Δυναμική Μηχανών I 7 2 Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς
2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Περιεχόμενα Αναπαραστάσεις Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων: Επανάληψη Συνάρτηση Μεταφοράς Πόλοι και Μηδενιστές Μητρώο Μεταφοράς Μοντελοποίηση Συστημάτων Μέσω Συνάρτησης/Μητρώου Μεταφοράς
Επανάληψη Αναπαραστάσεις Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων
Αναπαραστάσεις Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί μέσω συστημάτων ΣΔΕ με 2 τρόπους Και οι δύο τρόπου δίνουν μια συνολική περιγραφή του συστήματος: αφού υπολογιστούν οι αποκρίσεις q t και x t τότε μπορεί να υπολογιστεί κάθε σύνολο y t μεταβλητών ενδιαφέροντος 1. Με N γραμμικές ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς Βαθμούς Ελευθερίας q M q + C q + K q = G f y t = Ν q q + Ν u q + Ν f f 2. Με S = 2N ΣΔΕ 1 ης τάξης ως προς τις Μεταβλητές Κατάστασης x x = A x + Β f y t = Ν x x + Ν f f
Αναπαραστάσεις Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Περιγραφή με N γραμμικές ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς τους Β.Ε. q Είσοδοι (Εξωτερικές Διεγέρσεις) f(t) Σύστημα M q + C q + K q = G f q t q t Έξοδοι y(t) Περιγραφή με S γραμμικές ΣΔΕ 1 ης τάξης ως προς τις Μ.Κ. x Είσοδοι (Εξωτερικές Διεγέρσεις) f(t) Σύστημα x = A x + Β f x t Έξοδοι y(t)
Περιγραφές Συστημάτων Οι έξοδοι ενδιαφέροντος y t είναι οποιαδήποτε μεταβλητή ενδιαφέροντος που περιέχεται στο σύστημα Ανάλογα με αριθμό των εισόδων f t (εξωτερικών διεγέρσεων) και αριθμό των εξόδων ενδιαφέροντος y t υπάρχουν 2 περιγραφές ενός συστήματος Συστήματα μοναδικής εισόδου και μοναδικής εξόδου (SISO: single input single output) f t Σύστημα y t Συστήματα πολλών εισόδων και πολλών εξόδων (MIMO: multiple input multiple output) f t Σύστημα y t
Ορισμός και φυσικό νόημα Συνάρτηση Μεταφοράς
Συνάρτηση Μεταφοράς: Ορισμός Έστω SISO δυναμικό σύστημα που περιγράφεται από γραμμική ΣΔΕ: d n y dt n + a n 1 dn 1 y dt n 1 + + a 1 dy dt + a 0 y = β m dm f dt m + + β 1 df dt + β 0 f Η συνάρτηση μεταφοράς Η f y s ορίζεται ως ο λόγος y s f s του μ/χ Laplace της εξόδου δια τον μ/χ Laplace της εισόδου για μηδενικές αρχικές συνθηκες y s Η f y s = f s = β m s m + + β 1 s + β 0 s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 * Σε SISO συστήματα, αντί για Η f y s
Συνάρτηση Μεταφοράς: Απόκριση σε Διεγέρσεις Η συνάρτηση μεταφοράςη f y s = Η s περιγράφει την δυναμική μεταξύ της εισόδου f(t) και της εξόδου y(t) ενός συστήματος Αν στο σύστημα εφαρμοστεί μια διέγερση f t = e st (όπου το s είναι μιγαδικός αριθμός), τότε η απόκριση (μηδενικές Α.Σ.) είναι: y ΕΔ t = H(s) e st Το σύστημα λειτουργεί σαν ένας ενισχυτής με κέρδος H(s) f t = e st Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα y t = H(s) e st
Συνάρτηση Μεταφοράς: Μιγαδικός Αριθμός Η H s = H s e j H(s) είναι ένας μιγαδικός αριθμός Πιο σωστά μια μιγαδική συνάρτηση του μιγαδικού s Πιθανές τιμές για τον μιγαδικό αριθμό s στον εκθέτη της διέγερσης Περίπτωση s = α, α < 0 R περιγράφει εκθετικά αποσβενόμενη διέγερση Περίπτωση s = 0 περιγράφει βηματική διέγερση Περίπτωση s = ±Ωj, Ω 0 R περιγράφει αρμονική διέγερση Περίπτωση s = α ± Ωj, α < 0, Ω 0 R περιγράφει εκθετικά αποσβενόμενη αρμονική διέγερση
Συνάρτηση Μεταφοράς: Σχέση με Απόκριση σε Κρουστική Διέγερση Έστω ότι στο σύστημα ασκείται κρουστική είσοδος f t = δ t f s = 1 Τότε ο μ/χ Laplace της απόκρισης είναι: y s = Η(s) O αντίστροφος μ/χ Laplace δίνει την χρονική απόκριση, η οποία είναι η απόκριση h(t) σε κρουστική διέγερση: h t = L 1 y s = L 1 H s Επομένως προκύπτει ότι η συνάρτηση μεταφοράς H s είναι ο μ/χ Laplace της απόκρισης h t σε κρουστική διέγερση: H s = L h t
Μητρώο Μεταφοράς: Ορισμός Η γενίκευση της συνάρτησης μεταφοράς σε ένα σύστημα MIMO είναι το μητρώο μεταφοράς Έστω ένα σύστημα ΜΙΜΟ όπου ασκούνται μ εξωτερικές διεγέρσεις f(t) και μας ενδιαφέρει η απόκριση ν μεταβλητών y(t). Ως μητρώο μεταφοράς H(s) ορίζεται το μ ν μητρώο (για μηδενικές Α.Σ.) y s = H s f s Π.χ., στο σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης M q + C q + K q = G f(t), αν οι έξοδοι ενδιαφέροντος είναι y = q, τότε H(s) = (M s 2 + C s + K) 1 G
Μητρώο Μεταφοράς: Στοιχεία Ένα μητρώο μεταφοράς έχει H(s) έχει ν μ στοιχεία ν: αριθμός εξόδων, μ: αριθμός εισόδων H 1,1 (s) H 1,μ (s) H s = H ν,1 (s) H ν,μ (s) Το στοιχείο H i,j (s) (γραμμή i, στήλη j) του μητρώου H(s) Περιγράφει ότι όταν στην j-ιοστή είσοδο ασκείται διέγερση e st, τότε η απόκριση της i-ιοστής εξόδου θα είναι H i,j (s) e st Είναι ο μ/χ Laplace της απόκρισης της i-ιοστής εξόδου σε κρουστική διέγερση στην j-ιοστή διέγερση
Οι κρίσιμες τιμές του s Πόλοι και Μηδενιστές
Πόλοι και Μηδενιστές μιας Συνάρτησης Μεταφοράς Έστω SISO σύστημα που περιγράφεται από συνάρτηση μεταφ. Η s : Η Η s είναι ένα ποιλίκο των πολυονήμων n s και d(s) y s Η s = f s = β m s m + + β 1 s + β 0 s n + a n 1 s n 1 = n(s) + + a 1 s + a 0 d(s) Ο παρονομαστής d(s) της Η s είναι το χαρακτηριστικό πολυώνημο του συστήματος ως προς s. Οι n ρίζες p i του d(s) ονομάζονται πόλοι και ταυτίζονται με τις ιδιοτιμές του συστήματος. Οι m ρίζες z i του αριθμητή n(s) ονομάζονται μηδενιστές Η Η s μπορεί τότε να γραφεί ως Η s = κ s z 1 s z 2 s z m s p 1 s p 2 s p n = κ i=1 m n i=1 s z i s p i
Πόλοι και Μηδενιστές: Φυσικό Νόημα Η συνάρτηση μεταφοράς περιγράφει πως μια διέγερση f t = e st ενισχύεται από ένα σύστημα ως την έξοδο y t = H(s) e st f t = e st Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα y t = H(s) e st Οι πόλοι είναι οι τιμές του s για τις οποίες y t Ταυτίζονται με τις ιδιοτιμές και επομένως περιγράφουν την απόκριση σε Α.Σ. Περιγράφουν διεγέρσεις στις οποίες το σύστημα διεγείρεται πολύ έντονα Οι μηδενιστές είναι οι τιμές του s για τις οποίες y t 0 Περιγράφουν διεγέρσεις στις οποίες δεν αποκρίνεται η έξοδος y t
Πόλοι και Μηδενιστές: Αναπαράσταση Διάγραμμα μηδενιστών (o) και πόλων (x) MATLAB: συνάρτηση pzmap 5 Pole-Zero Map Imaginary Axis (seconds -1 ) 0-5 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 Real Axis (seconds -1 )
Πόλοι και Μηδενιστές: Ομογενής Απόκριση Οι πόλοι της Η s είναι οι ιδιοτιμές του συστήματος και περιγράφουν την απόκριση της ομογενούς y h t = n i=1 c i e λ it = n i=1 c i e p it Συνεισφορά στην y h t : Ένας πραγματικός πόλος p i = α συνεισφέρει στην c i e αt Ένα ζευγάρι μιγαδικών πόλων p i,i+1 = α ± βj συνεισφέρει στην ομογενή τον όρο e αt c i cos(βt) + c i+1 sin(βt) Παρατήρηση: τα ίδια ισχύουν για την απόκριση των x t και q t. Επειδή είναι διανύσματα, οι σταθερές c i είναι διανύσματα Κάθε πόλος (ιδιοτιμή) p i αντιστοιχεί στην απόκριση της i-ιοστής ιδιομορφής
Πόλοι και Μηδενιστές: Ομογενής Απόκριση Γενικά οι πιο «αργοί» πόλοι της H(s) συνεισφέρουν περισσότερο στην y h t σχετικά με τους «γρήγορους»: Όσο η θέση του πόλου p i απομακρύνεται από την αρχή 0 τόσο πιο γρήγορος ο πόλος Η παρουσία ενός μηδενιστή z j κοντά σε ένα πόλο p i μειώνει την συνεισφορά του πόλου αυτού στην απόκριση (ο συντελεστής c i ελαττώνεται) Στην ακραία περίπτωση που ένας μηδενιστής z j ταυτίζεται με τον πόλο p i τότε η H(s) δεν περιέχει τα z j και p i αυτό δεν σημαίνει ότι αναγκαστικά δεν διεγείρεται η i-ιοστή ιδιομορφή, ίσως απλά ότι αυτή η ιδιομορφή δεν επιδρά στην έξοδο y(t) βλέπε «διεγερσιμότητα και παρατηρησιμότητα» στην θεματική ενότητα «ιδιομορφές» Υπολογίζοντας τους πόλους και τους μηδενιστές μιας συνάρτησης μεταφοράς H(s) έχουμε μια ιδέα ποιοι πόλοι κυριαρχούν στην απόκριση της Περισσότερες πληροφορίες στα Σ.Α.Ε
Πόλοι και Μηδενιστές: Eυστάθεια Οι πόλοι (ιδιοτιμές) καθορίζουν την ευστάθεια του συστήματος Το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές όταν ΟΛΟΙ οι πόλοι έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος Το σύστημα είναι οριακά ευσταθές ζ>1 x x 0<ζ<1 x x x x Im(p i ) ζ=0 x x ζ<0 Re(p i ) Ευστάθεια Αστάθεια
Πόλοι και Μηδενιστές σε Συστήματα ΜΙΜΟ Για το σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης M q + C το μητρώο μεταφοράς είναι: το οποίο γράφεται H(s) = H s = H s = q + K q = G f(t) H(s) = (M s 2 + C s + K) 1 G 1 M s 2 + C s + K adj(m s2 + C s + K) G Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Α 1 1,1 s Α 1,μ s M s 2 + C s + K Α ν,1 s Α ν,μ s Α 1,1 (s) M s 2 + C s + K Α 1,μ (s) M s 2 + C s + K Α ν,1 (s) M s 2 + C s + K Α ν,μ (s) M s 2 + C s + K
Πόλοι και Μηδενιστές σε Συστήματα ΜΙΜΟ H s = Α 1,1 (s) M s 2 + C s + K Α 1,μ (s) M s 2 + C s + K Α ν,1 (s) M s 2 + C s + K Α ν,μ (s) M s 2 + C s + K Όλα τα στοιχεία του H s έχουν τους ίδιους πόλους Ταυτίζονται με τις ιδιοτιμές του συστήματος. Ιδιότητα του συστήματος! Τα στοιχεία του H s έχουν διαφορετικούς μηδενιστές Κάθε έξοδος αντιδρά διαφορετικά στις διεγέρσεις από κάθε είσοδο 23
Οι κρίσιμες τιμές του s Μοντελοποίηση Συστημάτων Μέσω Συνάρτησης/Μητρώου Μεταφοράς
Κατάστρωση Συνάρτησης Μεταφοράς Πρόβλημα: Έστω δυναμικό σύστημα που περιγράφεται μέσω των Β.Ε. q: M q + C q + K q = G f(t) Και η μεταβλητή ενδιαφέροντος y(t), η οποία εκφράζεται ως συνάρτηση των q, q και f(t): y(t) = Ν q q + Ν u q + Ν f f(t) Υπολογίστε την συνάρτηση μεταφοράς Η f y (s) Λύση 1. Υπολογίζεται το μητρώο μεταφοράς q s = H s f s που εκφράζει τον μ/χ Laplace των Β.Ε. q s ως συνάρτηση του μ/χ Laplace της διέγερσης f s H s = M s 2 + C s + K 1 G 2. Εφαρμόζοντας μ/χ Laplace στην σχέση για το y(t) προκύπτει y s = (Ν q + Ν u s) q s + Ν f f s 3. Οπότε συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις προκύπτει y s = Ν q + Ν u s M s 2 + C s + K 1 G + Ν f f s = Η f y (s)
Κατάστρωση Συνάρτησης Μεταφοράς Πρόβλημα: Έστω δυναμικό σύστημα που περιγράφεται μέσω των Β.Ε. q: x = A x + Β f(t) Και η μεταβλητή ενδιαφέροντος y(t), η οποία εκφράζεται ως συνάρτηση των x και f(t): y(t) = Ν x x + Ν f f(t) Υπολογίστε την συνάρτηση μεταφοράς Η f y (s) Λύση 1. Υπολογίζεται το μητρώο μεταφοράς q s = H s f s που εκφράζει τον μ/χ Laplace των Β.Ε. q s ως συνάρτηση του μ/χ Laplace της διέγερσης f s H s = I s A 1 B 2. Εφαρμόζοντας μ/χ Laplace στην σχέση για το y(t) προκύπτει y s = Ν x x s + Ν f f s 3. Οπότε συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις προκύπτει y s = Ν x I s A 1 B + Ν f f s = Η f y (s)
Μοντελοποίηση Γραμμικών Συστημάτων Το ίδιο σύστημα μπορεί να περιγραφεί με διάφορους τρόπους Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς Β.Ε. q Μ q + C q + K q = G f(t) y(t) = Ν q q + Ν u q + Ν f f(t) Σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης ως προς Μ.Κ. x x = A x + Β f(t) y t = N x x + N f f(t) f(t) Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα y(t) Μητρώο μεταφοράς y(s) = H(s) f(s) H s = Ν x I s A 1 B + Ν f = Ν x I s A 1 B + Ν f
Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων Η απόκριση ενός δυναμικού συστήματος μπορεί να περιγραφεί είτε στο πεδίο του χρόνου t, είστε στο μιγαδικό πεδίο s f(t) Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα y(t) Πεδίο Χρόνου t h t Πεδίο Laplace s H s = L h t y t = h t u t y s = Η s u s 28
Μοντελοποίηση Πολύπλοκων Συστημάτων Συστήματα σε σειρά Η έξοδος του πρώτου είναι η είσοδος του δεύτερου f(t) Σύστημα 1 Η 1 (s) y 1 (t) Σύστημα 2 Η 2 (s) y(t) To ισοδύναμο σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς Η eq s = Η 1 (s) Η 2 (s) f(t) Ισοδύναμο Σύστημα Η eq (s) y(t)
Μοντελοποίηση Πολύπλοκων Συστημάτων Συστήματα παράλληλα Διεγείρονται από την ίδια είσοδο. Οι έξοδοι αθροίζονται f(t) Σύστημα 1 Η 1 (s) Σύστημα 2 Η 2 (s) y 1 (t) y 2 (t) + + y(t) To ισοδύναμο σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς Η eq s = Η 1 s + Η 2 (s) f(t) Ισοδύναμο Σύστημα Η eq (s) y(t)
Παράδειγμα
Πόλοι και Μηδενιστές (MIMO) Θεωρώ ότι όλες οι αδράνειες είναι ίσες με I, και όλες οι ελαστηκότητες με k. Ο λόγος μετάδοσης στο γρανάζι είναι τ 33
Μητρώο μεταφοράς Πόλοι και Μηδενιστές (MIMO) Σε αυτή τη περίπτωση υπάρχει ένας πόλος και ένας μηδενιστής στο -1 που απλοποιούνται H s = s 2 + 1 5s 2 (s 2 + 2) 2 5s 2 (s 2 + 2) s 2 1 5s 2 (s 2 + 2) 34
Υπολογισμός απόκρισης σε βηματική είσοδο μέσω του μ/χ Laplace Πόλοι και Μηδενιστές (MIMO) 35