ε ν [ηπ] τ κ ς κ ησ ε ε ς π σ [θη] τ κω ν[σ] ου ν υ [ η] τ κ κ. [ ] ε M a
M a [ η] κ. [ ] ε τ κ / 56
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ... 4 ο ΚΕΦ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ... 4 ΥΝΑΜΕΙΣ.... 7 ΡΙΖΕΣ... 0 ΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ... M a 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ... [ η] τ κ ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ... 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ... 7 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ.... 9 κ. [ ] ε ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ... 5 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 9 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ... 44 ο ΚΕΦ. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ... 46 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ... 49 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 5 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=χ+β... 55 / 56
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ο ΚΕΦ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ) Ν κάνετε ένν άξον χ Οχ κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθούς: 0,, -, π, -π,, β) Ν υποοίσετε τις πόυτες τιές των πρπάνω ριθών. ) Ν υποοίσετε το άθροισά τους κι το ινόενό τους.. Κθειά πό τις πρκάτω προτάσεις πορεί ν είνι σωστή, πορεί όως ν είνι άθος. Γράψτε δίπ πό κάθε πρότση το Σ ν υτή είνι σωστή κι το Λ ν υτή είνι άθος. Ο ριθός χ είνι ένς ρνητικός ρητός ριθός. Ο ριθός χ είνι ο ντίθετος του ριθού χ κι πορεί ν είνι θετικός ή ρνητικός ν ο χ είνι ρνητικός ή θετικός ντίστοιχ... Οι ντίθετοι ριθοί έχουν ντίθετες πόυτες τιές.. Οι ντίθετοι ριθοί έχουν την ίδι πάντ πόυτη τιή φού υτή εκφράζει την πόστση των σηείων του άξον στ οποί υτοί πίνουν πό την ρχή του... Η πόυτη τιή ενός ριθού είνι πάντ η ρνητικός ριθός. Η πόυτη τιή ενός ριθού πορεί ν είνι κι ρνητικός ριθός... Ο ντίθετος του χ είνι ίσος ε το ινόενο του ε τον χ δηδή χ = (-) χ Οι οόσηοι ριθοί έχουν ινόενο ριθό οόσηο υτούς. Οι οόσηοι ριθοί έχουν ινόενο ένν θετικό ριθό. Οι ετερόσηοι έχουν ινόενο ένν ρνητικό ριθό. Οι ντίθετοι ριθοί έχουν ινόενο ρνητικό ριθό. Αν ένς ρητός ριθός τότε = κι 0 = 0. Οι ντίστροφοι ριθοί έχουν ινόενο 0 Οι ντίστροφοι ριθοί έχουν ινόενο Οι ντίστροφοι ριθοί έχουν ινόενο κ.. [ ]ε Σε κάθε ι πό τις πρκάτω προτάσεις επιέξτε το σωστό συπέρσ συπηρώνοντς τον πίνκ που κοουθεί.. Το ινόενο δύο ριθών είνι ρνητικός ριθός Α. Οι ριθοί είνι ρνητικοί. Β. Οι ριθοί είνι οόσηοι. Γ. Οι ριθοί είνι ετερόσηοι.. Οι ριθοί είνι θετικοί.. Το ινόενο δύο ριθών είνι ριθός θετικός. Α. Οι ριθοί είνι ρνητικοί. Β. Οι ριθοί είνι οόσηοι. Γ. Οι ριθοί είνι ετερόσηοι.. Οι ριθοί είνι θετικοί.. Έστω οι ρητοί ριθοί, β, ώστε β = Α. Οι ριθοί, β, είνι ντίστροφοι. Β. Οι ριθοί, β, είνι οόσηοι. 4 / 56
Γ. Ο ριθός είνι ντίστροφος του β.. Ο ριθός είνι ντίστροφος του β. 4. Έστω οι ρητοί ριθοί, β ώστε - ( + β) = 0. Α. Οι ριθοί, β είνι ντίστροφοι. Β. Οι ριθοί, β είνι 0. Γ. Ο ριθός είνι ντίθετος του β.. Ισχύει + β =. 5. Το ινόενο κι το άθροισ δύο ριθών είνι ριθός θετικός. Α. Οι ριθοί είνι ρνητικοί. Β. Οι ριθοί είνι οόσηοι. Γ. Οι ριθοί είνι ετερόσηοι.. Οι ριθοί είνι θετικοί. Πρότση 4 Σωστό συπέρσ 4. 5. 5 Γνωρίζοντς ότι β = - κι χ + ψ = 7 ν υποοίσετε τις τιές των πρκάτω πρστάσεων ε την βοήθει της επιεριστικής ιδιότητς: Π = - + β +5χ +5ψ Π = 4. (χ + ψ + 5) - 0β Π = + - 5β + 7χ + ψ +5ψ Π4 = β + χ + 8ψ ψ + 4χ Π5 = χ +ψ χβ ψβ Κθειά πό τις πρκάτω προτάσεις πορεί ν είνι σωστή, πορεί όως ν είνι άθος. Γράψτε δίπ πό κάθε πρότση το Σ ν υτή είνι σωστή κι το Λ ν υτή είνι άθος. Γι δύο ρητούς ριθούς κι β διφορετικούς πό το 0 ισχύει: : β = β : Γι τον ριθό διφορετικό του 0 ισχύει: 0 : = 0.. Γι τον ριθό ισχύει: : 0 =.. Γι τον ριθό διφορετικό του 0 ισχύει: : (-) = -.. Γι τον ριθό διφορετικό του 0 ισχύει: : =.. Γι τον ριθό ισχύει: : =.. Γι τον ριθό διφορετικό του 0 ισχύει: - : (-) = -.. Γι τον ριθό ισχύει: : (-) = -.. Το πηίκο : β ε β διφορετικό του 0 πριστάνει το ινόενο του ε τον ντίστροφο του β... 6. Συπηρώστε τις πρκάτω προτάσεις: χ. = τότε χ =.. -. χ = τότε χ =.. χ : (-) = - τότε χ =.. : χ = - τότε χ =.. Οι ντίθετοι ριθοί έχουν πηίκο 7. Έστω κ, δύο κέριοι ριθοί ε ινόενο -. ) Ν συπηρώσετε τον πρκάτω πίνκ τιών ι τους κ, : Τιή του κ Τιή του β) Ν υποοίσετε το άθροισ των κ,. κ. [ ]ε 5 / 56
8. Ν υποοίσετε τις τιές των πρκάτω πρστάσεων. 5 Π = :, :( + ) χ(ψ ) ψ( + χ) χ ψ Π = :( 5), 7 + 4 7 Π = + 9. 0.. Ν ίνουν οι πράξεις 4 + ) 5 5 M 7 β) + : 4004 + ) a + : 8 6: [ η] τ κ ( ) ( 5) ( 0) : ( ) ( ) 4 κ. [ ] ε Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: Π = (00 + 96 + 9 + + 8 + 4 ) (98 + 94 + 90 +.+ 6 + ) (Ε.Μ.Ε. 999) Αν ι τους ριθούς, β ισχύει: + β =, ν υποοίσετε τις τιές των β πρστάσεων: Α = β + β 4 β, Β =, Γ = β β 4β 6 / 56
ΥΝΑΜΕΙΣ... 4. 5. 6. 7. Ν συπηρώσετε τις ισότητες : ) 4 = β) (-) = ) - = δ) (-)4 = Οοίως: Αν ν: άρτιος, τότε (-)ν = Αν ν: περιττός, τότε (-)ν = Αν κ + =, τότε ποι πό τις πρκάτω ισότητες είνι σωστή; Α.: κ = Β.: κ + 0 Γ.: = 0.: 0 κι κ = - Αν 0, τότε : () = Α.: Β.: Γ.: Επιέξτε την σωστή πάντηση..: Αν 5χ = (-5)χ, τότε o κέριος ριθός x είνι.. Α.: Β.: - Γ.: ένς περιττός κέριος.: ένς άρτιος κέριος Επιέξτε την σωστή πάντηση. ίνοντι οι δυνάεις: (-x)-ν, (-xν)-, (-x-ν)-, όπου ν: φυσικός ριθός. ) Γι ποιες τιές του πρτικού ριθού x ορίζοντι ; β) Ν βρείτε ν είνι ρνητικοί ή θετικοί ριθοί. ) Προσθέστε τις πρώτες. Τι ριθοί είνι; δ) Ποπσιάστε τις τεευτίες. Τι ριθοί είνι ; 8. Στις πρκάτω προτάσεις επιέξτε τη σωστή πάντηση: κ. 5ν + - 5ν + = Α.: 5ν + Β.: 5ν Γ.: 4 5ν + [.: 5 ]ε Ε.: 5(ν + ):(ν + ) 4 ν + - 0 ν + = Α.: -6 ν + Β.: -6 ν + 5 Γ.: -6 ν + 5.: 8 ν + Ε.: ν + 4ν + +6 (-)ν + = Α.: ν + Β.: (- )(ν + ) Γ.: 4 ν + 9. 0..: (-)ν Ε.: (-)ν + Ν υθεί η εξίσωση (/)x = (/)x Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης Α = (ν + 4-6 ν + ) (ν + 7)-. Εξρτάτι η τιή της, π την τιή του φυσικού ριθού ν; 7 / 56
... 4. Ν υποοίσετε τις δυνάεις: Α = [(-)-] Β = [-(-)] Γ = - [(-)] = (-) (-) Ε = (-) Ν ράψετε τους πρκάτω ριθούς ως δυνάεις ε βάση το ή το. Α= Β = 6 Γ = - = /8 Ε = -/8 Ν βρείτε το x σε κάθε περίπτωση: Α) x = 6 Β) 5x = 5 Γ) x = 7 6. Ε) x 5x = 00 Προσπθήστε ν ράψετε τις πρστάσεις που κοουθούν, εφρόζοντς τις ιδιότητες των δυνάεων, σε ινόενο πρώτων πρόντων, όπως στο πράδει: 9 84 50 5 = () ( )4 ( 5) 5 = 6 4 ()4 5 5 = 6 4 8 5 5 = 6+8 4+ 5+ = 4 5 55 (-) 6 4 A = 85 7 [( ) ] [ ( 6) ] Β= ( ) ( ) 0 000 5 ( 6) 4 Γ= ( ) ( ) 5 5. ) x 5x = 5 = ( 000) (000 ) 0 5 ( 6) 5 ( 8) Ε= ( ) ( 50) 000 7 ( 4) κ. [ ]ε Εφρόζοντς ιδιότητες δυνάεων ν ράψετε σε πιο πή ορφή τις πρστάσεις: Α = (x- x-)- Β = (x x4 x5) (x-6:x) Γ = (x4:x):(x:x) = x7:(x5:x) E = [(x-)-]-:[x-6:x-0] Ν ύσετε τις εξισώσεις: Α) 8x = 4 Β) (-6)x- = Γ) 7-x = 8 ) (-)-x = -8 Ε) ( x)004 = 0 8 / 56
7. Εφρόζοντς ιδιότητες δυνάεων ν ράψετε σε πούστερη ορφή τις πρστάσεις κι στη συνέχει ν τις υποοίσετε A= - x y (x y ) (x y ) 4 4 (x y ) B = 8. 9. 0.. (x y) (x y ) (x y ) (x y ) x = (-0) ι ι κι y = -06. x = (-)- κι y = - x = 05 κι y = (-0,)- Γ= (x y ) (x y ) 4 (x 5 : y ) (x y ) = (x - : y ) x 4 ( y : x ) : y 6 ι x = - κι y = -44 Ε= (x - : y ) x y 6 : ( x ) ι χ = - κι y = - ι Αν x =, y = κι ψ χ = ()x + y, ν υποοίσετε την τιή της πράστσης x- + y-, όπου οι ριθοί, x, y είνι θετικοί πρτικοί, ν -ν - ν - - Έστω ότι ισχύει : [ 9 ( ) 7 ] ( ) = 7, όπου, ν φυσικοί ριθοί. Ν ποδείξετε ότι οι ριθοί κι ν είνι διδοχικοί φυσικοί. Μί πά ότν πέφτει πό κάποιο ύψος νπηδά κι φτάνει στο ισό υτού του ύψους. Αφήνουε την πά ν πέσει πό κάποιο ύψος χ. ) Ν υποοίσετε σε σχέση ε το χ το ύψος που θ φτάσει η πά ετά πό: νπήδηση. νπηδήσεις. νπηδήσεις. ν νπηδήσεις. β) Αν φήσουε την πά πό ύψος m ν βρείτε ετά πό ποι νπήδηση θ φτάσει σε ύψος 6,5 cm. ) Ν υποοίσετε πό ποιο ύψος φήσε την πά ν πέσει ν ετά την 0η νπήδηση έφτσε στ -9 m. κ. [ ]ε είνι ίσο ε τη Ν δείξετε ότι το άθροισ 9 + 99 + 999 +...999...9 009 9άρι διφορά:...0 009 009.. 4. Ν υποοίσετε τους ριθούς, β ν νωρίζετε ότι: β = κι β = --. Αν χ = κι ψ = β κι βζ = δείξτε ότι ένς τουάχιστον πό τους χ, ψ, ζ είνι ίσος ε 0. Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης (50.80.7-5):(09.5) 9 / 56
ΡΙΖΕΣ. 5. Ν συπηρώσετε τις ισότητες : ) 0, 04 =... β) 5 =... 6. ) 06 =... δ) 6 =... Συπηρώστε τις προτάσεις: Αν = x ε, χ η ρνητικούς ριθούς τότε ισχύει.. Αν Αν Αν οποιοσδήποτε ριθός τότε Αν 0 τότε Αν 0 τότε 7. = τότε ο ριθός πρέπει ν είνι =, τότε ο ριθός πρέπει ν είνι ( ) =... =... =... Αν x 0 κι 5 = x τότε x =... Αν x=5 κι x 0 τότε x=. Αν x=5 κι x<0 τότε x=. ) 0, 0 0.08 =... β) 00 00 =... 8. Ν υποοίσετε τις τιές των πρστάσεων : ) 5 6 00 =... =... δ) ) Ν νύσετε τους ριθούς 8,, 8, 0, 7 σε ινόενο πρώτων πρόντων. β) Στον πρκάτω πίνκ ν ντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήης του σε έν όνο στοιχείο της β στήης του συπηρώνοντς τον επόενο πίνκ. Αριθός Τετρωνική ρίζ ριθού 8 κ. [ ]ε 8 0 7 5 Αριθός Τετρωνική ρίζ του ριθού 9. Ν υποοίσετε την τιή των πρστάσεων: Α = ( 5 + 5 + 5) 5 Β = 8 4 + 8 Γ= 0 / 56 50 = 8 6 700 Ε= ( 75 + 5 ) 0
40. Έστω οι θετικοί ριθοί, χ ι τους οποίους ισχύει χ χ = ) Ν δείξετε ότι ισχύει χ = β) Αν χ = ν υποοίσετε την τιή της πράστσης 4. Έστω οι θετικοί ριθοί, β, ι τους οποίους ισχύει: = β +. β + β β Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: 4. Ν υποοίσετε τις τιές των πρκάτω πρστάσεων: Α = + 4 + + 5 + 00 8 Β= 4. 4 9,5 Ν υποοίσετε τους νώστους χ, ψ, ω ν χ = 00, ψ χ = 90, χψ ω = 44. Αν το τετράωνο ενός ρνητικού ριθού χ είνι 5, ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: Α= (χ χ ) + 5 45. Ν ράψετε τις πρκάτω πρστάσεις ε ρητό προνοστή = = = 0 45 80 8 κ. [ ]ε 46. Ν κάνετε τις πράξεις: ( δ) ( ) )( + β ) + )( β β) ) ( ( ε) )( + ) β )( + β ) ( )( ) + 5 5 ) / 56
47. Ν ράψετε τις πρκάτω πρστάσεις χωρίς προνοστή ) β) + + 5 ) 5 β δ) β 48. Ν ράψετε τις πρκάτω πρστάσεις ε ρητό προνοστή ) 5 β) 6+ 4+ 5 ) 4 5 δ) β 49. Ν υποοίσετε την τιή των πρκάτω πρστάσεων: Α= Β= ( + + 5+ + )( )( 5 + 4 κ. 50. ) [ ]ε Το εβδόν ενός ορθοωνίου είνι 4 cm. Η ί του διάστση είνι ) Ν υποοίσετε την άη διάστσή του. β) Ν δείξετε ότι η περίετρός του είνι 4 5 cm. 5 cm 5. Ν δείξετε ότι η τιή της πράστσης: Π= 7 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 0 4 5 είνι ίση ε 7. 5.. Ν υποοίσετε το τετράωνο της πράστσης: + β. Ν βρείτε την τετρωνική ρίζ της πράστσης: 5 + 6 5. Ν υποοίσετε την τιή των πρκάτω πρστάσεων: + Α= 4 + +... + Β= 4 4 5 99 00 / 56
54. 55. Έστω, β δύο ρνητικοί κέριοι ριθοί ι τους οποίους ισχύει: 4 = β. β Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: 009 + Ν υποοίσετε την τετρωνική ρίζ του ριθού:. M a [ η] κ. [ ] ε τ κ / 56
ΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. 56. 57. ) Έστω, β δύο θετικοί πρτικοί ριθοί ε >β. Ν τοποθετήσετε στο κενό ( ) το κτάηο σύβοο (>, <, =) : +β 0 β 0 β 0 0 β β 0 - β 0 (-β) 0 (β ) 0 + β 0 β) Έστω, β δύο ρνητικοί πρτικοί ριθοί ε >β. Ν τοποθετήσετε στο κενό ( ) το κτάηο σύβοο (>, <, =) : +β 0 β 0 β 0 0 β β 0 - β 0 (-β) 0 (β ) 0 + β 0 Ν συπηρώσετε τις πρκάτω : «προκύπτει κ. προτάσεις [ ε ί]πό ε τις εκφράσεις νισότητ ε την ίδι φορά», «προκύπτει νισότητ ντίθετης φοράς» ή «δεν πορούε ν νωρίζουε ν προκύπτει νισότητ ίδις ή ντίθετης φοράς» : 4 / 56 Αν κι στ δύο έη ις νισότητς προσθέσουε τον ίδιο ριθό τότε Αν κι στ δύο έη ις νισότητς φιρέσουε τον ίδιο ριθό τότε Αν κι στ δύο έη ις νισότητς ποπσιάσουε τον ίδιο ριθό τότε Αν κι στ δύο έη ις νισότητς ποπσιάσουε τον ίδιο θετικό ριθό τότε Αν κι στ δύο έη ις νισότητς ποπσιάσουε τον ίδιο ρνητικό ριθό τότε Αν κι στ δύο έη ις νισότητς διιρέσουε τον ίδιο θετικό ριθό τότε Αν κι στ δύο έη ις νισότητς διιρέσουε τον ίδιο ρνητικό ριθό τότε Αν προσθέσουε κτά έη δύο νισότητες της ίδις φοράς τότε Αν φιρέσουε κτά έη δύο νισότητες της ίδις φοράς τότε
58. 59. M a Το άθροισ δύο θετικών ριθών είνι ριθός 0 ( ) ) Ν τοποθετήσετε στο κενό ( ) το κτάηο σύβοο (>, <, =) : Αν ένς θετικός ριθός τότε 0 Αν ένς ρνητικός ριθός τότε 0 Αν > β τότε β 0 Αν β < 0 τότε β Αν β > 0 τότε. β Αν < β τότε β 0 β) Ν τοποθετήσετε στο κενό ( ) το κτάηο σύβοο, (>, <, =) κι στην πρένθεση στο τέος κάθε πρότσης την κτάηη έξη, (θετικός ή ρνητικός) : Το τετράωνο ενός η ηδενικού ριθού είνι ριθός. 0 ( ) Ο κύβος ενός ρνητικού ριθού είνι ριθός.. 0 ( ) Ο κύβος ενός θετικού ριθού είνι ριθός.. 0 ( ) ύο οόσηοι ριθοί έχουν πάντ ινόενο ριθό. 0 ( ) ύο ετερόσηοι ριθοί έχουν πάντ ινόενο ριθό 0 ( ) Η άρτι δύνη ενός η ηδενικού ριθού είνι πάντ ριθός. 0 ( ) Η περιττή δύνη ενός ρνητικού ριθού είνι πάντ ριθός. 0 ( ) Η περιττή δύνη ενός θετικού ριθού είνι πάντ ριθός. 0 ( ) Το πηίκο δύο ετερόσηων ριθών είνι ριθός. 0 ( ) [ η] τ κ Το πηίκο δύο οόσηων ριθών είνι ριθός. 0 ( ) Το άθροισ δύο ρνητικών ριθών είνι ριθός. 0 ( ) Έστω το ύψος του Αέξνδρου β το ύψος της Κεοπάτρς κι το ύψος του Πάτων. Γνωρίζουε ότι ο Αέξνδρος είνι ψηότερος πό την Κεοπάτρ κι η Κεοπάτρ είνι ψηότερη κπό. τον Πάτων. [ ] ε ) Μπορούε ν συπεράνουε τη σχέση ύψους του Αέξνδρου κι του Πάτων; Ποιος είνι πιο ψηός; β) Ν συπηρώσετε την πρκάτω σχέση:. β κι β. τότε. (Μετβτική ιδιότητ στη διάτξη) 60. Έστω η ηικί της Ηώς, β η ηικί του Θή κι η ηικί του Ηρκή. Γνωρίζουε ότι η Ηώ είνι ικρότερη του Θή κι ο Θής ικρότερος του Ηρκή. ) Μπορούε ν συπεράνουε τη σχέση ηικίς της Ηώς κι του Ηρκή; Ποιος είνι πιο ικρός; β) Ν συπηρώσετε την πρκάτω σχέση:. β κι β. τότε. (Μετβτική ιδιότητ στη διάτξη) 6. Έστω, β,, δ τέσσερις θετικοί πρτικοί ριθοί ι τους οποίους νωρίζουε ότι: < β ( ) < δ ( ) ) Ποπσιάστε στ δύο έη της νισότητς () τον ριθό. Η νισότητ που προκύπτει έχει την ίδι φορά, ιτί; 5 / 56
6. 6. 64. 65. Ποπσιάστε στ δύο έη της νισότητς () τον ριθό β. Η νισότητ που προκύπτει έχει την ίδι φορά, ιτί; Εφρόστε την ετβτική ιδιότητ στις δύο νισότητες που προέκυψν. Ποι νισότητ προκύπτει; β) Μπορούε ν ποπσιάζουε κτά έη νισότητες; Με ποιες προϋποθέσεις πορούε ν το κάνουε; Έστω, β δύο οόσηοι ριθοί ε < β. ) ιιρέστε κι τ δύο έη της νισότητς < β ε το ινόενο β. Η νισότητ που προκύπτει έχει την ίδι φορά, ιτί; β) Συκρίνετι τους ριθούς κι β ) Αν νωρίζουε την διάτξη δύο ριθών πορούε ν συκρίνουε πάντ τους ντίστροφούς τους; Τι επιπέον χρειάζετι ν νωρίζουε; Έστω χ ένς ριθός ο οποίος πίρνει τιές ετξύ του κι του. ) Ο ντίθετος του χ ετξύ ποιών ριθών θ πίρνει τιές; β) Συπηρώστε τη σχέση: < χ < τότε. < -χ <.. ) Ο τριπάσιος του χ ετξύ ποιών ριθών θ πίρνει τιές; δ) Συπηρώστε τη σχέση: < χ < τότε. < χ <.. M a Έστω χ ένς ριθός ο οποίος πίρνει τιές ετξύ του - κι του, δηδή [ η] τ κ - < χ < Τοποθετήστε ε την σωστή σειρά τις πρκάτω προτάσεις,συπηρωένες ε την βοήθει των οποίων θ βρούε ετξύ ποιων ριθών πίρνει τιές η πράστση -χ +. Προσθέτουε στ έη της νισότητς τον ριθό κι έτσι προκύπτει η νισότητ: Ποπσιάζουε στ έη της νισότητς τον ριθό - κι έτσι προκύπτει νισότητ ε. φορά:.. Έχουε την νισότητ κ. [ ] ε Γράφουε την νισότητ πό το ικρότερο προς το εύτερο:. Η πράστση -χ + πίρνει τιές ετξύ των ριθών.. κι Έστω χ ένς ριθός ο οποίος πίρνει τιές ετξύ του - κι του, δηδή - < χ < κι ψ ένς ριθός ο οποίος πίρνει τιές ετξύ του 5 κι του -, δηδή -5 < ψ < -. Τοποθετήστε ε την σωστή σειρά τις πρκάτω προτάσεις,συπηρωένες ε την βοήθει των οποίων θ βρούε ετξύ ποιων ριθών πίρνει τιές η πράστση -χ + ψ -5. Προσθέτουε κτά έη τις νισότητες κι.. κι έτσι προκύπτει η νισότητ Προσθέτουε στ έη της νισότητς τον ριθό -5 κι έτσι προκύπτει η νισότητ: Ποπσιάζουε στ έη της νισότητς τον ριθό - κι έτσι προκύπτει νισότητ ε. φορά:.. Έχουε την νισότητ Γράφουε την νισότητ πό το ικρότερο προς το εύτερο: 6 / 56
66. 67. 68.. Η πράστση -χ + ψ -5πίρνει τιές ετξύ των ριθών.. κι Έστω χ ένς ριθός ο οποίος πίρνει τιές ετξύ του,5 κι του 4, δηδή,5 < χ < 4 κι ψ ένς ριθός ο οποίος πίρνει τιές ετξύ του 0 κι του,5, δηδή 0 < ψ <,5. Ν υποοίσετε ετξύ ποιών ριθών πίρνουν τιές οι πρκάτω πρστάσεις: ) χ + 6, β) χ + ψ ) χ ψ δ) χ ψ + 4 ε) χ ) είξτε, ε τη βοήθει της επιεριστικής ιδιότητς ότι : ( β)( + β) = β. β) Έστω, β δύο θετικοί ριθοί ε < β. Ο ριθός β είνι θετικός ή ρνητικός κι ιτί; Συκρίνετε τον ε τον β. ) Έστω, β δύο ρνητικοί ριθοί ε < β. Ο ριθός β είνι θετικός ή ρνητικός κι ιτί; Συκρίνετε τον ε τον β. M a ) Ν εξετάσετε ν η διφορά ( β) ( β) είνι ριθός θετικός ή [ η] τ κ δ) Έστω, β δύο ριθοί ε < β. Είνι σωστό ή άθος ότι < β ; Έστω, β δύο ριθοί ε < β. ρνητικός; β) Ν συκρίνετε τους ριθούς β κι β. 69. Έστω, β δύο ριθοί ε κ. < 0 < β. [ ] ε Ν δικιοοήσετε ότι το ινόενο ( )(β )(β + )( β) είνι θετικός ριθός. 70. 7. Έστω, β δύο ντίθετοι ριθοί. Ν ντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήης του πρκάτω πίνκ ε έν όνο στοιχείο της δεύτερης στήης του συπηρώνοντς τον δεύτερο πίνκ. Στήη η Στήη η Α.: Το ινόενο των, β. 0 Β.: Το πηίκο των, β β. ένς ρνητικός ριθός Γ.: Το άθροισ των, β. ένς θετικός ριθός δ. ε. - Α Β Γ Στις πρκάτω προτάσεις ν επιέξετε την σωστή πάντηση: Αν -χ > 0 τότε : Α.: χ < 0, Β.: χ = 0, Γ.: χ > 0,.: χ >. Αν χ < 0 τότε : Α.: χ < 0, Β.: χ = 0, Γ.: χ > 0,.: χ > -. 7 / 56
7. 7. 74. 75. 76. 77. Αν χ(χ +) > 0 τότε : Α.: χ < 0, Β.: χ = 0, Γ.: χ > 0,.: χ > -. Αν (χ ) 0: τότε Α.: χ <, Β.: χ =, Γ.: χ >,.: χ. Γι τον ριθό χ ισχύει; (χ + )(χ ) 0. ) Ποιος πό τους ριθούς χ, χ + είνι εύτερος; β) Τι ριθοί πρέπει ν είνι οι χ, χ + ; Οόσηοι ή ετερόσηοι; ) Συπηρώστε τις νισώσεις: χ. 0 κι χ +. 0 δ) Συπηρώστε την νίσωση: χ ε) Συπηρώστε την πρότση: Ο ριθός χ πρέπει ν πίρνει τιές πό. έχρι κι Γι τον ριθό χ ισχύει; (χ - )(χ ) > 0. Ν δικιοοήσετε ότι ο ριθός χ πίρνει τιές εύτερες του ή ικρότερες του. Αν χ, ψ δύο ετερόσηοι ριθοί ν βρείτε ν ο ριθός χ(χ ψ)ψ(ψ χ) είνι θετικός ή ρνητικός. Ν δικιοοήσετε την πάντησή σς. ) Ν ποποιήσετε την πράστση: ( 5 ) ( + ) β) Αν < ν συκρίνετε τους ριθούς 5 κι +. M a Αν < β κι β ρνητικός ριθός ν διτάξετε πό τον ικρότερο [ η] τ κ προς το εύτερο τους ριθούς: 0, β,, β Ν υθεί η νίσωση : χ < ότν ) Ο ριθός είνι ρνητικός. β) Ο ριθός είνι θετικός. κ. [ ] ε 78. ) Αν < 0 κι > 0 τότε : Α.: β < 0, Β.: β = 0, Γ.: β > 0,.: δεν πορούε β ν νωρίζουε ν ο β είνι θετικός ή ρνητικός. Επιέξτε την σωστή πάντηση. β) Ν υθεί η νίσωση > 0 x + 6 79. Ν ράψετε στο τέος της κάθε πρότσης,«σωστό», ν υτή είνι σωστή κι «Λάθος», ν υτή είνι άθος: Η νίσωση 0χ > ηθεύει ι όους τους πρτικούς ριθούς Η νίσωση 0χ - ηθεύει ι όους τους πρτικούς ριθούς Η νίσωση 0χ < είνι δύντη Η νίσωση 0χ > 0 είνι δύντη Η νίσωση 0χ ηθεύει ι όους τους πρτικούς ριθούς Γι κάθε πρτικό ριθό χ ισχύει: (χ ) >0 Αν 0 < χ < 4 τότε χ = ή χ = ή χ =.. Μπορούε ν ράφουε 0 < χ < -. Η νίσωση χ 0 ηθεύει ι όους τους η ρνητικούς ριθούς 8 / 56
Η νίσωση > 0 ηθεύει όνο ι τους ριθούς χ ε χ > χ M a [ η] κ. [ ] ε τ κ 9 / 56
80. 8. ) Ν σηειώσετε πάνω σε άξον τους ριθούς χ ι τους οποίους ισχύει:, 5 χ 0 β) Ν σηειώσετε πάνω σε άξον τους ριθούς χ ι τους οποίους ισχύει: 5 < χ ) Ν σηειώσετε πάνω σε άξον τους ριθούς χ ι τους οποίους ισχύει: 0 χ < δ) Ν σηειώσετε πάνω σε άξον τους ριθούς χ ι τους οποίους ισχύει: < χ < 5 ε) Ν σηειώσετε πάνω σε άξον τους ριθούς χ ι τους οποίους ισχύει: χ στ) Ν σηειώσετε πάνω σε άξον τους ριθούς χ ι τους οποίους ισχύει: χ > 5 ζ) Ν σηειώσετε πάνω σε άξον τους ριθούς χ ι τους οποίους M a ισχύει: χ > ή χ < άξον. χ 5 χ ) χ + 7 4 [ η] τ κ Ν ύσετε τις πρκάτω νισώσεις κι ν σηειώσετε τις ύσεις τους πάνω σε ( ) κ. [ ] ε χ χ + 4 0 8χ β) χ + + 5 5 χ 5χ ) 8 + χ 4 χ + χ δ) + + 5 + χ > 0 5 8. Ν βρείτε τις κοινές ύσεις των νισώσεων κι ν τις σηειώσετε πάνω σε άξον.: 5χ + 7 ( χ ) < ( χ 5) + χ 4,5 ( 0,5χ ) 0 ) β) χ χ ( χ 4 ) χ ( χ ) + > χ χ < 7 4 χ 7 χ 0 < + χ 6 ) 4χ χ δ) + χ χ < + 5 + 0 / 56
8. 84. 85. Ν ύσετε τις πρκάτω νισώσεις: ) (χ-)(χ+)<0 β) χ -4χ>0 ) χ +χ 0 ) Υπάρχουν άπειροι θετικοί ριθοί που το τετράωνό τους είνι ικρότερο πό τον ευτό τους. Μπορείτε ν βρείτε κάποιον. β) Βρείτε όους τους ριθούς που ικνοποιούν τις προϋποθέσεις του ) κι σηειώστε τους πάνω σε ένν άξον. Η πόυτη τιή του ριθού χ δεν ξεπερνάει το. ) Σηειώστε πάνω σε ένν άξον την περιοχή που πορεί ν βρίσκετι ο ριθός χ. β) Βρείτε τις τιές που πορεί ν πάρει η ετβητή χ. M a [ η] κ. [ ] ε τ κ / 56
ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ 86. Ν ράψετε τις εβρικές πρστάσεις που προκύπτουν πό τις πρκάτω προτάσεις, συπηρώνοντς τον πίνκ που κοουθεί : Η περίετρος ενός ορθοωνίου ε διστάσεις κι Το εβδό ενός ορθοωνίου ε διστάσεις κι Η πόστση που δινύει έν υτοκίνητο ε τχύτητ υ (Km/h) σε χρόνο h Το ήκος ενός ορθοωνίου ε εβδό 0 (cm), ν το πάτος του είνι χ. Το τετράωνο της υποτείνουσς ορθοωνίου τριώνου ε κάθετες πευρές χ κι 4. Η επιφάνει ενός κύβου ε κή. Η επιφάνει ενός ορθοωνίου πρηεπιπέδου ε διστάσεις, β,. Η περίετρος ενός κύκου κτίνς ρ. Το εβδό ενός κύκου κτίνς ρ. Το τριπάσιο ενός ριθού χ υξηένο κτά τον κύβο του. Α/Α Πράστση Είδος πράστσης (ονώνυο πουώνυο) i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. κ. [ 87. Ν συπηρώσετε τον πρκάτω πίνκ: Μονώνυο Συντεεστής - β β β ( ]ε Κύριο έρος ) χψ β χψ Υπάρχουν τρεις οάδες όοιων ονωνύων. Ποιες είνι υτές; Ν βρείτε το άθροισ των ονωνύων της κάθε οάδς. Ν ράψετε το πουώνυο που προκύπτει πό το άθροισ όων των ονωνύων. / 56
88. 89. 90. ίνετι η εβρική πράστση: Α = -5χψ + χ ψ ) Από ποι ονώνυ ποτεείτι η πράστση; β) Είνι σωστό ή άθος ότι υτή η πράστση είνι έν πουώνυο; ) Υποοίστε την ριθητική τιή της πράστσης ι χ = - κι ψ = ίνοντι τ ονώνυ -4χ κι χ. ) Είνι σωστό ή άθος ότι τ ονώνυ είνι όοι; β) Ποιο είνι το άθροισά τους; Είνι ονώνυο ή πουώνυο; ) Υπάρχει τιή της ετβητής χ ι την οποί η ριθητική τιή του πουωνύου ν είνι ίση ε 0; Αν νι ποι είνι υτή; Κθειά πό τις πρκάτω προτάσεις πορεί ν είνι σωστή, πορεί όως ν είνι άθος. Γράψτε δίπ πό κάθε πρότση το Σ ν υτή είνι σωστή κι το Λ ν υτή είνι άθος. Η εβρική πράστση είνι έν ονώνυο ε συντεεστή. x x Η εβρική πράστση είνι έν ονώνυο ε συντεεστή. Το ονώνυο χψ δεν έχει συντεεστή.. Τ άθροισ των ονωνύων χψ κι χψ είνι το ονώνυο χψ. Ο ριθός 004 πορεί ν χρκτηριστεί ονώνυο.. Η πράστση ( ) + x δεν είνι ονώνυο.. Το κύριο έρος του ονωνύου -4β είνι το β... Η πράστση χ + 7χ χ δεν είνι ονώνυο. Το ινόενο δύο ονωνύων είνι πάντ ονώνυο... Το πηίκο δύο ονωνύων είνι πάντ ονώνυο. Το άθροισ δύο ονωνύων ε το ίδιο κύριο έρος είνι πάντ ονώνυο.. Το άθροισ δύο ονωνύων είνι πάντ ονώνυο... Η δύνη ενός ονωνύου ε εκθέτη θετικό κέριο είνι έν ονώνυο... κ. 9. [ ]ε Σε κθειά πό τις πρκάτω προτάσεις επιέξτε την σωστή πάντηση. Η ριθητική τιή του πουωνύου + χ + χ ι χ = - είνι: Α.: 4 Β.: Γ.: 0.: δεν πορεί ν υποοιστεί. χ + 5χ Η ριθητική τιή της πράστσης ι χ = - είνι: χ+ 9.: δεν πορεί ν υποοιστεί. Α.: 0 Β.: -9 Γ.: 6 Το τετράωνο του ονωνύου -χψ είνι: Α.: -χψ6 Β.: 9χψ Γ.: 9χψ6.: -9χψ6. Το ινόενο των ονωνύων χ κι 8χ είνι ίσο ε: Β.: 4χ Γ.: 4.: 8χ. Α.: 4χ / 56
9. Ν κάνετε τις πράξεις, (άθροισ οοίων ονωνύων): 5χ +χ χ χ χ + χ χ 0,5χ +,5χ 8 χψ χψ + χψ + + + 6 χ χ χ +χ 4 8 9. Ν κάνετε τις πράξεις, (ινόενο ονωνύων): -5χ χ 0,5χψ (-χψ) χ ωφ ω ( φ ) ω ( 5x ) 4 94. x x x,5x tc ( 5) ( tc ) Ν κάνετε τις πράξεις, (διίρεση ονωνύων): -5χ :4χ 4χ:(-χ) -5ψ:(ψχ) xt xt : 6 β:(-β ) xc 4 : x 9 κ. [ ]ε 95. Ν κάνετε τις πράξεις: 4 / 56 (χ χ χ ) β : χ (ψ ψ) : ( ) + ψ(χ χ) (χψ) : (χψ ) 5 ω : 0,ω : ( ω ) + 5ω ( ( ω ) ) ( ( : χ χ ) ( ) β : )
ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ 96. Ν κάνετε τις πράξεις (: Ανωή οοίων όρων) i. 5β + - β ii. χ + χ + χ iii. χ ψ χψ + χψ χψ χψ + χψ + 5 κ κ iv. + κ + v. χ χψ ψχ + ψ χ vi. χ + χ + 5χ + 7χ vii. β + β β + β β viii. ( β ) + ( 4β ) ( β ) + ( ) ix. + χ + χ χ + χ χ x. 97. ( + ) + ( + ) + ( + ) +... + (00 + ) ίνετι η πράστση Α = χψ -ψ-χψ+ψ ) Ν κάνετε την νωή οοίων όρων. χ δείξτε ότι: Α χ = 0 β) Αν ψ = 98. Θέτοντς τον ριθό ε την ετβητή χ ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: 555555-5 00. 99. κ. [ ]ε Αν χ = δείξτε ότι η τιή της πράστσης : Α = χ + χ + χ χ +000 είνι ίση ε 004. 00. Υποοίστε την τιή της πράστσης: ( + ) ( + ) + ( + ) ( 4 + 4) +... + ( 400 + 400) ( 4004 + 4004) 0. Αν το άθροισ των κι β είνι ίσο ε 5, ν υποοίσετε την τιή των πρστάσεων: Α = ( + β + ) (β ) + + Β = + 5 + β (β ) + β 5 / 56
0. Ένς οπωροπώης είχε χ κιά ή κι ψ κιά πορτοκάι. Πούησε την ηέρ την ισή ποσότητ των ήων κι το της ποσότητς των πορτοκιών. Πούησε την β ηέρ τ 4 της ποσότητς των ήων κι τ 4 της ποσότητς των πορτοκιών που του έεινν πό την ηέρ. ) Ν συπηρώσετε τις πρκάτω προτάσεις κάνοντς όπου χρειάζετι τις πράξεις: Στην ρχή η συνοική ποσότητ των ήων κι των πορτοκιών είνι:. +.. κιά. Στο τέος της ηέρς η συνοική ποσότητ των ήων κι των...... πορτοκιών που έεινν είνι:. +.. - χ ψ = κιά....... Στο τέος της β ηέρς η συνοική ποσότητ των ήων κι των...... πορτοκιών που έεινν είνι:. +.. - χ ψ = κιά....... β) Ν υποοίσετε την συνοική ποσότητ των ήων κι των πορτοκιών που έεινν στο τέος της β ηέρς ν η ρχική ποσότητ των ήων είνι 6 κιά κι η ρχική ποσότητ των πορτοκιών είνι 4 κιά. 0. ψ. 04. M a ) Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης + β + [ η] τ κ Έστω = -χ + ψ + ω, β = χ ψ + ω, = χ + ψ ω. β) Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης ( β) + (β ) + ( ). ) Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης ( + χ) (β + ψ) + ( + ω) κ. [ ] ε Αν, β, πρτικοί ριθοί τέτοιοι ώστε: + β + =0 κι + β + =67, ν προσδιορίσετε την τιή της πράστσης Α = ( + β + )(4 +β + 4) (Ε.Μ.Ε. 998) 05. = 8 χ ψ 7 χ ψ 9 Έστω β = 7 χ = 9 9 Ν δείξετε ότι β = χ ψ 06. Αν + β = -, β + = κι + = ν υποοίσετε την τιή των πρστάσεων: Α = β ( ) ( - β) + 4 Β = [β ( β) (β )] + β + Γ = β + {- -[-β (-)]} = + β + 6 / 56
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 07. Ν συπηρώσετε την επιεριστική ιδιότητ: (β + ) =.. + (β ) =...-. ( + β)( + δ) =..+ + +. 08. Ν κάνετε τις πράξεις: ) (χ ψ) β) (- χ + ) ) ( χ + 6ψ) δ) 0,7( +β) ε) (β +) στ) χ(χ + χ) ζ) ψ(χψ ψ +6) η) χψ( χ ψ ) θ) β( + β + ) ι) -χ(χ χ + 5) 09. Ν κάνετε τις πράξεις: ) χ(χ ψ) + ψ(ψ χ) (ψ χ) β) ( ) 6( ) 9( + ) + 0 ) χ(χ ) + χ(χ ) + χ(χ + ) δ) ( β + ) β(β ) ( + ) β(β + ) ε) χ( χ) ( χ) + χ( ) (χ ) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) (χ + )(χ + ) χ(χ + 5) 5 β) (χ )(χ + 4) + 6 χ(χ + ) ) (χ 4)(χ 5) + χ(9 χ) 7 δ) (χ + )(χ ) 4(χ) 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( β)( + β) ( + β)( β) +β(β + ) β) ( β 5) + ( + β)( β) +β 5( -) ) (κ )(4κ + 6κ +9) 8κ +7 +0 δ) ( ν)(ν ) 6( + ν)( + ν) ν +5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) (χ )(χ )(χ + )(χ + ) χ(χ 5) + 6. β) (χ 4χ + 4)(χ ) χ + 08 +6χ(χ-) ) (χ + 0)(χ + 0χ +00) χ(χ + 0) 00χ δ) (χ + )(χ4 χ+ χ χ + ) χ5 + 000 κ. [ ]ε 7 / 56
. Αν 4 = 0 κι β 4 = 9 ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: ( β)( + β + β + β ) 4. Αν, β, είνι τρεις διδοχικοί περιττοί κέριοι ριθοί ν δείξετε ότι το τετράωνο του β είνι κτά 4 ονάδες εύτερο πό το ινόενο των,. Ισχύει το ίδιο ι τους άρτιους ριθούς; 5. Ν υποοίσετε την διφορά του ινοένου δύο διδοχικών περιττών κερίων πό το ινόενο του άρτιου, που προηείτι του ικρότερου περιττού, κι του άρτιου που έπετι του εύτερου περιττού. 6. Αν ι τους ριθούς χ, ψ ισχύει ότι: χ - ψ = χψ(χ ψ) ν δείξετε ότι η τιή της πράστσης: Α = (χ ψ)(χ χψ + ψ ) είνι ίση ε 0. 7. Αν χ + 5χ = ψ κι ψ + 0ψ = -4 ν δείξετε ότι η τιή της πράστσης Α = (χ + )(χ + )(χ + )(χ + 4) είνι ίση ε το 0. M a [ η] κ. [ ] ε τ κ 8 / 56
ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. 8. Ν συπηρώσετε τις πρκάτω ισότητες ώστε ν προκύψουν τυτότητες: i. ( -.) = χ -.. + ψ ii. ( -.) = χ -.. +.. ψ iii. ( +.) = χ +.. + ψ iv. ( +.) = χ+.. +.. + ψ v. (χ ψ)(. +.) =.. -.. vi. χ ψ = (. -..)(.. +.. +..) vii. χ + ψ = (. +..)(.. -.. +..) 9. Ν ντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της ης στήης του πρκάτω πίνκ ε έν όνο στοιχείο της ης στήης του συπηρώνοντς τον ο πίνκ. η Στήη η Στήη Α.: κ -.: (κ ) Β.: κ - κ +.: (κ + ) Γ.: κ+ κ +.: (κ ).: κ 4.: (κ )(κ + ) 5.: (κ )(κ+ κ + ) 6.: (κ + )(κ- κ + ) Α Β Γ 0. Κθειά πό τις πρκάτω προτάσεις πορεί ν είνι σωστή, πορεί όως ν είνι άθος. Γράψτε δίπ πό κάθε πρότση Σωστό ν υτή είνι σωστή κι Λάθος ν υτή είνι άθος. I. Τυτότητ ονοάζετι ι ισότητ που περιέχει ετβητές κι επηθεύετι ι κάποιες τιές υτών των ετβητών.. II. Τυτότητ ονοάζετι ι ισότητ που περιέχει ετβητές κι επηθεύετι ι όες τις τιές υτών των ετβητών.. III. Η ισότητ χ + ψ χψ = (χ ψ) δεν είνι τυτότητ.. IV. Αν + β = 5 τότε + β + β = 5.. V. Αν + β = 0 κι β = τότε + β = 4 VI. Ισχύει: + β = ( + β) β. VII. Ισχύει: + β = ( - β) + β. VIII. Ισχύει: χ + ψ + χψ(χ+ψ) = (χ + ψ). IX. Ισχύει: χ - ψ - χψ(χ - ψ) = (χ - ψ). X. Ισχύει: (-χ - ) = -χ-4χ-4 XI. Ισχύει: (- - β)( - β) = β. κ. [ ]ε 9 / 56
. Ν ποδείξετε τις πρκάτω τυτότητες: ) + β = ( + β) β β) + β = ( - β) + β ) ( + β) = + β +β( + β) δ) ( - β) = - β -β( - β). Ν βρείτε τ νπτύτ: i. (χ + ) ii. (χ 4) iii. (χ + 5) iv. ( χ) v. (χ + 5ψ). Ν βρείτε τ νπτύτ: vi. x + x vii. M x x a viii. (-χ + 5) ix. (- χ) x. (-χ - 5ψ) [ η] vi. (κ ) vii. (χ + ) viii. (χ ) ix. x. 5 x ψ + 5 κ. [ ] ε χ ψ 4 4. Ν κάνετε τις πράξεις χρησιοποιώντς την τυτότητ: ( + β)( β) = β : xi. (χ + )(χ -) xii. (χ )(χ + ) xiii. (χ - 5)(χ +5) xiv. ( χ)( + χ) xv. (χ + 5ψ)(χ 5ψ) ix. x vii. (χ 00 - ) viii. (χ κ ψ ) ix. χ ψ + ψ χ vi. x τ κ β x. ( ) vi. (κ )(κ + ) vii. (χ + )(χ ) viii. (χ )(χ + ) x. 5 5 x ψ x ψ + 5 5 χ ψ 4 χ + ψ 4 0 / 56
5. Ν βρείτε τ νπτύτ: xvi. ( + ) xvii. (χ + ) xviii. ( + ) xix. ( + ) xx. ( + 5β) 6. ίνοντι οι πρστάσεις: Α = ( + ) Β = ( ) [ η] τ κ Αν ι τον πρτικό ριθό χ ισχύει χ = 5, ν υποοίσετε τις τιές των κ. [ ] ε vi. (κ ) vii. (χ - ) viii. (χ ) ix. x x ) Ν υποοίσετε τις τιές των πρστάσεων Α, Β β) Ν δείξετε ότι η τιή της πράστσης Γ=Α.Β είνι ίση ε 7. ίνοντι οι πρστάσεις: Α = ( ) Β = ( + ) x. χ x ) Ν υποοίσετε τις τιές των πρστάσεων Α, Β M a β) Ν δείξετε ότι η τιή της πράστσης Γ=Α.Β είνι ίση ε 8. πρκάτω πρστάσεων: Α = (χ )(χ + χ + ) Β = (χ + )(χ - χ + ) Γ = (χ )(4χ + χ + ) = (χ + )(4χ 6χ + 9) 9. Ν συπηρώσετε τις πρκάτω ισότητες: xxi. χ. + = (. -.) xxii. 4 +.. + 9 = (. +.) xxiii. χ 4.. + = (. -.) xxiv. 00 +.+ 0 = (. +.) xxv. 5ψ -..+6χ = (. -.) vi. 9 x +... + = (. +.) 4 9 vii. 6 6 - +6β 6 = (. -.) viii. χ +... + = (. +.) 4 ix. χ ν -..+ψ = (. -.) x. χ + + = (. +..) 0. Ν συπηρώσετε τις πρκάτω ισότητες: xxvi. χ - 4χ + = (. -.) vi. + 0χ +.. = (. +.) xxvii. 9 +6 +.. = (. +.) vii. 64χ ψ 6 80χωψ +..= (. -.) xxviii. 5 0 + = (. -.) viii. + 5 +..= (. +.) xxix. + +.. = (. +.) ix. χ 4004 - + = (. -.) xxx. 49κ 4 4κ + = (. -.) x. χ ψ + χ + = (. +..) 6 / 56
. Ν συπηρώσετε τις πρκάτω ισότητες: i. 8x -. +. 7 = (.. - ) ii. +.. +.. + χ ψ = ( +..) iii. 64 6 -.. +.. β 9 = (. - ) iv. χ +... +... + = (... +...) χ v. κ 6 6 - + - 8 = ( - ). Ν ποδείξετε ότι: + β 4β = β i. ( ) ( ) ii. ( β) + 4β = ( + β) iii. + β = ( + β) β ( + β) iv. β = ( β) + β ( β) v. + β + β β = ( β) + ( β ) + ( ). Με τη βοήθει της τυτότητς β =( β)( + β) ν υποοίσετε τις τιές των πρστάσεων: 4. M [ η] τ κ a Με τη βοήθει των τυτοτήτων +β + β =( + β), - β + β =( - β) Α = 00 90 = Β = - = Γ = 47 4 = = 7,55,45 = κ. [ ] ε ν υποοίσετε τις τιές των πρστάσεων: Α = 99 + 98 + = Β = 00 00 + = Γ = ( ) ( ) + ( + ) = = ( χ) + ( + χ) - (χ 9) = 5. Έστω = 5 κι β = 5 + ) Ν υποοίσετε το άθροισ κι το ινόενο των, β. β) Με τη βοήθει της τυτότητς + β = ( + β) β, ν υποοίσετε το άθροισ τετρώνων των, β. ) Ν υποοίσετε το άθροισ των κύβων των, β. 6. ) Ν ποδείξετε ότι ( + β) ( β) = 4β. β) Αν ι τους ριθούς, β νωρίζουε ότι: + β = 5 κι β = ν δείξετε ότι β = κι ν υποοίσετε το άθροισ τετρώνων των, β. / 56
7. ) Ν δείξετε ότι ( κ+ ) = κ + + κ β) Ν βρείτε δύο θετικούς κέριους ριθούς κ, ώστε κ = κι κ + = 4 ) Ν κάνετε την πράστση 4 + τέειο τετράωνο. δ) Ποι είνι η τετρωνική ρίζ του 4 + 8. Με την βοήθει των εβδών στο πρκάτω σχή ν δείξετε την τυτότητ ( + β) = + β + β. β β 9. Με την βοήθει των εβδών στο πρκάτω σχή ν δείξετε την τυτότητ ( - β) = - β + β. β κ. β [ ]ε β 40. Με την βοήθει των εβδών στο πρκάτω σχή ν δείξετε την τυτότητ β = ( β)( + β). β β β / 56
4. Το άθροισ δύο ντίστροφων ριθών είνι Ν υποοιστούν ) Το άθροισ των τετρώνων τους. β) Το άθροισ των κύβων τους ) Το τετράωνο της διφοράς τους δ) Τη διφορά τους. 4. Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: + + +... + 99 + 00 ( + 4 + 5 6 +... + 99 00 ) 4. Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: 4 + + 0 +.00 + 0.00 + 00.00 9 + 99 + 999 + 9.999 + 99.999 ( ) 44. Αν + β = χ ψ =, ν δείξετε ότι οι τιές των πρκάτω πρστάσεων Α, Β είνι ίσες ε 4. Α = ( + β) ( + β) + 4β. Β = (χ ψ) (χ + ψ) 4χψ 45. Αν 8 = β8 + 00, ν υποοίσετε την τιή του ινοένου: ( β)( + β)( + β)(4 + β4) 46. ) Ν ποδείξετε την τυτότητ ( + β + ) = + β + +β + β +. β) Αν β + β + = + β +, ν δείξετε ότι η πράστση Α = ( + ) + (β + ) + ( + ) είνι τέειο τετράωνο. 47. ) Ν ποδείξετε την τυτότητ: (+β+)(χ+ψ+ω)=(χ+βψ+ω)+(ψ βχ)+(ω χ)+(βω ψ). β) Ν ράψετε τους ριθούς 4 κι 4 ως άθροισ τετρώνων θετικών κερίων. ) Ν ράψετε το ινόενο 4 4 ως άθροισ τετρώνων 4 θετικών κερίων κ. 4 / 56 [ ]ε
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 48. Στ πρκάτω πουώνυ ν βάετε κοινό πράοντ τον ΜΚ των συντεεστών των όρων τους. i. 6χ + vi. x 9x + 5 ii. - 0 vii. 4 + 49β +70 iii. 4κ 6 viii. 4ρ 6ρ + 8 iv. 5 + 0 ix. 6 9ν v. 0ω +t x. 5z 75 t + 00 49. Ν κάνετε προντοποίηση τ πρκάτω πουώνυ. i. 6χ + vi. x 9x + x 5 ii. 0 vii. 4 + 49β +70β iii. 4κ 6κ viii. 4νρ 6ν ρ + 8ρν iv. 5 + 0 ix. 6 9 v. 0ω +ω x. 5z 75 z xi. xii. xiii. χ004 χ00 χ00 50. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις, φού πρώτ κάνετε τις πράξεις. i. χ(χ 4) + χ χ vi. (χ + ) χ(χ ) - ii. ( + )( ) ( )( + +) vii. ( + β)( β) 4( β) iii. (χ + ψ) χ ψ viii. ( + β) ( β) iv. χ (χ + 6) χ 8χ ix. ( β ) - β( + β) v. ( + β) ( β) β(β ) x. ( + β) (β + ) ( )( + ) 5. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις: i. χ(χ + ) + (χ + ) vi. (ψ + )(ψ 6) (ψ + )( ψ) ii. χ(χ + ) χ(χ + ) vii. ( β) + ( β) iii. (χ + ψ) + β(χ + ψ) viii. χ(χ )(χ + ) χ(χ )(χ + ) iv. χ( β) + ψ(β ) ix. ( β)β + ( β)β v. (χ )(χ ) - ( χ)(χ + ) x. (χ + ψ + ) + (χ + ψ +)χ + (χ + ψ + )ψ 5. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : «Οδοποίηση» i. + 4β + 6β + vi. χ χ - ψχ +ψ + ω ωχ ii. β β + χ χ vii. χ5 4χ4 + χ χ - χ + 4 iii. β + β + β + viii. + + ( + )( + ) iv. 4χ ψ + 0χ 6χψ - 5ψ ix. β + β + + + (β + )( + β) v. β + βχ + + +χ + χ x. χ + ( + β)χ + β κ. [ ]ε 5 / 56
5. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Χρησιοποιήστε τις τυτότητες: β = ( β)( + β), β = ( β)( + β +β ) κι + β = ( + β)( β + β ) ) i. β 4 ii. 6χ 4 8ψ iii. 8χ iv. 64 +5 v. 6ω - 0 4 M a vi. 7 000 vii. 6χ 6 + ψ viii. ( + β) ix. 49χ ψ 4 64 x. χ ψ 4 9 xi. 0,00χ 0,064ψ vi. 75β 7β [ η] τ κ Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : xii. 9 β 7 + 54. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : i. χ (χ +ψ) ii. ( + β) (β + ) iii. (χ + ) (ψ + ) iv. (χ + ) + v. (5χ + ψ) (χ + 5ψ) 55. i. χ ψ ii. χ χβ iii. χ 6 ψ 6 iv. κ + 6 v. ν 4 8 vii. χ 4 4 χ viii. 4χ + 8ψ ix. 6 x. χ 4 8χ κ. [ ] ε 56. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : i. (χ ψ) + χ ψ ii. ( β) + β iii. χ 4 χ + χ + iv. β - β + β v. χ 5 8χ + χ 4 6 vi. χ + χ + 5χ + 5 vii. 4χ 4 + 8χ 6 + ψ ψ viii. κ κ + 7 + 8 57. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Τέει τετράων) i. χ + χ + vi. 5χ 4 00χ + 500 ii. 4 4 + vii. ( + β) + (β + β ) + β iii. 5κ + 0κ + 4 viii. (χ + ψ + ) (χ + ψ + ) + iv. χ χ + ix. 4 v. 8 + χ +χ χ 0 + χ 5 + 4 x. 4 + 4 6 / 56
58. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Τέει τετράων, διφορά τετρώνων ) i. χ + χ + 9ψ ii. 5 χ + 4χψ - 4ψ iii. 49χ + 64ψ χψ ψ4 iv. β β v. χ +6χψ + 9ψ (9χ 6χψ +ψ) 59. Προντοποίηση τριωνύων:γράφουε τον δεύτερο όρο του τριωνύου σε άθροισ δύο ονωνύων τέτοιων ώστε, το ινόενο των συντεεστών τους ν ισούτι ε το ινόενο των συντεεστών του πρώτου κι τρίτου όρου των τριωνύων. Κτόπιν προντοποιούε «νά δύο». Πράδει στο τριώνυο χ - 5χψ - ψ, θ ράψουε το 5χψ : - 6χψ + χψ, εφ όσον -6 = (-). Έτσι έχουε: χ - 5χψ - ψ = χ - 6χψ + χψ - ψ = χ(χ ψ) + ψ(χ ψ) = (χ ψ)(χ + ψ) Ν κάνετε προντοποίηση τ πρκάτω τριώνυ, xi. ( + β) 5( + β) + 6 i. 7β + β ii. 6χ 5χ xii. 6 + 7 8 iii. χ + χ xiii. χ χ 0 iv. χ χ xiv. χ + χ 0 v. χ χ + xv. χ ( + )χ + 6 vi. χ 0χ + 6 xvi. 6(χ + 7χ) (χ + 7χ) vii. -5χ + χ + xvii. (χ ) 7(χ ) + 4 viii. 4χ 5χ + xviii. ( + ) ( + ) ix. χ + χψ 4ψ xix. χ 0χ + 64χ x. χ χ xx. ν + ν+ + 60. Ν κάνετε προντοποίηση τις πρκάτω πρστάσεις : (Χρησιοποιήστε τις τυτότητες: + β = ( + β) β ή + β = ( - β) + β κι την διφορά τετρώνων ). κ. i. ii. iii. iv. v. 4 4 χ4 χ8 χ4 + + + + + [ ]ε β4 7β β4 β χ 4ψ8 4 6. ) Ν προντοποιήσετε την πράστση: ψ + 0ψ +. β) Ν προντοποιήσετε την πράστση: (χ + 5χ + 4)(χ+5χ + 6). ) Ν προντοποιήσετε την πράστση: (χ + )(χ + )(χ + )(χ + 4). 6. Ν προντοποιήσετε τις πρστάσεις: i. (χ )(χ )(χ )(χ 4) + ii. (χ )(χ )(χ )(χ 4) + χ4 7 / 56
6. Ν προντοποιήσετε την πράστση: β(β ) + β( β) + ( ) 64. ) Ν δείξετε ότι 4 + β4 + 4 + β β β είνι τέειο τετράωνο. β) Ν προντοποιήσετε την πράστση: ( + β ) 4β. ) Ν ποδείξετε την τυτότητ του De Moivre: 4 + β4 + 4 + β β β = ( + β + )( β + )( + β )( β ) 65. Αν + β + = 0 τότε: ) Ν δείξετε ότι η πράστση β β είνι τέειο τετράωνο. β) Ν κάνετε ινόενο την πράστση + β + (Απ.:.= β) ) Ν κάνετε ινόενο την πράστση (χ ψ) + (ψ ω) + (ω χ). 66. Ν προντοποιήσετε τις πρστάσεις: Α = x 5y B = x, Γ = ( β) ( β) = β + β 6β Ε = + 4 Ζ = χ ψ +βψ βχ Θ = + Η = β + 4 β Ι = β β + β Κ = 4x(y ) + 4y( x) 4 Λ = x x8 M = xy + xy y - xy N = (x + y) w + x + y + w κ. O = x + xy + y + xz +yz Ρ = 6x + 5xy + y Ξ = x ( β)x β Π =[x + x ] ε 4 4 Σ = 64x + y T = x(y z) + y(z x) + z(x y) Y = x(y z) + y(z x) + z(x y) Φ = x8 x4 + 6 X = (x xy) + (x xy)4 ( y)4 Ψ = x7 x5 x + x Ω = 4x4 + xy + y4 67. ) Ν δείξετε την τυτότητ του Εuler : + β + β = ( + β + )( + β + β β ) β) Με την βοήθει της πρπάνω τυτότητς ν προντοποιήσετε τις πρστάσεις: i. β + + β ii. β - - β iii. χ + ψ 8 + 6ψχ iv. + β + ( + β + )( + β + β β ) 8 / 56
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 68. Κθειά πό τις πρκάτω προτάσεις πορεί ν είνι σωστή, πορεί όως ν είνι άθος. Γράψτε δίπ πό κάθε πρότση Σωστό ν υτή είνι σωστή κι Λάθος ν υτή είνι άθος. χ ορίζετι ι χ = 0 εφ όσον υτή πορεί ν πάρει τη χ χ I. Η πράστση ( ) M a ορφή II. Η πράστση χ 4 χ χ III. Η πράστση ( χ )( χ + )( χ ) IV. Η πράστση. δεν ορίζετι ι χ =. χ + = -. χ δεν ορίζετι ι χ = κι ι χ = κι ι χ ορίζετι ι όους τους ριθούς εκτός [ η] του 0. τ κ ι χ = κι οποιοδήποτε είνι ίση ε το 0 χ χ V. Η τιή της πράστσης + β VI. Η πράστση δεν έχει νόη ι κιά τιή των, β.. ( β)(+ β) + β χ 5 χ 6 VII. Ισχύει = ι οποιδήποτε τιή του χ εκτός του 5. χ 5 χ 6 κ. [ ] ε VIII. Ισχύει + β = + β, εφ όσον 0. IX. Ισχύει + β = β, εφ όσον 0. X. Ισχύει + β = + β, εφ όσον 0. XI. Ισχύει β = β, εφ όσον 0. χ χ XII. Η πράξη : έχει νόη ι οποιδήποτε τιή του χ εκτός του. χ χ χ + 4ψ XIII. Ότν χ, ψ είνι ντίθετοι η πράστση δεν ορίζετι. χ ψ XIV. Η πράξη :( ) ς δίνει την κστική πράστση, εφ όσον. 9 / 56
XV. Η πράξη χ:χ ς δίνει την κστική πράστση, εφ όσον χ 0 χ. XVI. Γι ν ποποιήσουε ι κστική πράστση, ι τις τιές των ετβητών που ορίζετι, πρέπει ν κάνουε ινόενο τον ριθητή κι τον προνοστή της. 69. Ν βρείτε τις τιές της ετβητής χ ι τις οποίες δεν ορίζετι η πράξη της χ 5χ διίρεσης της πράστσης ε την πράστση χ 8 χ χ(χ 9) 70. Ν ποποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: 4 i. vi. 7( + ) χ 9x(c 9) ii. vii. χ 6(9 c)x ν+ 6( t + ) (ν + ) iii. viii. ( t + ) ν 6 ν (x )(x + ) β ix. iv. x β + β + β 8 ( χ + ) ( χ ) x. v. (+ β) M 4 ( χ )( χ + ) 7. Ν ποποιήσετε a τις πρκάτω πρστάσεις: (Ν κάνετε πρώτ ινόενο τον ριθητή κι τον προνοστή τους) 8 4x 4x + i. vi. 4 4x x ii. κ. [ 5] ε6β vii. x x 5 4β β 5 iii. χ χ β viii. χ χ χψ+ χψ iv. β χψ χψ ix. + β + β χ + 4 v. χ + 6 χ + 4χ + 4 x. χ 8 [ η] τ κ 40 / 56
7. Ν ποποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: (Ν κάνετε πρώτ ινόενο τον ριθητή κι τον προνοστή τους) χ + ψχ + 6ψ + 4 x + + x + x i. iv. 4 ψχ + ψ + χ + x x 4 x + 4 β + 4β 4 β β + β ii. v. β 4β + 4 β( β) β χψ + χβ ψ β χ + χ χ iii. vi. 4 χ χ + χ 7. Ν ποποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: (Ν κάνετε πρώτ ινόενο τον ριθητή κι τον προνοστή τους) + 5β + β χ χ + i. iv. 9 + β + 4β χ χ + x 5x + 6 5χ + 5χ + ii. v. x 7 6 6 χ ψ χ + ψ χ ψ iii. ( ) M i. a [ η] 74. Ν κάνετε τους ποπσισούς: ii. iii. β β 4β 4 χ χ χ ψ ψ 75. Ν κάνετε τις διιρέσεις: i. : 9 ii. : β β iii. : β vi. 5χ 4χ 4 χ + 4 v. χψω κ. [ vi. ] ε ( χ ) χ χ τ κ iv. iv. v. vi. + 5 5 0 χ 9 χ ψ ψ 7 χ ( χ ) 4χ : β β :( ) β 5 : 5 β β 6 4 / 56
76. Ν κάνετε τους ποπσισούς: ( β ) ( + β ) i. β β χ χ χ ii. χ χ ( β ) β iii. β β 77. Ν κάνετε τις διιρέσεις: i. ( 6χψ + 8χ 4ψ ) :8χψ ii. ( β):( β ) iii. ( + β ):( 6 + β + 6β ) [ η] χ + χ + β β χ χ β β + β + β β iv. ( ) v. vi. 6 χ 9ψ iv. : χ + ψ χ χψ ψ χ χ + χ + χ v. : χ 9χ 9χ 6χ + vi. : 78. Ν κάνετε τις πράξεις: χ ω χψ χψ Mχ + ω i. 4 + 4ψ iv. ( ) χ ω χψ χ ψ χ ω ii. a 6 6χ χ + ω χ + ( χ + ω) χ χ + χ + v. : χ χ χ + iii. κ. [ χ + ] ε + 79. 4 66666 + 7 Ν δείξετε ότι ο ριθός είνι κέριος. Ν βρεθεί υτός ο κέριος. (Ε.Μ.Ε. 998) 80. Αν ι τους ριθούς, β, χ, ψ ισχύει: χ = ψ β κι χ ± ψν δείξετε ότι η πράστση: + β Α= : είνι ίση ε. χ ψ χ ψ 8χ χ 4χ τ κ 4 / 56
8. Αν ι τους ριθούς, β, ισχύει + β + = 0, χωρίς κάποιος πό υτούς ν είνι 0 ν δείξετε: β + β ) Η πράστση είνι ίση ε. + β β + β + β + β β) Η πράστση + + είνι ίση ε 0. + β + + β 8. 5 χ χ Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης ι χ = 00 χ χ χ M a [ η] κ. [ ] ε τ κ 4 / 56
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 8. Στις πρκάτω ερωτήσεις ν επιέξετε την σωστή πάντηση: i. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των,, ; Α.: Το, Β.: Το, Γ.: Το,.: Το 6 ii. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των, + ; Α.: Το, Β.: Το +, Γ.: Το,.: Το ( + ) iii. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των,, 6 ; Α.: Το 6, Β.: Το, Γ.: Το 6,.: Το iv. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των χ +, χ + ; Α.: Το (χ + )(χ + ), Β.: Το χ +, Γ.: Το χ,.: Το χ v. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των β, β ; Α.: Το β, Β.: Το ( β)(β ), Γ.: Το,.: Το β vi. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των 5(χ ψ), (χ + ψ), χ ψ ; Α.: Το χ ψ, Β.: Το 0(χ ψ ), Γ.: Το 0(χ + ψ),.: Το 0(χ ψ) vii. Ποιο είνι τ Ε..ΚΠ. των 7χ, 4χψ, ψ ; Α.: 4χψ, Β.: Το 4χψ, Γ.: Το 4χψ,.: Το 4χψ 84. Ν κάνετε τις πράξεις: i. + vi. x x x β 4 ii. 4χ + vii. ψ χ 4χ κ iii. viii. + χ + κ χ 5χ 5 iv. + + ix. β χ + χ + v. β 85. Ν κάνετε τις πράξεις: β + ++ iv. i. χ χ ψ ψχ β 4 ii. + + + v. χ χ + iii. χ χψ ψ 86. Ν κάνετε τις πράξεις: i. + iv. x x + χ (χ ) ii. + v. x x + (χ )(χ ) ( χ) (χ ) χ χ iii. + vi. x x x + χ + (χ + ) (χ + ) κ. 44 / 56 [ ]ε
87. Ν κάνετε τις πράξεις: (Ν κάνετε πρώτ ινόενο τους προνοστές) i. + iv. + χ + χψ χψ + ψ χψ β + β β β β + + β β β ii. + v. β β + β ( β) + + + iii. ψ ψ 5 χ χ χψ χ + ψ χ ψ vi. + + χ 5χ + 6 χ 6 6 χ 88. ) Ν άξετε κάποι πρόση στους πράοντες των ινοένων ( )(β ), (β )( ), ( β)( β) ώστε ν προκύψει το Ε.Κ.Π. τους. Ποιο είνι υτό; β)ν δείξετε ότι η τιή της πράστσης + β β + + + + είνι πάντ ίση ε το 0. ( )( β ) ( )( β ) ( β)( β) ) Ν δείξετε ότι η τιή της πράστσης β + β + ( )( ) ( )( ) ( )( ) Mi. a είνι πάντ ίση ε το. β β β β [ η] τ κ 89. Ν κάνετε τις πράξεις: β ( + ) + + β iv. + + β β ii. ( β): β v. + + : χ χ χ κ. [ ] ε χ iii. vi. χ + + + + + χ χ β vii. : β + β β 90. Ν υποοίσετε την τιή της πράστσης: 8 8 β 4 4 4 β β β β + β + β + β 45 / 56
ο ΚΕΦ. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 9. Ένς φοιτητής ξοδεύει 5 ευρώ την ηέρ ι φητό κι ψυχωί. Πόσ χρήτ πορεί ν ξοδέψει ι φητό κι πόσ ι ψυχωί; ) Γράψε ι πιθνή επιοή του φοιτητή. β) Αν ξοδέψει ι φητό 0 ευρώ πόσ πορεί ν ξοδέψει ι ψυχωί;... ) Αν ξοδέψει ι ψυχωί ευρώ πόσ πορεί ν ξοδέψει ι φητό;... δ) Το ζεύος (9,5, 5,5 ) είνι ι ύση του προβήτος; ε) Γράψε υπό ορφή ζευών τρεις κόη ύσεις του προβήτος. στ) Αν ξοδέψει ι φητό x δρχ. τότε ι ψυχωί πόσ πορεί ν ξοδέψει; y =... -... ζ) Η πρπάνω εξίσωση πορεί ν σου δώσει όες τις ύσεις του προβήτος; 9. Ο Γιάννης είνι 5 χρόνι ικρότερος πό τον Κώστ. Πόσων χρόνων πορεί ν είνι ο κθένς; ) Γράψε ι πιθνή πάντηση ι την ηικί του κθενός. β) Γράψε δύο ζεύη ριθών που ν είνι ύσεις του προβήτος. ) Αν η ηικί του Γιάννη είνι x κι του Κώστ y ράψε την εξίσωση που πορεί ν δώσει τις ύσεις του προβήτος. δ) Ποι είνι η ικρότερη κέριη τιή που πορεί ν πάρει ο x; κ. ε) Ποιες τιές πορεί ν πάρει ο y; [ 9. ]ε ίνετι η εξίσωση y + x = 7. ) Ν δείξετε ότι το ζεύος (-, 4) είνι ύση υτής της εξίσωσης. β) Αν x = 5 ν βρείτε y =... ώστε το ζεύος (5, y) ν είνι ύση της εξίσωσης. ) Σε ορθοώνιο σύστη ξόνων ν πρστήσετε ρφικά τις ύσεις της εξίσωσης y + x = 7. 94. ίνετι η εξίσωση 5x + y = 6. Αποδείξτε ότι το ζεύος (x = κ, y = 6-5κ), κ R επηθεύει την εξίσωση. 95. Οι x, y, είνι πρτικοί ριθοί κι ισχύει: x = - κι y = 5 +. ) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τ x κι y. β) Σε ορθοώνιο σύστη ξόνων, πού βρίσκοντι τ ζεύη (x, y) που επηθεύουν την πρπάνω σχέση; 46 / 56
96. ύο φίοι Α κι Β έχουν άθροισ ηικιών 5 χρόνι. ) Μπορείτε ν υποοίσετε την ηικί του κθενός; Αν νι, ποιες είνι οι ηικίες τους; Αν όχι, ιτί; β) Εάν σς έδινν κι έν δεδοένο κόη: «Η διφορά των ηικιών των Α κι Β είνι 5 χρόνι», πώς θ υποοίζτε τις ηικίες υτές; 97. Σ έν πορτοφόι υπάρχουν 4 ευρώ σε κέρτ του ενός κι των δύο ευρώ. Πόσ κέρτ του ενός κι πόσ των δύο ευρώ υπάρχουν στο πορτοφόι; ) Γράψε ι εξίσωση ε δύο νώστους x κι y που ν ύνει το πρόβη. β) Το πρόβη υτό έχει ί ή περισσότερες ύσεις; ικιοόησε την πάντησή σου. ) Είνι δυντόν ο ριθός των κεράτων του ενός ευρώ ν είνι ίσος ε τον ριθό των κεράτων των δύο ευρώ; Αν νι, πόσ θ είνι τ κέρτ του ενός κι πόσ των δύο ευρώ; Αν όχι, ιτί; 98. Ν υποοίσετε την τιή του ώστε η εξίσωση x + y + - 6 = 0 ν έχει ύση το ζευάρι των ριθών (, -); 99. Η ρική εξίσωση που επηθεύετι ε κάθε ζεύος της ορφής x = κ -, κι y = κ +, κ R είνι: Α. y - x = 5 Β. x - y = - Γ. x - y =. x - y = κ. [ ]ε Ε. x + y = 7 (Επιέξτε την σωστή εξίσωση). 47 / 56
00. Γι τους ριθούς x, y R έχουε τ δεδοέν στη στήη (Α). Συνδέστε ε ι ρή τ δεδοέν υτά ε το ντίστοιχες εξισώσεις της στήης (Β). στήη (Α) στήη (Β) εδοέν ι τους x, y R Εξισώσεις. Έχουν άθροισ κι x - y = όο 5 y = x. ιφέρουν κτά κι το x+y=6 x είνι τριπάσιο του y xy = 8. Είνι πευρές ορθοωνίου xy = 6 πρη-οράου x-y=8 ε περίετρο κι εβδόν 8 x + y = x = 5y x+y=0 x+=-y x-y=0 κ. 48 / 56 [ x+y= ]ε
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0. Κθειά πό τις πρκάτω προτάσεις πορεί ν είνι σωστή, πορεί όως ν είνι άθος. Γράψτε δίπ πό κάθε πρότση το Σ ν υτή είνι σωστή κι το Λ ν υτή είνι άθος. Η εξίσωση χ χ = 0 είνι εξίσωση ου βθού. Η εξίσωση χ + = 0 είνι εξίσωση ου βθού. Η εξίσωση ( )χ χ + 4 = 0 είνι εξίσωση ου βθού ι κάθε τιή του πρτικού ριθού. Η εξίσωση χ - χ(χ + ) - =0 είνι εξίσωση ου βθού. Αν η εξίσωση χ + βχ + = 0, 0 δεν έχει πρτικές ρίζες τότε β < 4 Η εξίσωση χ + βχ + = 0, 0 ε = 0 έχει πάντ δύο ρίζες. Η εξίσωση χ + βχ + = 0, 0 ε < 0 έχει πάντ δύο άνισες ρίζες. β Η εξίσωση χ + βχ = 0, 0 έχει ρίζες το 0 κι το Η εξίσωση χ + = 0, 0 έχει πάντ δύο ρίζες τους ριθούς κι β Αν > τότε η εξίσωση χ + βχ = 0, 0 έχει δύο άνισες ρίζες. Η εξίσωση x + βx + =κ0,. 0 ε δικρίνουσ [ ] ε : έχει δύο ρίζες άνισες, ν... 0. Ν συπηρώσεις τ κενά: έχει ι διπή ρίζ, ν... δεν έχει κιά πρτική ρίζ, ν... 49 / 56
0. Ν ντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήης του πρκάτω πίνκ ε έν στοιχείο της δεύτερης στήης του συπηρώνοντς τον δεύτερο πίνκ. στήη (Α) στήη (Β) Εξίσωση ου βθού ικρίνουσ εξίσωσης. x - = 0 A.. x - x = 0 B. 4 C. 9 + 4. x - x - = 0 D. 4. - x + x + = 0 E. + F. - 04. Ν υθούν οι πρκάτω εξισώσεις ως προς x ή y: ) x - 4x = 0 4 β) x = 4x ) x + x - 5 = 0δ) 5x - 8x - 8 = 0 ζ) y - ( + ) y + = 0 η) 0,5 x + 5x + = 0 κ [ ] ε. θ) x + 4κx - κ = 0 ι) 4x - 4κx - 5κ = 0 ε) x - 6x + 7 = 0 στ) y - y + = 0 κ) 8y = 0κy + κ 05. ίνετι η εξίσωση ( - + ) x + ( - ) x + = 0. Ν βρεθεί ο πρτικός ριθός ώστε η πρπάνω εξίσωση: ) ν έχει ί όνο ρίζ β) ν έχει διπή ρίζ 06. Τ ήκη των τριών πευρών ενός ορθοωνίου τριώνου είνι τρεις διδοχικοί κέριοι ριθοί. Ν βρεθούν οι ριθοί υτοί. 07. Το εβδόν ενός ορθοωνίου πρηοράου είνι 5 cm. Πότε το ορθοώνιο έχει την εάχιστη περίετρο κι ποι είνι υτή; 50 / 56
08. Σε τρπέζιο το άθροισ των βάσεών του κι του ύψους του είνι 0. ) Γι ποι τιή του ύψους του το εβδόν του τρπεζίου ίνετι έιστο; β) Πόσο είνι το εβδόν υτό; 09. Η πευρά ενός τετρώνου είνι 4 cm εύτερη πό την πευρά ενός άου τετρώνου. Βρείτε τις πευρές τους ν νωρίζουε ότι η διφορά των εβδών τους είνι 88 cm. 0. Το πήθος των διωνίων ενός πουώνου ε ν πευρές δίνετι πό τον τύπο: ν (ν - ) δ ν =. Αν το πούωνο έχει 04 διωνίους, πόσες είνι οι πευρές του;. Το άθροισ των ν πρώτων φυσικών ριθών δίνετι πό τον M [ η] a τύπο: Σν = + + + 4 +... + ν = Βρείτε το ν, ν ξέρουε ότι Σ ν = 00. ν (ν ) τ κ. Το εβδόν ις σείδς ενός βιβίου είνι 00 cm. Αν το ήκος της είνι 5 cm εύτερο πό το πάτος της, βρείτε τις διστάσεις της σείδς.. Ν υθούν οι διτετράωνες εξισώσεις: ) x 4-6x + 8 = 0 β) x 4 - x - 4 = 0 ) x 4 - x - 5 = 0 δ) 6y 4 + 7y = - ε) x 4 - ( + β ) x + ( - β ) = 0 4. Ν υθούν οι εξισώσεις: ) x + x + = 0 β) x - - 4 = x - 5. Ν υθεί η εξίσωση: x 4 - ( + ) x + = 0 + κ. [ ] ε 6. Ποιο είνι το κ, ότν η εξίσωση κx - 4x - 5 = 0 έχει άθροισ ριζών ίσο ε ; 5 / 56
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7. χ ν χ 0 ίνετι η συνάρτηση f(x) = χ + ν χ < 0. Ν υποοίσετε Γι χ = Γι χ = Γι χ = Γι χ = Γι χ = τις πρκάτω τιές της. : f () =..=.. = - : f ( ) =..=.. = 0 : f ( 0 ) =..=.. = : f ( ) =..=.. = -,5 : f (,5 ) =..=.. = Γι χ = : f ( ) =..=.. = 4 4 β. Ν βρείτε την τιή του χ ν η τιή της συνάρτησης είνι 0. x, x < 8. ίνετι η συνάρτηση f (x) = 4, x < x, x Ν συπηρώσετε τις ισότητες: ) f (-) =... β) f (-) =...) f (0) =... δ) f () =... 9. ίνετι η συνάρτηση f (x) = x -, x R Ν συπηρώσετε τις ισότητες:) f (- ) =... β) f () =... ) f (x) =...δ) f(x ) =... 0. Ο πίνκς τιών x - - ψ - 6 κ. [ ντιστοιχεί στη συνάρτηση:α. y = x ]ε B. y = x +, R Γ. y = x. y = x Ε. y = - x Επιέξτε τη σωστή πάντηση.. ίνετι η συνάρτηση f ε f (x) = x - x +. Ν βρείτε: ) το πεδίο ορισού της, Α β) ι ποιες τιές του x Α έχουε f (x) = 0 ) το πεδίο ορισού Β της συνάρτησης g (x) = x x - x +. Οι πρκάτω προτάσεις πορεί ν είνι σωστές πορεί όως ν είνι κι άθος. Ν ράψετε Σ ή Λ στο τέος της πρότσης ν υτή είνι σωστή ή άθος ντίστοιχ. Η συνάρτηση ψ = χ ε χ>0, πορεί ν εκφράζει το εβδό ψ ενός τετρώνου ν χ η πευρά του. Η σχέση ψ = χ, ε χ>0, δεν είνι συνάρτηση ιτί σε ι τιή του χ πορούε ν βρούε δύο τιές ι το ψ. 5 / 56
Στη συνάρτηση ψ = πρτικό ριθό. Στη συνάρτηση ψ = x, το χ πορεί ν πάρει τιή οποιονδήποτε, το χ κι το ψ δεν πορούν ν πάρουν την τιή x 0.. Στη σχέση ψ = χ χ το ψ ίνετι ίσο ε το 0 ι δύο τιές του χ. Ποιες είνι υτές; Εκφράζει η ισότητ υτή συνάρτηση; 4. Ποι πό τις πρκάτω ρές δεν ντιστοιχεί σε ρφική πράστση συνάρτησης: Α Β Γ 5. Στο πρκάτω σχή δίνετι η ρφική πράστση ις συνάρτησης f. κ. [ ]ε Σηείωση: Τ δύο ευθύρ τήτ τένουν τον χ χ στ σηεί Α(0/, 0) κι Β(-0/, 0) 5 / 56
. Ν συπηρώσετε τον πρκάτω πίνκ. χ 6-6 7-7 - - - ψ=f(x) -4-4 4 β. Ποι είνι η εάχιστη κι ποι η έιστη τιή της συνάρτησης;. Ποιο είνι το πεδίο ορισού της συνάρτησης; δ. Προυσιάζει κάποι συετρί η ρφική πράστση της συνάρτησης; Ως προς ποι ευθεί; ε. Ν ράψετε τ σηεί στ οποί η ρφική πράστση της συνάρτησης τένει τους άξονες. στ. Ν βρείτε ι ποι χ η ρφική πράστση της συνάρτησης βρίσκετι πάνω πό τον χ χ. M a [ η] κ. [ ] ε τ κ 54 / 56
Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ψ=χ+β 6. Ν συπηρώσετε τις πρκάτω προτάσεις : Οι τιές της ρικής συνάρτησης ψ = χ +β προκύπτουν πό τις τιές της συνάρτησης ψ = χ προσθέτοντς τον ριθό. Η ρφική πράστση της συνάρτησης ψ = χ +β είνι ι ευθεί η οποί είνι πράηη στην ευθεί που πριστάνει ρφικά η συνάρτηση.. Η ρφική πράστση της συνάρτησης ψ = χ +β είνι ι ευθεί η οποί τένει τον ψ ψ στο σηείο (.,.). 7. ίνοντι οι συνρτήσεις: ψ = χ, ψ = χ+, ψ = χ-. ) Ν συπηρώστε τους πρκάτω πίνκες τιών: Τιές του χ 0 - - Τιές της ψ = χ Τιές της ψ = χ+ Τιές της ψ = χ β) Ν σχεδιάσετε έν ορθοώνιο σύστη ξόνων στο οποίο ν τοποθετήσετε τ σηεί του πρπάνω πίνκ κι ν σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες που πριστάνουν ρφικά οι πρπάνω συνρτήσεις. 8. Στην πρώτη στήη του πρκάτω πίνκ δίνοντι 4 συνρτήσεις. Στην δεύτερη στήη του δίνοντι 4 σηεί στ οποί οι ευθείες που πριστάνουν υτές οι συνρτήσεις τένουν τον ψ ψ: Ν ντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήης ε έν όνο σηείο της δεύτερης στήης, συπηρώνοντς τον δεύτερο πίνκ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ. ψ = χ-5 Α. (0, -5). ψ = -9χ+ Β. (0, -9). ψ = 4χ 9 Γ.(0, ) 4. ψ = 5χ +. (0, ) κ. [ ]ε ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ... 4. ΣΗΜΕΙΟ 4. Στην πρώτη στήη του πρκάτω πίνκ δίνοντι 4 συνρτήσεις. Στην δεύτερη στήη του δίνοντι 4 σηεί στ οποί οι ευθείες που πριστάνουν υτές οι συνρτήσεις τένουν τον χ χ: Ν ντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήης ε έν όνο σηείο της δεύτερης στήης, συπηρώνοντς τον δεύτερο πίνκ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟ. ψ = χ-6 Α. (, 0). ψ = -χ+9 Β. (, 0). ψ = 4χ 4 Γ.(, 0) 4. ψ = 5χ +5. (-, 0) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ... 4. ΣΗΜΕΙΟ 55 / 56
9. Στην πρώτη στήη του πρκάτω πίνκ δίνοντι 4 συνρτήσεις. Στην δεύτερη στήη του δίνοντι 4 διφορετικές συνρτήσεις. Ν ντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήης ε κάθε συνάρτηση της δεύτερης στήης, ώστε οι ευθείες που πριστάνουν ν είνι πράηες, συπηρώνοντς τον δεύτερο πίνκ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η. ψ = χ-5 Α. ψ = 4χ +. ψ = -9χ+ Β. ψ = 5χ +. ψ = 4χ 9 Γ. ψ = -9χ-5 4. ψ = 5χ +. ψ = χ -9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η 0.... 4. ίνετι η συνάρτηση ψ = -χ + 6. ) Έστω Α κι Β τ σηεί στ οποί υτή τένει τους άξονες χ χ κι ψ ψ ντίστοιχ. Ν υποοίσετε τις συντετένες υτών των σηείων. β) Ν σχεδιάσετε την ρφική της πράστση. ) Ν υποοίσετε το ήκος του ευθύρου τήτος ΑΒ. δ) Ν υποοίσετε το εβδόν του τριώνου ΑΒΓ.. ίνετι η συνάρτηση ψ = χ + β, η οποί είνι πράηη στην ευθεί ψ = χ κι τένει τον ψ ψ στο σηείο (0, 4) ) Ν υποοίσετε την τιή του κι την τιή του β. β) Ν βρείτε το σηείο στο οποίο η ρφική της πράστση τένει τον άξον χ χ.. κ. [ ]ε ίνοντι οι συνρτήσεις ψ = χ+ κι ψ = -χ + 6. ) Σε ποιο πό τ πρκάτω σηεί τένοντι οι ευθείες που πριστάνουν ρφικά υτές οι συνρτήσεις; Α. (0, ) Β. (0, ) Γ. (, ). (, 4) (Επιέξτε την σωστή πάντηση) β) Ν σχεδιάσετε τις πρπάνω ευθείες τοποθετώντς στους άξονες το σηείο τοής τους κι τ σηεί στ οποί υτές τένουν τον ψ ψ.. ίνοντι οι συνρτήσεις ψ = χ 4 κι ψ = -χ + οι οποίες τένοντι στο σηείο (, β). ) Ν ράψετε τις δύο ισότητες που επηθεύουν τ κι β. β) Ν υποοίσετε τις τιές των, β. Ποιο είνι το σηείο τοής τους; 4.. ίνετι η συνάρτηση ψ = χ + β. Γνωρίζουε ότι η ευθεί που πριστάνει ρφικά υτή η συνάρτηση τένει τον χ χ στο σηείο (, 0) κι τον ψ ψ στο σηείο (0, ). ) Ν υποοίσετε τις τιές των, β. β) Ν σχεδιάσετε την ευθεί ψ = χ + β. ) Ν βρείτε το σηείο τοής της ευθείς υτής ε την ευθεί που είνι η ρφική πράστση της συνάρτησης ψ = -χ +. 56 / 56