Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι και συνεχής στο Μονάδες 6 Α Πότε δυο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Roll Μονάδες 5 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο τότε και η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο β) Αν για την συνάρτηση f είναι f () για κάθε στο εσωτερικό του Δ τότε η f είναι σταθερή στο Δ γ) Αν εσωτερικό σημείο του Δ και f παραγωγίσιμη στο και f ( ) τότε η f παρουσιάζει ακρότατο στο δ) Αν η f : A αντιστρέφεται ισχύει f (f()) για κάθε f(a) ε) Κρίσιμα σημεία της f είναι όλες οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων της f Μονάδες Θέμα Β λ Έστω η συνάρτηση f(),, λ και η συνάρτηση h τέτοια ώστε: h() f (), για κάθε Β Να δείξετε ότι η εξίσωση h() έχει μοναδική ρίζα στο (, ) Μονάδες 6 Σελίδα από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 Β Αν h( ), να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών και το πρόσημό της Μονάδες 6 Β Για να δείξετε ότι υπάρχει ρ (, ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στη c f στο σημείο M(ρ,f(ρ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Κ(, ), Λ(,f( )) Β4 Για να δείξετε ότι Ισχύει f ( ) f ( ) Μονάδες 7 Μονάδες 6 Θέμα Γ Έστω f δυο φορές παραγωγίσιμη στο, συνάρτηση για την οποία ισχύουν : f(), f () και f (), για κάθε > Γ Να αποδείξετε ότι f ()= + και ότι ο τύπος της f είναι f(), Μονάδες 8 Γ Να βρείτε το πλήθος των ριζών της f()=7 Μονάδες 7 Γ Αν η συνάρτηση g() f() ln, να αποδείξετε ότι: ι) η γραφική παράσταση της g έχει μοναδικό σημείο καμπής το οποίο και να βρείτε Μονάδες 7 ιι) η ευθεία με εξίσωση y "διαπερνά" τη γραφική παράσταση της g Μονάδες Σελίδα από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln c, και F: (, ) (, ) μια αρχική της f για την οποία ισχύει 94 F() F( ) 8 Δ Να αποδείξετε ότι c Μονάδες 6 Δ Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής A(,f( )), (, ) Μονάδες 5 Δ Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Μονάδες 5 Δ4 Να βρείτε την εφαπτομένη της f στο και να αποδείξετε ότι f(f())d Μονάδες 4 Δ5 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της f, τον άξονα ' και τις ευθείες = και f() Μονάδες 5 Θέμα Α Απαντήσεις f() f( ) Α Για έχουμε f() f( ) ( ), f() f( ) οπότε lim[f() f( )] lim ( ) f() f( ) lim lim( ) f ( ), Σελίδα από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, lim f() f( ), δηλαδή η f είναι συνεχής στο Α Δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες όταν, έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f()=g() Α Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και f(α) = f(β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε : f ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο M(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα των Α4 α) Λ, β) Λ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ Θέμα Β Β Για η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: λ f (), λ άρα λ h() f () h() h() λ χ, λ Η h παραγωγίσιμη ως διαφορά γινόμενο και σύνθεση παραγωγίσιμων για με h () 4 4 ( ) για κάθε και αφού η h συνεχής στο (, ) η h γνησίως φθίνουσα στο (, ) lim h() lim(λ ) λ lim h() lim (λ ) Σελίδα 4 από Αφού η h συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ) το σύνολο τιμών της θα είναι το (,λ), λ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 Αλλά το ανήκει στο σύνολο τιμών της h άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (, ) τέτοιο ώστε h(χ ) Το χ μοναδικό αφού η h γνησίως φθίνουσα στο (, ) Β h( ) λ λ συνεπώς f(), και f (), Η f παραγωγίσιμη για ως σύνθεση διαφορά και πηλίκο 4 παραγωγίσιμων με f () 4 για κάθε άρα η f γνησίως αύξουσα στο (, ) Είναι h( ) f ( ) άρα: Για έχουμε f () f ( ) f () και f συνεχής στο (, ] άρα η f γνησίως φθίνουσα στο (, ] Για έχουμε f () f ( ) f () και f συνεχής στο [, ) άρα η f γνησίως αύξουσα στο [, ) Συνεπώς η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f( ) Ακόμα: lim f() lim αφού lim και lim f() lim αφού lim Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το [, ) Θα είναι f() άρα f() για κάθε Β f(), Η f είναι συνεχής ως πηλίκο άθροισμα διαφορά και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων στο [, ] (, ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο, άθροισμα, διαφορά και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με f () Επομένως σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα f( ) f( ) τουλάχιστον ρ (, ) τέτοιο ώστε, f (ρ) δηλαδή η εφαπτόμενη Σελίδα 5 από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ευθεία στη c f στο σημείο M(ρ,f(ρ)) είναι παράλληλη στην ευθεία ΚΛ αφού f( ) f( ) f( ) και λab f( ) f( ) Β4 Είναι f (ρ) ( ) Ακόμα ρ και η f είναι γνησίως αύξουσα από το ερώτημα Β) άρα: f f ( ) f (ρ) f ( ) f ( ) f f (ρ) f ( ) f ( ) f ( ) Θέμα Γ - Γ f ()= f ()= f ()= f ()= f ()= f () Τότε από συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής έχουμε: f () c () f () Για χ= έχουμε: f () c c Τότε από την σχέση () έχουμε: f () f () f() Σελίδα 6 από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 Τότε από συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής έχουμε: () Για χ= έχουμε: f() f() c c Τότε από την σχέση () έχουμε: f(), f() c Γ Είναι f () f () f () f () Αφού η f παραγωγίσιμη στο, είναι και συνεχής σε αυτό Από τον πίνακα μονοτονίας έχουμε: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) Έστω (,), [, ) f( ) limf(), lim f() (, ) αφού limf() f() και DLH f ή lim f() lim lim lim lim f( ) f(), lim f() [, ) αφού u u u lim f() lim u lim u u γιατί lim και lim lim Επειδή 7f( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε f( ) 7 Το είναι μοναδικό στο γιατί f γνησίως φθίνουσα στο Σελίδα 7 από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 Επειδή 7f( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε f( ) 7 Το είναι μοναδικό στο γιατί f γνησίως αύξουσα στο Άρα η εξίσωση f() 7 έχει ακριβώς δύο ρίζες Γ ι) Η g είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () f () ln ( ), Η gείναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () f () ( ), Η g είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 4 g () f () 4 5 g (), Συνεπώς για κάθε είναι g () άρα η g γνησίως φθίνουσα στο, Παρατηρούμε ότι g () Τότε για κάθε (, ) με g g () g () g () Σελίδα 8 από g και για κάθε (, ) με g () g () g () Η g παρουσιάζει σημείο καμπής το (,g()) ή, αφού αλλάζει η κυρτότητα εκατέρωθεν του και δέχεται εφαπτομένη στο, αφού είναι παραγωγίσιμη ιι) Είναι g() και g () Η εφαπτομένη της c g στο, θα έχει εξίσωση:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 y g() g ()( ) y ( ) y η οποία "διαπερνά" τη γραφική παράσταση της g, διότι είναι εφαπτομένη της στο σημείο καμπής της Θέμα Δ 9 4 9 4 Δ F() F( ) F() F( ) 8 8 και αφού F μια αρχική της f από το Θεμελιώδες Θεώρημα το ολοκληρωτικού λογισμού έχουμε: F() F( ) f()d ( )ln c d ln d c 6 8c( ) ln d c( ) 6 8 9 4 8c( ) c 8 8 Δ Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο και άθροισμα παραγωγίσιμων με f () ln ln Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο, άθροισμα και πηλίκο παραγωγίσιμων με f () ln Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο, άθροισμα και πηλίκο παραγωγίσιμων με f () για κάθε (, ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα lim f () lim ln άρα υπάρχει ''κοντά'' στο τέτοιο ώστε f ( ) f ( ) ln Σελίδα 9 από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 Η f είναι συνεχής στο [, ] ως γινόμενο, άθροισμα και πηλίκο συνεχών, f ( ) f( ) άρα ισχύει το Θεώρημα Bolzano, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) (, ) τέτοιο ώστε f ( ) Το μοναδικό αφού f είναι γνησίως αύξουσα άρα και ''-'' Για κάθε f f () f ( ) f () f f () f ( ) f () Άρα η f αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του και είναι παραγωγίσιμη στο (δέχεται εφαπτομένη) άρα το A(,f( )) είναι σημείο καμπής Δ Αφού η f συνεχής στο (, ) και σύμφωνα με τον διπλανό πίνακα η f παρουσιάζει για ολικό ελάχιστο το f F() F() f F() d d f F() d f f f f ( ) ln f Ισχύει f ( ) ln Από τις δυο προηγούμενες σχέσεις έχουμε: f ( ) ln αφού (, ) (, ) Άρα f () f ( ) για κάθε (, ) και αφού η f είναι συνεχής θα είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Δ4 Η εφαπτομένη στο χ= θα είναι y f( ) f ( )( ) y Από το ερώτημα β) η f είναι κυρτή στο [, ) με και η y είναι εφαπτομένη, άρα για κάθε θα ισχύει f() () Αλλά F() για κάθε συνεπώς για F(w) στην () έχουμε: ff(w) F(w) ή Σελίδα από

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 Δ5 Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι E f () d Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f() f() E f () d f ()d f άρα f f() Θέτουμε f(ω) ω 9 9 () Άρα χ ω f() ω d f (ω)dω E f (f(ω))f (ω)dω ωωlnω dω ( ω lnω )dω ω lnω ω dω ω 4 97 τ μ 9 Από το Μαθηματικό Τμήμα των Φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν : Γ Ανδρουλιδάκης, Μ Βυνιχάκης, Α Δουλγεράκης, Μ Μπαρμπούνη, Ζ Μπομπότη, Π Σιδερής, Α Τσιλιφώνης Σελίδα από