November 24, 2009
Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja
Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x, y) x + y definirana funkcija dviju varijabli, zbrajanje. Pišemo z = f (x, y) = x + y. Analogno, ako je (x, y, z) R 3 uredjena trojka realnih brojeva, onda je s (x, y, z) x + y + z definirana funkcija triju varijabli. Pišemo u = f (x, y, z) = x + y + z.
Zbrajanje nije jedina funkcija i mi općenito uredjenoj n-torki realnih brojeva, tj. za (x 1,..., x n ) R n definiramo funkciju n varijabli (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) i zovemo funkcija n realnih varijabli. Ako je f (x 1,..., x n ) R zovemo je realna funkcija od n realnih varijabli. Pišemo f : Ω R, Ω R n. Ako je funkcija f zadana formulom (izrazom), D(f ) je prirodno područje definicije za koje formula y = f (x) = f (x 1,..., x n )
ima smisla. Outline
Ako je na primjer zadana funkcija f formulom f (x, y) = 4 x 2 y 2 i f : D(f ) R, D(f ) R 2, onda je prirodno područje definicije D(f ) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} zatvoreni krug.
Graf funkcije Sa f (x, y) = x 2 + y 2 definirana je funkcija dviju varijabli, gdje je D(f ) = R 2. U pravokutnom koordinatnom sustavu promatramo skup G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) D(f )} i nazivamo ga graf funkcije f. Graf G predstavlja plohu u prostoru R 3. Graf funkcije f (x, y) = x 2 + y 2 je... Općenito, graf funkcije od n varijabli je skup G = {(x 1,..., x n, f (x)) : x D(f )}.
Homogena funkcija Funkcija f je homogena stupnja homogenosti α ako vrijedi f (λx 1,..., λx n ) = λ α f (x 1,..., x n ). Ako je α = 1 funkcija se zove linearno homogena. To znači slijedeće: za λ = 1.01 imamo f (1.01x 1,..., 1.01x n ) = 1.01f (x 1,..., x n ) odnosno, ako se svaka varijabla poveća za 1% funkcija ć e se povećati za 1%. Ako je stupanj homogenosti α = 2 i λ = 1.01 imamo f (1.01x 1,..., 1.01x n ) = 1.01 2 f (x 1,..., x n ) = 1.0201f (x 1,..., x n ) odnosno, ako se svaka varijabla poveća za 1% funkcija će se povećati za 2.01%.
Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Razina (količina) proizvodnje Q ovisi faktorima proizvodnje, L razina uloženog rada i C razina uloženog kapitala. Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje je gdje je 0 < α < 1 i 0 < β < 1. Ako je α + β = 1 imamo Q(L, C) = AL α C β Q(L, C) = AL α C 1 α.
Primjer: Poznata je Coob-Douglasova funkcija proizvodnje 1. Q(L, C) = 1.7L 0.6 C 0.4 2. Q(L, C) = 1.7L 0.6 C 0.2 gdje je Q oznaka za razinu (količinu) proizvodnje, L razina uloženog rada i C razina uloženog kapitala. Za koliko će se promijeniti ukupna proizvodnja ako se L I C povećaju za 6%? 1. α = 1 λ α = 1.06, pa ako L 6%, C 6% onda Q 6%. 2. α = 0.8 λ α = 1.06 0.8 = 1.0479, pa ako L 6%, C 6% onda Q 4.79%.
Parcijalne derivacije Prvo promatramo parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli. Neka je Ω R 2 otvoren skup i f : Ω R tj. f = f (x, y). Za svaku točku P 0 = (x 0, y 0 ) Ω imamo dvije funkcije (1) (x, y 0 ) Ω, x f (x, y 0 ) je funkcija jedne varijable, a ta je varijabla x, (2) (x 0, y) Ω, y f (x 0, y) je funkcija jedne varijable, a ta je varijabla y.
Sada teoriju koju smo razvili za funkciju jedne varijable primjenimo na proučavanje funkcije dviju varijabli. Medjutim, ako su funkcije (1) i (2) neprekidne, ne znači da je neprekidna funkcija z = f (x, y). Ako je funkcija x f (x, y 0 ) diferencijabilna za x = x 0, tj. postoji f (x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim = x x 0 x x 0 f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) = lim x 0 x kažemo da funkcija f ima parcijalnu derivaciju po x u točki (x 0, y 0 ) i označavamo f x (x 0, y 0 ) = f x (P 0)
ili Outline f x (x 0, y 0 ) = f x (P 0 ).
Analogno, ako fiksiramo varijablu x, tj. x = x 0 i promatramo funkciju jedne varijable, y, odnosno y f (x 0, y) i ta je funkcija diferencijabilna za y = y 0, tj. postoji f (x 0, y) f (x 0, y 0 ) lim = y y 0 y y 0 f (x 0, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) = lim y 0 y kažemo da funkcija f ima parcijalnu derivaciju po y u točki (x 0, y 0 ) i označavamo f y (x 0, y 0 ) = f y (P 0)
ili Outline f y (x 0, y 0 ) = f y (P 0 ).
Primjeri: 1. Za funkciju f (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 parcijalne derivacije su f x = 2ax + 2by i f y = 2bx + 2cy.
2.Funkcija Outline ima prirodno područje definicije Njene parcijalne derivacije su f (x, y) = ln 1 x 2 y 2 D(f ) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. x f x = 1 x 2 y 2 i y f y = 1 x 2 y 2.
Pogledajmo geometrijsku interpretaciju danih parcijalnih derivacija. Označimo z 0 = f (x 0, y 0 ). Parcijalna derivacija po x u točki P 0 = (x 0, y 0 ) je koeficijent smjera (nagib) tangente kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) na krivulju u kojoj ravnina y = y 0 sijeće graf Jednadžba te tangente je G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) Ω}. y = y 0, z z 0 = f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) ili y = y 0, z z 0 = f x (P 0 ) (x x 0 )
Analogno, parcijalna derivacija po x u točki P 0 = (x 0, y 0 ) je koeficijent smjera tangente kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) na krivulju u kojoj ravnina x = x 0 sijeće graf Jednadžba te tangente je G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) Ω}. x = x 0, z z 0 = f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) ili x = x 0, z z 0 = f y (P 0 ) (y y 0 )
Primjer: Ako je dana funkcija f (x, y) = x 2 + y 2 i točka P 0 = (1, 1), onda je Radi z 0 = f (x 0, y 0 ) = f (1, 1) = 2 f x = 2x, f x (1, 1) = 2 jednadžba tangente krivulje koja je na presjeku ravnine y = 1 i grafa G = {(x, y, x 2 + y 2 )) : (x, y) R 2 } ili na G 1 = {(x, 1, x 2 + 1) : x R} je ili y = 1, z 2 = 2(x 1) y = 1, z = 2x.
Takodjer Outline f y = 2y, f y (1, 1) = 2 jednadžba tangente krivulje koja je na presjeku ravnine x = 1 i grafa G = {(x, y, x 2 + y 2 )) : (x, y) R 2 } ili na G 2 = {(1, y, y 2 + 1) : y R} je ili x = 1, z 2 = 2(y 1) x = 1, z = 2y.
Za funkciju Outline y = f (x 1,..., x i,..., x n ) n varijabli kažemo da ima parcijalnu derivaciju po x i, (i = 1,..., n) u x = (x 1,..., x i,..., x n ) ako postoji f (x 1,..., x i + x i, x n ) f (x 1,..., x i,..., x n ) lim. x i 0 x i Označavamo je ili f x i (x) f xi (x)
ili Outline f i (x), (i = 1,..., n).
Parcijalna elastičnost Imamo funkciju potražnje q za nekom robom, gdje je q razina potražnje za promatranom robom. Ona ovisi o cijeni p 1 te robe cijeni p 2,..., p n drugih roba koje imaju utjecaj na potražnju promatrane robe dohotku k potrošača vremenu t. Dakle q = q(p 1, p 2,..., p n, k, t).
Zanima nas: kako na relativnu promjenu samo jedne od varijabli reagira potražnja? Mjera reagiranja potražnje dana je koeficijentima elastičnosti. Koeficijent elastičnosti potražnje promatrane robe u odnosu na cijenu te robe E q,p1 = p 1 q q p 1. Koeficijent elastičnosti potražnje promatrane robe u odnosu na cijenu neke druge robe ili koeficijent križne elastičnosti E q,pi = p i q q p i, i = 2, 3,..., n.
Koeficijent dohodovne elastičnosti E q,k = k q q k. Koeficijent elastičnosti potražnje prema tijeku vremena E q,t = t q q t.
Primjer 1: Funkcija potražnje za nekom robom je gdje je q(p 1, p 2 ) = p 0.5 1 e 0.5p 2+2.3 p 1 cijena te robe1. p 2 cijena neke druge robe2. Izračunajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti na razini cijena p 1 = 10, p 2 = 4. E q,p1 = 0.5 ako na razini p 1 = 10, p 2 = 4 cijena robe1. raste za 1% a cijena robe2.se ne mijenja, tj. na razini cijena p 1 = 10.1, p 2 = 4 potražnja za robom1. pada približno za 0.5%. E q,p2 = 0.5p 2 ako na razini p 1 = 10, p 2 = 4 cijena robe2. raste za 1% a cijena robe1.se ne mijenja, tj. na razini cijena p 1 = 10, p 2 = 4.04 potražnja za robom1. raste približno za 2% roba1 i roba2 su dobri supstituti.
Primjer2: Poznata je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.1L 0.7 C 0.3. Izračunajte koeficijente parcijalne elastičnosti. E Q,L = 0.7 tj. ako L 1%, C se ne mijenja, Q približno za 0.7%. E Q,C = 0.3 tj. ako C 1%, L se ne mijenja, Q približno za 0.3%.
Ako je Outline y = f (x 1,..., x n ) koeficijent parcijalne elastičnosti je E y,xi = x i y y x i = x i y y x i, i = 1,..., n.
Eulerov teorem: Ako je y = f (x 1,..., x n ) homogena funkcija stupnja homogenosti α i ima sve parcijalne derivacije f xi, (i = 1,..., n), onda vrijedi E y,x1 + + E y,xn = α. Primjer: Poznata je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.1L 0.7 C 0.3. Ova funkcija je homogena stupnja homogenosti α = 1 pa je E Q,L + E Q,C = 1.
Neka je z = f (x, y) funkcija f : Ω R, Ω R 2 i neka je klase C 1 (Ω). Promatramo ravninu u kojoj leže pravci y = y 0, z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) i x = x 0, z z 0 = f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Eksplicitni oblik jednadžbe ravnine je z = ax + by + c. Kako tražena ravnina prolazi kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) vrijedi z 0 = ax 0 + by 0 + c pa je z z 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ).
Za y = y 0 imamo a = f x (x 0, y 0 ). Za x = x 0 imamo b = f y (x 0, y 0 ). Jednadžba te ravnine je sada ili z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) i uz pretpostavku da je f C 1 (Ω) ovu ravninu zovemo tangencijalna ravnina plohe ili grafa G kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Uz oznaku P 0 = (x 0, y 0 ) jednadžbu tangencijalne ravnine pišemo z = f (P 0 ) + f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 ).
Ovdje kontrolom samo dva smjera promjene funkcije f iz točke (x 0, y 0 ) u točku (x 0 + x, y 0 ) ili u točku (x 0, y 0 + y) kontroliramo i preostale smjerove (x 0 + x, y 0 + y) = (x, y). Sada je f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) ili f (P) f (P 0 ) + f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 )
ako je točka P = (x, y) blizu točke P 0 = (x 0, y 0 ), tj. ako je ρ = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = d(p, P 0 ) malo. Označimo prirast funkcije s f = f (x 0, y 0 ) = f (x, y) f (x 0, y 0 ) = f (P) f (P 0 ). Ako je f C 1 (Ω) u izrazu f x (x 0, y 0 )(x x 0 )+f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = f x (P 0 )(x x 0 )+f y (P 0 )(y y 0 ) uvodimo oznake dx = x x 0 i dy = y y 0 i zovemo ga potpuni ili totalni diferencijal funkcije dviju varijabli u točki P 0 = (x 0, y 0 ) i označavamo ga s df = df (x 0, y 0 ) = df (P 0 ) pa je df = df (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy
ili Dakle Outline df = df (P 0 ) = f x (P 0 )dx + f y (P 0 )dy. df f. Diferencijal df zovemo još potpuni diferencijal prvog reda.
Primjer: Ako je f (x, y) = 3x 2 + xy y 2 + 1, odredite približnu vrijednost funkcije f u točki P = (x, y) = (1.1, 2.2) pomoću točke P 0 = (x 0, y 0 ) = (1, 2). Kako je f x = 6x + y, f x (1, 2) = 8 i f y = x 2y, f y (1, 2) = 3 imamo jednadžbu tangencijalne ravnine u točki (1, 2) z = 2 + 8(x 1) 3(y 2).
Sada je vrijednost funkcije f u točki (1.1, 2.2) približno jednaka vrijednosti funkcije z u točki (1.1, 2.2), tj. f (1.1, 2.2) 2 + 8 0.1 3 0.2 = 2.20. Primjetimo da je f (1.1, 2.2) = 2.21.
Primjer: Izračunajte približno 1.02 3 + 1.97 3. Ako uzmemo te imamo df = f x dx + f y dy = x 0 = 1, x = 0.02, y 0 = 2, y = 0.03, f (x, y) = x 3 + y 3 3x 2 2 x 3 + y 3 dx + 3y 2 2 x 3 + y 3 dy. Sada je 1.02 3 + 1.97 3 f (1, 2) + f x (1, 2)dx + f y (1, 2)dy = = 3 + 0.01 0.06 = 2.95.
Druge parcijalne derivacije Ako funkcija f : Ω R, Ω R 2 ima obje parcijalne derivacije f x i f y na Ω, time su definirane dvije nove funkcije i možemo promatrati njihove parcijalne derivacije f xx, f xy, f yx, f yy. Schwartzov teorem: Ako je funkcija f C 2 (Ω), onda su mješovite parcijalne derivacije drugog reda jednake, odnosno f xy = f yx.
Matricu Outline [ fxx f H = xy f yx f yy ] zovemo Hesseova matrica. Zbog f C 2 (Ω) imamo f xy = f yx pa je [ ] fxx f H = xy f xy f yy
se definira na konveksnom skupu i predstavlja jednu od osnovnih i najvažnijih funkcija primjenjene matematike. Skup Ω R n je konveksan ako pravocrtna spojnica bilo koje dvije točke skupa Ω leži u skupu, tj ako za svako x 1 x 2, x 1, x 2 Ω i svako α [0, 1] (1 α)x 1 + αx 2 Ω. Definicija: Funkcija f : Ω R, Ω R n konveksan skup, je konveksna ako za svako x 1 x 2, x 1, x 2 Ω i svako α [0, 1] f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). Drugim riječima, pravocrtna spojnica bilo koje dvije točke grafa G funkcije f je iznad grafa ili na grafu.
Takodjer vrijedi Teorem: Neka su f i g konveksne funkcije na konveksnom skupu Ω onda je i njihov zbroj h = f + g konveksna funkcija na Ω. Takodjer funkcija h = kf, gdje je k > 0 konstanta, je konveksna. Funkcija f definirana na konveksnom skupu Ω je konkavna ako je funkcija f na njemu konveksna. Kako je po definicije općenito teško provjeriti da li je funkcija konveksna ili nije, prelaz na diferencijabilne funkcije omogućava, u nekim slučajevima, jednostavniju karakterizaciju.
Funkcija f je konveksna na konveksnom skupu Ω ako je tangencijalna ravnina u svakoj točki grafa te funkcije na grafu ili ispod grafa. Ako je f C 2 (Ω), Ω R 2 konveksan, otvoren skup i f xx > 0, det H = f xx f yy f 2 xy > 0 onda je funkcija f konveksna na Ω.
Funkcija je konveksna jer je te det H = 4. Outline f (x, y) = x 2 + y 2 f x = 2x, f y = 2y f xx = 2 > 0, f xy = 0, f yy = 2
Funkcija je konveksna jer je te det H = e x e y > 0. Outline f (x, y) = e x + e y f x = e x, f y = e y f xx = e x > 0, f xy = 0, f yy = e y
Funkcija je konveksna jer je Outline f (x, y) = x 2 + 4xy + 5y 2 f x = 2x + 4y, f y = 4x + 10y f xx = 2 > 0, f xy = 4, f yy = 10 i H = [ 2 4 4 10 ], det H = 20 16 = 4 > 0.
Konkavna funkcija Funkcija f je konkavna ako je f xx < 0 det H = f xx f yy f 2 xy > 0. Primjer: Funkcija f (x, y) = ln x + ln y je konkavna jer je f xx = 1 x 2 < 0 det H = 1 x 2 y 2 > 0.
funkcije dviju varijabli Za funkciju f : Ω R, Ω R 2, δ okolina oko točke (x, y ) je otvoreni krug O(δ) = {(x, y) : (x x ) 2 + (y y ) 2 < δ}. Ako je (x, y ) Ω i vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω onda je (x, y ) globalni maksimum funkcije f na Ω. Ako je (x, y ) Ω i vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω onda je (x, y ) globalni minimum funkcije f na Ω. Jedno ime za globalni maksimum i globalni minimum je globalni ekstrem.
Ako je (x, y ) Ω te postoji okolina O(δ) oko (x, y ) takva da vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω O(δ) onda je (x, y ) lokalni maksimum funkcije f na Ω. Ako je (x, y ) Ω te postoji okolina O(δ) takva da vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω O(δ) onda je (x, y ) lokalni minimum funkcije f na Ω. Jedno ime za lokalni maksimum i lokalni minimum je lokalni ekstrem.
Teorem: Ako je f C 1 (Ω) i (x, y ) Ω lokalni ekstrem, onda je Primjedba: f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0. (x, y ) Ω sa svojstvom f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0 zove se stacionarna točka. Stacionarna točka je kandidat za ekstrem. Uvjet izrečen u teoremu je nužan (potreban) za postojanje ekstrema.
Teorem: Neka je f C 1 (Ω) i (x, y ) Ω stacionarna točka, tj. f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0. 1. Ako je f konveksna funkcija na Ω, onda je (x, y ) globalni minimum na Ω. 2. Ako je f konkavna funkcija na Ω, onda je (x, y ) globalni maksimum na Ω.
Primjeri: Da li funkcije 1. f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + x y + 1 2. f (x, y) = 2xy 3x 2 2y 2 + 10 3. f (x, y) = 4(x y) x 2 y 2 4. f (x, y) = e x + e y imaju globalne ekstreme?
Teorem: Neka je f C 2 (Ω) i (x, y ) Ω stacionarna točka, tj. f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0. 1. Ako je f xx (x, y ) > 0 i det H(x, y ) = f xx (x, y )f yy (x, y ) f xy (x, y ) 2 > 0, onda je (x, y ) lokalni minimum. 2. Ako je f xx (x, y ) < 0 i det H(x, y ) = f xx (x, y )f yy (x, y ) f xy (x, y ) 2 > 0, onda je (x, y ) lokalni maksimum. Primjedba: Ako je Ako je det H(x, y ) = 0, potrebna su daljnja ispitivanja. Ako je det H(x, y ) < 0, funkcija nema ekstrema.
Primjeri: 1. Odredite ekstreme funkcije f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Stacionarne točke su (0, 0) i (1, 1). Lokalni minimum je (1, 1) i f (1, 1) = 1. 2. Da li je (5, 6) lokalni minimum funkcije f (x, y) = x 3 + y 2 6xy 39x + 18y + 20? Daaaa...
Problem kojim se bavimo je iznalaženje lokalnog ekstrema funkcije f dviju varijabli uz ograničenje u obliku jednadžbe g(x, y) = 0. Metode Metoda supstitucije Metoda Lagrangeovih množitelja
Metoda supstitucije Ograničenje g(x, y) = 0 je implicitno zadana funkcija y = y(x) ili x = x(y). Ako je barem jednu od ove dvije funkcije moguće izraziti eksplicitno, tj y = y(x) ili x = x(y), onda koristimo metodu supstitucije na slijedeći način. Ako je y = y(x), formiramo funkciju F jedne varijable x i imamo i njoj odredimo ekstreme. F (x) = f (x, y(x))
Primjer: Funkciji f (x, y) = x 2 + y 2 treba naći lokalne ekstreme na skupu rješenja jednadžbe x + y 2 = 0. Rješenje: Za x = 1, y = 1 funkcija f dostiže najmanju vrijednost f (1, 1) = 2.
Metoda Lagrangeovih množitelja Formiramo Lagrangeovu funkciju L(x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y). Lagrangeova funkcija je funkcija od tri varijable. Uvedena varijabla λ je Lagrangeov množitelj. Stacionarna točka Lagrangeove funkcije je kandidat za optimum.
Stacionarna točka Lagrangeove funkcije 1. Odredimo parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije L x, L y i L λ. 2. Riješimo sustav jednadžbi L x = 0, L y = 0 i L λ = 0. 2.1 Ako ovaj sustav ima rješenje (x, y, λ ), onda je (x, y, λ ) stacionarna točka. 2.2 Ako ovaj sustav nema rješenje, problem nema optimum. 3. Postojanje stacionarne točke je nužan (potreban) uvjet za postojanje optimuma.
Dovoljan uvjet Formiramo Hesseovu matricu Lagrangeove funkcije H = L xx L xy L xλ L yx L yy L yλ L λx L λy L λλ. 1. Ako je det H(x, y, λ ) > 0, onda je (x, y ) lokalni maksimum i f (x, y ) je vrijednost funkcije. 2. Ako je det H(x, y, λ ) < 0, onda je (x, y ) lokalni minimum i f (x, y ) je vrijednost funkcije.
Primjer: Treba odrediti ekstreme funkcije f (x, y) = x + y uz ograničenje x 2 + y 2 = 2. Rješenje: Dvije su stacionarne točke 1. (x, y, λ ) = (1, 1, 0.5) 2. (x, y, λ ) = ( 1, 1, 0.5) 1. (1, 1) je lokalni maksimum i f (1, 1) = 2. 2. ( 1, 1) je lokalni minimum i f ( 1, 1) = 2.
Interpretacija Lagrangeovog množitelja Primjer: Riješimo problem uz ograničenje max xy x + y = 2. Dobivamo (x, y, λ ) = (1, 1, 0.5) i f = f (x, y ) = f (1, 1) = 1. Ako je f (x, y) korist od dodijele dvije jedinice novčanih jedinica na dvije aktivnosti te se prvoj aktivnosti dodijeli jedna novčana jedinica (x = 1), drugoj, (y = 1), jedna novčana jedinica, dostiže se najveća korist f = 1.
Graf funkcije xy = 1 je krivulja konveksna (prema ishodištu) i svaka točka te krivulje opisuje jednu raspodjelu na aktivnosti pri kojoj je korist od raspodjele jednaka jedan. Raspodjela ograničenog budžeta je uvjet x + y = 2 i graf ove funkcije je pravac koji je tangenta krivulje xy = 1 u točki (1, 1).
Pri povećanju budžeta za jednu jedinicu, tj. ograničenje je x + y = 3 pa imamo novi problem uz ograničenje max xy x + y = 3. Ovaj problem ima novo optimalno rješenje i novu optimalnu vrijednost funkcije koristi koja je približno jednaka f λ, tj. f λ = 1 + 0.5
Optimalna vrijednost Lagrangeovog množitelja je λ = 0.5 a λ = 0.5 zovemo cijena u sjeni dualna cijena obračunska cijena. Približna promjena optimalne vrijednosti funkcije cilja (koristi) pri povećanju resursa za jedinicu je λ. λ je oportunitetni trošak, jer trošak dodatne jedinice resursa usporedjujemo s koristi dobivenom od tog povećanja, tj. da li se povećanje isplati ili ne.