Θέματα Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α αι Β ενός δειγματιού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)P(A)-P( A B) (9 μονάδες) Α. Να διατυπώσετε το νόμο των μεγάλων αριθμών. (6 μονάδες) Α. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε αθεμιά από τις παραάτω προτάσεις: α. Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφιή παράσταση ποιοτιών δεδομένων. Σ Λ β. Η αθροιστιή συχνότητα Ν i ορίζεται αι για ποιοτιές μεταβλητές. Σ Λ γ. Ισχύει ότι: f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g (x) Σ Λ δ. Υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες δεν έχουν παράγωγο σε ένα σημείο. Σ Λ ε. Στην πράξη ιδιαίτερα στην περίπτωση που δεν ισχύει ο λασσιός ορισμός της Πιθανότητας, ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α λαμβάνεται το όριο της σχετιής του συχνότητας. Σ Λ (0 μονάδες) Θέμα Β Έστω f αι g συνεχείς συναρτήσεις στο [0, ) αι Ω ο δειγματιός χώρος της ρίψης ενός νομίσματος δύο φορές. Αν Α αι Β ενδεχόμενα του Ω με πιθανότητες P(A) αι P(B) αντίστοιχα αι ισχύει ημχ x6 5 f(x) e ημχ 6P(A) αι g(x) P(B) για άθε x [0, ) τότε: x 6 Β. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφιής παράστασης της f στο x 0 0 (6 μονάδες) Β. Αν η γραφιή παράσταση της g διέρχεται από το (,) να υπολογίσετε την P(B). (6 μονάδες) Β. f(h) Να δείξετε ότι ισχύει: 5limg(x) lim x h0 h ( μονάδες) Β. Να αποδείξετε ότι τα Α αι Β δεν είναι ασυμβίβαστα ( μονάδες) Β5. Να αποδείξετε ότι P(A B) 0 (6 μονάδες) Επιμέλεια Θεμάτων αι Λύσεων : Νίος Καρράς (Μαθηματιός) Σελίδα
Θέμα Γ Σε μια μεταφοριή εταιρία ομαδοποιηθήαν τα βάρη των δεμάτων μιας μέρας σε εατοντάδες γραμμάρια αι σε 6 λάσεις ίσου πλάτους. Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων, ο πρώτος αι ο τρίτος ιστός είναι ισεμβαδιοί. Γ. Να συμπληρώσετε τον παραάτω πίναα συχνοτήτων: [α,β) x i ν i f i % N i F i % [, ) [, ) 6 [, ) 8 [,) [, ) 6 88 [, ) 8 Σύνολο ν5 (7 μονάδες) Γ. Να σχεδιάσετε το πολύγωνο αθροιστιών σχετιών συχνοτήτων αι το πολύγωνο συχνοτήτων. ( μονάδες) Γ. Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής (CV) για τα βάρη των δεμάτων. ( μονάδες) Γ. v Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x) xi x. (5 μονάδες) Γ5. Το βάρος των «μισογεμάτων» δεμάτων συνήθως δεν ξεπερνά τα 000gr. ενώ ένα δέμα λέμε ότι έχει φυσιολογιό βάρος, αν το βάρος του είναι τουλάχιστον 800gr αλλά άτω από 600gr. Επιλέγουμε τυχαία ένα δέμα. Ποια η πιθανότητα να είναι «μισογεμάτο» ή να έχει φυσιολογιό βάρος; (δίνεται: 9, 5, ) (7 μονάδες) Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f(x) x Ρ(Α) i x Ρ(Α)x Ρ(Α), αι Ρ(Α), Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β αντίστοιχα ενός δειγματιού χώρου Ω με Α, Β αι Α Β. Δ. Να αποδείξετε ότι f(x) αι στη συνέχεια να αποδείξετε ότι x P(A) lim f(x) (8 μονάδες) xp(a) P(A) Δ. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : g(x) L (x lnx), όπου L το όριο του (α) ερωτήματος. Nα μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία αι τα αρότατα αι στη P(B) P(A) συνέχεια να αποδείξετε ότι: ln ln P(B A). (9 μονάδες) Δ. Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α), αν είναι γνωστό ότι η γραφιή παράσταση της f έχει στο x 0 εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία 7x + 5y 005 (8 μονάδες) Επιμέλεια Θεμάτων αι Λύσεων : Νίος Καρράς (Μαθηματιός) Σελίδα
Απαντήσεις Θέμα Α Α. Σχολιό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολιό βιβλίο σελίδα 8. Α. α. Λ σελ:70 β. Λ σελ:70 γ. Λ σελ: δ. Σ σελ: ε. Σ σελ:9 Θέμα Β ημχ ημχ συνx f(x) e ημχ 6P(A) e συνx ημχ 6P(A) Β. Όμως αν Κ το ενδεχόμενο να φέρουμε εφαλή αι Γ το ενδεχόμενο να φέρουμε γράμματα ατά τη ρίψη του νομίσματος εύολα βρίσουμε (αλό είναι να γίνει το σχετιό δεντροδιάγραμμα) Ω{ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} επομένως P(A)/. x 0 ημχ συνx ημχ συνx 5 Συνεπώς f(x) e συνx e συνx f (0) ημχ ημχ 6 5 αι f(0) Επομένως αν yax+b η ζητούμενη, ισχύει a f (x) αι 5 f0a0bb Τελιά y x είναι η ζητούμενη εφαπτομένη. x6 5 Αφού g συνεχήςθα ισχύει g() limg(x) lim P(B) Β. x x x 6 x 5 (x ) 5 lim P(B) lim P(B) x (x )(x x ) 6 x (x )(x x ) x 6 5 5 5 lim P(B) P(B) P(B) 6 6 6 x (x x ) x 6 P(B) 5 5 Β. f(h) f(0h) f(0) 5lim g(x) lim 5lim g(x) lim x h0 h x h0 h 5 5limg(x) f (0) 5 που ισχύει x Β. Αν υποθέσουμε ότι Α Β τότε P(A B) P(A) P(B) άτοπο 5 0 Άρα δεν είναι ασυμβίβαστα. Επιμέλεια Θεμάτων αι Λύσεων : Νίος Καρράς (Μαθηματιός) Σελίδα
Β5. ΑΒΑP(A B) P(A) P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A B) 0 0 0 Θέμα Γ Γ. Έστω c το πλάτος των λάσεων. Τότε η 5 η λάση θα είναι [, +c) αι η 6 η [+c, +c). x 6 c c 8 6 c 76 c ν 8 f % 00 ν 5 άρα αι ν επομένως f % 00 8 f % ν 00 5 f% F% F% 8.Άρα ν ν F% F% f % 6 ν5 6 f 5% 00 οπότε F % F 5% f 5% 88 6 5 0 Άρα f % F % F % 6 0 αι ν 5 0 00 Προφανώς ν6, f 6% αι F 6% 00 Για την εύρεση των Ν χρησιμοποιούμε τον τύπο Ν N ν i,,...,6 με Ν ν i i i i Για την συμπλήρωση της στήλης x i γνωρίζουμε ότι αν c το πλάτος των λάσεων τότε: 8 + c c. Η δεύτερη λάση έχει εντριή τιμή αι πλάτος. Άρα είναι η [0 ) Ανάλογα συμπληρώνουμε αι τις υπόλοιπες. Βάρη x i ν i f i % Ν i F i % x i ν i x i ν i [6 0) 8 8 8 6 68 [0 ) 8 6 968 [ 6) 6 8 6 5 5 [8 ) 0 0 0 6 6 00 9000 [ 6) 6 88 0 696 [6 0) 8 5 00 Σύνολο ν 5 00 750 6 Επιμέλεια Θεμάτων αι Λύσεων : Νίος Καρράς (Μαθηματιός) Σελίδα
Γ. F i % Γ. 00 88 6 6 8 0 6 0 8 6 0 ν i 0 x i ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 6 ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 0 6 0 8 6 0 750 i i ν i 5 x x ν 0 xi ν i xi νi xi νi xi νi i i i i i i ν i ν ν ν ν s x ν x 6 900 99, 900 9, s 9, 5, 5 s 5, Άρα CV 0,8 8,%. x 0 Γ. Γνωρίζουμε από εφαρμογή του βιβλίου, ότι η f(x) x x x i v i i παίρνει την ελάχιστη τιμή της όταν x x Τότε όμως f (x) x x vs 59, 76 Γ5. Έστω Μ το ενδεχόμενο «το δέμα θεωρείται «μισογεμάτο»» αι Φ το ενδεχόμενο «το δέμα έχει φυσιολογιό βάρος». v i i ν Ν(Μ) ν + ν + ν +. Άρα Ρ(Μ) 5 Επιμέλεια Θεμάτων αι Λύσεων : Νίος Καρράς (Μαθηματιός) Σελίδα 5
Ν(Φ) ν + ν 5 6 Άρα Ρ(Φ) 6 5 ν Ν( Μ Φ) 5, Άρα 5 Ρ(M Φ) 5 αφού τα «μισογεμάτα» έχουν βάρος από 600gr ως 000gr αι τα φυσιολογιά από 800gr αλλά άτω από 600gr, η τομή τους θα είναι το διάστημα ν [800 000] [8 0] 5. (Υποθέτοντας πάντα ότι οι τιμές είναι ομοιόμορφα ατανεμημένες στις λάσεις). Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η 6 5 P(M Φ) Ρ(M) Ρ(Φ) Ρ(M Φ) 5 5 5 5 Θέμα Δ Η συνάρτηση f ορίζεται για x 0 αι x P(A) x P(A)x P(A) [ x P(A)] Δ. Έχουμε: f(x) x P(A) [x P(A)] [ x P(A)] [ x P(A)] [x P(A)] [ x P(A)] x P(A) ( x) ( P(A) [x P(A)] [ x P(A)] Oπότε: L lim f (x) lim xp(a) xp(a) x P(A) P(A) P(A) P(A) P(A) Δ. Είναι g(x) L (x lnx) P(A) (x lnx) x P(A) xp(a) x P(A) Η συνάρτηση g ορίζεται για x > 0 αι είναι: g (x) P(A) (x - x ), x > 0, P(A) > 0 x P(A) x g (x) 0 x 0 x x0 x Επιμέλεια Θεμάτων αι Λύσεων : Νίος Καρράς (Μαθηματιός) Σελίδα 6
Το πρόσημο της g αι η μονοτονία της g φαίνονται στον πίναα: x 0 + g (x) - + g(x) H συνάρτηση g είναι γν. φθίνουσα στο (0, ] αι γν. αύξουσα στο [,+ ) αι παρουσιάζει ελάχιστο στο x το g( ) με g( ) P(A) ( ln ) ( ln ) ( ln ), ελάχιστη P(A) 8P(A) τιμή. Αφού Α Β AB A, αι Ρ(Β-Α) Ρ(Β) - Ρ( A B) Ρ(Β-Α) Ρ(Β) Ρ(Α) P(B) P(A) οπότε για να δείξουμε ότι ln ln P(B A), αρεί να δείξουμε ότι: P(B) P(A) P(A) P(B) ln ln P(B) P(A) P(A) ln P(B) ln () P(A) P(B) Εχουμε : Α Β Ρ(Α) Ρ(Β) g:γν.φθινουσα P(A) P(B) P(A) P(B) g g P(A) P(A) P(A) P(B) P(B) ln ln P(A) P(A) P(A) P(B) P(B) ln ln P(A) P(B) P(A) ln P(B) ln. Δ. Η εφαπτομένη της γραφιής παράστασης της f στο x 0 έχει λίση λ f () () Επειδή όμως η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία : 7 x +5y 005 y x 005, με λίση λ - 7 5 5 θα έχουμε ότι λ λ λ - 7 () 7 7 f() 5 5 P(A) 5 5 P(A) 7 5 P(A) P(A) P(A) 9 Επιμέλεια Θεμάτων αι Λύσεων : Νίος Καρράς (Μαθηματιός) Σελίδα 7