2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους γωγράφους. Στην φαρμογή αυτής της ιδέας στη Γωμτρία στηρίζται η έννοια της ξίσωσης μιας καμπύλης, δηλαδή της αλγβρικής ισότητας που ικανοποιίται από τις συντταγμένς των σημίων της καμπύλης (και μόνο αυτών). Η έννοια αυτή θωρίται σήμρα τόσο απλή, ώστ η διδασκαλία της να αρχίζι από το Γυμνάσιο. Στην πραγματικότητα όμως η ξέλιξή της χριάστηκ πολύ χρόνο και υπήρξ το αποτέλσμα μιας σύνθσης ανάμσα στη Γωμτρία και στην Άλγβρα, μ παναστατικές συνέπις για τα Μαθηματικά και τις Θτικές Επιστήμς. Η ανάγκη και τα πρώτα ίχνη νός συστήματος αναφοράς μφανίζονται στην αρχαία λληνική Γωμτρία κατά τη μλέτη των κωνικών τομών (δηλαδή της παραβολής, της υπρβολής και της έλλιψης, τις οποίς θα μλτήσουμ παρακάτω). Ο Απολλώνιος στο 1ο βιβλίο των Κωνικών, αφού ορίζι αυτές τις καμπύλς στρομτρικά ως τομές του κώνου από ένα πίπδο, χρησιμοποιί δύο συγκκριμένς υθίς του σχήματος, για να αποδίξι χαρακτηριστικές ιδιότητς κάθ καμπύλης. Για παράδιγμα, στην παραβολή του διπλανού σχήματος αποδικνύι ότι αν φέρουμ την κάθτη ΚΛ ( τταγμένως καταγόμνη ) από σημίο της καμπύλης προς τη διάμτρο ΖΗ, τότ το ττράγωνο μ πλυρά ΚΛ ίναι ισοδύναμο μ το ορθογώνιο που έχι πλυρές ΖΛ, ΖΘ, όπου ΖΘ ένα τμήμα κάθτο στην ΖΗ στην κορυφή καμπύλης (το μήκος του οποίου προσδιορίζται από το ίδος του κώνου και από τη θέση του τέμνοντος πιπέδου). Θ Ζ Κ Λ Τταγμένως καταγόμνη Η

56 Η σχέση ΚΛ = ΖΘ ΖΛ ισοδυναμί βέβαια μ = τη σύγχρονη ξίσωση p της παραβολής, όπου, οι συντταγμένς των σημίων της ως προς ένα ορθογώνιο σύστημα συντταγμένων μ άξονς τον άξονα συμμτρίας της παραβολής και την κάθτη σ αυτόν στην κορυφή της. Η βασική διαφορά ανάμσα στην αρχαία και στη σύγχρονη μέθοδο βρίσκται στο γγονός ότι η τλυταία χρησιμοποιί τη συμβολική αναπαράσταση των γωμτρικών σχέσων και αξιοποιί την υλιξία του αλγβρικού λογισμού (που κφράζται μ τη χρήση αρνητικών συντταγμένων κτλ.). Αυτό το αποφασιστικό βήμα έγιν γύρω στο 163 από τους R. Descartes και P. Fermat, οι οποίοι πιχίρησαν να χρησιμοποιήσουν στη μλέτη δύσκολων προβλημάτων της αρχαίας λληνικής Γωμτρίας τη συμβολική Άλγβρα που ίχ δημιουργηθί στη διάρκια του 16ου αιώνα από τους Cardano, Viete κ.ά. Στα έργα των Descartes και Fermat δν υπάρχουν οι άξονς συντταγμένων ή οι ξισώσις των καμπύλων που χρησιμοποιούμ σήμρα, αλλά πριγράφται μ συστηματικό τρόπο η διαδικασία αναγωγής νός γωμτρικού προβλήματος σ αλγβρικό (ή αντίστροφα). Ιδιαίτρη πίδραση ίχ το έργο του Descarte La Géométrie (1637), στο οποίο ακριβώς για να γίνι πιο αποτλσματική η χρήση του αλγβρικού λογισμού στη Γωμτρία ισάγονται νέοι συμβολισμοί (όπως, για παράδιγμα, η κθτική γραφή των δυνάμων), που φέρνουν ουσιαστικά την Άλγβρα στη σημρινή μορφή της. Τταγμένη Ττμημένη Ύστρα από την πρώτη σύνθση της Άλγβρας και της Γωμτρίας, οι ξλίξις υπήρξαν ραγδαίς και οδήγησαν στην κντρική έννοια της σύγχρονης Αναλυτικής Γωμτρίας: Η ξίσωση μιας καμπύλης, από βοηθητικό μέσο για τη λύση νός γωμτρικού προβλήματος, γίνται μέσο ορισμού και αναπαράστασης αυτής της καμπύλης. Ο J. Wallis, στο βιβλίο του Tractatus de sectionibus conicis (1655), ορίζι την έλλιψη, την παραβολή και την υπρβολή τόσο μ τον κλασικό τρόπο, ως τομές κώνου, όσο και μ ξισώσις ου βαθμού, νώ ο I. Newton το 1676 χρησιμοποιί μ συστηματικό τρόπο δύο άξονς και αρνητικές συντταγμένς, για να μλτήσι και να ταξινομήσι τις καμπύλς τρίτου βαθμού. Στην ργασία πίσης του Newton Artis analticae specimina vel geometria analtica (που δημοσιύτηκ το 1779) χρησιμοποιίται για πρώτη φορά ο όρος Αναλυτική Γωμτρία. Οι ξλίξις αυτές, που έλαβαν χώρα παράλληλα μ τη δημιουργία του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, διαμόρφωσαν ένα νέο κλάδο των Μαθηματικών. Ο ος τόμος του κλασικού έργου του L. Euler Introductio in analsin infinitorum (1748) αποτλί ένα πλήρς διδακτικό γχιρίδιο Αναλυτικής Γωμτρίας, στο οποίο οι καμπύλς του πιπέδου και οι πιφάνις

57 του χώρου ορίζονται και ξτάζονται αποκλιστικά μέσω των ξισώσών τους ως προς ένα πλαγιογώνιο σύστημα συντταγμένων..1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Αν έχουμ μια ξίσωση μ δύο αγνώστους, για παράδιγμα την =, τότ λύση της ξίσωσης αυτής λέγται κάθ ζύγος αριθμών (, ) που την παληθύι. Έτσι, για παράδιγμα, τα ζύγη ( 1,1) (,4), ( 3, 9), (,), 1 1,, ( 3,3) ίναι λύσις της =. Αν 4 τώρα σ ένα σύστημα συντταγμένων παραστήσουμ μ σημία όλς τις λύσις της ξίσωσης =, τότ θα προκύψι η γραμμή C, του διπλανού σχήματος που, όπως γνωρίζουμ από προηγούμνς τάξις λέγται παραβολή. O Επιδή οι συντταγμένς (, ) των σημίων M(, ) της παραβολής C, και μόνο αυτές, παληθύουν την ξίσωση = λέγται ξίσωση της παραβολής C. Γνικά:, γι αυτό η ξίσωση = Μια ξίσωση μ δύο αγνώστους, λέγται ξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς των σημίων της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν. Στη συνέχια, αντί να λέμ, για παράδιγμα, δίνται η παραβολή C μ ξίσωση =, θα λέμ δίνται η παραβολή C : = ή απλώς δίνται η παραβολή = Μ τις ξισώσις των γραμμών μπορούμ μ αλγβρικές μθόδους να μλτήσουμ τις γωμτρικές ιδιότητς των γραμμών αυτών ή να αντιμτωπίσουμ διάφορα άλλα συναφή προβλήματα. Αυτό ίναι και το βασικό αντικίμνο της Αναλυτικής Γωμτρίας. Συντλστής Διύθυνσης Ευθίας

58 Η υθία γραμμή ίναι η απλούστρη και η πιο συχνά χρησιμοποιούμνη γραμμή. Στην αναζήτηση της ξίσωσης μιας υθίας θα μας διυκολύνι η έννοια του συντλστή διύθυνσης υθίας. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Ο ω Α ω Ο Α Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά τη θτική φορά μέχρι να συμπέσι μ την υθία τη λέμ γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Αν η υθία ίναι παράλληλη προς τον άξονα, τότ λέμ ότι σχηματίζι μ αυτόν γωνία ω =. Σ κάθ πρίπτωση για τη γωνία ω ισχύι ω < 18 ή σ ακτίνια ω< π. Ως συντλστή διύθυνσης μιας υθίας ορίζουμ την φαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζι η μ τον άξονα. Προφανώς ο συντλστής διύθυνσης μιας υθίας ίναι θτικός, αν η γωνία ω που σχηματίζι μ τον άξονα ίναι οξία και αρνητικός, αν ίναι αμβλία. Αν η υθία σχηματίζι μ τον μηδνική γωνία, δηλαδή ίναι παράλληλη στον άξονα, ο συντλστής διύθυνσης ίναι ίσος μ μηδέν. Στην πρίπτωση που η γωνία της υθίας μ τον άξονα ίναι 9, δηλαδή η υθία ίναι κάθτη στον άξονα, δν ορίζουμ συντλστή διύθυνσης για την υθία αυτή. Όταν ίναι γνωστά ένα σημίο μιας υθίας και ο συντλστής διύθυνσης της υθίας, τότ μπορούμ να σχδιάσουμ την υθία. Για παράδιγμα, για να σχδιάσουμ την υθία που διέρχται από το σημίο Α(-,1) και έχι συντλστή διύθυνσης λ = -, αρκί από το Α 3 να κινηθούμ 3 μονάδς προς τα αριστρά και Β(-5,3) A(-,1) Ο

59 στη συνέχια μονάδς προς τα πάνω. Προσδιορίζουμ έτσι το σημίο B(-5,3), οπότ η ζητούμνη υθία ίναι η AB. Έστω τώρα ένα διάνυσμα δ r παράλληλο σ μια υθία. Αν φ και ω ίναι οι γωνίς που σχηματίζουν το r δ και η μ τον αντιστοίχως, τότ θα ισχύι φ = ω ή φ = π + ω και πομένως φ φ = φω. Άρα: Όταν μια υθία και ένα διάνυσμα ίναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης. δ Ο φ ω φ ω Ο ω ω φ=ω δ φ=π+ω Αν ίναι γνωστές οι συντταγμένς δύο σημίων μιας μη κατακόρυφης υθίας, δηλαδή μιας υθίας που δν ίναι κάθτη στον άξονα, τότ μπορούμ να βρούμ και το συντλστή διύθυνσης της υθίας αυτής. Πράγματι, αν A ( 1, 1) και B(, ) ίναι δύο σημία της υθίας, τότ ο συντλστής διύθυνσης της ίναι ίσος μ το συντλστή διύθυνσης του διανύσματος - 1 AB = ( - 1, - 1), δηλαδή ίσος μ. Επομένως: - 1 Ο συντλστής διύθυνσης λ μιας υθίας που διέρχται από τα σημία A 1, ) και, ), μ ίναι ( 1 B( 1 1 λ =. 1 Για παράδιγμα, ο συντλστής διύθυνσης της υθίας που διέρχται από τα 4 ( ) σημία A( 1, ) και B( 1, 4) ίναι λ = = 3. 1 1 Συνθήκς Καθτότητας και Παραλληλίας Ευθιών

6 Μ τη βοήθια του συντλστή διύθυνσης υθίας, μπορούμ να διατυπώσουμ τις συνθήκς παραλληλίας και καθτότητας δύο υθιών στο πίπδο. Πράγματι, αν 1, ίναι δύο υθίς μ αντίστοιχους συντλστές διύθυνσης λ1,λ και τα διανύσματα δ r 1 και δ r ίναι παράλληλα προς τις 1 1 και αντιστοίχως, έχουμ τις ισοδυναμίς 1 // δ r 1 // δ r λ1 = λ και r r δ δ λ λ = 1. 1 1 1 Επομένως, αν οι υθίς 1 και έχουν συντλστές διύθυνσης 1 και αντιστοίχως, τότ: = και λ λ = 1 1 // λ1 λ 1 1 λ λ Εξίσωση Ευθίας Μια υθία στο πίπδο καθορίζται, όταν δίνονται ένα σημίο της και ο συντλστής διύθυνσής της ή δύο σημία της. Θα βρούμ την ξίσωση της υθίας σ καθμιά από τις δύο αυτές πριπτώσις. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και A (, ) ένα σημίο του πιπέδου. Ζητάμ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από το Α και έχι συντλστή διύθυνσης λ. M(,) Ένα σημίο M (, ) διαφορτικό του Α(, ) A, ) ανήκι στην, αν και μόνο αν το ( διάνυσμα AM ίναι παράλληλο στην, δηλαδή αν και μόνο αν το AM και η έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης. Επιδή Επομένως, το σημίο AM = (, ), έχουμ M (, ) ανήκι στην αν και μόνο αν λ. AM = = λ ή = λ( ). Η τλυταία ξίσωση παληθύται και από το σημίο A, ). Άρα η ξίσωση της υθίας ίναι: ( φ 1 Μ το συμβολισμό 1 // ννοούμ ότι οι υθίς 1 και ίναι παράλληλς ή συμπίπτουν.

61 = λ( ) (1) Για παράδιγμα, η υθία που διέρχται από το σημίο A( 1, ) και έχι συντλστή διύθυνσης λ = 3 έχι ξίσωση = 3( + 1), δηλαδή = 3 1. Έστω η υθία που διέρχται από τα σημία A ( 1, 1) και B(, ). Αν 1, τότ ο συντλστής διύθυνσης 1 της υθίας ίναι λ = και πομένως 1 ( η ξίσωση = λ ) γίνται: 1 1 = ( 1 ) () 1 B(, ) Α( 1, 1 ) Οι ξισώσις (1) και () δν μπορούν να χρησιμοποιηθούν, όταν η υθία ίναι κατακόρυφη, αφού στην πρίπτωση αυτή δν ορίζται ο συντλστής διύθυνσης της υθίας. Όμως η ξίσωση μιας κατακόρυφης υθίας που διέρχται από το σημίο A(, ) μπορί να βρθί αμέσως, αφού κάθ σημίο της Μ έχι ττμημένη και άρα η ξίσωσή της ίναι: = Για παράδιγμα, η υθία που διέρχται από τα σημία A ( 3,5) και B(4,1) έχι 1 5 4 3 ξίσωση 5 = ( + 3), η οποία μτά τις πράξις γίνται = + και η 4+ 3 7 7 κατακόρυφη υθία που διέρχται από το σημίο A ( 3,5) έχι ξίσωση = 3. Ειδικές πριπτώσις Η ξίσωση υθίας που τέμνι τον άξονα στο σημίο A (, β) και έχι συντλστή διύθυνσης λ ίναι β = λ( ), η οποία τλικά γράφται = λ + β. Α(,β)

6 Αν μια υθία διέρχται από την αρχή των αξόνων και έχι συντλστή διύθυνσης λ, τότ η ξίσωσή της ίναι = λ( ) ή = λ. δ δ 1 Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών O και O έχουν ξισώσις = και = αντιστοίχως. =- = 135 o 45 o Τέλος, αν μια υθία διέρχται από το σημίο A (, ) και ίναι παράλληλη στον άξονα, δηλαδή ίναι όπως λέμ μια οριζόντια υθία, έχι ξίσωση = ( ), δηλαδή =. Α(, )

63 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Δίνται τρίγωνο μ κορυφές τα σημία A ( 1,), B (1,5) και Γ (4,1). Να βρθούν οι ξισώσις: i) Του ύψους που άγται από την κορυφή Α ii) Της διαμέσου που άγται από την κορυφή Β iii) Της μσοκαθέτου της πλυράς ΑΓ. ΛΥΣΗ 5 1 4 4 (i) Επιδή λ BΓ = = =, ο συντλστής 1 4 3 3 διύθυνσης του ύψους του τριγώνου από το Α ίναι 3 ύψους ίναι = ( + 1) ή 4 3 11 = +. 4 4 Α(-1,) Μ Β(1,5) Γ(4,1) 3 λ =. Επομένως, η ξίσωση του 4 1+ 4 + 1 3 3 (ii) Το μέσον Μ του τμήματος ΑΓ έχι συντταγμένς, =,. 3 5 Επομένως, ο συντλστής διύθυνσης της διαμέσου ΒΜ ίναι λ = = 7 και άρα η 3 1 ξίσωση της ΒΜ ίναι 5 = 7( 1), η οποία γράφται ισοδύναμα = 7 + 1. 1 1 (iii) Επιδή η υθία ΑΓ έχι συντλστή διύθυνσης =, η οποιαδήποτ 1 4 5 κάθτος σ αυτήν έχι συντλστή διύθυνσης 5, πομένως η ξίσωση της μσοκαθέτου 3 3 ίναι = 5 ή ισοδύναμα = 5 6. 1 + και το σημίο A (,1). Να βρθούν οι συντταγμένς του συμμτρικού του σημίου Α ως προς την υθία.. Δίνονται η υθία μ ξίσωση = 1 ΛΥΣΗ

64 Αν A ( μ, ν) ίναι το συμμτρικό του Α ως προς την, τότ το μέσον Μ του A A ανήκι στην και το γινόμνο των συντλστών διύθυνσης των και A A ίναι -1, αφού AA. Οι συντταγμένς του μέσου Μ ίναι μ + ν + 1, και ο συντλστής διύθυνσης ν 1 του A A ίναι. Έτσι έχουμ το σύστημα μ ν + 1 1 μ + = + 1, το οποίο μτά την κτέλση των πράξων γράφται 1 ν 1 = 1 μ μ ν = 4. μ + ν = 5 Α (μ,ν) Μ Α(,1) 6 Από τη λύση του συστήματος αυτού βρίσκουμ μ = και 5 6 13 συμμτρικό σημίο του Α ως προς την ίναι το A,. 5 5 13 ν =. Επομένως, το 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρίτ το συντλστή διύθυνσης: (i) Της υθίας, η οποία διέρχται από τα σημία Α ( 1,4) και Β (1,6 ) (ii) Της υθίας, η οποία τέμνι τους άξονς στα σημία Γ ( 1,) και Δ (,) (iii) Της υθίας, η οποία διέρχται από το Ο και ίναι κάθτη στην ΓΔ.. Να βρίτ τη γωνία, που σχηματίζουν μ τον άξονα οι υθίς που διέρχονται από τα σημία: (i) Α ( 1,4) και Β (1,6 ) (ii) Α ( 1,3) και Β (,4) (iii) Α (1,3 ) και Β ( 1, 1) (iv) Α (,3) και Β (,3). 3. Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από το σημίο Α ( 1, 1) και (i) Είναι παράλληλη προς το διάνυσμα r δ = ( 3, )

65 (ii) Είναι παράλληλη προς το διάνυσμα r δ = (,1) (iii) Σχηματίζι μ τον άξονα γωνία ω= π / 4. 4. Θωρούμ τρίγωνο ΑΒΓ μ κορυφές Α ( 1,), Β (3,) και Γ ( 3,4) (i) Τις ξισώσις των υψών του (ii) Τις ξισώσις των μσοκαθέτων των πλυρών του.. Να βρίτ: 5. Να δίξτ ότι το ττράπλυρο ΑΒΓΔ μ κορυφές Α (3,1 ), Β (5,5), Γ (1,3 ) και Δ ( 1, 1) ίναι ρόμβος. Ποις ίναι οι ξισώσις των διαγωνίων του; 6. Να δίξτ ότι τα σημία Α ( 1, 1), Β (,) και Γ ( 1, 3) ίναι συνυθιακά. 7. Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σημία Α ( α συνθ, α ημθ ) και Β ( α ημθ, α συνθ ). 8. Δίνονται τα σημία Α (,3), Β ( 4,5) και Γ ( 3, 4). Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από την κορυφή Α και το κέντρο βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ. Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρίτ τις ξισώσις των υθιών, που διέρχονται από το σημίο Α ( 1,) και σχηματίζουν μ τους άξονς ισοσκλές τρίγωνο.. Να βρίτ τις ξισώσις των πλυρών και τις συντταγμένς των κορυφών Β και 1 3 Γ του τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου τα δύο ύψη έχουν ξισώσις = + και = + αντιστοίχως και η κορυφή Α έχι συντταγμένς ( 1,4). 3. Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από το σημίο Μ (,1) και τέμνι τις υθίς = + 1 και = + 1 στα σημία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστ το Μ να ίναι μέσο του ΑΒ. 4. Δίνονται τα σημία P ( κ,1/ κ) και Q ( λ,1/ λ). (i) Να βρθί η ξίσωση της υθίας PQ. (ii) Αν η υθία PQ τέμνι τους άξονς αντιστοίχως, να δίξτ ότι Α P = ΒQ. και στα σημία Α και Β 5. Να δίξτ ότι η ξίσωση της υθίας που τέμνι τους άξονς στα σημία Α (α,) και Β (, β ), ίναι η + = 1. α β

66 11 6. Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που ίναι παράλληλη στην υθία = 3 3 και τέμνι τους άξονς και στα σημία Α και Β, ώστ το άθροισμα της ττμημένης του Α και της τταγμένης του Β να ίναι ίσο μ 15.