Vetorové a salárne pola
Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá aždému bodu X Ω prradí reálne číslo. Dvocu Ω naývame staconárne salárne pole unca sa naýva potencál tohto poľa. X h h H R Na náornene grau unce potrebueme štvorromerný prestor E 4. Nech e unca X spotá na oblast Ω a má tu spoté parcálne derváce podľa všetých premenných toré sa nerovnaú súčasne nule. Množna bodov oblast Ω v torých má potencál rovnaú hodnotu C H tvorí plochu prestoru E s rovncou tore vhovuú súradnce bodov C.
Ploch určené rovncam C C H sa naývaú evpotencálne hladnové ploch salárneho poľa Ω. Napr. otermcé ploch v teplotnom pol alebo obarcé ploch v pol astmosercého tlau. Evpotencálne ploch eletrostatcého poľa vtvoreného daným bodovým náboom sú sústredné guľové ploch so stredom v danom bode q. Sústava všetých evpotencálnch plôch salárneho poľa Ω prslúchaúcch všetým hodnotám potencálu vpĺňa celú oblasť Ω. Každým bodom oblast precháda práve edna evpotencálna plocha a žadne dve evpotencálne ploch pre C C nemaú spoločné bod.
Prestorové salárne pole gra unce troch premenných troromerná vareta teleso v E 4 vualovaná evpotencálnm plocham v E - sn
Rovnné salárne pole U C Evpotencálne hladnové rv vrstevnce grau unce dvoch premenných U sn
Derváca unce v danom smere unca derencovateľná v bode X 0 má v tomto bode dervácu podľa ľubovoľného smeru s a platí sx 0 X 0 cos α X 0 cos β X 0 cos γ de cos α cos β cos γ sú smerové osín vetora s. A s ta α 0 β π/ a γ π/ X 0 X 0 pre s ta α π/ β 0 a γ π/ X 0 X 0 a pre s ta α π/ β π/ a γ 0 X 0 X 0 Parcálne derváce unce v bode X 0 podľa premenných sú derváce unce v bode X 0 v smere ednotových vetorov. Derváca unce v smere s e salárn súčn ednotového vetora s 0 cos α cos β cos γ s vetorom X 0 X 0 X 0 sx 0 X 0 X 0 X 0.cos α cos β cos γ
Gradent salárne unce v bode X 0 grad X 0 X 0 X 0 X 0 e vetor v smere torého e derváca unce v bode X 0 mamálna a rovná sa veľost tohto vetora [ sx 0 ] ma grad X 0 sx 0 grad X 0 cos ϕ de ϕ e uhol med vetorm grad X 0 a s. A e grad X 0 0 derváca unce v bode X 0 v aždom smere s sa rovná nule sx 0 0 pre aždý vetor s. áln výnam gradentu v bode Hodnot unce sa narýchleše mena rastú v smere vetora gradentu unce v smere grad X 0 X 0 X 0 X 0.
Geometrcý výnam gradentu v bode A e unca derencovateľná v bode X 0 a grad X 0 0 teda potom plocha s rovncou [ X 0 ] [ X 0 ] [ X 0 ] 0 0-0 0-0 0-0 0 e evpotencálna plocha salárneho poľa Ω torá precháda daným bodom dotu X 0 [ 0 0 0 ]. Vetor grad 0 0 0 X 0 X 0 X 0 e normálový vetor dotove rovn evpotencálne ploche prechádaúce bodom X 0 [ 0 0 0 ]. Derváca unce v smere s v bode X 0 e veľosť premetu vetora grad X 0 do vetora s.
Nech Ω e salárne pole a nech e unca derencovateľná v aždom bode X Ω. Vetorová unca grad denovaná na oblast Ω torá aždému bodu X Ω prradí vetor grad X sa naýva gradent unce alebo grad grad Vetorová unca grad sa naýva gradent salárneho poľa Ω U. Každému salárnemu poľu Ω prslúcha ednonačne vetorové pole Ω de grad teda vetorové pole gradentov salárneho poľa. Gradent salárneho poľa e derencálna charatersta salárneho poľa.
Vlastnost gradentu salárne unce grad... n grad grad... grad n grad g gradg g grad grad g g gradg grad Smbolcý vetor sa naýva Hamltonov derencáln operátor nabla grad Derváca unce v smere s 0 0 0. s s s s s X
Nech e vetorová unca torá aždému bodu X Ω prradí vetor prestoru E X. Dvocu Ω naývame staconárne vetorové pole. Graom unce e vareta 6-romerného prestoru E 6. Pomerne náornú predstavu o vetorovom pol dávaú vetorové rv. Vetorová rva prúdová rva - prúdnca vetorového poľa Ω e regulárna rva torá sa nacháda v oblast Ω e daná parametrácou r rt t t t t R a e vetor dotčnce r t t t t v bode Xt [t t t] t R e násobom vetora Xt platí t t t
Rovnce t t t t t t predstavuú sstém nelneárnch derencálnch rovníc. rádu torých rešením sú unce t t t t R určuúce sústavu vetorových rve daného vetorového poľa. Každým bodom X 0 Ω v torom X 0 0 precháda práve edna vetorová rva vetorového poľa Ω.
Derencálne charaterst vetorového poľa Dvergenca vetorového poľa vetorove unce v bode e salár.. dv Vetorové pole sa naýva solenodné nežredlové a dv 0. Pole s nenulovou dvergencou e žredlové pole obsahue aspoň edno žredlo resp. noru. Vlastnost dvergence dv G dv dv G dv dv dv
Rotáca vetorového poľa vetorove unce v bode e vetor rot Vlastnost rotáce rot G rot rot G rot rot - rot Pole torého rotáca e nulový vetor sa naýva nerotačné bevírové pole. Rotačné pole obsahue vír v bodoch de e rotáca nenulová vetor rotáce určue smer rotáce víru v danom bode. Vetorové pole toré e gradentom salárneho poľa e nerotačné a naopa aždé nerotačné pole sa dá vadrť ao gradent salárneho poľa.
Laplaceov operátor Δ Salárn súčn operátora so sebou samým e Laplaceov operátor Laplacán Δ Δ. Vlastnost Laplaceovho operátora Δ g Δ Δg Δ g Δg g Δ grad. grad g Δ G Δ ΔG Δ grad grad Δ Δ rot rot Δ
Vorce pre počítane s derencálnm operátorm g grad g grad g g grad dv dv grad rot rot - grad.g grad.g rot G G rot g g g G G G G dv G G rot - rot G G rot G dv G - G dv g g g G G G
dv grad Δ rot grad 0 grad dv rot rot Δ dv rot 0 áladné vťah grad dv rot