ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER Tα υποδίγµατα Transfer αποτλούν µία καλύτρη προσέγγιση στην κτίµηση µονοµταβλητών υποδιγµάτων, στο κφάλαιο αυτό παρουσιάζονται πρισσότρο αναλυτικά. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 9

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER (ΓΡΑΜΜΙΚΑ TRANSFER ΣΧΗΜΑΤΑ) LINEAR TRANSFER FUNCTIONS. Πρόκιται για µία οµάδα οικονοµτρικών υποδιγµάτων όπου µταξύ των ρµηνυτικών τους µταβλητών υπάρχουν οικονοµικές µταβλητές καθώς και η συµπριφορά αυτής της ρµηνυµένης µταβλητής στο παρλθόν. Το πλέον απλό Transfer υπόδιγµα που θα µπορούσαµ να ξιδικύσουµ ίναι το ξής: a + β x + u () το οποίο δν ίναι άλλο από το απλό µονοµταβλητό κλασικό γραµµικό υπόδιγµα µιας ρµηνυτικής µταβλητής x. Θα µπορούσαµ να µγθύνουµ την σχέση () προσθέτοντας πρισσότρς ρµηνυτικές µταβλητές. a + β β + x + β x + L v xv u () ή a + v β x + u (3) Θα µπορούσαµ πίσης να θωρήσουµ ότι ο διαταρακτικός όρος της (3) µπορί να προσγγισθί από ένα στάσιµο ARIMA( p, q) σχήµα της µορφής: u θ ( ) ~ ARMA p, q u µ ~ NID( 0, σ ) ϕ (4) Μπορούµ να γράψουµ την (4) ως ξής: u θ ϕ (5) Εάν υποθέσουµ ότι το Transfer υπόδιγµα (3) έχουµ µία ρµηνυτική µταβλητή έστω x (υποθέτουµ δηλαδή ότι v ), τότ η σχέση (3) µπορί να γραφτί ως ξής: ϕ a + βx + u u θ ( 0, σ ) ~ NID (6) REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 30

Θα µπορούσαµ πιπλέον να ξιδικύσουµ πρισσότρο δυναµικά την πίδραση της µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της ρµηνυµένης µταβλητής, υποθέτοντας ότι οι πιδράσις της κατανέµονται τον χρόνο ή απλούστρα ότι τρέχουσς άλλα και παλαιότρς τιµές της µταβλητής x πηράζουν την µταβλητικότητα της. Θα υποθέσουµ ότι η διαχρονική πίδραση της x στην διαµόρφωση της µταβλητικοτητας της έχι κάποια µορφή η οποία πκτίνται διαχρονικά και µπορί να προσγγισθί µ ένα γνικό σχήµα όπως αυτό του Σχδιαγράµµατος. d + s dx χρόνος Σχδιάγραµµα. (Υποθτική) προσέγγιση της διαχρονικής πίδρασης της µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της µταβλητής. Οι δυναµικές πιδράσις της x στην όπως δίδονται στο Σχδιάγραµµα ονοµάζονται συνήθως συστηµατικές πιδράσις (Ssemaic dnamics) νώ οι πιδράσις στην που οφίλονται στον διαταρακτικό όρο u ονοµάζονται υπόλοιπς πιδράσις (disurbance dnamics). Εφόσον έχουµ στην διάθση µας τις τιµές της µταβλητής x και της µπορούµ να προσγγίσουµ µ κάποια ακρίβια το σχήµα αυτών των πιδράσων. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 3

Το σχήµα (µορφή) των δυναµικών πιδράσων της x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της µπορούν να προσγγισθί από τον λόγο δύο πολυωνύµων ω και δ. ω δ s ω + ω L + ω L + L + ω L s o (7) r δ L δ L,, δ K r L (8) ω a + x + u δ (9) Το πολυώνυµο ω u θ ϕ (0) ( 0, σ ) ~ NID () στον αριθµητή κφράζι την πίδραση της ρµηνυτικής µταβλητής στην ρµηνυµένη καθώς και την διάρκια µφάνισης των αποτλσµάτων αυτών των πιδράσων (lengh of ime i akes he impac o be refleced in he ime series ). Θα µπορούσ δηλαδή µία στιγµιαία µταβολή της µταβλητής x να πηράσι διαχρονικά την µταβλητή ως ξής: δηλαδή αυτό που ονοµάζουµ πρώτη πίδραση (same ime effec). Εάν η πίδραση αυτή διαχυθί στην πόµνη ω ω, την αµέσως πόµνη πρίοδο Την πρώτη πρίοδο η πίδραση θα ήταν ω ω o πρίοδο του αυτή θα ίναι L ω ω L κ.λ.π. Οι πιδράσις αυτές δίδονται γραφικά στο Σχδιάγραµµα. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 3

d + s dx ω o ω ω ω 3 0 3 χρόνος Σχδιάγραµµα. Υποθτική διαχρονική παρουσίαση των δυναµικών πιδράσων της x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της ρµηνυµένης µταβλητής. του παρανοµαστή κφράζι τον τρόπο που αυτή η πίδραση διαµορφώνται η αν θέλτ µιώνται διαχρονικά. Στις πρισσότρς πριπτώσις το δ ίναι ένα µικρού βαθµού πολυώνυµο, συνήθως της µορφής: Το πολυώνυµο δ δ ( ) δ L L () Εάν η πίδραση έχι µγάλη διάρκια (long erm) τότ η τιµή του δ θα πρέπι να ίναι σχτικά υψηλή. Εάν όµως η πίδραση της µταβλητής x στην ίναι σύντοµη (shor erm) τότ το δ θα ίναι 0 η πλησίον του µηδνός, Μπορούµ να σχηµατοποιήσουµ το ransfer µας υπόδιγµα προσγγίζοντας τον λόγο ω ( L ) µ ένα πολυώνυµο ως ξής: δ L ( ) ω δ o + L + + L L (3) Υποθέτουµ πίσης ότι το ransfer υπόδιγµα ίναι sable (σταθρό) και όχι explosive. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 33

Αυτό σηµαίνι ότι οι συντλστές στάθµισης ανξάρτητα του βαθµού του πολυωνύµου δ. Το ransfer υπόδιγµα µας µπορί να γραφτί ως ξής:, K τίνουν προς το µηδέν o,, a + u θ x + u ϕ (4) ~ NID e ( 0, σ ) µπορούµ πίσης να γνικύσουµ για ρµηνυτικές µταβλητές να γράψουµ το ransfer υπόδιγµα µας ως: x,, x, K xn και ϕ a + x + x + L+ n u θ ~ NID e + u ( 0, σ ) x n (5) Όσον αφορά την µορφή των δυναµικών πιδράσων της µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της, αυτή σ καµία πρίπτωση δν πρέπι να θωρίται δδοµένη. Θα µπορούσ να ίχ την οποιαδήποτ µορφή µ ένα βασικό όµως χαρακτηριστικό. Πάντοτ θα έτιν να µηδνισθί κάτι το οποίο προέρχται από την σταθρότητα του ransfer υποδίγµατος µας. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 34

ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΣΤΑΘΜΙΣΗΣ ΕΝΟΣ TRANSFER ΣΧΗΜΑΤΟΣ. Ενδιαφέρον παρουσιάζι η ρµηνία των σταθµίσων o,,, K στην διαµόρφωση δυναµικών πιδράσων της µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της. Γράφοντας : W (6) δ (. 0. L) W 5 (7) δ ( 0.8L) (8) δηλαδή w o., w 0. 5 και δ 0. 8 οι διαχρονικές πιδράσις της µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της θα ίναι οι ξής: δηλαδή W. 0.5L L δ 0.8L (. 0.5L)( 0.8 ) (9) 3 3 (. 0.5L)( L + 0.8L + 0.8 L + 0.8 L + L). + 0.46L + 0.368L + 0.94L 3 + 0.36L 4 + L o..0000 0.46000 0.46 3 0.36800 0.368 4 0.9440 5 0.355 3 0.94 6 0.884 4 0.36 7 0.5073 M 8 0.059 9 0.09647 0 0.0778 0.0674 0.04939 3 0.0395 4 0.036 5 0.059 6 0.003 7 0.068 8 0 095 REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 35

Γραφικά οι σταθµίσις αυτές παρουσιάζονται γραφικά στο Σχδιάγραµµα 3...0 0.8 0.6 Σχδιάγραµµα. γραφική παρουσίαση των σταθµίσων του Transfer σχήµατος. 0.4 0. 0.0 0 4 6 8 0 4 6 8 Σχδιάγραµµα 3. ιαχρονική παρουσίαση του σχήµατος των δυναµικών πιδράσων της x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της ρµηνυµένης µταβλητής. ( ) Στο Σχδιάγραµµα 4, παρουσιάζουµ τις ανάλογς σταθµίσις διάφορς τιµές για τις παραµέτρους w o, w και δ. υποθέτοντας () w o 4, w 0.5, δ 0. 6 () w o 4, w 0.5, δ 0. 8 (0) (3) w o 0.04, w 0.5, δ 0. 8 (4).4, w 0.5, δ 0. 8 w o 0 REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 36

4.0 0.4 3.5 0.3 3.0 0..5 0. -0.0.0-0..5-0..0-0.3 0.5-0.4 0.0 5 0 5 0-0.5 5 0 5 0 ime ime 4 0.9 3 0.8 0.7 0.6 0.5 0 0.4 0.3-0. - 0. -3 5 0 5 0 ime 0.0 5 0 5 0 ime Σχδιάγραµµα 4. γραφικές παρουσιάσις των σταθµίσων νός Transfer σχήµατος µ βάση τις ναλλακτικές υποθέσις (0) για τις παραµέτρους του. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 37

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙ ΡΑΣΕΩΝ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ δ. Όπως αναφέραµ και στην προηγούµνη παράγραφο η σηµασία του r πολυώνυµου δ δl δ L L δ rl ίναι σηµαντική στην διαµόρφωση του σχήµατος της πίδρασης της inpu µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της oupu µταβλητής. Για να παρουσιάσουµ αυτή την πίδραση υποθέσαµ ότι ο αριθµητής w παραµένι σταθρός και µταβάλλουµ τόσο την τιµή της παραµέτρου δ αλλά και τον βαθµό του πολυώνυµου. (Ι). ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ δ. Υποθέτοντας το ίδιο σχήµα πίδρασης της inpu µταβλητής της µταβλητικότητας της oupu µταβλητής, δηλαδή : x στην διαµόρφωση W () δ ( w w L) W o () δ ( L ) ( δ L ) (3) w o και θέτοντας 4, και µταβαλοντας το δ (0.000,0.,0.4,0.9) λαµβάνουµ µια σιρά απο διαφορτικές µορφές σχηµατοποίησης της πίδρασης της inpu µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της oupu µταβλητής. Οι ναλλακτικές αυτές πιδράσις παρουσιάζονται στο Σχδιάγραµµα 5. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 38

4.0 4.0 3.5 3.5 3.0 3.0.5.5.0.0.5.5.0.0 0.5 0.5 0.0 5 0 5 0 ime 0.0 5 0 5 0 ime 4.0 4.5 3.5 4.0 3.0 3.5 3.0.5.5.0.0.5.5.0.0 0.5 0.5 0.0 5 0 5 0 ime 0.0 5 0 5 0 ime Σχδιάγραµµα 5. γραφικές παρουσιάσις των σταθµίσων µ βάση τις ναλλακτικές υποθέσις για την παράµρο δ. νός Transfer σχήµατος REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 39

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ δ. Η µορφή της διαχρονικής πίδρασης της µταβλητής x στην µταβλητικότητα της χρονοσιράς µπορί να διαµορφωθί από απλή έως πολύπλοκη ανάλογα µ τον βαθµό και τις παραµέτρους του πολυωνύµου δ. Για παράδιγµα θα αναφέρουµ την πρίπτωση της σχέσης των δαπανών για διαφήµιση x και των πωλήσων νός προϊόντος. Μ βάση τα στοιχία του Πίνακα του παραρτήµατος η σχέση αυτή υπό την µορφή νός Transfer σχήµατος µπορί να παρουσιαστί ως ξής:. 0.5L L 0.847L + 0.86L x + L.0L + 0.67L (4) Στο παραπάνω κτιµηµένο Transfer σχήµα έχουµ: w δ wo w L. 0.5L L δ L δ L 0.847L 0.86L (5) Για τις τιµές δ 0. 847 και δ 0. 86 οι συντλστές στάθµισης o,,, K θα προέλθουν από την φαρµογή της σχέσης. Μ βάση την φαρµογή των σχέσων: (, ) Min r i δ w για s (6) i + i και έχοντας ότι: Min (, r ) δ για s (7) i i i r, s w., δ 0.847 o w 0.5 δ 0.86 (8) REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 40

οι σταθµίσις θα προκύψουν αριθµητικά ως ξής: 0 o w. < s( s ) o (,) Min i i + w δ i i + w i i δ i + w δ o + w 0.847. + δ s( s ) ( )( ) ( 0.5) (,) ( 0.5) 0. 49640.064 + Min δ i i δ i i δ + δ δ + δ o i i ( 0.847)( 0.49640) + ( 0.86)(. ) 0.4896 0.343 0.07576 κ.λ.π. Γραφικά όλς οι παραπάνω σταθµίσις παρουσιάζονται γραφικά στο Σχδιάγραµµα 6 και αριθµητικά στον Πίνακα...0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0-0. 0 4 6 8 0 4 6 8 Σχδιάγραµµα 6. γραφικές παρουσιάσις των σταθµίσων νός Transfer σχήµατος µ βάση τις ναλλακτικές υποθέσις (8) για τις παραµέτρους του. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 4

ΠΙΝΑΚΑΣ.Οι τιµς των συντλστων σταθµισης του σχηµατος (5).0000 0.49640 3 0.0775 4-0.07654 5-0.0869 6-0.0573 7-0.0896 8-0.006 9 0.00435 0 0.00405 0.008 6.9840e-04 3-3.8547e-05 4 -.3056e-04 5 -.84e-04 6-9.0088e-05 7 -.36346e-05 8 5.7563e-06 9.630e-05 0 8.0703e-06 REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 4

Υποθέσις του Transfer Υποδίγµατος. Όπως αναπτύξαµ στα προηγούµνα µέρη ένα Transfer υπόδιγµα µπορί να γραφτί ως ξής: x N a + + () όπου Εξαρτηµένη µταβλητή x Ανξάρτητη µταβλητή L o + L + L + ( ) L : πολυώνυµο βαθµού ή απιροστού βαθµού. a Σταθρά παράµτρος N ιαταρακτικός όρος που µπορί να ξιδικυθί και ως ένα ARMA ( p, q) σχήµα. Για την ξιδίκυση της () έχουµ κάνι δύο πιπλέον υποθέσις οι οποίς κρίνονται σηµαντικότατς για την κτίµηση του Transfer υποδίγµατος.. Η πρώτη υπόθση αφορά την µονόπλυρη πίδραση της ρµηνυτικής µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της. ν υπάρχι πρίπτωση τα υποδίγµατα αυτά να θωρήσουµ ότι υπάρχι αµφίδροµη σχέση αιτιότητας.. Η ανξάρτητη µταβλητής x ίναι ανξάρτητος των τιµών του διαταρακτικού όρου N. Φυσικά οι παραπάνω υποθέσις ίναι αρκτά δύσκολο να ικανοποιούνται ιδιαίτρα όταν αναλύσουµ οικονοµικά µγέθη. Θα µπορούσαν τέτοις υποθέσις να έχουν ισχύουν σ διαδικασίς παραγωγής και γνικότρα διαδικασίς όπου αναλύονται φυσικά φαινόµνα και µάλιστα σ πριβάλλοντα ργαστηρίου. Πάντως στην πρίπτωση της ανάλυσης των οικονοµικών µγθών τις πρισσότρς φορές ίναι προτιµότρο να χρησιµοποιούµ σχήµατα Transfer συστηµάτων όπου και οι δύο µταβλητές και x ίναι νδογνίς µταβλητές οι µταβλητικότητς των οποίων αλληλοπηράζονται διαχρονικά µέσα από την λιτουργία του συστήµατος των ξισώσων. Σ αυτά τα σχήµατα θα πανέλθουµ σ πόµνο κφάλαιο. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 43

Σχέσις νός Transfer σχήµατος µ άλλα Οικονοµτρικά Υποδίγµατα. Οι σχέσις νός Transfer σχήµατος και πολλών γραµµικών και µη γραµµικών υποδιγµάτων ίναι αρκτές, µία και για διάφορς υποθέσις για τις παραµέτρους του µπορί να µτασχηµατισθί κάποιο από τα γνωστά κλασσικά οικονοµτρικά υποδίγµατα:. Απλό Γραµµικό Υπόδιγµα (Classical Linear Regression Model). Εάν στο Transfer σχήµα: x N a + + () υποθέτουµ ότι a β o και δ 0, δ 0... ω δ τότ το () µπορί να γραφτί N β β β 0L u NID ( 0, σ ) ~ β + β x + β x + L+ β x + u o m m το οποίο ίναι το γνωστό µας πολυµταβλητό Κλασσικό Γραµµικό Υπόδιγµα.. Αυτοπαλίνδροµο Σχήµα Πρώτου Βαθµού (Firs Order Auoregressive Models). Εάν υποθέσουµ ότι N ή ( ϕ L) N τότ το Transfer υπόδιγµα ϕl µτασχηµατίζται σ ένα αυτοπαλίνδροµο υπόδιγµα πρώτου βαθµού: a + x + ( ϕl) ϕ πιδή ( L) ϕll µπορούµ να γράψουµ x + ϕ L ϕ p p a + REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 44

το οποίο ίναι το γνωστό µας αυτοπαλίνδροµο σχήµα πρώτου βαθµού, ή το Αυτοσυσχτιζόµνο Γραµµικό Υπόδιγµα. 3. υναµικά Υποδίγµατα. Το Transfer υπόδιγµα µ την υπόθση ότι N NID( 0, σ ) ~, µτασχηµατίζται στην γνική µορφή του υποδίγµατος των κατανµηµένων χρονικών υστρήσων (Duibued La Models). Τα υποδίγµατα αυτά έχουν την γνική µορφή: a + 0 β x + ( 0, σ ) ~ NID Στην φαρµοσµένη έρυνα φόσον δχθούµ όλς τις παραπάνω υποθέσις για να καταλήξουµ να κτιµήσουµ ένα υπόδιγµα κατανµηµένων χρονικών υστρήσων, προβαίνουµ σ µρικές πιπλέον υποθέσις οι οποίς αφορούν ακόµη πρισσότρο την ξιδίκυση των πιδράσων µιάς ρµηνυτικής µταβλητής x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της ρµηνυµένης µταβλητής. Οι υποθέσις αφορούν κυρίως τον αριθµό των χρονικών υστρήσων τις οποίς λαµβάνι η ανξάρτητη µταβλητή x καθώς και υποθέσις οι οποίς αφορούν τον τρόπο που αυτή η πίδραση κατανέµται διαχρονικά, θα αναπτύξουµ όλα αυτά τα υποδίγµατα αναλυτικότρα στο ανάλογο κφάλαιο. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 45

Εκτίµηση νός Transfer Υποδίγµατος. Η διαδικασία κτίµησης νός Transfer υποδίγµατος ίναι ανάλογη της διαδικασίας κτίµησης νός υποδίγµατος Box και Jenkins η οποιοδήποτ ανάλογου οικονοµτρικού υποδίγµατος, όπου η βασική πληροφόρηση της κτίµησης του βασίζται σ µγάλο βαθµό από την διαθσιµότητα των στοιχίων η µταβλητικότητα των οποίων καλίται να βοηθήσι στην κτίµηση του. Τα βασικά λοιπόν στάδια κτίµησης νός Transfer υποδίγµατος ίναι τα ξής: - Εξιδίκυση του Υποδίγµατος. - Εκτίµηση του Υποδίγµατος. - Αναλύσις & Προβλέψις. Το βασικότρο στάδιο στην κτίµηση νός Transfer υποδίγµατος ίναι το στάδιο της ξιδίκυσης των παραµέτρων του υποδίγµατος. ηλαδή η αριθµητική συγκκριµνοποίηση των παραµέτρων του υποδίγµατος (-3). x + x + + n xn u a + L + () u Θ Φ () ( 0, σ ) ~ NID (3) Αν έχουµ την πρίπτωση µιάς µόνο ρµηνυτικής µταβλητής γράφται: x τότ το () x u a + + (4) u Θ Η (5) µπορί να γραφτί και ως ξής: Φ (5) u Φ Θ (6) Αντικαθιστώντας την (6) στην (4) λαµβάνουµ. Θ a + x + (7) Φ a Φ + x + Θ (8) Φ Φ + C x + Θ ao + A (9) REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 46

Η (9) αποτλί την γνική µορφή νός Transfer υποδίγµατος. Ένα τέτοιο υπόδιγµα καλούµθα να κτιµήσουµ έχοντας στην διάθση µας στοιχία τόσο για την µταβλητή όσο και την µταβλητή x. Έχουµ πίσης υποθέσι ότι δν υπάρχι αλληλοπίδραση µταξύ των µταβλητών x και. Αυτό που υπάρχι ίναι η «υποθτική» διαχρονική πίδραση της x στην διαµόρφωση της µταβλητικότητας της. Αυτό αµέσως συνπάγται ότι ( ) 0 E x * για 0,,, K, k, δηλαδή δν θα πρέπι ξ υποθέσως να υπάρχι κάποια συσχέτιση µταξύ των τιµών του διαταρακτικού όρου και των τιµών της ρµηνυτικής µταβλητής x. * Η απόδιξη αυτή στο απλό γραµµικό υπόδιγµα a + β x + ίναι η ξής: REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 47

REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES 48