ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΝΙΑ (9) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. ) Λ ) Σ ) Λ v) Λ v) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Η ταχύτητα είναι: (t) (t) t t Β. Η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο t=sec είναι: υ()=m/sec Η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο t=sec είναι: υ()=m/sec Β. Το σημείο είναι (στιγμιαία) ακίνητο όταν : (t) (t) t t 6 t t 6 t ή t Άρα το σημείο είναι ακίνητο ύστερα από sec και ύστερα από sec. Β. Το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση όταν η ταχύτητα του είναι θετική, δηλαδή για <t< και t>.επομένως το διάστημα που διανύθηκε από το σημείο είναι: Από t=sec ως t=sec: 8 S ( ) ( ) m Από t=sec ως t=sec: S ( ) ( ) m Από t=sec ως t=sec: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ S ( ) ( ) m Άρα το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο είναι : 8 S S S S m ΘΕΜΑ Γ Γ. α) Η πιθανότητα να πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Β είναι P B P B P B P B,, PB A PA B. Ακόμα γνωρίζουμε ότι PB A PB PA B PA B PB PB A PA B PA B PA B,,. Άρα η πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Α είναι PA B PA PA B,,. Οπότε η πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β είναι AB, AB έ P A B B A PA B PB A Δηλαδή η συνάρτηση που εκφράζει την πιθανότητα του ενδεχομένου να f,,. πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β είναι β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο, ως ρητή πολυωνυμική με. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ f,,. f Ο πίνακας μεταβολών είναι: χ f - + f Η πιθανότητα να συμβαίνει μόνο το Α ή μόνο το Β γίνεται ελάχιστη όταν. Η ελάχιστη πιθανότητα είναι P A B B A f 6 Γνωρίζουμε ότι f f P A B B A PA B PB A PA PA B PB PA B P A B P A B P A B P A B ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ. Έστω Φ η συνάρτηση που εκφράζει την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιείται μόνο το Α. Οπότε θα είναι PA B,,., Η συνάρτηση Φ είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο ως ρητή πολυωνυμική με,, Η εφαπτομένη (ε) της καμπύλης της Φ στο σημείο Μ με τετμημένης είναι κάθετη στην ευθεία δ με εξίσωση y 8 y. 6 9 ή δηλαδή ή θα είναι. Επειδή, τότε έχουμε PA B PA B PA B είναι η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενό Α. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ. α) Η πιθανότητα να πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α, Β είναι PA B,,. Επομένως έχουμε B P A άρα: A B. Οπότε τα ενδεχόμενα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Η πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Α εκφράζεται από την συνάρτηση Φ με τύπο,, Η συνάρτηση Φ είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο (, ) ως ρητή πολυωνυμική με.. Άρα η συνάρτηση Φ είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε η πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο το ενδεχόμενο Α διαρκώς μειώνεται. Γ. Είναι g,, η συνάρτηση που εκφράζει την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β. Ακόμα είναι P A P A PA PA P A PA 9 8 9 PA P A P A διότι Άρα: P A. P A P A P A B g 6 Δηλαδή Οπότε η πιθανότητά να μην πραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι PA B PA B. 6 6.. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Δ Δ.,, % 68, 8 8% Το δείγμα Γ ακολουθεί την κανονική κατανομή. % %. %. %. %.%. %. % s s s s s s Από την κανονική κατανομή καταλαβαίνουμε ότι το,% των παρατηρήσεων έχουν τιμή s και το 8% έχουν τιμή μικρότερη του συνεπώς: μικρότερη του συνεπώς: s s s. Λύνουμε το σύστημα: s s s 8 s 9 Το,% των παρατηρήσεων του δείγματος βρίσκεται κάτω από την τιμή: s 9 Έστω α το αριστερό άκρο της ης κλάσης του δείγματος Γ και c το πλάτος των κλάσεων. Θα ισχύει ότι: c c 9 c c και άρα: α= ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Συνεπώς οι κλάσεις του δείγματος είναι:, 7, 7 9, 9, Δ. f e άρα, με f e f, f άρα:. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι:. Έστω : y η ζητούμενη εφαπτομένη της C f Συνεπώς : y. 8 έχουμε y 8 6 Έστω : y η ζητούμενη ευθεία. Επειδή: συνεπώς: άρα: 6 8. 86, Συνεπώς : y y έχουμε: της ευθείας (ε) με τον χ χ για Δ. ) Το πολύγωνο συχνοτήτων είναι: άρα:, άρα: y έχουμε. Ομοίως για το σημείο τομής συνεπώς:, v ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 8ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Οι κεντρικές τιμές του δείγματος είναι:, 6, 8,, Από το πολύγωνο συχνοτήτων παρατηρούμε ότι: έχουμε: 6 έχουμε: y άρα: y 6 άρα: 8 έχουμε: y 8 6 άρα: 6 έχουμε: y άρα: έχουμε: y άρα: Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι:. [ ) v v v - 8-6 -7 6-6 7-9 6 8 8 9-6 - 6 ΣΥΝΟΛΑ 8 96 ) Η μέση τιμή των τιμών του δείγματος είναι: διακύμανση: 6 s v 96 6 s v 8 Δ.) Η ευθεία (ε) είναι: y v 8 v 8 ενώ η συνεπώς η τυπική απόκλιση είναι:. Αν t,t,...,t οι 8 παρατηρήσεις του δείγματος 8 Γ οποίες είναι οι τετμημένες των ευθειών (ε) με μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση: s. Συνεπώς για τις τεταγμένες των σημείων t,y οι της ευθείας (ε) από γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου θα ισχύει: y 8 6 και ΤΕΛΟΣ 8ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ
s y ΑΡΧΗ 9ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ s. Όμοια για τις τεταγμένες των σημείων εξίσωση t,z z έχουμε ότι: z 8 6 και s t,y ) Οι νέες τιμές της των τεταγμένων των σημείων z της ευθείας (η) με s της ευθείας (ε) μετά την προσθήκη της σταθεράς c είναι: y y c, y y c,...,y y c. 8 8 Οπότε έχουμε: y y c 6 c και τεταγμένων της ευθείας (ε) λιγότερο ομοιογενές από t,z σημείων C.V y z C.V A B της ευθείας (η) θα πρέπει να ισχύει: s y s z s 6 c y s. να είναι το δείγμα των νέων y 6 το δείγμα των τεταγμένων των 6 c 6 6 6 c 6 c.συνεπώς η μέγιστη τιμή του c είναι: c. ΤΕΛΟΣ 9ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ