Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι κατά πόσο µεταβάλλεται η εξαρτηµένη µεταβλητή y για γνωστή µεταβολή της ανεξάρτητης µεταβλητής. Εστω ότι από x 0 που ήταν αρχικά η ανεξάρτητη µεταβλητή γίνεται x. Μεταβάλλεται εποµένως κατά x = x x 0. Τότε η αντίστοιχη µεταβολή της εξαρτηµένης µεταβλητής ϑα είναι : y = f(x) f(x 0 ), ή y = f(x 0 + x) f(x 0 ). Το πηλίκο y x = f(x) f(x 0) = f(x 0 + x) f(x 0 ) x x 0 x ονοµάζεται µέσος ϱυθµός µεταβολής της συνάρτησης στο διάστηµα (x 0, x 0 + x). Η µέση µεταβολή είναι ένα µέτρο της µεταβολής της y στο διάστηµα (x 0, x 0 + x). Αν το διάστηµα αυτό γίνει εξαιρετικά µικρό, η αντίστοιχη µέση µεταβολή ϑα µπορεί να ϑεωρηθεί ως µέτρο της µεταβολής της y στο σηµείο x 0. Αυτό πετυχαίνεται παίρνοντας το όριο του µέσου ϱυθµού µεταβολής όταν x x 0 ή ισοδύναµα όταν x 0. Το όριο αυτό συµβολίζεται µε f (x 0 ) και 27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ονοµάζεται ϱυθµός µεταβολής ή παράγωγος αριθµός της συνάρτησης στο σηµείο x 0. Είναι εποµένως f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ). x Η τιµή της παραγώγου της f(x) στο σηµείο x 0 είναι ίση µε την εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζεται από τον άξονα των x και την εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο (x 0, f(x 0 )). ηλαδή ο παράγωγος αριθµός ισούται µε το συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) της εφαπτοµένης της καµπύλης της f(x) στο σηµείο (x 0, f(x 0 )). Εξίσωση εφαπτοµένης καµπύλης : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης y = x 3 3x + 2 στο σηµείο x = 2. 3.2 Παράγωγος συνάρτησης Ορισµός 3.2.1. Μία συνάρτηση y = f(x) ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [a, b] λέγεται παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 (a, b), αν υπάρχει ο παράγωγος αριθµός f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), x και είναι πεπερασµένος. Η y = f(x) λέγεται παραγωγίσιµη στο (a, b), αν είναι παραγωγίσιµη x (a, b). Παράδειγµα : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 3 x δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 0. Εστω y = f(x) : A R, µία συνάρτηση ορισµένη στο σύνολο A και A A το σύνολο των σηµείων στα οποία η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη. Αντιστοιχώντας σε κάθε σηµείο x 0 A τον παράγωγο αριθµό f (x 0 ), ορίζουµε µία νέα συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή λέγεται παράγωγος της f(x) και συµβολίζεται µε f (x). Είναι δηλαδή f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x). x

3.2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 29 Συµβολισµοί της παραγώγου : Η παράγωγος της f στο σηµείο x 0 συµ- ϐολίζεται µε ( ) df f (x 0 ),, df dx x 0 dx ενώ η παράγωγος σ ένα τυχαίο σηµείο x A (δηλαδή η παράγωγος συνάρτηση) συµβολίζεται µε f df (x), dx. Πλευρική παραγώγιση : Η παράγωγος από δεξιά της f(x) στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ορίζεται από τη σχέση f +(x 0 ) = lim x x + 0 x0 f(x) f(x 0 ) x x 0, αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός. Οµοίως, η παράγωγος από αριστερά της f(x) στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ορίζεται από τη σχέση f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0, αν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός. Μία συνάρτηση f(x) έχει παράγωγο στο x = x 0, αν και µόνον αν υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι στο σηµείο αυτό και είναι ίσες µεταξύ τους. ηλαδή ισχύει η σχέση f (x 0 ) = f +(x 0 ) = f (x 0 ). Πρόταση 3.2.1. Αν µία συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0, τότε ϑα είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Προσοχή : Η πρόταση δεν ισχύει αντίστροφα. ηλαδή, αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σηµείο x 0, τότε δεν είναι υποχρεωτικά και παραγωγίσιµη στο x 0. Για παράδειγµα η συνάρτηση f(x) = x είναι συνεχής στο x 0 = 0, ενώ δεν είναι παραγωγίσιµη σ αυτό. Αν όµως δεν είναι συνεχής στο x 0, τότε αναγκαία δεν είναι παραγωγίσιµη στο x 0. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x x 2 + 1,

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ στο σηµείο x 0 = 3. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = sin 3 (x 2), στο σηµείο x 0 = 2. Παράδειγµα : Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 1, η συνάρτηση x, 0 x 1 f(x) = 2x 1, 1 < x 2 Παράδειγµα : ίνεται η συνάρτηση x 2 + (2λ + λ 2 + 2)x, x < 0 f(x) = λx 2 + x, x 0 Να ϐρεθεί ο λ R ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = 0. 3.3 Κανόνες Παραγώγισης Πρόταση 3.3.1. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα I = (a, b), τότε και η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιµη στο I και ισχύει [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x), x I. Η παραπάνω πρόταση γενικεύται για n συναρτήσεις και ισχύει [f 1 (x) + f 2 (x) +... + f n (x)] = f 1(x) + f 2(x) +... + f n(x), x I. Πρόταση 3.3.2. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα I = (a, b), τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο I και ισχύει [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x), x I. Η παραπάνω πρόταση γενικεύται για n συναρτήσεις και ισχύει [f 1 (x)f 2 (x)... f n (x)] = n [f 1 (x)... f i 1 (x)f i(x)f i+1 (x)... f n (x)], x I. i=1

3.3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 31 Πρόταση 3.3.3. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη στο διάστηµα I = (a, b), τότε έχουµε [ (f(x)) k] = k (f(x)) k 1 f (x), x I, k N. Πρόταση 3.3.4. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες και παραγωγίσιµες στο διάστηµα I = (a, b) και ισχύει g(x) 0, για κάθε x I, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο I και ισχύει [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), x I. g(x) g 2 (x) Πρόταση 3.3.5. Η παράγωγος µιας σταθερής συνάρτησεις είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή (c) = 0, c σταθερά. Χρησιµοποιώντας την προηγούµενη πρόταση και την πρόταση 3.3.2 προκύπτει ότι [cf(x)] = cf (x). Επίσης αν στην πρόταση 3.3.4 πάρουµε f(x) = 1, τότε παίρνουµε [ ] 1 = g (x), x I. g(x) g 2 (x) Πρόταση 3.3.6. Η συνάρτηση f(x) = x n είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει (x n ) = nx n 1, x R. Με τη ϐοήθεια των παραπάνω προτάσεων, εύκολα µπορεί να αποδείξει κανείς ότι : 1. ( x) = 1 2 x, x > 0 2. (sin x) = cos x 3. (cos x) = sin x 4. (tan x) = 1 cos 2 x, x (2k + 1) π 2, k Z

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 5. (cot x) = 1 sin 2 x, x kπ, k Z 6. (arctan x) = 1 1 + x 2 7. (arcsin x) = 8. (e x ) = e x 1 1 x 2 9. (ln x) = 1 x 10. (a x ) = a x ln a Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων f(x) = (x 2 + 1)(x 4 + 3), g(x) = x x + 1. 3.4 Παραγώγιση σύνθετης, αντίστροφης και πεπλεγµένης συνάρτησης Θεώρηµα 3.4.1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της και η g είναι παραγωγίσιµη στο u 0 = f(x 0 ), τότε και η σύνθετη συνάρτηση h = g f είναι παραγωγίσιµη στο x 0 και µάλιστα ισχύει h (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Η παράγωγος εποµένως της σύνθετης συνάρτησης h(x) = g(f(x)) ϑα είναι : h (x) = g (f(x)) f (x). Αν χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό dy για την παράγωγο η παραπάνω dx σχέση γράφεται dy dx = dy du du dx. Η σχέση αυτή λέγεται και κανόνας της αλυσίδας. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων f(x) = sin(x 2 1), g(x) = ln 2 (ln x),

3.5. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 33 h(x) = e 3x2 +x, s(x) = 1 + x 2 + 2x. Πρόταση 3.4.1. Ας είναι f : [a, b] [c, d] µία 1 1 και επί συνάρτηση και f 1 : [c, d] [a, b] η αντίστροφή της συνάρτηση. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 [a, b] και είναι f (x 0 ) 0, τότε και η f 1 είναι παραγωγίσιµη στο y 0 = f(x 0 ) και ισχύει (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει ότι αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη για κάθε x [a, b], τότε και η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιµη και είναι (f 1 ) (y) = 1 f (x), y = f(x) [c, d]. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της αντίστροφης της συνάρτησης y = sin x, δηλαδή της συνάρτησης y = arcsin x. Ορισµός 3.4.1. Ας είναι x, y δύο µεταβλητές που συνδέονται µεταξύ τους µε µία σχέση της µορφής F (x, y) = 0. Τότε η συνάρτηση y = y(x) που καθορίζεται από µία τέτοια σχέση λέγεται πεπλεγµένη συνάρτηση. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η παράγωγος της πεπλεγµένης συνάρτησης που ορίζεται από τη σχέση x 3 + y 3 3xy = 0. 3.5 Παράγωγοι ανώτερης τάξης Οπως είδαµε η παράγωγος y µιας συνάρτησης y = f(x) είναι και αυτή µία συνάρτηση. Αν αυτή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη τότε την παραγωγό της τη λέµε παράγωγο δεύτερης τάξης ή δεύτερη παράγωγο της y = f(x) και συµβολίζουµε y ή f (x) ή d2 f dx 2. Οµοια την παράγωγο της δεύτερης παραγώγου τη λέµε τρίτη παράγωγο της y = f(x) και συµβολίζουµε y ή f (x) ή d3 f dx 3.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Γενικότερα ορίζουµε σαν παράγωγο n τάξης ή n-οστή παράγωγο της y = f(x), την παράγωγο της (n 1)-οστής παραγώγου και την συµβολίζουµε y (n) ή f (n) (x) ή dn f dx n. Παράδειγµα : Να ϐρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων 1. y = e 3x+x2 2. x 3 + y 3 3xy = 0. 3.6 ιαφορικό συνάρτησης - Προσεγγίσεις Εστω y = f(x) µία παραγωγίσιµη συνάρτηση. παραγώγου έχουµε f y (x) = lim x 0 x. Εποµένως µπορούµε να γράψουµε ότι Τότε από τον ορισµό της y x = f (x) + ε, όπου ε τέτοιο ώστε Ετσι έχουµε lim ε = 0. x 0 y = f (x) x + ε x. Ορισµός 3.6.1. Η ποσότητα f (x) x, η οποία ισούται κατά προσέγγιση µε την αντίστοιχη της x µεταβολή y, λέγεται διαφορικό της συνάρτησης y = f(x) στο σηµείο x και συµβολίζεται µε dy ή df(x). Ετσι, dy = f (x) x. Το διαφορικό της συνάρτησης f(x) = x, επειδή η παράγωγός της είναι παντού 1, ϑα είναι dx = x. Ετσι το διαφορικό µιας συνάρτησης y = f(x), γράφεται dy = f (x)dx.

3.7. ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 35 Το διαφορικό µιας συνάρτησης χρησιµοποιείται εκτός των άλλων και για τον υπολογισµό προσεγγιστικών τιµών. Από τον ορισµό του διαφορικού έχουµε y dy, από την οποία παίρνουµε f(x + x) f(x) f (x)dx, ή f(x + x) f(x) + f (x)dx. Παράδειγµα : Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η τιµή 3 27, 2. 3.7 Βασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισ- µού Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε δύο ϐασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισµού, το Θεώρηµα Rolle και το Θεώρηµα Μέσης Τιµής. Θεώρηµα 3.7.1. ( Rolle) Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a, b) και αν f(a) = f(b), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ στο διάστηµα (a, b) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0. Γεωµετρική ερµηνεία : Αν f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση η οποία παίρνει την ίδια τιµή σε δύο σηµεία του άξονα x, τότε υπάρχει ανάµεσά τους τουλάχιστον ένα σηµείο στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη προς των άξονα των x. Παράδειγµα : Για τη συνάρτηση f : [ 1, 1] R µε x 2 + ax + b, x [ 1, 0) f(x) = cx 2 + 4x + 4, x [0, 1] να ϐρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί a, b, c ώστε η f να ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήµατος Rolle.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Πόρισµα 3.7.1. Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο πραγµατικές ϱίζες a και b, µε a < b, και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιµη στο (a, b), τότε ξ (a, b) : f (ξ) = 0. Πόρισµα 3.7.2. Για µία πολυωνυµική συνάρτηση ικανοποιούνται οι προϋπο- ϑέσεις του Θεωρήµατος Rolle, έτσι µεταξύ δύο ϱιζών a και b ενός πολυωνύµου p(x) µε πραγµατικούς συντελεστές υπάρχει τουλάχιστον µία πραγµατική ϱίζα του p (x). Παράδειγµα : Να δειχθεί ότι αν η εξίσωση a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x = 0, (a 0, a 1,..., a n R) έχει µία ϱίζα x = x 0, τότε και η εξίσωση na 0 x n 1 + (n 1)a 1 x n 2 +... + a n 1 = 0, έχει µία ϑετική ϱίζα µικρότερη του x 0. Θεώρηµα 3.7.2. ( Θεώρηµα Μέσης Τιµής) Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a, b), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ στο διάστηµα (a, b) τέτοιο ώστε f (ξ) = f(b) f(a). b a Γεωµετρική ερµηνεία : Αν f(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση σ ένα διάστηµα [a, b] και A(a, f(a)), B(b, f(b)) τα σηµεία της καµπύλης που αντιστοιχούν στα άκρα του διαστήµατος, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο της καµπύλης P (ξ, f(ξ)) µεταξύ των A, B, µε ξ (a, b), όπου η εφαπτοµένη στο σηµείο αυτό είναι παράλληλη προς τη χορδή AB. Άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής είναι τα επόµενα πορίσ- µατα. Πόρισµα 3.7.3. Αν η παράγωγος µιας συνάρτησης f(x) είναι 0 σε όλα τα σηµεία ενός διαστήµατος [a, b], τότε η f(x) είναι σταθερή στο διάστηµα αυτό. ηλαδή f (x) = 0 f(x) = c, x [a, b].

3.8. ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ LHOSP IT AL - ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ T AY LOR 37 Πόρισµα 3.7.4. Αν f(x) και g(x) έχουν ίσες παραγώγους σε όλα τα σηµεία ενός διαστήµατος [a, b], τότε η διαφορά τους είναι σταθερή στο διάστηµα αυτό. ηλαδή f (x) = g (x) f(x) g(x) = c, x [a, b]. Πόρισµα 3.7.5. Αν η f(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [a, b] και ισχύει f (x) > 0, για κάθε x (a, b) (αντίστοιχα f (x) < 0, για κάθε x (a, b)), τότε η f(x) είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως ϕθίνουσα) στο διάστηµα [a, b]. Παράδειγµα : Να δεχθεί ότι ισχύει x 1 + x < ln(1 + x) < x, x > 0. 3.8 Κανόνας του L Hospital - Πολυώνυµο T aylor Θεώρηµα 3.8.1. (Κανόνας του L Hospital) Αν f(x), g(x) δύο συνεχείς και παραγωγίσιµες συναρτήσεις και x 0 R {, + } και lim x x 0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0(± ), τότε ισχύει f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Με το κανόνα του L Hospital υπολογίζουµε τα όρια των απροσδιόριστων µορφών 0 0 ή. Ο κανόνας ισχύει και όταν x + ή x. Παράδειγµα : Να υπολογιστούν τα όρια ln(cos x) a) lim x 0 x x b) lim( x 1 x 1 1 ln x ). Θεώρηµα 3.8.2. Αν η συνάρτηση f έχει παραγώγους µέχρι n-οστής τάξης, όπου n N, σε µία περιοχή του σηµείου x 0, τότε υπάρχει ένα, και µόνο ένα, πολυώνυµο p(x) µε ϐαθµ. p(x) n που ικανοποιεί τις συνθήκες p(x 0 ) = f(x 0 ), p (x 0 ) = f (x 0 ),..., p (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ).

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Το πολυώνυµο αυτό είναι το p(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0) 2 2! f (x 0 ) +... + (x x 0) n f (n) (x 0 ). n! Το παραπάνω πολυώνυµο p(x) λέγεται πολυώνυµο του Taylor ή και προσεγγιστικό πολυώνυµο της συνάρτησης f στην περιοχή του σηµείου x 0. Το πολυώνυµο Taylor για x 0 = 0, δηλαδή το πολυώνυµο p(x) = f(0) + (x 0) f (0) + 1! (x 0)2 f (0) +... + 2! (x 0)n f (n) (0), n! λέγεται πολυώνυµο του Mac Laurin της συνάρτησης f. Οταν προσεγγίζουµε την f µε το πολυώνυµο Taylor (της f) τότε το σφάλµα που κάνουµε είναι R(x) = f(x) p(x). Μπορεί να δειχθεί ότι R(x) = (x x 0) n+1 f (n+1) (ξ), (n + 1)! όπου ξ κάποιος αριθµός µεταξύ του x 0 και του x. Αν συµβεί το σφάλµα R(x) να τείνει στο µηδέν όταν το n τείνει στο άπειρο, τότε το πολυώνυµο Taylor ϑα τείνει να ταυτιστεί µε τη συνάρτηση f(x). Το όριο στο οποίο τείνει το πολυώνυµο Taylor λέγεται σειρά Taylor της f(x) ή ανάπτυγµα Taylor της f(x) στην περιοχή του σηµείου x 0. Ετσι, η σειρά Taylor της f(x) στο x 0 είναι f(x) = f(x 0 )+ (x x 0) 1! f (x 0 )+ (x x 0) 2 2! f (x 0 )+...+ (x x 0) n f (n) (x 0 )+.... n! Παράδειγµα : Να ϐρεθεί το ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης f(x) = e x, στην περιοχή του σηµείου x 0 = 0. 3.9 Ακρότατα - Σηµεία καµπής Λέµε ότι η συνάρτηση y = f(x), που είναι ορισµένη σε ένα σύνολο A, έχει τοπικό µέγιστο (αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο x = x 0, αν για όλα τα σηµεία x (x x 0 ) µιας περιοχής του x 0 ισχύει

3.9. ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 39 f(x) f(x 0 ) (αντίστοιχα f(x) f(x 0 )). Ο αριθµός M (αντίστοιχα m) λέγεται ολικό µέγιστο (αντίστοιχα ολικό ελάχιστο) της συνάρτησης f(x) στο A, αν υπάρχει x 0 στο A, τέτοιο ώστε f(x) f(x 0 ) = M (αντίστοιχα f(x) f(x 0 ) = m), x A. Λέµε ότι η y = f(x) έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο x = x 0, αν έχει σ αυτό τοπικό µέγιστο ή τοπικό ελάχιστο. Θεώρηµα 3.9.1. Αν x 0 είναι σηµείου τοπικού ακροτάτου τότε ή f (x 0 ) = 0 ή δεν υπάρχει η παράγωγος f (x 0 ). Τα σηµεία που µηδενίζουν την παράγωγο και εκείνα στα οποία δεν υπάρχει παράγωγος λέγονται στάσιµα ή κρίσιµα σηµεία της συνάρτησης. Προσοχή : εν ισχύει το αντίστροφο του ϑεωρήµατος. ηλαδή ένα σηµείο όπου f (x 0 ) = 0, δεν είναι υποχρεωτικά σηµεία τοπικού ακροτάτου. Παράδειγµα : Να δείξετε ότι το σηµείο x = 0, είναι κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης f(x) = x 3, όχι όµως τοπικό ακρότατο. Κριτήριο 1ης παραγώγου για τοπικά ακρότατα : Ας είναι y = f(x) µία συνάρτηση ορισµένη στο [a, b] και x 0 (a, b) ένα κρίσιµο σηµείο της f. Αν υπάρχει περιοχή (x 0 ε, x 0 + ε) του σηµείου x 0 τέτοια ώστε να είναι : f (x) > 0, x (x 0 ε, x 0 ) και f (x) < 0, x (x 0, x 0 + ε), τότε στο σηµείο x = x 0 η συνάρτηση f έχει τοπικό µέγιστο f (x) < 0, x (x 0 ε, x 0 ) και f (x) > 0, x (x 0, x 0 + ε), τότε στο σηµείο x = x 0 η συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο f (x) < 0, x (x 0 ε, x 0 +ε), x x 0 ή f (x) > 0, x (x 0 ε, x 0 +ε), x x 0, τότε στο σηµείο x = x 0 η συνάρτηση f δεν έχει τοπικό ακρότατο. Κριτήριο 2ης παραγώγου για τοπικά ακρότατα : Ας είναι y = f(x) µία συνάρτηση ορισµένη στο [a, b], παραγωγίσιµη στο (a, b) και x 0 ένα κρίσιµο σηµείο της f, στο οποίο υπάρχει η δεύτερη παράγωγος της f και είναι διάφορη του µηδενός. Τότε :

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ αν f (x 0 ) > 0, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο x 0 αν f (x 0 ) < 0, η f έχει τοπικό µέγιστο στο x 0. Παράδειγµα : Να ϐρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x 1)(x + 2) 2. Παράδειγµα : Βρείτε τα µέγιστα και τα ελάχιστα της συνάρτησης f(x) = 4x 3 48x 2 + 144x, χρησιµοποιώντας το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου. Για την καµπύλη c µιας συνάρτησης y = f(x), λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (είναι κυρτή), αν η καµπύλη ϐρίσκεται πάνω από την εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της, ενώ λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (είναι κοίλη), αν η καµπύλη ϐρίσκεται κάτω από την εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της. Σηµεία καµπής µιας καµπύλης ονοµάζονται τα σηµεία στα οποία η καµπύλη αλλάζει κυρτότητα (από κυρτή γίνεται κοίλη ή το αντίστροφο). Θεώρηµα 3.9.2. Ας είναι c : y = f(x), x [a, b], µία καµπύλη και x 0 (a, b). Υποθέτουµε ότι υπάρχει η παράγωγος f (x) σε µία περιοχή (x 0 ε, x 0 + ε) και η δεύτερη παράγωγος f (x 0 ) στο σηµείο x 0. Τότε : αν f (x 0 ) > 0 η καµπύλη c στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο σηµείο της P (x 0, f(x 0 )) αν f (x 0 ) < 0 η καµπύλη c στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο σηµείο της P (x 0, f(x 0 )) αν το σηµείο P (x 0, f(x 0 )) είναι σηµείο καµπής της καµπύλης c, τότε είναι υποχρεωτικά f (x 0 ) = 0. Παράδειγµα : οποία η καµπύλη Να ϐρεθούν τα σηµεία καµπής και τα διαστήµατα στα c : f(x) = x 4 12x 3 + 48x 2 50, στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή προς τα κάτω.

3.10. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41 3.10 Ασκήσεις Ασκηση 3.1. Να ϐρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) y = cos(3x) ii) y = e x iii) y = tan(5x) iv) y = e sin x v) y = sin 2 (x 2 + 1) vi) y = cos 2 [sin(3x)] vii) y = ln 2 (ln x) viii) y = 1 + 1 + x ix) y = x sin x Ασκηση 3.2. Να ϐρεθεί η παράγωγος της πεπλεγµένης συνάρτησης y = y(x) που ορίζεται από τη σχέση xy = arctan( x y ). Ασκηση 3.3. Βρείτε το διαφορικό της συνάρτησης y = ln(1+e 10x )+arctan(e 5x ). Υπολογίστε την τιµή του διαφορικού στο x = 0 και την αύξηση y της y προσεγγιστικά αν dx = 0.02. Ασκηση 3.4. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = 2 x2 x 4, παίρνει ίσες τιµές στα άκρα του διαστήµατος [ 1, 1]. Στην συνέχεια να δειχθεί ότι η παράγωγός της δεν µηδενίζεται σε κανένα εσωτερικό σηµείο του διαστή- µατος αυτού και να εξηγηθεί γιατί δεν εφαρµόζεται το Θεώρηµα Rolle. Ασκηση 3.5. Να ϐρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) y = 3 x + 1 x 2 ii) y = x2 + 1 x 2 1 1 + 3x iii) y = 1 3x iv) y = ex x 2 v) y = x x vi) y = sin[cos(3x)] Ασκηση 3.6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση y = arcsin x 1 x 2, ικανοποιεί τη σχέση (1 x 2 )y xy = 1.

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ασκηση 3.7. Να ϐρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) = x 1 + x. Ασκηση 3.8. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f µε τύπο { x f(x) = 3 sin( 1), x 0 x 0, x = 0 είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη. Ασκηση 3.9. Να ϐρείτε a, b R ώστε η ευθεία y = 2x+5 να είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f µε f(x) = x 2 + ax + b, στο x 0 = 1. Ασκηση 3.10. Βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της y ως προς x στο (1, 1), αν x 2 xy + y 2 = 3. Ασκηση 3.11. Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η τετραγωνική ϱίζα (2.037) 2 1 (2.037) 2 + 1. Ασκηση 3.12. Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 4ου ϐαθµού της συνάρτησης f(x) = ln x, στην περιοχή του σηµείου x 0 = 1. Ασκηση 3.13. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x 2. Να ϐρεθούν α) τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ϐ) τα σηµεία καµπής γ) τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης στο [0, 3]. Ασκηση 3.14. Βρέθηκε ότι η ταχύτητα µετάδοσης ενός σήµατος µέσω ενός καλωδίου είναι ανάλογη της ποσότητας ln x, όπου x (σε cm) το πάχος της µόνωσης του καλωδίου. Πόσο πρέπει να είναι το πάχος της µόνωσης έτσι ώστε να x 2 εξασφαλίσουµε τη µέγιστη ταχύτητα µετάδοσης ; Ασκηση 3.15. Για τον υπολογισµό τετραγωνικών ϱιζών αριθµών από 0 µέχρι 1, χρησιµοποιείται ο προσεγγιστικός τύπος x 4 5 (x + 1 3 ). Ποιο είναι το µέγιστο σφάλµα του τύπου ;