Π1.27) στο διάστηµα t 0 t t 1 µπορεί να εκφραστεί ως ένας γραµµικός συνδυασµός, y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t), t 0 t t 1 οποιωνδήποτε δύο ειδικών λύσεων y 1, y 2 οι οποίες είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Π1.3.1 Οµογενείς Εξισώσεις µε Σταθερούς Συντελεστές Εξετάζουµε τώρα τη διαφορική εξίσωση (Π1.26), µε σταθερούς συντελεστές, δηλαδή, a(t)=a, b(t)=b. Υποθέτουµε επίσης ότι h(t)=0. Η διαφορική εξίσωση λαµβάνει τη µορφή, y (t) + a y (t) + by(t) = 0 (Π1.28) Εµπνεόµενοι από τη γενική λύση της πρωτοβάθµιας διαφορικής εξίσωσης µε σταθερούς συντελεστές, δοκιµάζουµε τη γενική λύση, y(t) = ce rt µε άγνωστες σταθερές c και r. Η λύση αυτή συνεπάγεται, y (t) = rce rt και y (t) = r 2 ce rt Αντικαθιστώντας στην (Π1.28) έχουµε, ce rt (r 2 + ar + b) = 0 (Π1.29) Για µη µηδενικό c, η δοκιµαστική µας λύση ικανοποιεί την (Π1.28) µόνον εφόσον το r είναι λύση (ρίζα) της δευτεροβάθµιας εξίσωσης, r 2 + ar + b = 0 (Π1.30) Η εξίσωση (Π1.30) αποκαλείται η χαρακτηριστική εξίσωση της (Π1.28). Έχει δύο ρίζες που ανευρίσκονται από, r 1,r 2 = a ± a2 4b (31) 2 Ξεχωρίζουµε τρεις περιπτώσεις, ανάλογα µε τη διακρίνουσα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30): 7
Περίπτωση 1: a 2 > 4b Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα είναι θετική, και οι ρίζες είναι πραγµατικές και διακριτές. Η γενική λύση της (Π1.28) λαµβάνει τη µορφή, y(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t (Π1.32) όπου r 1,r 2 είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30), και c 1,c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Περίπτωση 2: a 2 < 4b Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα είναι αρνητική και οι ρίζες είναι ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών αριθµών. r 1,r 2 = a, 2 ± i 4b a = α ± iβ 2 όπου, α = a και β = 4b a. 2 2 Η γενική πραγµατική λύση στην περίπτωση αυτή είναι, y(t) = e αt (k 1 cosβt + k 2 sinβt) (Π1.33) όπου k 1,k 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Περίπτωση 3: a 2 = 4b Στην περίπτωση αυτή η διακρίνουσα ισούται µε το µηδέν, και οι δύο ρίζες είναι ίδιες και ισούνται µε -a/2. Μπορεί κανείς να δείξει ότι η γενική λύση της (Π1.28) στην περίπτωση αυτή λαµβάνει τη µορφή, y(t) = c 1 e rt + c 2 te rt = e rt (c 1 + c 2 t) (Π1.34) όπου r = a / 2 είναι η διπλή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30), και c 1,c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Π1.3.2 Μη Οµογενείς Εξισώσεις µε Σταθερούς Συντελεστές Είδαµε πιο πάνω πως µπορούµε να βρούµε τη λύση οποιασδήποτε οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης δευτέρου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές. Για να βρούµε τη λύση µιας µη οµογενούς εξίσωσης, θέλουµε µία ειδική λύση της πλήρους εξίσωσης. Αν η πλήρης εξίσωση είναι της µορφής, y (t) + a y (t) + by(t) = h (Π1.35) 8
τότε µία ειδική λύση είναι η σταθερή συνάρτηση, y _ = h b Για εξισώσεις χωρίς σταθερούς συντελεστές υπάρχουν πιο προχωρηµένες µέθοδοι, όπως η µέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών, ή η µέθοδος των µεταβολών στις παραµέτρους. Π1.4 Ένα Ζεύγος Γραµµικών Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτου Βαθµού Ερχόµαστε τέλος σε µία περίπτωση που έχει εκτεταµένες εφαρµογές στα οικονοµικά, ένα ζεύγος γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού. x (t) = a 1 x(t) + y(t) + p(t) y (t) = a 2 x(t) + b 2 y(t) + g(t) (Π1.36) όπου a 1,a 2,,b 2 είναι δεδοµένες σταθερές, και p(t),g(t) είναι δεδοµένες συναρτήσεις. Η λύση του συστήµατος (Π1.36) θα είναι δύο συναρτήσεις x(t) και y(t), που ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις. Το οµογενές σύστηµα που αντιστοιχεί στην (Π1.36) δίνεται από, x (t) = a 1 x(t) + y(t) y (t) = a 2 x(t) + b 2 y(t) (Π1.37) Μία µέθοδος επίλυσης είναι η µέθοδος της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την y(t) και τις παραγώγους της στο σύστηµα (37), καταλήγουµε σε µία δευτεροβάθµια εξίσωση που περιέχει µόνο το x(t) και τις παραγώγους του. x (t) (a1 + b 2 ) x (t) + (a 1 b 2 a 2 )x(t) = 0 (Π1.38) H (Π1.38) είναι µία οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθµού µε χαρακτηριστική εξίσωση, r 2 (a 1 + b 2 )r + (a 1 b 2 a 2 ) = 0 (Π1.39) Αν οι ρίζες της (Π1.39) είναι πραγµατικές και διακριτές, η λύση της (Π1.38) είναι, x(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t (Π1.40) Επιλύοντας την πρώτη εξίσωση της (Π1.37) ως προς y(t), έχουµε, 9
y(t) = 1 x (t) a 1 x(t) Υποκαθιστώντας τη γνωστή λύση (Π1.40) για το x(t) και την πρώτη παράγωγό του, έχουµε, ( ) y(t) = 1 (r 1 a 1 )c 1 e r 1t + (r 2 a 1 )c 2 e r 2t (Π1.41) Συνεπώς, η λύση του συστήµατος (Π1.37) είναι οι συναρτήσεις (Π1.40) και (Π1.41), αν οι ρίζες της (Π1.39) είναι πραγµατικές και διακριτές. Ανάλογα µπορούµε να επιλύσουµε το σύστηµα αν έχουµε µιγαδικές ή επαναλαµβανόµενες ρίζες. Υπάρχει ωστόσο και µία δεύτερη και πιο άµεση µέθοδος επίλυσης του οµογενούς συστήµατος (Π1.37). Η εµπειρία µας από τις πρωτοβάθµιες διαφορικές εξισώσεις µας υποδεικνύει να δοκιµάσουµε το ζεύγος, x(t) = Ae rt, y(t) = Be rt ως ειδικές λύσεις για την (Π1.37). Υποκαθιστώντας αυτές στην (Π1.37) έχουµε, rae rt = a 1 Ae rt + Be rt rbe rt = a 2 Ae rt + b 2 Be rt (Π1.42) Διαιρώντας και τις δύο εξισώσεις µε e rt µπορούµε να ξαναγράψουµε το σύστηµα (Π1.42) ως, a 1 r A (Π1.43) a 2 b 2 r B = 0 0 Για να ισχύει η (Π1.43), η ορίζουσα της µήτρας των συντελεστών πρέπει να µηδενική. a 1 r = 0 (Π1.44) b 2 r a 2 Λαµβάνοντας την ορίζουσα έχουµε µία δευτεροβάθµια εξίσωση στο r. r 2 (a 1 + b 2 )r + (a 1 b 2 a 2 ) = 0 (Π1.45) η οποία αναφέρεται ως χαρακτηριστική εξίσωση του συστήµατος (Π1.37). Η (Π1.45) είναι ακριβώς η ίδια µε την (Π1.39), στην οποία καταλήξαµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Οι ρίζες της δίνονται από, 10
r 1,r 2 = (a + b ) ± (a + 2 1 2 )2 4(a 1 b 2 a 2 ) 2 (Π1.46) Σηµειώστε για µελλοντική χρήση ότι, r 1 + r 2 = a 1 + b 2 r 1 r 2 = a 1 b 2 a 2 (Π1.47) Εάν οι ρίζες είναι πραγµατικές και r 1 r 2, τότε η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος (Π1.37) δίνεται από, x(t) = A 1 e r 1t + A 2 e r 2t y(t) = B 1 e r 1t + B 2 e r 2t (Π1.48) όπου, A 1, A 2 καθορίζονται από συνοριακές συνθήκες, οι ρίζες ορίζονται από την (Π1.46), και οι B 1, B 2 ορίζονται από τη (Π1.42) ως, B 1 = r a 1 1 A 1 και B 2 = r a 2 1 A 2 (Π1.49) Η λύση είναι ακριβώς ίδια µε την (Π1.40) και την (Π1.41). Αντίστοιχες είναι και οι λύσεις σε περίπτωση ταυτόσηµων ριζών, ή µιγαδικών ριζών. Έχοντας βρει τη γενική λύση στο οµογενές σύστηµα (Π1.37), µένει να βρούµε µια ειδική λύση στην (Π1.36), χρησιµοποιώντας για παράδειγµα τη µέθοδο των µεταβολών στις παραµέτρους. Για την ειδική περίπτωση που p και g είναι σταθερές, µία ειδική λύση µε σταθερά x και y µπορεί να βρεθεί λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων, a 1 x *+ y *+ p = 0 a 2 x *+b 2 y *+g = 0 (Π1.50) Εκφράζοντας την (Π1.50) σε µορφή µήτρας, και λύνοντας ως προς τα x* και y*, έχουµε ότι, a 1 x * το οποίο συνεπάγεται ότι, (Π1.50 ) a 2 b 2 y * = p x * g y * = a 1 p a 2 b 2 g Τα σηµεία x* και y* µπορούν να θεωρηθούν σηµεία ισορροπίας. Το αν το σύστηµα συγκλίνει µονοτονικά στην ισορροπία εξαρτάται από το αν και οι δύο ρίζες είναι πραγµατικές και µικρότερες του µηδενός. Στην περίπτωση αυτή η ισορροπία είναι ένας σταθερός κόµβος. Στην περίπτωση που 1 11
και οι δύο µεταβλητές είναι προκαθορισµένες, η ισορροπία αυτή είναι ευσταθής, καθώς το σύστηµα τείνει προς την ισορροπία αυτή από οποιοδήποτε αρχικό σηµείο. Όταν έχουµε µία θετική και µία αρνητική ρίζα, η ισορροπία καλείται σαγµατικό σηµείο. Η ισορροπία είναι ευσταθής όταν η µία µεταβλητή είναι προκαθορισµένη και η άλλη µη προκαθορισµένη. Η αρνητική ρίζα αντιστοιχεί στην προκαθορισµένη µεταβλητή, και η θετική ρίζα στην µη προκαθορισµένη µεταβλητή, για την οποία επιλύουµε προς τα εµπρός. Κατά συνέπεια, ένα σύστηµα µε µία προκαθορισµένη και µία µη προκαθορισµένη µεταβλητή είναι ευσταθές όταν η µήτρα των συντελεστών έχει µία θετική και µία αρνητική ιδιοτιµή. Π1.5 Ένα Σύστηµα n Γραµµικών Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτου Βαθµού Τέλος αναλύουµε τη µέθοδο επίλυσης µιας πιο γενικής περίπτωσης, µε εκτεταµένη εφαρµογή στη δυναµική µακροοικονοµική, ενός συστήµατος n πρωτοβάθµιων διαφορικών εξισώσεων της µορφής, x 1(t) = a 11 x 1 (t) + a 12 x 2 (t) +!+ a 1n x n (t) + g 1 (t) x 2(t) = a 21 x 1 (t) + a 22 x 2 (t) +!+ a 2n x n (t) + g 2 (t)... x n(t) = a n1 x 1 (t) + a n2 x 2 (t) +!+ a nn x n (t) + g n (t) όπου x 1, x 2,!x n είναι οι µεταβλητές, a ij για i, j = 1,2,!,n είναι δεδοµένες σταθερές παράµετροι, και g 1,g 2,!g n είναι εξωγενείς συναρτήσεις του χρόνου. Σε µορφή µητρών, το σύστηµα αυτό µπορεί να γραφεί ως, x 1(t) a 11 a 1n x 1 (t) g 1 (t)! =! "!! (Π1.51) x +! n(t) a n1 # a nn x n (t) g n (t) ή, x (t) = Ax(t) + g(t) (Π1.51 ) όπου τα έντονα στοιχεία υποδηλώνουν διανύσµατα, και A είναι η µήτρα των συντελεστών, η οποία θεωρείται µη ιδιάζουσα, δηλαδή ότι η ορίζουσά της διαφέρει από το µηδέν. Πριν προχωρήσουµε στην ανάλυση της λύσης του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων (Π1.51), αξίζει να εξετάσουµε βαθύτερα κάποια στοιχεία γραµµικής άλγεβρας, και ιδιαίτερα την έννοια των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων. 12
Π1.5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Θεωρείστε µία τετραγωνική µήτρα A, όπως αυτή που πολλαπλασιάζει τα x στη δεξιά πλευρά της (Π1.51). Μία ιδιοτιµή της A είναι µία τιµή ρ η οποία όταν αφαιρεθεί από όλα τα στοιχεία της διαγωνίου της A µετατρέπει την A σε µία ιδιάζουσα, δηλαδή µη αντιστρέψιµη, µήτρα, µε ορίζουσα ίση µε το µηδέν. Αφαιρώντας µία τιµή ρ από κάθε ένα από τα διαγώνια στοιχεία της A είναι ισοδύναµο µε την αφαίρεση από την Α της µοναδιαίας µήτρας Ι πολλαπλασιασµένης µε το ρ. Κατά συνέπεια, το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A εάν και µόνο εάν η µήτρα A-ρΙ είναι ιδιάζουσα. Δεδοµένου ότι µία µήτρα είναι ιδιάζουσα εάν η ορίζουσά της ισούται µε το µηδέν, το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A εάν και µόνο εάν, det A ρi = 0 Για µία µήτρα n x n A, η ορίζουσα της Α-ρΙ είναι ένα πολυώνυµο βαθµού n στο ρ, το οποίο καλείται το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της Α. Ένα πολυώνυµο βαθµού n έχει κατά µέγιστο n ρίζες. Κατά συνέπεια, µία τετραγωνική µήτρα n x n έχει κατά µέγιστο n ιδιοτιµές. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι τα διαγώνια στοιχεία µίας διαγώνιας µήτρας D είναι ιδιοτιµές της D, και ότι µία τετραγωνική µήτρα A είναι ιδιάζουσα εάν και µόνο εάν το µηδέν είναι µία ιδιοτιµή της A. Από τη γραµµική άλγεβρα ισχύει ότι µία τετραγωνική µήτρα B είναι µη ιδιάζουσα εάν και µόνο εάν η µόνη λύση του Bx = 0 είναι το x = 0. Αντίστροφα, η B είναι ιδιάζουσα εάν και µόνο εάν το σύστηµα Bx = 0 έχει µία µη µηδενική λύση. Το γεγονός ότι η µήτρα A-ρΙ είναι ιδιάζουσα όταν το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A, σηµαίνει ότι το σύστηµα των εξισώσεων (A-ρΙ)v = 0 έχει µία λύση άλλη από το v = 0. 2 Όταν το ρ είναι µία ιδιοτιµή της A, ένα µη µηδενικό διάνυσµα v το οποίο ικανοποιεί (A-ρΙ)v = 0, καλείται ένα ιδιοδιάνυσµα (εκ δεξιών) της A, το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή ρ. Κατά συνέπεια, τα ιδιοδιανύσµατα είναι µη µηδενικά διανύσµατα v τα οποία ικανοποιούν, (A - ρι)v = 0, Av - ριv = 0, Av = ρv Οι τρεις παραπάνω εκφράσεις είναι ισοδύναµες. Π1.5.2 Επιλύοντας το Σύστηµα των n Γραµµικών Διαφορικών Εξισώσεων Στρεφόµαστε τώρα στην επίλυση του συστήµατος των n γραµµικών διαφορικών εξισώσεων που παρίσταται από την (Π1.51). Η γενική λύση του µη οµογενούς συστήµατος των διαφορικών 2 Ακολουθούµε την πρακτική να χρησιµοποιούµε έντονα µη κεφαλαία γράµµατα για να υποδηλώσουµε διανύσµατα. 13
εξισώσεων (Π1.51) θα ισούται µε το άθροισµα της γενικής λύσης του σχετικού οµογενούς συστήµατος διαφορικών εξισώσεων, συν την ειδική λύση για σταθερά x. Θα επικέντρωθούµε στην επίλυση του οµογενούς συστήµατος, x 1(t) a 11 a 1n x 1 (t)! =! "!! (Π1.52) x n(t) a n1 # a nn x n (t) ή απλά x = Ax, όπου x είναι το διάνυσµα στήλη στη δεξιά πλευρά της (Π1.52). Αν υποθέσουµε ότι η A είναι µία διαγώνιος µήτρα, για την οποία aij=0 για i j, τότε η (Π1.52) µετατρέπεται σε ένα σύστηµα n ανεξάρτητων διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού, της µορφής, x i(t) = a ii x i (t) Έχουµε κατά συνέπεια, µε την υπόθεση αυτή, ένα σύστηµα ανεξάρτητων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού, οι οποίες µπορούν να επιλυθούν µία προς µία, ως, x i (t) = c i e a iit Αν τα εκτός διαγωνίου στοιχεία aij διαφέρουν από το µηδέν, και οι εξισώσεις του συστήµατος είναι αλληλεξαρτώµενες, τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της µήτρας των συντελεστών της (Π1.52) ώστε να µετατρέψουµε το σύστηµα σε ένα σύστηµα n, ή λιγότερων, ανεξάρτητων εξισώσεων. Μπορούµε κατά συνέπεια να χρησιµοποιήσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της µήτρας A προκειµένου να µετατρέψουµε το σύστηµα σε ένα σύστηµα µε διαγώνιο µήτρα συντελεστών. Ας υποθέσουµε ότι η µήτρα A έχει n διαφορετικές πραγµατικές ιδιοτιµές ρ1, ρ2, ρn, µε αντιστοιχα ιδιοδιανύσµατα v1, v2, vn. Από τον ορισµό των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων συνάγεται ότι, Av i = ρ i v i, i=1,2,, n (Π1.53) Ορίζουµε ως P τη µήτρα n x n οι στήλες της οποίας είναι αυτά τα n ιδιοδιανύσµατα. Δηλαδή, η µήτρα P ορίζεται ως, [ v n ] P = v 1! (Π1.54) Το σύστηµα των εξισώσεων (Π1.53) µπορεί κατά συνέπεια να πάρει τη µορφή, 14
ρ 1 0 AP = PJ, όπου, J =! (Π1.55) 0 ρ n Δεδοµένου ότι τα ιδιοδιανύσµατα για ξεχωριστές ιδιοτιµές είναι γραµµικά ανεξάρτητα, η µήτρα P είναι µη ιδιάζουσα, και κατά συνέπεια αντιστρέψιµη. Με αυτό το δεδοµένο ισχύει ότι, P 1 AP = J (Π1.56) Κατά συνέπεια µπορούµε να κάνουµε χρήση της (Π1.56) ώστε να µετατρέψουµε το σύστηµα (Π1.52), το οποίο ορίζεται για τις µεταβλητές x, σε ένα σύστηµα το οποίο ορίζεται για τις µεταβλητές y=p -1 x, κάτι που σηµαίνει ότι x=py. Κατά συνέπεια ισχύει ότι, y = P 1 x = P 1 Ax = P 1 APy = Jy (Π1.57) Δεδοµένου ότι J είναι µία διαγώνια µήτρα, η λύση του συστήµατος (Π1.57) µπορεί να βρεθεί εύκολα, ως το διάνυσµα των λύσεων για κάθε µεταβλητή yi, και δίνεται από, y 1 (t) c 1 e ρ 1t! (Π1.58) =! y n (t) c n e ρ nt Τέλος, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µετασχηµατισµό x = Py προκειµένου να επιστρέψουµε στις αρχικές µεταβλητές x1,, xn, σύµφωνα µε, c 1 e ρ 1t x(t) = Py(t) = [ v 1! v n ]! = c (Π1.59) 1 e ρ1t v 1 + c 2 e ρ2t v 2 +!+ c n e ρnt v n c n e ρ nt Έτσι, µε την υπόθεση ότι η τετραγωνική µήτρα n x n A έχει n διακριτές πραγµατικές ιδιοτιµές ρ1, ρn, µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα v1, vn, η γενική λύση του οµογενούς γραµµικού συστήµατος (Π1.52) δίνεται από, x(t) = c 1 e ρ1t v 1 + c 2 e ρ2t v 2 +!+ c n e ρnt v n (Π1.60) Η λύση στις περιπτώσεις µιγαδικών ιδιοτιµών ή πολλαπλών ιδιοτιµών, χωρίς αρκετά ιδιοδιανύσµατα, είναι ανάλογες µε την περίπτωση του οµογενούς συστήµατος δευτέρου βαθµού που αναλύσαµε στο τµήµα Π1.4. Οι τιµές ισορροπίας και οι συνθήκες ευστάθειας ορίζονται µε ανάλογο τρόπο µε τις διαφορικές εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθµού. Υποθέτοντας ότι το διάνυσµα των g αποτελείται από σταθερές, έχουµε το µη οµογενές σύστηµα, 15
x 1(t) a 11 a 1n x 1 (t) g 1! =! "!! (Π1.61) x +! n(t) a n1 # a nn x n (t) g n Το διάνυσµα ισορροπίας, αν υπάρχει, µπορεί να υπολογισθεί θέτοντας τις µεταβολές των x ίσες µε το µηδέν. Το διάνυσµα ισορροπίας υπάρχει αν η µήτρα A είναι µη ιδιάζουσα, και ορίζεται από, 1 x 1 * a 11 a 1n g 1! (A1.62) =! "!! x n * a n1 # a nn g n όπου, xi* υποδηλώνει την τιµή ισορροπίας του xi. Τα xi* αποτελούν τις τιµές ισορροπίας. Αν τα xi είναι προκαθορισµένες µεταβλητές, για να συγκλίνει το σύστηµα στην ισορροπία, όλες οι ιδιοτιµές πρέπει να είναι µικρότερες από το µηδέν. Στην περίπτωση αυτή το διάνυσµα ισορροπίας είναι ένας σταθερός κόµβος. Εάν τα xi είναι p προκαθορισµένες και q µη προκαθορισµένες µεταβλητές, όπου p+q=n, το διάνυσµα ισορροπίας, εάν υπάρχει, είναι ένα σαγµατικό διάνυσµα. Για να συγκλίνει το σύστηµα στην ισορροπία, πρέπει να υπάρχουν p αρνητικές και q θετικές ιδιοτιµές. Οι αρνητικές ιδιοτιµές αντιστοιχούν στις προκαθορισµένες µεταβλητές, που επιλύονται προς τα πίσω, και οι θετικές ιδιοτιµές αντιστοιχούν στις µη προκαθορισµένες µεταβλητές, οι οποίες επιλύονται προς τα εµπρός. Έτσι, ένα σύστηµα µε p προκαθορισµένες και q µη προκαθορισµένες µεταβλητές χαρακτηρίζεται από ευστάθεια αν η µήτρα των συντελεστών έχει p αρνητικές και q θετικές ιδιοτιµές. Η πορεία της προσαρµογής είναι µοναδική, και καλείται µία σαγµατική πορεία. 16
Βιβλιογραφία Boyce W.E. and DiPrima R.C. (1977), Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, New York, Wiley. Chiang A. (1974), undamental Methods of Mathematical Economics, New York, McGraw Hill. Simon C.P and Blume L. (1994), Mathematics for Economists, New York, Norton. 17