ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Διπλωματική Εργασία Χώροι ημισωτρικού γινομένου και Birkhoff-James -ορθογωνιότητα ΧΑΣΑΠΗ Π. ΣΤΑΜΑΤΙΝΑ Επιβλέπων: Ψαρράκος Παναγιώτης ΑΘΗΝΑ, 2015

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Διπλωματική Εργασία Χώροι ημισωτρικού γινομένου και Birkhoff-James -ορθογωνιότητα ΧΑΣΑΠΗ Π. ΣΤΑΜΑΤΙΝΑ Επιτροπή : Αρβανιτάκης Αλέξανδρος,Επίκουρος Καθηγητής Κανλλόπουλος Βασίλιος, Αναπληρωτής Καθηγητής Ψαρράκος Παναγιώτης, Καθηγητής ΑΘΗΝΑ, 2015 2

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθλα καταρχήν να υχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν μ οποιονδήποτ τρόπο στην πιτυχή κπόνηση αυτής της διπλωματικής ργασίας.θα πρέπι να υχαριστήσω θρμά τον καθηγητή κ. Παναγιώτη Ψαρράκο για την πίβλψη αυτής.μου προσφέρ τις γνώσις και την μπιρία του για την βαθύτρη κατανόηση της πριοχής των διανυσματικών χώρων ημισωτρικού γινομένου και των προσγγιστικών ορθογωνιοτήτων.μέσα στο τλυταίο ξάμηνο ήταν πάντα διαθέσιμος να ασχοληθί μ κάθ απορία μου σχτική μ ακαδημαϊκά ζητήματα,ντός και κτός των πλαισίων της παρούσας ργασίας και μ κάθ δισταγμό ή απογοήτυση μου όταν κάποις νές μαθηματικές έννοις ήταν αρκτά δυσνόητς σ μένα. Η στήριξη του ήταν ιδιαίτρα πολύτιμη όσο και οι ιδές που μου προσέφρ. Σ αυτό το σημίο θέλω να αναφέρω ανθρώπους,κτός του στνού ακαδημαϊκού πριβάλλοντος, που υπήρξαν σημαντικοί πόλοι στη ζωή μου, προσδίδοντας την απαιτούμνη ισορροπία.θα ήθλα λοιπόν,να υχαριστήσω την φίλη μου, υποψήφια διδάκτορα κ. Κρυσταλλένια Δρόσου για την αμέριστη ψυχολογική στήριξη της,τη πολύτιμη βοήθια της και την υπέροχη φιλία της, λπίζοντας να συνχίσι να ίναι δίπλα μου και στο μέλλον. Βέβαια,δν θα μπορούσα να μην αναφρθώ και στην οικογένια μου στους οποίους οφίλω και το μγαλύτρο υχαριστώ. Η δική τους υπομονή,στήριξη και πίστη στις δυνατότητς μου αποτέλσ αρωγός σ όλους μου τους στόχους και τα όνιρα.τέλος,θα ήθλα να αφιρώσω, δικαιωματικά, την παρούσα ργασία στον μικρό μου αδρφό Κωνσταντίνο και να τον υχαριστήσω για την τράστια υπομονή του κατά τη διάρκια των φοιτητικών μου χρόνων. 3

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωματική ργασία αναφέρται σ χώρους ημισωτρικού γινομένου μ ιδιαίτρη αναφορά στην Birkhoff James προσγγιστική ορθογωνιότητα. Στο 1 ο κφάλαιο, αναφρόμαστ σ βασικές έννοις,ορισμούς καθώς και σ συγκκριμένς μαθηματικές προτάσις,οι οποίς ίναι αρκτά χρήσιμς για την απόδιξη διάφορων θωρημάτων και για την κατανόηση σημαντικών ννοιών.στο 2 ο κφάλαιο,στη συνέχια,παρουσιάζται μια σύνοψη για τα διάφορα ίδη ορθογωνιότητας σ διανυσματικούς χώρους μ νόρμα.παρουσιάζονται τα ίδη ορθογωνιότητας,οι ιδιότητς τους καθώς και οι σχέσις μταξύ των κύριων ορθογωνιοτήτων.μάλιστα,ξτάζονται οι πριπτώσις ισοδυναμίας και συνπαγωγής μιας ορθογωνιότητας μ μια (ή σ μια) άλλη και υπό ποις προϋποθέσις, αυτές γίνονται. Έπιτα, στο 3 ο κφάλαιο μλτώνται 2 συγκκριμένα ίδη ορθογωνιότητας (Birkhoff,Ισοσκλής) δίνοντας έμφαση στα χαρακτηριστικά, στις ιδιότητς τους και σ διάφορα θωρήματα που συνδέονται μ αυτές. Μάλιστα,στο τέλος του κφαλαίου ασχολούμαστ μ τον χαρακτηρισμό χώρων σωτρικού γινομένου μέσω της B-J ορθογωνιότητας και τη χρήση του ορθογώνιου συντλστή. Στο 4 ο κφάλαιο,γίνται κτνής αναφορά στους ορισμούς των προσγγιστικών ορθογωνιοτήτων σ χώρους τόσο σωτρικού όσο και ημισωτρικού γινομένου. Παρουσιάζονται, λοιπόν, διάφορς προτάσις, που συνδέουν τις προσγγιστικές ορθογωνιότητς σ χώρους σωτρικού μ τις αντίστοιχς ορθογωνιότητς σ χώρους ημισωτρικού γινομένου. Τέλος, στο 5 ο κφάλαιο,ορίζουμ το σύνολο των στοιχίων που ίναι Birkhoff-James ορθογώνια ως προς κάποια άλλα,μλτώντας μάλιστα κτνώς τις ιδιότητς και τα χαρακτηριστικά του. Πιο συγκκριμένα,ασχολούμαστ μ το μέγθος αυτού,το πριχόμνο αλλά και το σύνορο του. Στο τλυταίο κφάλαιο της παρούσας ργασίας, παρουσιάζται αναλυτικά η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκ για τη μλέτη των παραπάνω ννοιών και τις αποδίξις των διάφορων θωρημάτων. 4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικά στοιχία (ορισμοί)... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ορθογωνιότητα σ διανυσματικούς χώρους μ νόρμα:μια σύνοψη... 13 2.1 Ορισμοί και βασικές ιδιότητς... 13 2.1.1 ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ... 13 2.1.2 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΜΕ ΤΟ X Y-ΕΙΔΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ.. 14 2.1.3 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ... 16 2.2 Σχέσις μταξύ ορθογωνιοτήτων... 21 2.2.1 Προτάσις ισοδυναμς μ το x y - ιδη ορθογωνιοτητας (συνέχια)... 22 2.2.2 Ισοδυναμίς μταξυ των κυριων ορθογωνιοτητων... 23 2.2.3 ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΚΥΡΙΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΩΝ... 25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3... 27 Birkhoff-James ορθογωνιότητα και ισοσκλής Ορθογωνιότητα... 27 3.1 Birkhoff-James ορθογωνιότητα... 27 3.1.1 Χαρακτηρισμοί... 27 3.2 Ισοσκλής ορθογωνιότητα... 36 3.3 Χαρακτηρισμοί χώρων σωτρικού γινομένου... 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4... 50 Birkhoff-James -ορθογωνιότητα... 50 4.1 Ορισμοί προσγγιστικών ορθογωνιοτήτων... 50 4.2 Ορθογωνιότητα (προσγγιστική) ημισωτρικού γινομένου... 53 4.3 Παρατηρήσις... 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5... 58 Σύνολα Birkhoff-James -ορθογωνιότητας σ διανυσματικούς χώρους μ νόρμα... 59 5.1 Εισαγωγή... 59 5.2 Ορισμός... 60 5.3 Μέγθος συνόλου F (x; ψ)... 65 5.4 Το σωτρικό και το σύνορο του συνόλου F (x; ψ)... 71

5.5 Η πρίπτωση που η νόρμα ισάγται από σωτρικό γινόμνο... 74 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 76 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικά στοιχία (ορισμοί) Χώρος σωτρικού γινομένου Έστω Ε διανυσματικός χώρος. Ο Ε καλίται χώρος σωτρικού γινομένου άν υπάρχι μια συνάρτηση, : Ε Ε R η οποία ικανοποιί τις ακόλουθς ιδιότητς: 1) x, x 0, για κάθ x E. 2) Αν x, x = 0 τότ x = 0. 3) x, y = y, x, για κάθ x, y E. 4) λx + μy, z = λ x, z + μ y, z, για κάθ x, y, z E και λ, μ R. 5) Ισχύι η σχέση x = x, x 1 2. Χώρος μ νόρμα Έστω Χ διανυσματικός χώρος. Μια απικόνιση : Χ R λέγται νόρμα και ο Χ αντίστοιχα, διανυσματικός χώρος μ νόρμα όταν ικανοποιούνται οι ακόλουθς ιδιότητς : 1) x 0 για κάθ x X. 2) x = 0 x = 0. 3) λx = λ x για κάθ x X και λ R. 4) x + y x + y για κάθ x,y X (τριγωνική ανισότητα). 7

Σχέσις σ χώρους σωτρικού γινομένου Πυθαγόριο Θώρημα : x + y 2 = x 2 + y 2, όπου x,y X ώστ x y. Kανόνας Παρ/μου: x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2, για κάθ x, y Χ. Ανισότητα Cauchy Schwartz : x, y 2 x, x y, y ή x, y x y, για κάθ x, y Χ. Σφαίρα μ κέντρο x και ακτίνα r S (x, M) ={y X x y = M}. Μοναδιαία σφαίρα S: S (0, 1) = {y X y = 1}. Μπάλα μ κέντρο x και ακτίνα r B (x, M) = {y X x y < M}. Μοναδιαία μπάλα B: B (0, 1) ={y X y < 1}. Ορθογώνια διανύσματα x,y Έστω Ε χώρος σωτρικού γινομένου. Δύο στοιχία x,y E λέγονται ορθογώνια (συμβολικά x y),όταν x, y = 0. Κλιστό σύνολο Ένα υποσύνολο F νός μτρικού χώρου (Χ,ρ) καλίται κλιστό άν το συμπλήρωμα του F c ίναι ανοιχτό. Δηλαδή, x F c, > 0 τέτοιο ώστ S (x,) F c. 8

Υπρπίπδο Ένα υποσύνολο W νός διανυσματικού χώρου Χ (W X) καλίται υπρπίπδο αν γράφται στη μορφή W = x + Y,όπου x X και Y X ίναι υπόχωρος συνδιάστασης 1 του X. Δυϊκός διανυσματικού χώρου Χ Έστω Χ διανυσματικός μ νόρμα. Ο χώρος B(Χ,R) καλίται δυϊκός ή συζυγής, και ίναι το σύνολο των φραγμένων γραμμικών συναρτησοιδών f, τέτοια ώστ f : X R. Xώρος Βanach: Ένας χώρος μ νόρμα (Χ, ) λέγται χώρος Banach αν ίναι πλήρης ως προς τη μτρική που ορίζι η νόρμα. (Δηλαδή αν κάθ ακολουθία Cauchy στον Χ συγκλίνι σ ένα στοιχίο του Χ). Κυρτό σύνολο: Ένα υποσύνολο Κ νός διανυσματικού χώρου Χ λέγται κυρτό αν για κάθ x,y K και 0 λ 1 ίναι λx + (1-λ) y K. [x, y]: = {λ x + (1 λ)y λ [0,1] για x, y X μ x y }. x, y : = { λ x + (1 λ)y λ R } [x, y : = { (1 λ) x + λy λ [0,+ ) } x : = x x ( μοναδιαίο διάνυσμα του x μ x 0 ) d(x, K) = απόσταση του σημίου x από ένα σύνολο Κ. 9

Υπόχωρος διανυσματικού χώρου: Έστω Χ διανυσματικός χώρος και Y X. O Y ονομάζται υπόχωρος του Χ άν για x, y Y και λ R ισχύι ότι x+y Y και λx Y. Κλιστός υπόχωρος: Εάν μάλιστα (Χ, ) χ.μ.ν και Y X ππρασμένης διάστασης τότ ο Y ίναι κλιστός υπόχωρος. M L (x):= Το μήκος του μγαλύτρου υθυγράμμου τμήματος ( όπου Μ x (x):= sup{ a b [a, b] S x } που πριέχται στην S x ={x X x = 1} και ίναι παράλληλο στο υθύγραμμο τμήμα (-x,x). Συμπαγές σύνολο Εστω ( Χ, ρ) μτρικός χώρος και Κ Χ.Το Κ θα καλίται συμπαγές αν κάθ ανοιχτό κάλυμμα του Κ έχι ππρασμένο υποκάλυμμα,δηλαδή αν για κάθ οικογένια {G i } i N n ανοικτών υποσυνόλων του Χ μ Κ κ=1 G ik. Καμπύλη Jordan: Ονομάζται μια συνχής γραμμή στο πίπδο, η οποία δν τέμνι τον αυτό της. Κλιστή καμπύλη Jordan: Ονομάζται μια καμπύλη Jordan στο πίπδο της οποίας τα 2 άκρα συμπίπτουν. A u,v : πριοχή ντός του παραλληλογράμμου ( αφορά το σύστημα (u, v )-συντταγμένων ) = {αu + βv a, β [0,1] }. A λu+v,u λv : πριοχή ντός του παραλληλογράμμου (αφορά το σύστημα (u, v )- συντταγμένων) για την οποία ισχύι ότι A λu+v,u λv = Δ A u,v. 10

Ga teaux-διαφορίσιμη συνάρτηση Έστω Χ,Υ διανυσματικοί χώροι Βanach μ U X ανοιχτό υποσύνολο του Χ και F : X Y. Η Gâteaux παράγωγος df(u;ψ) της F στο σημίο u U στην κατύθυνση του ψ Χ ορίζται ως : άν το όριο υπάρχι. Ορθογώνιος πίνακας Ένας πίνακας Α Μ n (R) καλίται ορθογώνιος, αν ικανοποιούνται οι ακόλουθς ισότητς: ΑΑ Τ = Α Τ Α = Ι n ή ισοδύναμα Α Τ = Α 1. Ορθομοναδιαίος πίνακας Ένας πίνακας Α Μ n (C) καλίται ορθομοναδιαίος, αν ικανοποιούνται οι ακόλουθς ισότητς : ΑΑ = Α Α = Ι n ή ισοδύναμα Α = Α 1. Φασματική(τλστική) νόρμα πινάκων στο C ν ν Ορίζται ως Α 2 = max { λ λ σ( Α Α)}, όπου γνικά σ(α) φάσμα νός πίνακα Α στο C ν ν δηλαδή το σύνολο των ιδιοτιμών του. 11

Πυρήνας γραμμικής απικόνισης Έστω η γραμμική απικόνιση f : X Y όπου Χ,Υ ίναι διανυσματικοί χώροι πάνω στο σώμα Κ. Ο υπόχωρος Kerf := {x X f(x) = 0} X αποτλί τον πυρήνα της απικόνισης f. Πρόταση (Χαρακτηρισμοί συνέχιας γραμμικών τλστών ) Έστω (Χ, Χ ), (Y, Y ) χώροι μ νόρμα και Τ: Χ Y γραμμικός.τα πόμνα ίναι ισοδύναμα: 1. Ο Τ: Χ Y ίναι συνχής. 2. Υπάρχι x 0 X και δ > 0 ώστ το σύνολο Τ [Β( x 0, δ)] να ίναι φραγμένο. 3. Υπάρχι δ > 0 ώστ το σύνολο Τ [Β(0 Χ, δ)] να ίναι φραγμένο. 4. Το Τ [Β(0 Χ, 1)] ίναι φραγμένο. 5. Υπάρχι Μ > 0 ώστ Τ(x) Y M x X για κάθ x X. 6. O T ίναι Lipschitz, δηλαδή υπάρχι Μ R ώστ Τ(x) Τ(z) Y M x z X για κάθ x, z X. Πρόταση (για γραμμικούς, φραγμένους τλστές) Αν Χ, Y χώροι μ νόρμα και Τ: Χ Y φραγμένος γραμμικός τλστής τότ : 1. Τ(x) T x για κάθ x X. 2. T = inf {M > 0 T(x) M x x X}. 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ορθογωνιότητα σ διανυσματικούς χώρους μ νόρμα:μια σύνοψη 2.1 Ορισμοί και βασικές ιδιότητς 2.1.1 ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Οι σχέσις ορθογωνιότητας χαρακτηρίζονται από κάποις νδιαφέρουσς ιδιότητς κ των οποίων οι πιο σημαντικές παρουσιάζονται στη συνέχια [1,3]: 1. Μη- κφυλιστική: λx μx αν και μόνο αν ίτ λx=0 ή μx=0. 2. Απλοποίηση: Αν x y τότ λx λy, λ R. 3. Συνέχια: έστω {x i } i=1, {y i } i=1 2 ακολουθίς οι οποίς συγκλίνουν στα σημία x,y αντίστοιχα. Δηλαδή lim x i = x και lim y i = y. Εάν x i y i για i N, τότ x y. i i 4. Ομογένια: Αν x y τότ λx μy, λ, μ R. 5. Συμμτρία: Αν x y τότ y x. 6. Aθροιστική (βλ.παρακάτω από αριστρά ή δξιά): Αν x y και x z τότ x y + z. 7. Ύπαρξη (από δξιά ή αριστρά αντίστοιχα): Για κάθ x,y X υπάρχι ένας πραγματικός αριθμός α τέτοιος ώστ x ax + y (ή αντίστοιχα ax + y x). 8. Μοναδικότητα (από δξιά ή αριστρά αντίστοιχα): Για κάθ x,y X, x 0 υπάρχι ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός α τέτοιος ώστ x ax + y (ή αντίστοιχα ax + y x). 13

9. Ύπαρξη μοναδικών ορθογωνίων διαγωνίων: Για κάθ x,y X {0} υπάρχι ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός α τέτοιος ώστ x+αy x-αy. Αξίζι βέβαια να σημιωθί σ αυτό το σημίο πως άν μ το συμβολισμό " " αναφρόμαστ σ οποιαδήποτ σχέση ορθογωνιότητας σ ένα χώρο σωτρικού γινομένου τότ ισχύουν όλς οι παραπάνω γνωστές ιδιότητς. Αν όμως ο παραπάνω συμβολισμός υποδηλώνι γνικυμένη ορθογωνιότητα σ χώρους μ νόρμα, τότ δν ικανοποιούνται όλς οι ιδιότητς και πηράζται ως αποτέλσμα η γωμτρική δομή του χώρου. Από την άλλη πλυρά, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να κφράσουμ την ορθογωνιότητα δύο διανυσμάτων (κτός από το συνήθη όπου το x, y =0), δηλαδή χωρίς ακριβή αναφορά στο σωτρικό γινόμνο του χώρου. Παρακάτω θα παρουσιάσουμ πτά ορισμούς ορθογωνιότητας: 2.1.2 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΜΕ ΤΟ X Y-ΕΙΔΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ- ΤΗΤΑΣ [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 1. (R) ROBERTS (1934): x R y άν ισχύι ότι x + λy = x λy, λ R. 2. (B) BIRKHOFF (1935)*: x Β y άν ισχύι ότι x x + λy, λ R. 3. (I) IΣΟΣΚΕΛΗΣ (1945): x I y άν ισχύι ότι x + y = x y. 4. (P) ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ(1945): x P y άν ισχύι ότι x + y 2 = x 2 + y 2. m 5. (C) CARLSSON(1962): x C y άν ισχύι ότι i=1 a i β i x + γ i y 2 =0, Όπου α i,β i,γ i ίναι προκαθορισμένοι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους μάλιστα ισχύουν οι παρακάτω σχέσις: m 2 m 2 m i=1 a i β i = i=1 a i γ i =0 και i=1 a i β i γ i =1. Όπως θα παρατηρήσουμ στην συνέχια (κφάλαιο 2.2) η C-ορθογωνιότητα δν ίναι ένας μμονωμένος τύπος αλλά μια οικογένια ορθογωνιοτήτων της οποίας μέλη ίναι τόσο η ισοσκλής όσο και η πυθαγόρια ορθογωνιότητα. 6. (S) SINGER(1957): x S y άν ισχύι ότι x=0 ή y=0 (δηλαδή x y =0) ή x + y x = y. x y x y 14

Η (S) ορθογωνιότητα αποτλί ιδική πρίπτωση της Unitary-Carlsson (U) οικογένιας ορθογωνιοτήτων (βλέπ παράγραφο 2.2). Όπως προαναφέραμ, καθμιά από τις παραπάνω προτάσις ίναι ισοδύναμη μ την ορθογωνιότητα των σημίων x,y. Βέβαια ίναι πολύ σημαντικές και στους χώρους μ νόρμα οι οποίοι όπως γνωρίζουμ συνδέονται άρρηκτα μ τους χώρους σωτρικού γινομένου (κάθ χώρος σωτρικού γινομένου χώρος μ νόρμα όπου x = x, x 1 2). Ακολουθούν κάποια νδικτικά σχήματα, των παραπάνω ορθογωνιοτήτων: 15

2.1.3 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΜΕ ΝΟΡΜΑ Έστω Ε ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα (Ε, ). Από τις ιδιότητς της ορθογωνιότητας, που ίδαμ παραπάνω σ χώρους σωτρικού γινομένου κάποις ίναι κοινές (μηκφυλιστική, απλοποίηση, συνέχια) για κάθ ίδος ορθογωνιότητας σ χώρους μ νόρμα.όσο αφορά τις υπόλοιπς- μη κοινές- ιδιότητς, κάποις από αυτές ίναι αρκτά δύσκολο να μλτηθούν,νώ τα αποτέλσματα κάποιων άλλων ίναι ακόμη και σήμρα άγνωστα. Στη συνέχια, θα μλτήσουμ μια πριγραφή των αποτλσμάτων των συγκκριμένων ιδιοτήτων για κάθ ίδος ορθογωνιότητας ξχωριστά. ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ R-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ Εκτός από τις προαναφρθήσς τρις κοινές ιδιότητς (μη- κφυλιστική, απλοποίηση, συνέχια) για κάθ τύπο και άρα και για την R-ορθογωνιότητα, ίναι πίσης προφανές πως η R- ορθογωνιότητα ίναι ομογνής και συμμτρική. Λόγω της γωμτρικής ρμηνίας υπάρχουν πολλά παραδίγματα διανυσματικών χώρων (όπως ο R 3 ) στους οποίους η R-ορθογωνιότητα δν ίναι αθροιστική. Αναφορικά μ την ύπαρξη της o R.C James απέδιξ [1,6] ότι η (R)- ορθογωνιότητα ορίζται αν και μόνο αν η νόρμα πάγται από ένα σωτρικό γινόμνο (δηλαδή ισχύι ότι x = x x 1 2). Μάλιστα, η παραπάνω ιδιότητα θωρίται πόρισμα νός γνωστού θωρήματος (F.A Fickens[ 10]) το οποίο χαρακτηριστικά αναφέρι ότι: Ο διανυσματικός χώρος Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου (Ε,, ), αν και μόνο αν ισχύι ότι x + ay = x ay, a R και x,y E. Για ανάλογους λόγους, η ύπαρξη των διαγωνίων για αυτή την ορθογωνιότητα ίναι χαρακτηριστική των χώρων σωτρικού γινομένου. Τέλος, η μοναδικότητα τους (αν αυτοί υπάρχουν) καθώς και η μοναδικότητα της ύπαρξης ίναι ιδιότητς που ισχύουν πάντα σ χώρους μ νόρμα. 16

ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ B-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ Είναι προφανές πως η B-ορθογωνιότητα ίναι ομογνής. Παρόλα αυτά, γνικά δν ίναι ούτ συμμτρική, ούτ αθροιστική. Oι G.Birkhoff [1,5], R.C James [1,11,12] και M.M Day [1,13] απέδιξαν ότι: Ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος μ νόρμα διάστασης 3 ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η Β-ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική. Το παραπάνω ξαιρτικό και πολύ σημαντικό θώρημα σχτίζται μ το γνωστό θώρημα Kakutani [13] (το οποίο μαζί μ το παραπάνω παρουσιάζονται πιο αναλυτικά στη συνέχια στο κφάλαιο 3). Αναφορικά βέβαια μ την πρίπτωση όπου η διάσταση του χώρου μου ίναι ίση μ 2, ο G. Birkhoff [5], απέδιξ πως μπορούμ να κατασκυάσουμ παραδίγματα νορμών στον R 2 όπου ναι μν η Β-ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική αλλά ο χώρος (R 2, ) δν ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Από τη στιγμή λοιπόν, όπου η Β-ορθογωνιότητα δν ίναι γνικά συμμτρική (δηλαδή δν ισχύι ότι άν x y τότ y x) ίναι απαραίτητο να να διαχωρίσουμ την αθροιστικότητα από τα δξιά (άν x y και x z τότ x y + z) μ την αθροιστικότητα από τα αριστρά (άν x z και y z τότ x+y z) και πίσης την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της ύπαρξης από τα αριστρά και δξιά αντίστοιχα. Η ιδιότητα της ύπαρξης από τα δξιά της Β-ορθογωνιότητας μπορί να θωρηθί ως μια απλή συνέπια της παρακάτω πρότασης [1,12] (αναφέρται ξανά στο κφάλαιο 3 ως θώρημα): Για κάθ x E,υπάρχι ένα κλιστό και ομογνές υπρπίπδο H τέτοιο ώστ x B H. Η παραπάνω πρόταση,δν ίναι τίποτ άλλο, παρά ένα πολύ γνωστό πόρισμα του θωρήματος Hahn-Banach το οποίο αναφέρι [1,12]: Ένα σημίο x E, ίναι Β-ορθογώνιο μ ένα σημίο y E,( x B y) αν και μόνο αν υπάρχι ένα συνχές, γραμμικό συναρτησοιδές f E \ {0} τέτοιο ώστ f(x) = f x και f(y) =0. Σ αυτό το σημίο βέβαια, ίναι σημαντικό να αναφέρουμ μια πρόταση για την Β- ορθογωνιότητα - σ συνδυασμό μ την ανακλαστικότητα νός χώρου - που βασίζται στο σημαντικό θώρημα του R.C. James (παρουσιάζται και σ πόμνο κφάλαιο) 17

Έστω Ε χώρος Banach. O E ίναι ανακλαστικός αν και μόνο αν για κάθ κλιστό και ομογνές υπρπίπδο Η υπάρχι ένα σημίο x E\{0} τέτοιο ώστ x B H. Από την άλλη πλυρά, η ύπαρξη από αριστρά της Β- ορθογωνιότητας σχτίζται μ την ομογένια της ορθογωνιότητας. Έτσι, η ύπαρξη για x E, νός κλιστού και ομογνούς υπρπιπέδου Η τέτοιο ώστ Η Β x, ίναι χαρακτηριστικό των χώρων σωτρικού γινομένου, μ διάσταση 3[1,11]. (αναλυτικά βλ. κφάλαιο 3). Μ βάση λοιπόν όλα τα παραπάνω, μπορούμ να καταλήξουμ στις παρακάτω ισοδύναμς προτάσις, αναφορικά μ την Β-ορθογωνιότητα [1,12]: (i) Η Β-ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική από τα δξιά. (ii) Η ύπαρξη της από τα δξιά ίναι μοναδική. (iii) Για κάθ x 0,το κλιστό και ομογνές υπρπίπδο Η τέτοιο ώστ x B H, ίναι μοναδικό. (iv) Ο Ε ίναι λίος.(δηλαδή δν υπάρχουν γωνίς στη μοναδιαία σφαίρα). Αναλογικά, οι πόμνς προτάσις ίναι ισοδύναμς [1,12]: (i) Η Β-ορθογωνιότητα υπάρχι και ίναι μοναδική από τα αριστρά. (ii) Για κάθ x S (δηλαδή x =1) και κάθ κλιστό και ομογνές υπρπίπδο Η τέτοιο ώστ x B H, το υπρπίπδο x+h ακουμπά τη μοναδιαία σφαίρα στο σημίο x. (iii)ε ίναι αυστηρά κυρτός (δηλαδή δν υπάρχουν υθύγραμμα τμήματα στη μοναδιαία σφαίρα). Βέβαια στις παραπάνω ιδιότητς δν αναφέραμ την αθροιστικότητα από τα αριστρά, και αυτό γιατί αυτή ξαρτάται από τις διαστάσις του διανυσματικού μου χώρου. Συνπώς: Εάν η dime=2, τότ η Β-ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική από τα αριστρά αν και μόνο αν ίναι μοναδική από τα αριστρά (δηλαδή ο Ε ίναι αυστηρά κυρτός). Εάν η dime 3, τότ η Β-ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική από τα αριστρά αν και μόνο αν ίναι συμμτρική (δηλαδή ο Ε ίναι χώρος σωτρικού γινομένου). 18

Τέλος, για αυτή την ορθογωνιότητα, έχουμ και την ύπαρξη μοναδικών διαγωνίων, μ την παρουσία της ποσότητας δ τέτοια ώστ να ισχύι ότι 3 1 x δ(y) 3 x. Επιπλέον, ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν x = δ y, x, y E \{0} [1,15]. ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Ι-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ Είναι προφανές ότι η Ι-ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική. Από την άλλη πλυρά, η Ι- ορθογωνιότητα ίναι ίτ ομογνής ή αθροιστική αν και μόνο αν η νόρμα ισάγται από ένα σωτρικό γινόμνο (ουσιαστικά μιλάμ για χώρους σωτρικού γινομένου όπου ισχύι ότι x =, 1 2) [1,15]. Μάλιστα, η συγκκριμένη πρόταση προκύπτι από το θωρήμα Fickens, για τους χώρους σωτρικού γινομένου το οποίο αναφέρθηκ πιο πριν αναφορικά μ την ύπαρξη της R- ορθογωνιότητας. Τα πιχιρήματα της στοιχιώδους κυρτότητας αποδικνύουν την ύπαρξη της Ι- ορθογωνιότητας.από τη στιγμή μάλιστα, που η Ι-ορθογωνιότητα δν ίναι ομογνής,δν μπορούμ να πούμ σ αυτή τη πρίπτωση ότι η ιδιότητα της ύπαρξης συνδέται μ το θώρημα του James όπως ίδαμ παραπάνω για την Β-ορθογωνιότητα. Οφίλουμ σ αυτό το σημίο,να αναφέρουμ ότι για τις μη-ομογνίς ορθογωνιότητς πρέπι να διαχωρίσουμ μταξύ της μοναδικότητας, α-μοναδικότητας (αναφέρται σ σημίο) και S-μοναδικότητας (για κάθ προσανατολισμένο πίπδο Ρ και κάθ x S P υπάρχι ένα μοναδικό y S P τέτοιο ώστ το ζυγάρι (x,y) να ίναι στο δοσμένο προσανατολισμό και να ισχύι ότι x I y). Τα γνωστά αποτλέσματα που αναφέρονται στα παραπάνω οσο αφορά την Ι-ορθογωνιότητα ίναι: Η Ι-ορθογωνιότητα ίναι ίτ μοναδική ίτ α-μοναδική [1,16] αν και μόνο αν ο Ε ίναι αυστηρά κυρτός. Η Ι-ορθογωνιότητα ίναι πάντα S-μοναδική. Τέλος, ίναι προφανές πως και για την Ι-ορθογωνιότητα, έχουμ την ύπαρξη μοναδικών διαγωνίων. 19

ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ P-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ Αρχικά, θα πρέπι να αναφέρουμ ότι η P-ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική. Είναι ίτ ομογνής ίτ αθροιστική,αν και μόνο αν η νόρμα ισάγται από ένα σωτρικό γινόμνο(όπως ακριβώς δηλαδή ισχύι και για την Ι-ορθογωνιότητα που ίδαμ πιο πριν) [1,6]. Στην πραγματικότητα, αν παρατηρήσουμ λίγο καλύτρα θα δούμ ότι η αθροιστικότητα συνπάγται την ομογένια και έτσι στους χώρους σωτρικού γινομένου που οι ιδιότητς αυτές ισχύουν ακολουθίται ο κανόνας του παραλληλογράμμου όπως φυσικά γνωρίζουμ. Όσο αφορά την ύπαρξη της P-ορθογωνιότητας, όπως ακριβώς και για την ισοσκλή, στοιχιώδη πιχιρήματα κυρτότητας την αποδικνύουν. Επιπλέον, για την μοναδικότητα της Πυθαγόριας ορθογωνιότητας μιας και αυτή δν ίναι ομογνής-έχουμ τα ξής: Η P-ορθογωνιότητα ίναι μοναδική αν και μόνο αν ο Ε ίναι αυστηρά κυρτός. Η P-ορθογωνιότητα ίναι πάντα α-μοναδική [1,16]. Όσο αφορά τώρα την S-μοναδικότητα, ακόμη δν ίμαστ σ θέση να αναφέρουμ στα σίγουρα κάποια χαρακτηριστική της ιδιότητα. Τέλος, όπως ακριβώς και για την Β-ορθογωνιότητα, έχουμ και δώ την ύπαρξη μοναδικών ορθογώνιων διαγωνίων.υπάρχι, δηλαδή ένας αριθμός δ ο οποίος ικανοποιί τη σχέση 2 1 2 x δ y (2 1 2 1) 1 x. Επιπλέον, ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν x = δ y, x, y E \ {0} [1,15]. ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ S-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ Η S-ορθογωνιότητα μπορί να θωρηθί ως μια «νορμοποιημένη» Ι-ορθογωνιότητα,όπου στη θέση των διανυσμάτων x,y στον τύπο της Ι-ορθογωνιότητας μπαίνουν τα μοναδιαία x διανύσματα, y. Επιπλέον, η S-ορθογωνιότητα ίναι ομογνής,συμμτρική,υφίσταται x y και μάλιστα έχουμ και μοναδικότητα της ύπαρξης όπως πίσης και ύπαρξη μοναδικών ορθογωνίων διαγωνίων. Συνπώς,μ βάση τα παραπάνω, η S-ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική σ χώρους δισδιάστατους (δηλαδή ισχύι dime=2). Τέλος, δν γνωρίζουμ τι συμβαίνι μ την αθροιστικότητα της S-ορθογωνιότητας σ χώρους διάστασης 3, καθώς ως πιστημονικό θέμα βρίσκται ακόμη υπό συζήτηση. Βέβαια,υποθέτουμ ότι άν dime 3 και η S- ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική τότ ο διανυσματικός χώρος μου Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου. 20

ΚΥΡΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ C-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ Αρχικά, η C-ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική σ κάποις πριπτώσις (βλ.ισοσκλής και Πυθαγόρια ορθογωνιότητα που ίναι πάντα συμμτρικές) και αντίστοιχα μη-συμμτρική σ κάποις άλλς (π.χ x C y όταν x + 2y = x 2y ). Έτσι λοιπόν, υποθέτουμ μ βάση τα παραπάνω, πως η C-ορθογωνιότητα ίτ ίναι γνικά συμμτρική ή αυτή η ιδιότητα ισχύι μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου. Επίσης,ίναι ομογνής και αθροιστική από τα δξιά ή τα αριστρά αντίστοιχα αν και μόνο αν μιλάμ για χώρο σωτρικού γινομένου [1,8]. Όσο αφορά την ύπαρξη της, η C-ορθογωνιότητα,υφίσταται- μιας και δν ίναι συμμτρικήαπό τα δξιά ή τα αριστρά [1,8]. Αναφορικά, μ τη μοναδικότητα της ύπαρξης, δν έχουμ γνικά σαφή συμπράσματα (κτός από τα προαναφρθέντα για την ισοσκλή και πυθαγόρια ορθογωνιότητα). Το μόνο γγονός, που ίναι ύκολο να αποδιχθί, ίναι πως η C-ορθογωνιότητα δν ίναι μοναδική,όταν ο χώρος δν ίναι αυστηρά κυρτός. Συνπώς, η κυρτότητα του χώρου δν ίναι μόνο απαραίτητη αλλά και παρκής συνθήκη για τη μοναδικότητα της ορθογωνιότητας μας. Τέλος,έχουμ την ύπαρξη ορθογωνίων διαγωνίων,αλλά δν γνωρίζουμ- ακόμη τουλάχιστον - αν αυτοί ίναι μοναδικοί. 2.2 Σχέσις μταξύ ορθογωνιοτήτων Στην προηγούμνη νότητα (2.1), ασχοληθήκαμ μ τις βασικές ιδιότητς διάφορων ιδών ορθογωνιότητας σ διανυσματικούς χώρους μ νόρμα. Σ αυτή την νότητα,θα ασχοληθούμ μ γνωστά αποτλέσματα και ανοιχτά-στην πιστημονική κοινότητα-προβλήματα που αφορούν τις σχέσις μταξύ 2 οποιοδήποτ διαφορτικών ιδών ορθογωνιότητας. Αρχικά, θα πρέπι να υπνθυμίσουμ, ότι μας νδιαφέρι η πρίπτωση όπου ο διανυσματικός χώρος μας (Ε, ) έχι ως συντλστές πραγματικούς αριθμούς. Όταν μάλιστα,η νόρμα μου ισάγται από ένα σωτρικό γινόμνο (δηλαδή έχω χώρο σωτρικού γινομένου) η όποια ορθογωνιότητα 2 σημίων x,y Ε ίναι ισοδύναμη μ οποιαδήποτ άλλη. Πριν ξκινήσουμ, καλό θα ήταν να παρουσιάσουμ κάποις ακόμη ορθογωνιότητς, πέραν των γνωστών, που αναφέρθηκαν πιο πάνω. 21

2.2.1 Προτάσις ισοδυναμς μ το x y - ιδη ορθογωνιοτητας [3] (συνέχια) m I. (C) CARLSSON (1962): x C y άν ισχύι ότι i=1 a i β i x + γ i y 2 =0, Όπου α i,β i,γ i ίναι προκαθορισμένοι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους μάλιστα ισχύουν οι παρακάτω σχέσις: m 2 m 2 m i=1 a i β i = i=1 a i γ i =0 και i=1 a i β i γ i =1. Η C-ορθογωνιότητα, η οποία μας έγιν γνωστή από την προηγούμνη νότητα, δν ίναι ένας μμονωμένος τύπος,αλλά μια οικογένια ορθογωνιοτήτων, της οποίας τα μέλη έχουν μλτηθί πριν και μτά το αντίστοιχο paper του Carlsson[3,8]. Έτσι έχουμ: (I) Iσοσκλής (1945): x y = x + y. (P) Πυθαγόρια (1945): x y 2 = x 2 + y 2. και οι 2 ισήχθησαν από τον James [3,6]. Για ένα συγκκριμένο a 0 [2,19] ισχύουν τα ακόλουθα: (ai) a-ισοσκλής (1988): x ay = x + ay. (ap) a-πυθαγόρια (1988): x ay 2 = x 2 + a 2 y 2. Αντίστοιχα, για κάποιο συγκκριμένο a,b (0,1): (ab) (1978): ax + by 2 + x + y 2 = ax + y 2 + x + by 2. Τo παραπάνω μάλιστα ισήχθησαν από τους Kapoor και Prasad [2,16]. Για συγκκριμένο a 1: (a) (1983): (1+a 2 ) x + y 2 = ax + y 2 + x + ay 2. (μλτήθηκαν από τους Diminnie,Freese,Andalafte [2,20]). 22

II. (U) UNITARY-CARLSSON: Είτ x y =0 ή x x C y y. Προφανώς,δν υπάρχι μια αναλυτική μλέτη για αυτή την οικογένια των ορθογωνιοτήτων.παρόλα αυτά,κάποια συγκκριμένα μέλη έχουν μλτηθί ξχωριστά: (UI) U-Iσοσκλής (1957): Είτ x y =0 ή x x I y y. μλτήθηκαν από τον Singer [2,21,22]. (UP) U-Πυθαγόρια (1986): Είτ x y =0 ή x y x P. y μλτήθηκ από τους Diminnie, Andalafte και Freese [2,23] και Bosznay [2,24]. Γνικά λοιπόν, σ χώρους σωτρικού γινομένου (Ε,, ) όλς οι παραπάνω ορθογωνιότητς (B,R,I,P,C,S) ίναι μταξύ τους ισοδύναμς (δηλαδή σαν να ταυτίζονται μ μια ορθογωνιότητα), πράγμα το οποίο δν ισχύι γνικά σ χώρους μ νόρμα. Συνοψίζοντας λοιπόν,άν μια ορθογωνιότητα ίναι ισοδύναμη (ή συνπάγται) κάποια άλλη τότ μιλάμ για χώρο σωτρικού γινομένου. Βέβαια,υπάρχουν πολλά άλυτα προβλήματα που αφορούν τις σχέσις ισοδυναμίας ή συνπαγωγής μταξύ των δύο οποιοδήποτ ορθογωνιοτήτων μ τα αποτλέσματα πρώτη πρίπτωση να ίναι πιο ύκολα. 2.2.2 Ισοδυναμίς μταξυ των κυριων ορθογωνιοτητων Αρχικά, θα πρέπι να αναφέρουμ ότι από τη στιγμή που η Carlsson και η Unitary - Carlsson αποτλούν οικογένις ορθογωνιοτήτων αυτό που θα μλτηθί σ αυτή την παράγραφο ίναι οι ισοδυναμίς μταξύ δύο οποιοδήποτ κ των κύριων ορθογωνιοτήτων (Roberts, Birkhoff, Carlsson, Unitary - Carlsson). 23

Ισοδυναμια Roberts μ τις υπόλοιπς κύρις ορθογωνιότητς (Β,C,U) Eίναι γνωστό, πως κάθ ορθογωνιότητα υφίσταται (δηλαδή -θα αποδοθί σ πόμνο κφάλαιο- x,y E, a R τέτοιο ώστ x ax + y), σ διανυσματικούς χώρους μ νόρμα κτός της Roberts. H τλυταία, υπάρχι μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου [2,6]. Ετσι καταλήγουμ στο ακόλουθο: H R-ορθογωνιότητα ίναι ισοδύναμη μ οποιαδήποτ άλλη κ των κύριων ορθογωνιοτήτων αν και μόνο αν ο διανυσματικός χώρος μου Ε ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Ισοδυναμια Carlsson μ τις υπόλοιπς κύρις ορθογωνιότητς (Β,U) Αρχικά,-όπως έχι αναφρθί και παραπάνω- η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι ομογνής και η Unitary-Carlsson θτικά ομογνής (βλέπ παραπάνω απλή ομογένια μ λ,μ > 0). Παρόλα αυτά,η C-ορθογωνιότητα ίναι θτικά ομογνής μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου[2,25]. Ετσι, Η C-ορθογωνιότητα ίναι ισοδύναμη μ οποιδήποτ άλλο ίδος ορθογωνιότητας αν και μόνο αν ο χώρος μου Ε ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Ισοδυναμια Birkhoff μ τις υπόλοιπς κύρις ορθογωνιότητς (U) Ξκινώντας, θα πρέπι να υπνθυμίσουμ ότι η B-ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική,όπως άλλωστ ίδαμ και παραπάνω, μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου Ε μ dime 3,νώ αν dime = 2 τότ παρατηρούνται συνδυαστικές νόρμς (για πρισσότρς λπτομέρις βλ. νότητα 2.1) [2,5,6,12]. Όσο αφορά,την ισοδυναμία της Β-ορθογωνιότητας μ την U αντίστοιχα, δν ίναι ακόμη τουλάχιστον, γνωστά πολλά για τη μταξύ τους σχέση. Παρόλα αυτά, αξίζι να σημιωθί πως γνωρίζουμ αρκτά για την ισοδυναμία της ορθογωνιότητας Birkhoff μ μέλη της οικογένιας της Unitary-Carlsson, τα οποία βέβαια ξπρνούν το αντικίμνο μλέτης της συγκκριμένης ργασίας. 24

2.2.3 ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΚΥΡΙΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΩΝ Birkhoff, Carlsson, Unitary Carlsson συνπάγονται την Roberts ορθογωνιότητα Όπως από τα παραπάνω γνωρίζουμ, οι ορθογωνιότητς (B,C,U) ικανοποιούν την ιδιότητα της ύπαρξης σ χώρους μ νόρμα. Aντίθτα, η Roberts ορθογωνιότητα υπάρχι μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου. Έτσι,έχουμ: Όταν μια ορθογωνιότητα(b,c,u) που υφίσταται συνπάγται την R-ορθογωνιότητα,τότ και η τλυταία υπάρχι και συνπώς ο διανυσματικός χώρος μου Ε ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Roberts συνπάγται τις Birkhoff, Carlsson, Unitary Carlsson ορθογωνιότητς Όπως προαναφέραμ υπάρχουν διανυσματικοί χώροι όπου η R-ορθογωνιότητα δν υφίσταται. Γι αυτούς τους μη-σωτρικού γινομένου χώρους, η R-ορθογωνιότητα συνπάγται κάποια άλλη ορθογωνιότητα. Συνπώς, H R-ορθογωνιότητα σ κάθ πρίπτωση συνπάγται την Birkhoff, κάποις φορές την Carlsson (στην ιδική πρίπτωση ορθογωνιότητας Carlsson, την Iσοσκλή) και την Unitary- Carlsson (στην ιδική πρίπτωση της, την Unitary-Ισοσκλής). Birkhoff, Unitary - Carlsson συνπάγονται την Carlsson ορθογωνιότητα Όπως προαναφέρθηκ,γνωρίζουμ πως η Birkhoff ίναι μια ομογνής ορθογωνιότητα(δηλαδή άν x y τότ λx Β μy, λ, μ R ) και η Unitary-Carlsson θτικά ομογνής (λ, μ > 0). Από την άλλη πλυρά βέβαια,αποδικνύται μέσω μιας αναλυτικής απόδιξης [2,8] ότι η C-ορθογωνιότητα ίναι θτικά ομογνής μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου. Έτσι,ακολουθώντας ένα έμμσο τρόπο,θωρούμ πως η Β,U ορθογωνιότητς συνπάγονται την C-ορθογωνιότητα μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου. Αυτό προκύπτι γιατί υποθέτουμ πως ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου όταν ισχύι η ασθνής συνθήκη ομογένιας (δηλαδή x E υπάρχι y E \{0} τέτοιο ώστ x C λy, λ R). Τέλος, αξίζι να αναφρθί πως τα παραπάνω αποτλούν ακόμη και τώρα ένα ανοιχτό θέμα ή καλύτρα αντικίμνο μλέτης για την πιστημονική κοινότητα. 25

Carlsson συνπάγται τις Birkhoff, Unitary - Carlsson ορθογωνιότητς Καταρχήν, όπως αναφέραμ στην προηγούμνη νότητα (2.1),η B-ορθογωνιότητα λόγω του γγονότος ότι δν ίναι συμμτρική, διακρίνουμ τη μοναδικότητα της ύπαρξης της από τα δξιά και αριστρά αντίστοιχα. Πιο συγκκριμένα, ίχαμ αναφέρι πως η Β-ορθογωνιότητα ίναι μοναδική στα αριστρά (ή δξιά) αν ο χώρος μου ίναι αυστηρά κυρτός (ή λίος) αντίστοιχα [1,2,11]. Επίσης,κάποις U- ορθογωνιότητς όπως η Unitary-Iσοσκλής ίναι μοναδικές νώ κάποις άλλς (βλ.unitary-πυθαγόρια) δν ίναι. Από τα παραπάνω λοιπόν,καταλήγουμ στα ξής : Η C-ορθογωνιότητα συνπάγται την Β-ορθογωνιότητα σ ένα αυστηρά κυρτό ή λίο διανυσματικό χώρο Ε αν και μόνο αν ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου. Η C-ορθογωνιότητα συνπάγται την UI-ορθογωνιότητα αν και μόνο αν ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου. Unitary - Carlsson συνπάγται την Birkhoff και αντίστροφα Όπως και στην πρίπτωση της ισοδυναμίας που ίδαμ πιο πριν, δν έχουμ πολλά γνωστά αποτλέσματα για τις συνπαγωγές μταξύ Β και U- ορθογωνιοτήτων. Παρόλα αυτά βέβαια υπάρχουν πολλές πιμέρους απαντήσις, για την μταξύ τους σχέση, που δν αποτλούν αντικίμνο της συγκκριμένης ργασίας. 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Birkhoff-James ορθογωνιότητα και ισοσκλής Ορθογωνιότητα 3.1 Birkhoff-James ορθογωνιότητα 3.1.1 Χαρακτηρισμοί Αρχικά, πριν ξκινήσουμ την κτνή μλέτη της Birkhoff-James ορθογωνιότητας αξίζι να αναφρθούμ στην ονομασία αυτής. Έτσι, ο James, ήταν ο πρώτος που μας παρίχ μια κατανοητή μλέτη για τις ιδιότητς της Birkhoff ορθογωνιότητας [3,11,12]. Γι αυτό το λόγο η Birkhoff ορθογωνιότητα αναφέρται πίσης και ως James ορθογωνιότητα ή Birkhoff-James ορθογωνιότητα. Βέβαια, θα πρέπι να υπογραμμίσουμ για ιστορικούς λόγους ότι και η ισοσκλής ορθογωνιότητα αναφέρται κάποις φορές και ως James oρθογωνιότητα. Ξκινάμ αυτή την νότητα,μ την Birkhoff ορθογωνιότητα και ένα πολύ σημαντικό χαρακτηρισμό για αυτή. Θώρημα 3.1 [3, 12] Εάν x,y ίναι στοιχία νός χώρου μ νόρμα (Ε, ) τότ x B αx + y αν και μόνο αν υπάρχι f E ικανοποιώντας f(x) = f x τέτοιο ώστ α = f(y) f(x). 27

Μ βάση το παραπάνω θώρημα,προκύπτι το ακόλουθο πόρισμα: Πόρισμα 3.2 Εάν x,y ίναι στοιχία νός χώρου μ νόρμα (Ε, ) τότ x B y αν και μόνο αν υπάρχι f E \ {0} τέτοιο ώστ f(x) = f x και το f(y) =0. H Birkhoff ορθογωνιότητα, μπορί πίσης να χαρακτηριστί μέσω του ημισωτρικού γινομένου. ΟΡΙΣΜΟΣ ΗΜΙΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Έστω Χ ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα στο σύνολο Κ {R, C}. Οι Lumer[3,26,48] και Giles [3,52,48] απέδιξαν ότι υπάρχι μια απικόνιση [, ] : X X Κ ικανοποιώντας τις ακόλουθς ιδιότητς: (s1) [λx + μy, z] = λ[x, z] + μ[y, z], x, y, z X, λ,μ Κ. (s2) [x, λy] = λ [x, y] και [λx, y]= λ [x, y], x,y X, λ Κ. (s3) [x, x] = x 2, x X. (s4) [x, y] x y, x,y X ή [x, y] 2 [x, x][y, y]. (s5) [x, x] 0 όπου [x, x] = 0 αν και μόνο αν x=0. Ο Lumer [3,26] απέδιξ ότι η νόρμα οποιουδήποτ διανυσματικού χώρου μπορί να οριστί μέσω ημισωτρικού γινομένου (όχι απαραίτητα μοναδικού). Επίσης απέδιξ ότι οι παραπάνω ιδιότητς που ισήγαγ ο Lumer για τους χώρους ημισωτρικού γινομένου ίναι ισχυρές. Πριν,προχωρήσουμ στην ορθογωνιότητα κατά Lumer,αξίζι να πισημάνουμ ότι στις παραπάνω ιδιότητς δν συμπριλαμβάνται η αντιμταθτική ιδιότητα που χαρακτηρίζι τους χώρους σωτρικού γινομένου. Εστω στο σημίο αυτό, ότι [, ] ίναι ένα ημισωτρικό γινόμνο που παράγι τη νόρμα νός διανυσματικού χώρου μ νόρμα έστω Ε και x,y E. Τότ, το x ίναι ορθογώνιο στο y κατά Lumer, x L y (σχτικά μ το ημισωτρικό γινόμνο([, ])) αν ισχύι ότι [y, x] =0. Οι Dragomir και Kohila [3,28] απέδιξαν τον παρακάτω χαρακτηρισμό της Βirkhoff ορθογωνιότητας. 28

Θώρημα 3.3[3, 28] Έστω Ε ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος μ νόρμα και x,y E.Τότ x B y αν και μόνο αν x L y δηλαδή σχτίζται μ κάποιο ημισωτρικό γινόμνο που παράγι τη νόρμα του διανυσματικού μου χώρου. Αξίζι σ αυτό το σημίο, να παρατηρήσουμ ότι το παραπάνω θώρημα αναφέρται σ οποιοδήποτ ημισωτρικό γινόμνο που παράγι την νόρμα του διανυσματικού μου χώρου, μ το x L y να συνπάγται ότι x B y. Βέβαια, το αντίστροφο δν ισχύι πάντα [3,28]. Θώρημα 3.4[3, 28] Έστω ότι (Ε, ) ίναι ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα και x,y E.Τότ τα πόμνα ίναι ισοδύναμα: x B y Για κάθ ημισωτρικό γινόμνο [, ] το οποίο παράγι τη νόρμα του διανυσματικού μου χώρου ισχύι ότι: [y, x+μy] 0 [y, x+γy] για όλα τα μ< 0 < γ. ΟΜΟΓΕΝΕΙΑ Η ομογένια της Birkhoff ορθογωνιότητας ίναι πακόλουθο της ομογένιας της νόρμας. Θώρημα 3.5 [3] Η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι ομογνής σ οποιοδήποτ διανυσματικό χώρο μ νόρμα. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Η συμμτρία της Birkhoff ορθογωνιότητας αποτλί μια ιδιότητα μίζωνος σημασίας. Ο Βirkhoff απέδιξ [3,5] ότι άν η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική σ ένα αυστηρά κυρτό διανυσματικό χώρο δδομένης διάστασης τότ ο χώρος μου ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Μάλιστα, οι Day [3,13] και James [3,11] έδιξαν μ πολλούς διαφορτικούς τρόπους πώς καταλήγουμ στο συμπέρασμα για την αυστηρή κυρτότητα του Birkhoff. 29

Έτσι, προκύπτι το ακόλουθο θώρημα: Θώρημα 3.6 [3] Ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα (Ε, ) του οποίου η διάσταση ίναι dime 3 ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική στον χώρο Ε. Μια από τις αποδίξις τους για το παραπάνω θώρημα βασίζται στο ακόλουθο πολύ γνωστό αποτέλσμα του θωρήματος Kakutani [3, 29]: Ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα (Ε, ) του οποίου η διάσταση ίναι 3 ίναι ένας χώρος n σωτρικού γινομένου αν υπάρχι μια προβολή της νόρμας 1 ( x 1= i=1 x i ) σ κάθ κλιστό διανυσματικό υπόχωρο του Ε. ΎΠΑΡΞΗ Αναφορικά μ τις ιδιότητς ύπαρξης της Birkhoff ορθογωνιότητας έχουμ τα ακόλουθα αποτλέσματα: Θώρημα 3.8 (δξιά ύπαρξη) [3, 11] Έστω Ε ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα. Για x,y E υπάρχι ένας πραγματικός αριθμός α τέτοιος ώστ x B αx + y. Επιπλέον,ο αριθμός αυτός ικανοποιί τη σχέση α y x. Εάν x B αx + y και x B βx + y τότ x B γx + y το οποίο ισχύι για οποιοδήποτ αριθμό γ μ α < γ < β. Πρακτικά,η συνέχια της Birkhoff ορθογωνιότητας και το θέωρημα 3.8 συνπάγονται ότι για x,y E υπάρχι ένα κλιστό διάστημα (βλ. α y ) στην υθία των πραγματικών αριθμών τέτοιο ώστ α που βρίσκται σ αυτό το διάστημα να ισχύι ότι x B αx + y. Μάλιστα,ο James απέδιξ τον ακόλουθο τρόπο για να ορίσω αυτό το διάστημα. x 30

Θώρημα 3.9 [3, 11] Έστω x 0 και y, να ίναι δύο διανύσματα σ ένα διανυσματικό χώρο μ νόρμα και έστω α= 1 lim x n ( nx nx + y ), β= 1 lim x n ( nx y nx ). Τότ τα α,β ίναι η μικρότρη και μγαλύτρη τιμή του βαθμωτού γ τέτοιο ώστ x B γx + y. Από την άλλη πλυρά, για x B αx + y και y B α y + x η σχέση μταξύ των βαθμωτών α, α δίνται στο ακόλουθο θώρημα: Θώρημα 3.10 [3, 11] Έστω x, y δύο διανύσματα σ ένα διανυσματικό χώρο μ νόρμα. Εάν x B αx + y και y B α y + x τότ ανάμσα στα μγέθη α, α ισχύι η ακόλουθη σχέση αα 1. Επιπλέον, η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική αν και μόνο αν για οποιοδήποτ διανύσματα x,y 0 και ποσότητς α, α τέτοις ώστ να ισχύι ότι x B αx + y και y B α y + x η ανισότητα αα 0 να ισχύι. Ένα αποτέλσμα όμοιο μ αυτό του Θωρήματος 3.8 ισχύι για την αριστρή ύπαρξη. Θώρημα 3.11(αριστρή ύπαρξη) [3, 11] Εστω Ε ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα, x,y E.Τότ υπάρχι ένας πραγματικός αριθμός α τέτοιος ώστ αx + y B x. Επιπρόσθτα, ισχύι αx + y = inf { βx + y β R} Εάν αx + y B x και βx + y B x α < γ <β. τότ γx + y B x ισχύι για οποιοδήποτ αριθμό Το Θώρημα 3.1 και το Πόρισμα 3.2 δίχνουν τη σχέση μταξύ της Birkhoff ορθογωνιότητας και των συνχών γραμμικών συναρτησοιδών (στοιχία δυϊκού Ε ). Στο σημίο αυτό, θα πρέπι να αναφέρουμ ότι αν x B y (ή y B x) για κάθ y H ( όπου Η ίναι ένα κλιστό υπρπίπδο) τότ δηλώνουμ ότι x B Η (ή αντίστοιχα Η B x). Το παρακάτω Θώρημα ίναι ένα ύκολο πόρισμα του Θωρήματος Hahn-Banach. 31

Θώρημα 3.12 (δξιά πέκταση) Για οποιοδήποτ διάνυσμα x σ ένα διανυσματικό χώρο μ νόρμα Ε υπάρχι ένα υπρπίπδο Η Ε τέτοιο ώστ x B H. Από την άλλη πλυρά, όπως το πόμνο θώρημα δίχνι, έαν ο διανυσματικός μου χώρος Ε δν ίναι ππρασμένων διαστάσων, τότ η ύπαρξη νός σημίου x Ε το οποίο ίναι κάθτο σ ένα κλιστό υπρπίπδο Η δν ίναι πάντα γγυημένη. Θώρημα 3.13(δξιά ύπαρξη) [3, 30] Ένας χώρος Banach E ίναι ανακλαστικός αν και μόνο αν για οποιοδήποτ υπρπίπδο Η μ Η Ε υπάρχι ένα διάνυσμα x E \ {0} τέτοιο ώστ x B H. Εάν βέβαια το υπρπίπδο βρίσκται στα αριστρά στην σχέση μας έχουμ το ακόλουθο αποτέλσμα: Θώρημα 3.14 (αριστρή ύπαρξη) [3, 11] Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα μ διάσταση dim 3.Τα ακόλουθα γγονότα ίναι ισοδύναμα: i. Για κάθ υπρπίπδο Η Ε υπάρχι x E \ {0} τέτοιο ώστ Η Β x. ii. Για κάθ x E υπάρχι ένα υπρπίπδο Η Ε τέτοιο ώστ Η Β x (αριστρή πέκταση). iii. Ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου. ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ Θώρημα 3.15 [3, 12] Εστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα.τότ η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι μοναδική στα αριστρά αν και μόνο αν ο Ε ίναι αυστηρά κυρτός.αντίστοιχα,η (Β) ορθογωνιότητα ίναι μοναδική στα δξιά αν και μόνο αν ο Ε ίναι λίος. 32

Θώρημα 3.16 [3, 12] Έστω Ε ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα.τότ τα ακόλουθα ίναι ισοδύναμα: Εάν η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι μοναδική στα αριστρά στον Ε,τότ ίναι μοναδική στα δξιά στον Ε. Εάν ο Ε ίναι ανακλαστικός,το αντίστροφο αποτέλσμα πίσης αληθύι. Εάν η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι μοναδική στα δξιά στον Ε, τότ ίναι μοναδική στα αριστρά στον Ε. Εάν η μοναδιαία σφαίρα S Ε ίναι πίσης συμπαγής το αντίστροφο αποτέλσμα ισχύι. ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Έχοντας τα παραπάνω θωρήματα κατά νου, τα πόμνα αποτλέσματα δίχνουν ότι οι ιδιότητς της αθροιστικότητας και της μοναδικότητας για την Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι στνά συνδδμένς.έτσι,έχουμ τα ακόλουθα θωρήματα: Θώρημα 3.17 [3, 12] Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα. Τότ η (B) ορθογωνιότητα στον Ε ίναι αθροιστική στα δξιά αν και μόνο αν ο Ε ίναι λίος. Θώρημα 3.18 [3, 11] Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα.τότ, Εάν dime=2, τότ η (Β) ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική στα αριστρά αν και μόνο αν ο Ε ίναι αυστηρά κυρτός. Εάν dime 3,τότ η (Β) ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική στα αριστρά αν και μόνο αν ο Ε ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Όπως συμβαίνι μ πολλούς χαρακτηρισμούς για τους χώρους σωτρικού γινομένου διάστασης τουλάχιστον 3, το δύτρο σκέλος του παραπάνω Θωρήματος, βασίζται στο Θώρημα Kakutani [3,14]. Σ αυτό το σημίο αξίζι να αναφέρουμ ότι οι Marino και Pietramala [3,31] απέδιξαν ότι ένας αυστηρά κυρτός και λίος διανυσματικός χώρος μ νόρμα διάστασης τουλάχιστον 3, 33

ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η (Β) ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική στα αριστρά για ένα δισορθογώνιο ζυγάρι διανυσμάτων (l.a.b). Αξίζι σ αυτό το σημίο να αναφέρουμ, ότι μ τον όρο δισορθογώνιο ζυγάρι διανυσμάτων έχουμ ότι: x B y, y B x, x B z, y B z x + y B z. Βέβαια αργότρα,στο [3,32] δόθηκ μια διαφορτική απόδιξη για τον παραπάνω χαρακτηρισμό χωρίς την προυπόθση της αυστηρής κυρτότητας και διαφορισιμότητας που απαιτούσ.έτσι έχουμ: Θώρημα 3.19 [3, 31] Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα μ dime 3.Τότ,ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η (Β) ορθογωνιότητα ίναι l.a.b. Από το Θώρημα 4.17,ίναι προφανές ότι για οποιοδήποτ λίο διανυσματικό χώρο μ νόρμα η (Β) ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική στα δξιά για δισορθογώνιο ζυγάρι διανυσμάτων(r.a.b) δηλαδή: x B y, y B x, z B x, z B y z B x+y ΕΠΕΚΤΑΣΗ Από το Θώρημα Hahn Banach (3.12) καταλήγουμ πως η (B) ορθογωνιότητα υπακούι την ιδιότητα της δξιάς πέκτασης σ οποιοδήποτ διανυσματικό χώρο μ νόρμα. Επιπλέον, από τη στιγμή που την αριστρή πέκταση την συναντάμ στο (ii) του θωρήματος 3.14, οποιοδήποτ διανυσματικός χώρος μ νόρμα (Ε, ) μ dime 3 ίναι χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η (Β) ορθογωνιότητα υπακούι στην ιδιότητα της αριστρής πέκτασης. 34

ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η (B) ορθογωνιότητα έχι την ιδιότητα της ύπαρξης και μοναδικότητας των διαγωνίων σ οποιοδήποτ διανυσματικό χώρο μ νόρμα, αλλά μέσω αυτής της ιδιότητας μπορούμ να χαρακτηρίσουμ χώρους σωτρικού γινομένου. Θώρημα 3.20 [3, 33] Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα και έστω x,y Ε \ {0}. Τότ ισχύουν τα ακόλουθα: Υπάρχι ένας μοναδικός αριθμός α:= α(x,y) τέτοιος ώστ x+αy Β x αy. Επιπλέον,αυτός ο αριθμός ικανοποιί x 3 y α 3 x y. Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν για x, y E \ {0}, η ταυτότητα α(x, y) = x y ισχύι. Από τη στιγμή που γνωρίζουμ πως η Birkhoff ορθογωνιότητα ίναι ομογνής,η ii) ιδιότητα του παραπάνω θωρήματος ουσιαστικά αναφέρι πως ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα έστω Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η συνπαγωγή x, y S Ε x+y B x-y. Αξίζι σ αυτό το σημίο να αναφέρουμ πως ο Baronti [3,34] βλτίωσ το παραπάνω χαρακτηρισμό δίχνοντας ότι ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν ο παραπάνω συνπαγωγή ισχύι για ζυγάρι ορθογώνιων κατά Birkhoff διανυσμάτων,δηλαδή: x, y S Ε, x Β y x + y B x - y. 35

3.2 Ισοσκλής ορθογωνιότητα Από τη στιγμή που η ισοσκλής ορθογωνιότητα ίναι προφανώς συμμτρική ξτάζουμ τις υπόλοιπς ιδιότητς. ΟΜΟΓΕΝΕΙΑ Μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητς της ισοσκλούς ορθογωνιότητας ίναι ότι ίναι ομογνής μόνο σ χώρους σωτρικού γινομένου.στη συνέχια, θα δούμ την προέλυση αυτού του αποτλέσματος. Θώρημα 3.21 [3, 35] Ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα (Ε, ) ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν x,y S Ε και για αριθμό α, ισχύι η ταυτότητα ax + y = x + ay. Υποθέτουμ ότι η ισοσκλής ορθογωνιότητα ίναι ομογνής.έστω, x,y S Ε και α R.Από τη στιγμή,που x+y I x-y τότ (1+α)(x+y) I (1-α)(x-y) δηλαδή αx + y = x + ay. Έτσι,το παραπάνω θώρημα έχι ως συνέπια το πόμνο. Θώρημα 3.22 [3, 6] Η Ι- ορθογωνιότητα ίναι ομογνής σ ένα διανυσματικό χώρο μ νόρμα (Ε, ) αν και μόνο αν ο χώρος μου ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Θώρημα 3.23 [3, 36] Ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα (Ε, ) ίναι χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν υπάρχι ένας αριθμός α {0,1, 1} τέτοιος ώστ να ισχύι η συνπαγωγή x,y E, x I y x I αy. Θώρημα 3.24 [3, 17] Ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα (Ε, ) ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν υπάρχι ένας αριθμός δ > 0 τέτοιος ώστ να ισχύι: x, y S Ε, x I y, λ < δ x I λy. Επιπλέον,το δ ξαρτάται από τα x,y. 36

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Από τη συνέχια της νόρμας,προκύπτι ύκολα ότι άν η ισοσκλής ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική,τότ θα ίναι πίσης ομογνής.το πόμνο θώρημα προκύπτι απυθίας από το θώρημα 3.22 : Θώρημα 3.25 [3, 6] Η Ι- ορθογωνιότητα ίναι αθροιστική σ ένα διανυσματικό χώρο μ νόρμα (Ε, ) αν και μόνο αν ο χώρος μου ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Θώρημα 3.26 [3, 37] Έστω Ε ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα μ dime 3. Η Singer ορθογωνιότητα («νορμοποιημένη» Ι-ορθογωνιότητα, βλ.παραπάνω σλ.11) ίναι αθροιστική στον Ε αν και μόνο αν ο Ε ίναι χώρος σωτρικού γινομένου. Από τη στιγμή, που η ισοσκλής ορθογωνιότητα ίναι συμμτρική- σ αντίθση μ τα όσα ισχύουν πιο πάνω για την Β-J ορθογωνιότητα (αθροιστική ιδιότητα στα αριστρά ή δξιά,δηλαδή r.a.b ή l.a.b) - η ιδιότητα της αθροιστικότητας για ένα δισορθογώνιο ζυγάρι διανυσμάτων (a.b) ορίζται ως ξής: x I y + z x I y, x I z, y I z { z I x + y y I x + z. Θώρημα 3.27 [3, 32] Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα μ dime 3.Tότ ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η Ι-ορθογωνιότητα ίναι a.b. ΎΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ Όσο αφορά τις ιδιότητς της ύπαρξης και της μοναδικότητας, όπως αυτές ορίστηκαν στην αρχή της παρούσας ργασίας η ισοσκλής ορθογωνιότητα έχι την ακόλουθη συμπριφορά: 37

Θώρημα 3.28 [3, 6, 16] Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα.για x,y Ε υπάρχι αριθμός α τέτοιος ώστ x I αx+y. H ισοσκλής ορθογωνιότητα στον Ε ίναι μοναδική αν και μόνο αν ο Ε ίναι αυστηρά κυρτός. Θώρημα 3.29 [3, 38](Συνδέται μ το Θώρημα 3.28) Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα μ dime 2, x E \{0} και έστω L E ένας δισδιάστατος υπόχωρος του Ε όπου x L.Τότ για y L μ 0 y 2 x M L (x). ( y 0 όταν Μ L (x) =0), υπάρχι ένας μοναδικός αριθμός α τ.ώστ x I αx+y. ΕΠΕΚΤΑΣΗ Η ιδιότητα της πέκτασης συνπάγται την ομογένια για την Ι-ορθογωνιότητα. Γι αυτό το λόγο,η Ι-ισοσκλής ορθογωνιότητα έχι την ιδιότητα της πέκτασης σ ένα διανυσματικό χώρο μ νόρμα Ε αν και μόνο αν αυτός ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου.το παρακάτω Θώρημα,το οποίο σχτίζται μ το θώρημα 3.26, βλτιώνι τα παραπάνω όταν dime 3. Έτσι έχουμ ότι: Θώρημα 3.30 Έστω (Ε, ) ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα μ dime 3.Οι πόμνς ιδιότητς ίναι ισοδύναμς: i. Για x S Ε υπάρχι ένα κλιστό υπρπίπδο Η Ε τέτοιο ώστ x I H S Ε. ii. Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου. 38

ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Προφανώς,όπως γνωρίζουμ,για x,y E \{0} υπάρχι ένας μοναδικός αριθμός α > 0 (για την ακρίβια α = x y ) τέτοιο ώστ x+αy I x-αy. Ο Day [3,13] απέδιξ ότι ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν το κατά Clarkson modulus κυρτότητας του Χ [3,39]δηλαδή η ποσότητα: δ Ε ():= inf {1 x+y 2 x, y s Ε, x y = }, 0 2, Ικανοποιί την ταυτότητα δ Ε () =1 1 2 4 (R ) 0 2. Επιπλέον,ο Nordlander [3,40] υπέθσ πως ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν η ταυτότητα (R ) ισχύι για κάποια 0 < <2. Θώρημα 3.31[3, 41] Έστω Ε ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα μ dime 3, και έστω 0 < < 2. Τότ ο Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου αν και μόνο αν δ Ε () 1 1 2 4. Θα πρέπι να σημιώσουμ δώ,ότι η παραπάνω ανισότητα μπορί να αντικατασταθί από την αντίστοιχη ισότητα (R ) καθώς ο Nordlander [3,40] απέδιξ ότι για κάθ διανυσματικό χώρο μ νόρμα Ε πάντα ισχύι ότι δ Ε () 1 1 2 4. 3.3 Χαρακτηρισμοί χώρων σωτρικού γινομένου Τα παρακάτω 2 θωρήματα δίνουν χαρακτηρισμό σ χώρους σωτρικού γινομένου μέσω της B-J ορθογωνιότητας. Αξίζι να σημιωθί, πριν τα παρουσιάσουμ πως για τις αποδίξις τους έγιν χρήση γνωστών λημμάτων (που θα παρουσιαστούν παρακάτω) και ννοιών (όπως τον 39

ορθογώνιο συντλστή,του οποίου μλτάται η συμπριφορά και οι τιμές του ίναι γνωστοί παράμτροι του διανυσματικού μου χώρου, έστω Ε). Θώρημα 1 [42] Έστω Ε ένας διανυσματικός χώρος μ νόρμα και λ > 0 ένας καθορισμένος αριθμός.τότ τα πόμνα ίναι ισοδύναμα: 1. u,v S E, u v (λu+v) (u-λv) ; 2. u,v S E, u v λu + v = u λv ; 3. u,v S E, u v λu + v 1 + λ 2 ; 4. u,v S E, u v λu + v 1 + λ 2 ; 5. u,v S E, u v λu + v = 1 + λ 2 ; 6. O διανυσματικός χώρος μ νόρμα Ε ίναι ένας χώρος σωτρικού γινομένου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Όπως θα παρατηρήσουμ λίγο αργότρα οι ισοδυναμίς 3) 4) 5) ίναι απλές συνέπις αποτλέσματος που βρίσκται [42,43]. Η συνπαγωγή 5) 6)αποτλί ένα πολύ ισχυρό αποτέλσμα το οποίο πρόσφατα πήραμ,μαζί φυσικά και μ άλλα αποτλέσματα,από τους C.Benitez,K.Przeslawski και τον D.Yost [42,44].Αξίζι να σημιωθί πως το ασθνές αποτέλσμα 5 ) 6) αποδίχθηκ και χρησιμοποιήθηκ στο [42,45 σλ. 388 389]. Μ το 5 ) ορίζουμ: u, v S E, u v λu + v = 1 + λ 2, u + λv = 1 + λ 2 για κάποιο δδομένο λ. Απόδιξη θωρήματος 1: Θα δίξουμ ότι 1) 2).Υποθέτουμ η 1) έχι ξακριβωθί και έστω u,v S E, u v και λ >0 μια καθορισμένη θτική ποσότητα.έτσι έχουμ ότι: (λ λu+v + u λv ) ( λu+v u λv λ ). λu+v u λv λu+v u λv Παρατηρούμ παραπάνω πως ξκινώντας από τη σχέση 1) που ισχύι,προσπαθώ να καταλήξω στην 2) που θέλω να αποδίξω.γι αυτό το λόγο θέτω όπου u λu+v και όπου λu+v v u λv, στη σχέση καθτότητας που ισχύι στη σχέση 1). u λv 40

Θέτουμ t = u λv λu+v. Πριν συνχίσουμ την απόδιξη, καλό θα ήταν να παρουσιάσουμ το παρακάτω λήμμα που θα μας βοηθήσι σ αυτήν. ΛΗΜΜΑ 1 Έστω u,v S E,u ± v και λ, t 0 > 0 καθορισμένς ποσότητς. Τα ακόλουθα ίναι ισοδύναμα: i. (λu + t 0 v) (u λv). ii. φ λ,u,v ( t 0 ) φ λ,u,v ( t), όπου φ λ,u,v ( t) = λ2 +t λu+tv t >0. Έτσι συνχίζοντας,από το Λήμμα 1 (θέτοντας όπου t 0 1 ) έχουμ: λ 2 +1 λ (λu+v) λu+v + (u λv) u λv λ 2 +t λ (λu+v) λu+v +t (u λv) u λv, ( ) Κάνοντας απλές πράξις στους παρονομαστές (αριστρό μέλος ανισότητας): λ (λu+v) λu+v + (u λv) u λv = (λ2 u + λv) 1 + (u λv) λu+v u λv =(λ2 u + λv) 1 λu+v + (u λv) λu+v λu+v 1 u λv =(λ2 u + λv) 1 + (u λv) 1 = λu+v λu+v t =(λ 2 u + λv) 1 + 1 (u λv) λu+v λu+v t = 1 λu+v [(λ2 u + λv) + (u λv) t ]. (1) Αντίστοιχα, και στο δξί μέλος της ανισότητας κάνοντας πράξις: λ (λu+v) (u λv) + t λu+v u λv =(λ2 u + λv) λv)]. 1 λu+v + u λv λu+v Τλικά από τους παρονομαστές της ανισότητας(σχέσις 1,2) έχουμ: 1 λu+v [(λ2 u + λv) + (u λv) t ] 1 λu+v [(λ2 u + λv) + (u λv)]. (u λv) u λv = 1 λu+v [(λ2 u + λv) + (u (2) 41

Συνπώς πιστρέφοντας στην αρχική μας σχέση ( ) μ αντικατάσταση της παραπάνω σχέσης προκύπτι ότι: λ 2 + 1 λ 2 + t (λ 2 (u λv) (λ u + λv) + t 2 u + λv) + (u λv). ( ) Από το γγονός ότι u v παίρνουμ : (λ 2 + 1) (λ 2 u + λv) + (u λv) (λ 2 + t) (λ 2 u + λv) + (u λv) (λ 2 + 1) 2 (λ 2 + t) (λ 2 + 1 t )u + (1 1 t )λv (λ2 + t)( λ 2 + 1 t ) ( από υπόθση u = v = 1). Αποδίδοντας ότι, ( t 1 t 2 ) 0 ( t) 2 2 t 1 t +( 1 t )2 = t 2 + 1 t 2 = =t 2 + 1 t t 2 + 1 t 0 t2 + 1 2t (t 1) 2 0. Δηλαδή t 1 και πιδή από υπόθση t 0 καταλήγουμ πως t=1. Έτσι προκύπτι πως t = u λv λu+v =1, δηλαδή u λv = λu + v u, v S E (δηλαδή u = v =1) και u v. Σ αυτό το σημίο, θα δίξουμ ότι η 2) συνπάγται την αυστηρή κυρτότητα του Ε (όπου αυστηρά κυρτός, βλ.προηγούμνα κφάλαια) λέγται ο χώρος όπου δν υπάρχουν υθύγραμμα τμήματα που να νώνουν 2 σημία του). Έστω λοιπόν ότι η σχέση 2) ικανοποιίται και αντίθτα έστω ότι υπάρχι 1 γραμμή l S E τέτοια ώστ l S E = [u 1, u 2 ], u 1 u 2. Έτσι,οποιοδήποτ u [u 1, u 2 ] γράφται ως u = u t =u 1 +t (u 2 u 1 ), t [0,1] και u t = 1.Η συνάρτηση t u 1 + t (u 2 u 1 ), όπου t R 1, όταν t [0,1] παίρνι τις τιμές { αυστηρά αυξανόμνη, t > 1. αυστηρά μιωμένη, t < 0 Ορίζοντας ως v = u 2 u 1 u 2 u 1 (συναρτήσι του u), έχουμ ότι u t v, t [0,1]. t 42