Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές και 2. 4. Υπολογίστε τις τιμές sinhln2 και cosh cothln3 5. Υπολογίστε τα και 2 όταν γνωρίζετε ότι. 6. Βρέστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 7. Δίνεται η συνάρτηση. Υπολογίστε τις τιμές 2 3 και 2 3. 8. Να βρεθεί το lim 9. Η παραμετρική μορφή συνάρτησης είναι, 2, 0, 2. Ποια η εξίσωσή της σε καρτεσιανές συντεταγμένες; Τι παριστάνει; ΟΜΑΔΑ 2. Ακολουθίες 1. Γράψτε το απεριόριστο άθροισμα 1 0.4 0.16 0.064 0.0256..... ως σειρά. Παρατηρήστε (γιατί;) ότι είναι μια γνωστή σειρά και υπολογίστε το άθροισμά της. 2. Εξετάστε τη μονοτονία της ακολουθίας 5 37. 3. Εξετάστε τη μονοτονία της ακολουθίας : 4. Εξετάστε τη μονοτονία της ακολουθίας : 2 1. 5. Δείξτε ότι η ακολουθία είναι μηδενική. 6. Δείξτε ότι η ακολουθία είναι μηδενική 7. Αν για την ακολουθία. ισχύει:, τότε. 8. Αν, τότε lim 1. 9. Έστω. Θέσατε και υπολογίστε το. Κατόπιν υπολογίστε το και το άθροισμα. Ποιο το όριο της. 10. Βρείτε το όριο της. 11. Βρέστε το όριο της ακολουθίας 15. Α Εξάμηνο Δασολογίας 1
12. α) Αποδείξτε ότι η ακολουθία 12 συγκλίνει στο 2. (β) Χρησιμοποιώντας στη συνέχεια το κριτήριο του Stolz δείξτε ότι και η ακολουθία συγκλίνει στο 2, όπου: 3 5 9 17... 12 ΟΜΑΔΑ 3. Σειρές 1. Δίνεται η σειρά συμπεράνετε για τη σύγκλιση της σειράς; όπου. Δείξτε ότι. Τι μπορείτε να 2. Δίνεται η σειρά όπου 2. Δείξτε ότι 2. Τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σύγκλιση της σειράς; 3. Εξετάστε αν συγκλίνει η σειρά. 4. Να γραφούν οι 4 πρώτοι όροι και να εξετασθεί αν συγκλίνει η σειρά 1 3... 21 4 8... 4 5. Να γραφούν οι 4 πρώτοι όροι και να εξετασθεί αν συγκλίνει η σειρά 1 2 1 6. Να εξετασθεί με τα κριτήρια D Alembert και Cauchy αν συγκλίνει η σειρά: 2 1 3 7. Γράψτε το απεριόριστο άθροισμα 1... ως σειρά και δείξτε ότι για κατάλληλο ω η σειρά γράφεται με τη μορφή, όπου η παραγώγιση εννοείται ως προς ω. Αξιοποιώντας τις ιδιότητες των δυναμοσειρών υπολογίστε στη συνέχεια το απεριόριστο άθροισμα. 8. Γράψτε το απεριόριστο άθροισμα... ως σειρά. Εκφράστε το γενικό όρο ως διαφορά κλασμάτων και υπολογίστε στη συνέχεια το απεριόριστο άθροισμα. 9. Ποια από τις παρακάτω σειρές συγκλίνει και γιατί 2, 2 Α Εξάμηνο Δασολογίας 2
ΟΜΑΔΑ 4. Παράγωγοι 1. Να βρεθεί η παράγωγος 2. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν 2., όταν 1 1 2. 3. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν 123. 4. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν 12 1. 5. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν 1 1. 6. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν. 7. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν 1. 8. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν. 9. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν. 10. Να βρεθεί η παράγωγος, όταν ln. 11. Δείξτε ότι η συνάρτηση 2, έχει πεδίο ορισμού το διάστημα 4,1. Στη συνέχεια δείξτε ότι η συνάρτηση αυτή είναι σταθερή στο διάστημα ορισμού της. Ποια είναι αυτή η τιμή; 12. Δίνεται η συνάρτηση, 0, 1. Βρέστε την πρώτη και δεύτερη παράγωγο 2 της συνάρτησης, χωρίς να βρείτε αναλυτική έκφραση της. 13. Να βρεθεί με λογαριθμική παραγώγιση η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης 1 14. Δίνεται η έλλειψη 1. Θεωρώντας ότι η σχέση αυτή ορίζει πεπλεγμένα μία συνάρτηση βρέστε την παράγωγό της στο σημείο. Η έλλειψη μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από δύο συναρτήσεις. Παραγωγήστε κάθε μία από αυτές στο σημείο. και επαληθεύσατε ότι οι παράγωγοι αυτές ταυτίζονται με την προηγούμενη. ΟΜΑΔΑ 5. Απόδειξη σχέσεων με παραγώγους 1. Αν,, τότε 2. 2. Αν,, τότε 1 2. 3. Αν, 1, όπου α σταθερά, τότε 4 10. 4. Αν, ln1, τότε 20. Α Εξάμηνο Δασολογίας 3
5. Αν 3, 3, τότε 36 3 3. 6. Δίνεται η συνάρτηση, όπου α σταθερά. Να δειχθεί ότι η επαληθεύει τη σχέση 1 21 0 7. Βρέστε το α ώστε η συνάρτηση να ικανοποιεί τη σχέση 0. 8. Δείξτε ότι αν 1, τότε θα είναι 1. 9. Αν, με 0 τότε να δειχθεί ότι 0. ΟΜΑΔΑ 6. Γραφικές παραστάσεις 1. Δίνεται η συνάρτηση 2 που έχει γραφική παράσταση στο διάστημα 1,5 αυτήν του σχήματος. Στο ίδιο σχήμα σχεδιάσαμε και την ευθεία 2. Βρήκαμε επίσης ότι στο διάστημα 1,5 2.5 η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται όταν 0.24 και 2.25, ενώ η δεύτερη 2.0 παράγωγος μηδενίζεται όταν 0.64. 1.5 α) Σημειώστε στο σχήμα τα ακρότατα και τα σημεία καμπής. Βρέστε τα όρια της 1.0 όταν τείνει στο και όταν τείνει στο 1. Τι συμπεραίνετε; β) Υπολογίστε 0.5 το 2 και -1 0 1 2 3 4 5 σημειώστε στο σχήμα τι παριστάνει το. 2. Η καμπύλη στο σχήμα παριστάνει την καμπύλη 1. Βρέστε: α) τα πεδία ορισμού και τιμών της, β) τα τοπικά και ολικά μέγιστα και ελάχιστα (με τις συντεταγμένες τους). γ) το σύνολο στο οποίο η συνάρτηση είναι αύξουσα. δ) ποιο το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου για 0.5 1. 3. Βρέστε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης που ορίζεται πεπλεγμένα από τη σχέση ln 2 0 και έχει την διπλανή γραφική παράσταση Επαληθεύστε ότι περνάει από το σημείο 1,0 και βρέστε την παράγωγο στο σημείο αυτό. Α Εξάμηνο Δασολογίας 4
4. Η συνάρτηση ορίζεται παραμετρικά με τις σχέσεις 1 και, 02. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης στο σημείο της που αντιστοιχεί στο 0. 5. Για την καμπύλη που παριστάνει η σχέση 2, να βρεθεί ο συντελεστής κατεύθυνσης της εφαπτομένης της στο σημείο της 1,1. 6. Δίνεται το αστεροειδές με εξίσωση. Να Β βρεθεί η παράγωγος της πεπλεγμένης συνάρτησης που ορίζει η παραπάνω σχέση και να δοθεί η εξίσωση της εφαπτομένης Γ της στο σημείο Γ που έχει συν/νες. Α 7. Να βρεθεί το πεδίον ορισμού και τα διαστήματα στα οποία είναι μονότονη η συνάρτηση 3. Στη συνέχεια λαμβάνοντας υπόψη ότι η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική παντού όπου ορίζεται και ότι δεν έχει ασυμπτώτους, να γίνει η γραφική παράσταση της 8. Βρέστε στο διπλανό σχήμα τις ρίζες των συναρτήσεων και καθώς και τα ακρότατα της που φαίνονται στο σχήμα, εξηγώντας τις απαντήσεις σας. Ποιο είναι το πρόσημο της στο διάστημα [4,5]; Ποιο είναι το πρόσημο της στο διάστημα [3,4]; Στο ίδιο σχήμα σχεδιάστε τι παριστάνουν τα ολοκληρώματα Στο παραπάνω σχήμα σχεδιάστε τι παριστάνουν τα ολοκληρώματα.,.. ΟΜΑΔΑ 7. Ολοκληρώματα 1. Να υπολογιστεί τo ολοκλήρωμα 3. 2. Να υπολογιστεί τo ολοκλήρωμα. 3. Να υπολογιστεί τo ολοκλήρωμα. 4. Χρησιμοποιώντας κατά παράγοντες ολοκλήρωση υπολογίστε το ολοκλήρωμα. (Δίνεται ότι ) 5. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα. 6. Να υπολογιστεί τo ολοκλήρωμα. 7. Να υπολογιστεί τo ολοκλήρωμα. 8. Είναι γνωστό ότι cosh. Υπολογίστε την τιμή cosh2ln3 και αποδείξτε με χρήση του ορισμού ότι: cosh sinh Α Εξάμηνο Δασολογίας 5
9. Υπολογίστε το παρακάτω ολοκλήρωμα με την αντικατάσταση 1 1 1 32 10. Δείξτε ότι ισχύει 1 ΟΜΑΔΑ 8. Εμβαδά χωρίων 1. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες,3,1,2 0. 2. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες 2, 2 2. 3. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες 4 1, 1. 4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες 32,. 5. Να βρεθεί το εμβαδόν του μικρότερου χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες 8, 2. 6. α) Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο της τοξημ, όπου α σταθερά. β) Βρείτε την τετμημένη στο διπλανό σχήμα. γ) Υπολογίστε το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τμήματος. 7. Εξηγείστε για ποιο λόγο ισχύει 1...1... Πολλαπλασιάστε στη συνέχεια τα δύο μέλη της σχέσης αυτής με κατάλληλη συνάρτηση του x, ώστε να μπορέσετε να βρείτε (με ολοκλήρωση) το ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης ln1. Να διατυπωθεί το θεώρημα στο οποίο στηρίζεται η μέθοδος αυτή. 8. Κάντε γραφική παράσταση στο ίδιο σχήμα των συναρτήσεων και και επαληθεύστε ότι το ένα από τα σημεία τομής τους έχει τεταγμένη. Υπολογίστε κατόπιν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσά τους. 9. Ο κύκλος 8 διαιρείται από την παραβολή τα εμβαδά τους. σε δύο μέρη. Να βρεθούν Α Εξάμηνο Δασολογίας 6
ΟΜΑΔΑ 9. Σειρές Taylor 1. Χρησιμοποιώντας τη γνωστή γεωμετρική σειρά τρόπο μπορείτε το ανάπτυγμα της συνάρτησης. υπολογίστε με όποιο 2. Δείξτε ότι το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor της συνάρτησης είναι 3! 5! 7!... 1... 2 1! α) Παραγωγίστε την παραπάνω σχέση όρο προς όρο. Τι παριστάνει η σειρά που προέκυψε; Ποιο είναι το διάστημα σύγκλισης της νέας σειράς; β) Ολοκληρώστε όρο προς όρο την αρχική σχέση. Τι παρατηρείτε; γ) Βρέστε χρησιμοποιώντας πάλι την αρχική σχέση (και μόνον) το lim. 3. Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, χρησιμοποιείστε το πολυώνυμο Taylor 6 ου βαθμού της συνάρτησης. 4. Να βρεθεί το πολυώνυμο Taylor β βαθμού της συνάρτησης ln1 και στη συνέχεια υπολογίστε προσεγγιστικά την τιμή 1.0025. Με τι ακρίβεια υπολογίστηκε το ζητούμενο αν η ακριβής τιμή είναι 0.00249620. 5. Δίνεται ότι το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor της συνάρτησης είναι sinh 3!......, 5! 2 1! α) Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση βρέστε το ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης. Ποιο και γιατί είναι το διάστημα σύγκλισης της νέας σειράς. β) Βρέστε το ίδιο ανάπτυγμα ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση. Είναι ίδια όπως αναμένεται; 6. Δίνεται το ανάπτυγμα της σειράς 1 1 1 Παραγωγίστε όρον προς όρον αυτό το ανάπτυγμα και βρείτε το ανάπτυγμα Taylor που προκύπτει. Ποιοί είναι οι 5 πρώτοι όροι του αναπτύγματος; 7. Να βρεθεί ότι το ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης sinh όταν είναι γνωστό ότι: 1...... 2! 3! 4!! 8. Υπολογίστε το ανάπτυγμα Taylor στο 0 της συνάρτησης με απευθείας πράξεις και βρέστε την ακτίνα σύγκλισης. Στη συνέχεια βρέστε το ανάπτυγμα της συνάρτησης coshx 9. Βρέστε το πολυώνυμο Taylor β βαθμού της συνάρτησης, 0 και στη συνέχεια υπολογίστε προσεγγιστικά την τιμή 0.2. Α Εξάμηνο Δασολογίας 7
ΟΜΑΔΑ 10. Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών 1. Αν, όπου e, lnt, τότε να δειχθεί ότι 1. 2. Αν ln, όπου 3 t, 1, τότε να δειχθεί ότι 6. 3. Αν x, όπου ημt, συνt, τότε να δειχθεί ότι ln 4. Αν τοξημxy, όπου 3t, 4t, τότε να δειχθεί ότι 1 3 4 3 12 5. Ποιο τρίγωνο έχει το γινόμενο των ημιτόνων των γωνιών του μέγιστο; 6. Απ όλα τα τρίγωνα με σταθερή περίμετρο να βρεθεί εκείνο που έχει μέγιστο εμβαδόν. 7. Δίνεται η συνάρτηση,, 2. Να δειχθούν οι σχέσεις,, και. 8. Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα, όπου D το χωρίο του διπλανού σχήματος. 9. Να δειχθεί ότι, όταν Δ είναι το χωρίο που περικλείεται από τις γραμμές., 1 και 0. 10. Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι α και β τάξης της συνάρτησης,. Παρατηρείστε ότι το σημείο (1,1) είναι κρίσιμο σημείο και υπολογίστε την ποσότητα 1,1 1,1 1,1. Τι συμπεραίνετε; ΟΜΑΔΑ 11. Αριθμητική Ολοκλήρωση - Μη-γνήσια ολοκληρώματα 1. Για τον υπολογισμό του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται από την καμπύλη, τον άξονα των και την ευθεία, χωρίσαμε το διάστημα 1, σε 8 ίσα διαστήματα, χρησιμοποιώντας τα σημεία 1, όπου 0.215, 0, 1, 2,,8, 1,. Μετά υπολογίσαμε τις τιμές, για τις διάφορες τιμές του και βρήκαμε: 0.160 0.230 0.302 0.334 0.352 0.362 0.367 0.368 Ποιο είναι το ζητούμενο εμβαδό, με χρήση του κανόνα του τραπεζίου; Πόσο καλή είναι η προσέγγιση; 2. α) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα.. 0.142812,.. ln x dx x 0.180207,.. 2 ò. β) Χρησιμοποιώντας τις τιμές 2 1 0.182732, 0.173287 υπολογίστε προσεγγιστικά το ολοκλήρωμα στο (α) με τον πιο ακριβή τρόπο που γνωρίζετε και κάντε σύγκριση με το (α). Α Εξάμηνο Δασολογίας 8
3. Ο αγρός του σχήματος χωρίστηκε σε 6 ζώνες πλάτους 9 μέτρα. Στα άκρα των ζωνών μετρήθηκε το βάθος σε μέτρα όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. 0 9 18 27 36 45 54 23.9 16.3 12.5 19.1 22.9 24 22.7 Να βρεθεί το εμβαδό του αγρού σε τετρ. μέτρα με τον κανόνα του τραπεζίου και με τον κανόνα του Simpson. 4. Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, σχηματίσαμε τον παρακάτω πίνακα: Ποια η τιμή του I; 5. Να υπολογιστεί (αν υπάρχει) το 6. Να εξεταστεί εάν συγκλίνει το μη-γνήσιο ολοκλήρωμα. 7. Να εξεταστεί εάν συγκλίνει το μη-γνήσιο ολοκλήρωμα 8. Πως ονομάζονται τα ολοκληρώματα,. Χωρίς να τα υπολογίσετε, σημειώστε για το καθένα τι πρέπει να κάνουμε για να το υπολογίσουμε.. ΟΜΑΔΑ 12. Διαφορικές εξισώσεις 1. Βρέστε τη μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης 2-1y, με 0 1 2. Να βρεθεί η συνάρτηση που είναι γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης και η μερική λύση της που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 1 1 3. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 0. 4. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση 20 2 και να βρεθεί η μερική λύση της που ικανοποιεί τη συνθήκη 1 0. 5. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Βρέστε τη μερική λύση που περνά από το σημείο 1,1. Τι είδους καμπύλη είναι; 6. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση. Να βρεθεί η λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 1 2. 7. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 2 και η μερική λύση της που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 1 2. 8. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 2 και η μερική λύση της που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 2 3. 9. Να βρεθεί η γενική λύση της Διαφορικής Εξίσωσης 2 1 και η μερική λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 1 2. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 / 3.3 3.04 2.88 2.78 2.73 2.72 2.73 2.77 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 / 2.82 2.9 2.99 3.1 3.22 3.36 3.52 3.7 Α Εξάμηνο Δασολογίας 9