ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΛΥΣΕΩΝ: Φ. ΚΑΛΑΦΑΤΗΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 009 ΙΟΥΛΙΟΣ 013 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέμα 1 ο Δίνονται οι πίνακες: 1 0 1, 3 1 0 1, 1 4 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 009 C 3 7 1, D 3 0 5 1 1, 1 0 0 1 1 0 1 1 (i) Να εκτελεστούν, όπου είναι δυνατόν οι παρακάτω πράξεις. Στις περιπτώσεις που οι πράξεις δεν ορίζονται να αιτιολογηθεί. Α+Β, Α+D, B-C, AB, C, AC, A (ii) Να δοθεί ο ανάστροφος του πίνακα Ε (Ε Τ ) και να γίνει έλεγχος για την ύπαρξη του αντιστρόφου του. Αν υπάρχει να υπολογιστεί. (iii) Να γίνει έλεγχος για την ύπαρξη του αντιστρόφου του C (C -1 ). Αν υπάρχει να υπολογιστεί. (i) Παρακάτω δίνονται μόνο οι επιτρεπτές πράξεις: Α+D= 1 0 3 0 1 0 3 0 3 3 1 5 1 1 5 1 11 7 3 0 3 1 1 0 3 0 1 0 8 5 7 ΑΒ= 0 1 1 6 0 1 4 7 0 1 4 3 7 3 7 9 7 114 16 7 C = 1 1 3 7 4 1 11
(ii) Ο ανάστροφος ενός ν μ πίνακα Α= ( ) είναι ο μ ν πίνακας που προκύπτει με την μετατροπή των γραμμών σε στήλες, A T = ( ). 1 1 1 0 1 0 0 1 Αρχικά υπολογίζουμε την ορίζουσα του Ε. 1 0 0 1 0 det 1 1 0 1 0 1 1 1 Επομένως ο πίνακας έχει αντίστροφο αφού det 0. det 1 1 1 0 11 11 ( 1) 1, 1 0 0 1 1 ( 1) 0, 1 0 0 31 31 ( 1) 0, 1 0 Επομένως έχουμε: 1 0 1 1 ( 1) 1, 1 1 1 0 ( 1) 1, 1 1 1 0 3 3 ( 1) 0, 11 1 31 1 0 0 1 1 0 1 3 13 3 33 1 1 1 0 0 1 1 1 0 det 1 1 1 1 0 ij ji 1 1 13 1 13 ( 1) 1 1 0 3 1 3 ( 1) 1 0 33 1 1 33 ( 1) 1
(iii) Αρχικά υπολογίζουμε την ορίζουσα του C. 3 7 det C 6 7 13 0 1 Επομένως ο πίνακας έχει αντίστροφο αφού det C 0. C C det C 1 1 11 C 11 ( 1) ( ), 1 C 1 ( 1) 7 7, Επομένως έχουμε: C11 C1 7 C C1 C 1 3 1 C 1 ( 1) 1 1 C ( 1) 3 3 1 1 7 1 7 C 13 1 3 13 1 3
Θέμα ο Να λυθεί το παρακάτω σύστημα: ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 009 y z 7 3y z 1 3 y 3z Αρχικά υπολογίζουμε την ορίζουσα του συστήματος: 1 1 3 1 1 3 D 3 1 3 3 3 3 3 3 9 (6 3) ( 4 9) 9 310 0 0 Δεδομένου ότι είναι D 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση: D, D D D y y, D z D z D 7 1 3 1 1 1 1 3 1 3 1 7 3 3 3 7 ( 9 ) ( 3 ) ( 6) 49 1 8 40 D 40 D 0
D y 1 7 1 1 1 1 1 1 7 3 3 3 3 3 3 3 7 (6 3) ( 4 3) 3 1 0 D y 0 y 1 D 0 D z 1 1 7 3 1 1 3 3 1 7 3 3 3 6 ( 4 3) 7 ( 4 9) 6 135 40 D z 40 z D 0
Θέμα 3 ο ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 009 Να υπολογιστούν οι πρώτες παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: (i) f ( ) (ii) g( ) e ln 1 1 (iii) h( ) (i) Η παράγωγος της f είναι: f ( ) ( ) ( 1) (ii) Η παράγωγος της g είναι: 1 e g ( ) e ln e ln e (ln ) (iii) Η παράγωγος της h είναι: 1 1 1 1 ( ) h 1 3 1 1 3 1 1 3
Θέμα 4 ο Δίνεται η συνάρτηση: Να βρεθούν: ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 009 f ( ) 3 3 (i) Τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα αν υπάρχουν. (ii) Τα διαστήματα που είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής αν υπάρχουν. (i) Αρχικά υπολογίζουμε την 1 η παράγωγο της συνάρτησης f( ). 3 f ( ) 3 3 6 Έχουμε ότι: ( ) 0 3 6 0 3 ( ) 0 0 ή f Τ.Μ. στο o =0 το f (0) 0, Τ.Ε. στο o = το f () 4.
(ii) Υπολογίζουμε την η παράγωγο της συνάρτησης f( ). f ( ) 3 6 6 6 Έχουμε ότι: f ( ) 0 6 6 0 1 Για <1 είναι Για >1 είναι Σ.Κ. (1, f (1)) f ( ) 0 που σημαίνει ότι η f είναι κοίλη στο (,1] f ( ) 0 που σημαίνει ότι η f είναι κυρτή στο [1, )
Θέμα 5 ο ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 009 Το κόστος σε /km σωλήνα που τροφοδοτεί με νερό ένα απομακρυσμένο 48 εργοστάσιο δίνεται από τη συνάρτηση ( ) 1, όπου η διατομή του σωλήνα σε cm. Να βρεθεί η διατομή του σωλήνα για την οποία το κόστος γίνεται ελάχιστο και η ελάχιστη τιμή κόστους ανά km. Αρχικά υπολογίζουμε την 1 η παράγωγο της συνάρτησης ( ). 48 48 ( ) 1 1 Έχουμε ότι: 48 48 ( ) 0 1 0 1 1 48 4 cm 48 Η ελάχιστη τιμή του κόστους θα είναι: () 1 4 4 48 /km.
Θέμα 1 ο Δίνονται οι πίνακες: Να υπολογισθούν: i) Α-3Β, ii) Α+Β T, iii) ΓΒ 05-07-013 1 1 3, 1 4 3, 1 1 0 3 1 i) Α-3Β= 1 1 3 1 3 6 5 5 1 3 4 3 1 3 1 9 11 6 ii) Α+Β T 1 1 4 4 1 4 3 6 = 1 3 3 6 3 4 9 1 1 1 4 3 5 1 1 iii) ΓΒ= 0 0 4 0 4 4 3 3 1 3 4 6 3 1 9
Θέμα ο Δίνεται ο πίνακας: 05-07-013 1 1 0 1 0 1 1 0 i) Να υπολογισθεί η ορίζουσα του πίνακα με τον κανόνα του Sarrus. ii) Να υπολογισθεί η ορίζουσα του πίνακα με τον γενικό τρόπο. iii) Είναι ο πίνακας αντιστρέψιμος ή όχι και γιατί; i) Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα Α με τον κανόνα του Sarrus εκτελούμε υπολογισμούς όπως παρακάτω. det 11 33 1 3 31 13 1 3 31 13 3 3 11 33 1 1
Στην περίπτωσή μας και με τη βοήθεια του παραπάνω κανόνα έχουμε: 1 1 det 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 ii) Με τον γενικό τρόπο υπολογισμού ορίζουσας έχουμε ότι: 1 1 1 0 0 0 0 1 det 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 iii) Ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος γιατί είναι det 0.
Θέμα 3 ο 05-07-013 Να λυθεί με χρήση οριζουσών το σύστημα: 4 1 1 1 Αρχικά υπολογίζουμε την ορίζουσα του συστήματος: 4 1 D 4 1 3 0 1 1 Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση: D, y D y D D 1 1 D 1 1 1 4 1 Dy 81 7 1 Άρα έχουμε ότι: D 1 και D 3 D y 7 y D 3
Θέμα 4 ο Να υπολογισθεί το όριο: Έχουμε ότι: lim 0 0 1 1 lim 05-07-013 lim 1 1 3 1 lim 3 3 3 1 3 1 1 3 1 1 3 lim 3 4 1 1 1 1 lim 1 3 11 13 4 8
Θέμα 5 ο 05-07-013 Να παραγωγισθούν: i) (3 ) e 4, ii) i) Έχουμε ότι: ln( 1) (3 ) e 4 (3 ) e (3 ) e 4 3 e (3 ) e (3 ) 4 e ( (3 ) 3 (3 )) 4 ii) Έχουμε ότι: ln( 1) ln( 1) 3 3 ln( 1) 3 6 3, iii) (31) 3 e 3 3 ln( 1) 4 1 3 ( 1) ln( 1) 3( 1) ln( 1) 6 6 4 ( 1) ( 1) iii) Έχουμε ότι: (3 1) (3 1) (3 1) 3 3 e e e 3 1 (3 1) 3 (3 1) (3 1) 3 1 3 (31) 3 3 e e ( ) 3 e e ( ) ( ) 3 (31) (31) (31) (31) 3 1 (31) 9 e e e (9 ) 3e e 3 3 3 3 3 3
Θέμα 6 ο 05-07-013 Να βρεθούν τα ακρότατα (και τι είδους) της συνάρτησης Για =1.5, έχουμε ή όχι σημείο καμπής; Αρχικά υπολογίζουμε την 1 η παράγωγο της συνάρτησης f( ). 1 3 5 f ( ) 5 3 Έχουμε ότι: f ( ) 0 5 0 (5 17) ή 1 Υπολογίζουμε την η παράγωγο της συνάρτησης f( ). f ( ) 5 5 1 5. 3 3 f ( ) 1 (5 17) f ( ) 0 5 0.5 Άρα για =1.5 δεν έχουμε σημείο καμπής αφού αυτή η τιμή δεν είναι ρίζα της f ( ) 0.
Άσκηση 1 Να υπολογιστεί τα παρακάτω όριο: Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παρατηρούμε ότι το 4 αποτελεί ρίζα τόσο του αριθμητή, όσο και του παρονομαστή, επομένως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα το όριο γιατί προκύπτει απροσδιοριστία της μορφής. Θα εργαστούμε επομένως ως εξής:
Άσκηση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να γίνει η διερεύνηση του παρακάτω συστήματος και να βρεθούν αν υπάρχουν οι λύσεις του. y z 0 4 y z 1 3 y z Το παραπάνω σύστημα είναι γραμμικό σύστημα 33. Έχουμε ότι: 1 1 1 1 4 1 4 1 D 4 1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 1 ( 1) ( 4 3) 1 (8 3) 3 ( 1) 11 3 11 1 Επομένως είναι D 0, που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση. Έχουμε ότι: D 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 (1 ) 1 ( ) ( 1) 1 ( 4) 4 6
D y 1 0 1 1 1 4 1 4 1 4 1 1 1 0 1 1 3 1 3 3 1 1 (1 ) 1 (8 3) 1 ( 1) 15 1 5 6 D z 1 0 1 1 4 1 4 1 4 1 1 1 0 3 3 3 1 ( ) (8 3) 14 5 4 10 6 Επομένως έχουμε ότι: D 6 1, D 1 Άρα είναι: 1 1 1 (, y, z) (,, ) D y 6 1 y, D 1 D z 6 1 z D 1
Άσκηση 3 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν το παρακάτω σύστημα έχει μοναδική λύση και αν έχει να λυθεί. 3y 4z 3 4 3y 4z 0 6y 8z 1 Το παραπάνω σύστημα είναι γραμμικό σύστημα 33. Έχουμε ότι: 3 4 3 4 4 4 4 3 D 4 3 4 3 4 6 8 8 6 6 8 (4 4) 3( 3 8) 4(4 6) 48 3 ( 4) 430 96 7 10 88 Επομένως είναι D 0, που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση.
Έχουμε ότι: D 3 3 4 3 4 0 4 0 3 0 3 4 3 3 4 6 8 1 8 1 6 1 6 8 3(4 4) 3(0 4) 4(0 3) 348 1 1 144 D y 3 4 0 4 4 4 4 0 4 0 4 3 4 1 8 8 1 1 8 (0 4) 3( 3 8) 4(4 0) 4 3 ( 4) 16 8 7 16 96 D z 3 3 3 0 4 0 4 3 4 3 0 3 3 6 1 1 6 6 1 ( 3 0) 3(4 0) 3(4 6) 6 1 330 18 90 7 Επομένως έχουμε: D 144 1, D 88 Άρα είναι: 1 1 1 (, y, z) (,, ) 3 4 D y 96 1 y, D 88 3 D z 7 1 z D 88 4
Άσκηση 4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν οι α, β ώστε η συνάρτηση 3 f ( ) 6 1, να δέχεται τοπικό ακρότατο στα σημεία o =1 και o =-. Να προσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων. Αρχικά υπολογίζουμε την 1 η παράγωγο της συνάρτησης: 3 f ( ) 6 1 3 6 Έχουμε ότι: 1 f (1) 0 3 6 0... 3 f ( ) 0 1 4 6 0 Υπολογίζουμε την η παράγωγο της συνάρτησης: f ( ) 3 6 6 f (1) 9 0 (Τ.Ε. στο o =1) και f ( ) 9 0 (Τ.Μ. στο o =-)
Άσκηση 5 Δίνεται η συνάρτηση: 1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ln f( ) ) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f. Διατυπώστε το κριτήριο της ης παραγώγου. Να χαρακτηρίσετε τα κρίσιμα σημεία της f (τοπικό μέγιστο/ελάχιστο). 1) Πρέπει να ισχύει ότι: 0 Επομένως υπό τη μορφή διαστήματος είναι: (0, ) ) Αρχικά υπολογίζουμε την 1 η παράγωγο της συνάρτησης: 1 ln ln ln ln f ( ) ln 1ln 4 4 4 3 Κατόπιν βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία: 1 ln ( ) 0 0 1 ln 0 f 3 1 1 ln ln 1 ln e e e
Κριτήριο ης Παραγώγου (για τοπικά ακρότατα) Ας είναι y=f() µία συνάρτηση ορισµένη στο [a, b], παραγωγίσιµη στο (a, b) και ο ένα κρίσιµο σηµείο της f, στο οποίο υπάρχει η δεύτερη παράγωγος της f και είναι διάφορη του µηδενός. Τότε : αν f ( o )>0, τότε η f έχει τοπικό ελάχιστο στο o. αν f ( o )<0, τότε η f έχει τοπικό μέγιστο στο o. Επομένως έχουμε: f 1 ln 3 1 ln 3 1 ln ( ) 3 6 3 3 1 ln 3 6 ln 5 6 ln 5 6 ln 6 6 6 4 f 5 6ln e 5 6ln e 5 3 ( e) 0 4 e e e e Συμπέρασμα: Η f έχει τοπικό μέγιστο στο o 1 e το f( e) ln e 1 e e